BAB IV

HAL SEJAJAR

A. DUA GARIS DIPOTONG OLEH GARIS KETIGA

m

1 A4 2 3

k

B 1 2

4 3 l

Garis k dan l dipotong garis m berturut-turut di A dan B.

Sudut dalam sepihak :

Sudut Luar sepihak :

Sudut dalam berseberangan :

Sudut luar berseberangan :

Sudut sehadap :

B. GARIS-GARIS SEJAJAR

Definisi 4.1. Dua garis lurus disebut sejajar jika garis–garis itu terletak pada satu bidang datar dan tidak memiliki titik persekutuan (tidak berpotongan).

Aksioma 4.1. Jika dua garis dipotong garis ketiga, sehingga sudut sehadapnya sama maka kedua garis itu sejajar.

Aksioma 4.2. Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis ketiga, maka sudut sehadapnya sama besar.

Aksioma 4.3. Jika dua garis dipotong oleh garis ketiga, sehingga sudut sehadapnya tidak sama maka kedua garis itu tidak sejajar.

Teorema 4.1. Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis ketiga, maka sudut dalam berseberangannya sama besar.

m

1 2 k 4 3 A

1 2 l 4 3 B

Diket : garis k//l , garis k dan l dipotong garis m

Buktikan A4 = B2

Bukti : A4 = A2 (sdt bertolak belakang)

A2 = B2 (sdt sehadap)

Jadi A4 = B2 terbukti

Teorema 4.2. Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis ketiga, maka sudut dalam sepihaknya jumlahnya 180o

m

1 2 k 4 3 A

1 2 l 4 3 B

Diket : garis k//l , garis k dan l dipotong garis m

Buktikan A3 + B2 = 180o

Bukti : A3 + A2 = 180o (sdt bersisian)

A2 = B2 (sdt sehadap)

A3 = 180o - B2

Jadi A3 + B2 = 180o terbukti

Teorema 4.3. Jika dua garis dipotong oleh garis ketiga, sehingga sudut dalam berseberangannya sama maka kedua garis itu sejajar

Teorema 4.4. Jika dua garis dipotong oleh garis ketiga,sehingga sudut dalam sepihaknya jumlahnya 180o maka kedua garis itu sejajar.

Soal-soal :

1. Jika dua garis sejajar dipotong oleh garis ketiga , buktikan bahwa :

a. Sudut luar berseberangannya sama besar

b. Sudut luar sepihaknya berjumlah 180o

2. Jika dua garis sama-sama tegak lurus pada sebuah garis lain , maka kedua garis itu sejajar. Buktikan !

3. Jika dua garis sejajar dipotong garis ketiga, maka garis-garis yang membagi dua sudut sehadap menjadi dua sama besar, sama pula. Buktikan !

C. PERBANDINGAN SEHARGA GARIS GARIS

Teorema 4.5. Jika beberapa buah garis sejajar memotong bagian-bagian yang sama dari sebarang garis potong, maka garis garis itu akan memotong bagian-bagian yang sama dari tiap-tiap garis potong yang lain.

A P 1 B 2 Q E 1 C 2 R F 1 D 2 S G

Diketahui : AB = BC=CD

AP//BQ//CR//DS

Buktikan : PQ= QR=RS

Bukti :

Tarik dari titik-titik P, Q dan Rgaris garis yang sejajar AD.

Terjadi tiga buah jajar genjang yaitu APEB, BQFC dan CRGD, sehingga PE=AB,QF=BC dan RG=CD.

Oleh karena diketahui AB=BC=CD. Maka juga PE=QF=RG

Karena P1 = Q1 = R1 dan Q2= R2= S2 maka PEQ QFR RGS (S,Sd,Sd)

Akibatnya PQ = QR = RS terbukti

Teorema 4.6. Bagian-bagian yang dipotong oleh tiga buah garis yang sejajar dari suatu garis adalah sebanding dengan bagian-bagian yang dipotongnya dari sebarang garis yang lain

A p

D S

E T

B Q

F U

G V

H W

C R

Teorema 4.7. Suatu garis dalam suatu segitiga yang sejajar dengan sebuah sisi, membagi kedua sisi yang lain atas bagian-bagian yang perbandingannya seharga sama.

