BAB III : ALJABAR BOOLE

Matematika dasar yang diperlukan untuk mempelajaridisain logika sistem digital adalah aljabar Boolean. George Boole mengembangkan aljabar tahun 1847dan menggunakannya untuk memecahkanpermasalahan dalam logika matematis.Aljabar Boolean adalah sistem aljabar dengan duaoperasi biner yakni penjumlahan (+) dan perkalian (.).Dalam mengembangkan sistem Aljabar Boolean, perlumemulainya dengan asumsi – asumsi yakni HukumBoolean dan Peraturan Aljabar Boolean.

Postulat Aljabar Boole

Postulat Aljabar Boole

Hukum Aljabar Boole1. Komutatif

A + B = B + A A . B = B . A

2. AsosiatifA + (B + C) = (A + B) + CA . (B . C) = (A . B). C

3. DistributifA. (B + C) = A . B + A . C(A + B) . C = (A . C) + (B . C)A + (B . C) = ( A + B) . ( A + C)(A . B) + C = ( A + B) . ( B + C)

4. Idempotent Untuk setiap unsur A berlaku : • A + A = A

A + A = (A + A) (1) identitas= (A + A) (A + A’ ) komplemen= A + (A . A’ ) distributif= A + 0 komplemen= A identitas

• A . A = AA.A = (A .A) (1) identitas

= (A .A) (A +A’ ) komplemen= A + (A . A’ ) distributif= A + 0 komplemen= A identitas

5. DominasiUntuk setiap unsur x berlaku :A + 1 = 1 A + 1 = A + (A + A’ ) komplemen= (A + A) + A’ asosiatif= A + A’ teorema (idempoten)= 1 komplemen

A . 0 = 0A . 0 = A.(A .A’ ) komplemen= (A .A) .A’ asosiatif= A.A’ teorema (idempoten)= 0 komplemen

Hukum D’ Morgan

Augustus De Morgan (27 Juni 1806 – 18 Maret 1871) adalah seorangmatematikawan dan logikawan asal Britania. Ia merumuskan hukum De Morgan

dan mengenalkan istilah induksi matematika

- Teori De Morgan sangat berguna untuk disain rangkaian digital- Menggunakan teknik ini, gerbang AND dan OR bisa saling ditukar- Penukaran dilakukan dengan menambahkan gerbang NOT

Yang perlu diingat:

“break the bar, change

the operator”

A B C Y

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

A B C Y

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

Minterm :

suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi AND antar variabel

secara lengkap. Dan antar suku dihubungkan dengan OR.

Contoh :

Or

And

Maksterm :

suku dalam persamaan yang memiliki hubungan operasi OR antar variabel secara

lengkap. Dan antar suku di hubungkan dengan operasi AND.

Contoh :

Or And

Bentuklah rangkaian logika dengan tabel kebenarannya sebagai berikut sesuai

SOP dan POS !

A B C Y

0 0 0 1 m0

0 0 1 0 M1

0 1 0 1 m2

0 1 1 1 m3

1 0 0 0 M4

1 0 1 0 M5

1 1 0 0 M6

1 1 1 1 m7

SOP

POS

Peta karnaughMaurice Karnaugh seorang ahli fisika dari Amerika yang memperkenalkan peta Karnaugh pada tahun 1952 yang Berfungsi untuk menyederhanakan fungsi bollean (rangkaian logika). Peta Karnaugh menggambarkan harga/keadaan suatu fungsi untuk setiap kombinasi masukan yang mungkin dibentuk. Jadi sebenarnya, peta Karnaugh memetakan tabel kebenaran dalam kotak-kotak segi empat yang jumlahnya tergantung dari jumlah peubah (variabel) masukan.

Untuk fungsi dengan 2 peubah, peta Karnaugh akan terdiri atas 2 2 = 4 kotak, untuk 3 peubah petanya akan terdiri atas 2 3 = 8 kotak dan seterusnya untuk n peubah petanya akan terdiri atas 2n kotak. Setiap kotak berisi 0 atau 1 yang menunjukkan keadaan fungsi untuk kombinasi masukan yang diwakili kotak bersangkutan.

Penulisan peta karnaugh 2 peubah :

Penulisan peta karnaugh 3 peubah :

Penulisan peta karnaugh 4 peubah :

Grouping K-Map dengan minterm1. Minterm-minterm yang berdekatan dapat dikombinasikan

karena mereka hanya berbeda di satu variabel saja, disebutGrouping

2. Grouping dilakukan dengan melingkari nilai ’1’ yang berdekatan3. Melingkari dua nilai ’1’ bersama, berarti mengeliminasi satu term dan satu

variabel dari ekspresi output• Variabel yang dieliminasi adalah yang mempunyai perbedaan nilai di

group, vertikal/horizontal

Group merah: x1 dieliminasi, Grup biru: x2 dieliminasi

grouping 2 peubah

K-Map dengan 3 peubah

K-Map dengan 4 peubah

Grouping K-Map dengan maksterm

K-Map dengan 3 peubah

f1

f2

f3

Bagaimana penyederhanaannya?

3). 3 peubah, semisal tabel kebenaran sebagai berikut :

A B C Y

0 0 0 1 m0

0 0 1 1 m1

0 1 0 1 m2

0 1 1 0 m3

1 0 0 1 m4

1 0 1 0 m5

1 1 0 1 m6

1 1 1 0 m7

4). 4 peubah, semisal tabel kebenaran sebagai berikut :