C

a1 b1

D E

a2 b2

B A

Diketahui :DE //AB

Buktikan CD :DB = CE : EA

Bukti : Melalui C tarik sebuah garis yang // DE. Menurut teorema 4.6 didapat CD :DB = CE : EA

(terbukti)

Akibat :

a : b = a1 : b1

a : b = a2 : b2

Teorema 4.8. Sebuah garis yang sejajar dengan sebuah sisi suatu segitiga, akan memotong suatu segitiga, yang sebenarnya ( shg )perbandingan sisi sisinya dengan sisi sisi yang bersamaan pada segitiga semula, (sama)

C

D E

A F B

Diketahui : Segitiga ABC , DE//AB

Buktikan CD: CA = CE : CB = DE : AB

Bukti : Tarik melalui E garis EF //AC

Teorema 4.9. Jika sebuah garis memotong sisi sisi AC dan BC suatu segitiga ABC di D dan E, sehingga CD : CA = CE :CB, maka DE sejajar dengan AB

C

F

D E

A B

D. MELUKISKAN BANGUN BANGUN ALJABAR

1. Membagi sepotong garis atas bagian bagian yang sama

A P1 Q1 B

P

Q

R

s

2. Melukiskan pembanding keempat terhadap tiga buah garis yang diketahui

ab Bc b A a

P c C x D

b

a

c

x

E. PERKALIAN BANGUN

P2 O P P1

OP1= 3 x OP

OP2= -3 x OP

Teorema 4.10. Bangun hasil (k kali) suatu garis AB adalah sebuah garis A1B1, yang sejajar dengan AB dan k kali panjang AB

A1

A C1

C

O B B1

Teorema 4.11. Bangun hasil suatu sudut A ialah sebuah sudut A1, yang sama besarnya dengan sudut A, sedangkan kaki-kakinya sejajar dengan kaki-kaki sudut yang diketahui.

Teorema 4.12. Jika suatu segi banyak dikalikan dengan factor k , maka bangun hasilnya merupakan suatu segibanyak yang sisi-sisinya k kali panjang sisi sisi yang bersamaan (bersesuaian) dan sudut sudutnya sama besar dengan sudut-sudut yang bersamaan segi banyak semula.

Dari teorema 4.10, 4.11, dan 4.12 didapat Teorema 4.13.

Teorema 4.13. Pada bangun bangun seletak, semua sudut seletak sama besar semua sudut seletak sama besar dan garis-garis seletak sejajar sesamanya dan menjadikan perbandingan seharga berangkai.

Teorema 4.14. Jumlah atau selisih dari garis-garis seletak berbanding sebagai sepasang sisi-sisi seletak. Harga perbandingan ini sama dengan factor perkalian k

F. DUA SEGITIGA SEBANGUN

Definisi 4.2. Dua segitiga disebut sebangun jika segitiga yang satu dapat dikalikan sedemikian sehingga hasilnya sama dan sebangun dengan segitiga yang lain

Teorema 4.15. Dua segitiga sebangun kalau ketiga sissi segitiga yang satu sebanding dengan ketiga sisi yang bersesuaian dengan segitiga yang kedua (S,S,S)

Teorema 4.16. Dua segitiga sebangun kalau dua sudutdari segitiga yang satu sama dengan dua sudut dari segitiga yang lain (Sd, Sd)

Teorema 4.17. Dua segitiga sebangun kalau dua sisi segitiga yang satu sebanding dengan dua sisi yang kedua dan sudut apit kedua sisi itu sama. (S,Sd,S)

Teorema 4.18. Dua segitiga sebangun kalau kedua segitiga itu siku siku sedang sisi miring dan sebuah sisi siku-siku dari segitiga yang satu sebanding dengan sisi miring dan sisi siku-siku dari segitiga yang kedua (S,Sm)