7

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada Bab II akan dijelaskan pengertian-pengertian dasar yang

digunakan sebagai landasan pembahasan pada bab selanjutnya yaitu peramalan

data runtun waktu (time series), konsep dasar time series, stasioneritas dan

nonstasioneritas, Autocorrelation Function (ACF) dan Parsial Autocorrelation

Function (PACF), white noise, model-model ARIMA, heteroskedastisitas,

volatilitas, efek ARCH, model ARCH, dan model GARCH.

A. Peramalan

Peramalan pada dasarnya merupakan proses menyusun informasi

tentang kejadian masa lampau yang berurutan untuk menduga kejadian di

masa depan (Frechtling, 2001: 8). Peramalan bertujuan mendapatkan ramalan

yang dapat meminimumkan kesalahan meramal yang dapat diukur dengan

Mean Absolute Percent Error (MAPE) (Pangestu Subagyo, 1986: 1).

Peramalan pada umumnya digunakan untuk memprediksi sesuatu yang

kemungkinan besar akan terjadi misalnya kondisi permintaan, banyaknya

curah hujan, kondisi ekonomi, dan lain-lain.

Atas dasar logika, langkah dalam metode peramalan secara umum

adalah mengumpulkan data, menyeleksi dan memilih data, memilih model

peramalan, menggunakan model terpilih untuk melakukan peramalan, evaluasi

hasil akhir.

8

Berdasarkan sifatnya, peramalan dibedakan menjadi:

1. Peramalan Kualitatif

Peramalan yang didasarkan atas data kualitatif pada masa lalu. Hasil

peramalan kualitatif didasarkan pada pengamatan kejadian–kejadian di

masa sebelumnya digabung dengan pemikiran dari penyusunnya.

2. Peramalan Kuantitatif

Peramalan yang didasarkan atas data kuantitatif masa lalu yang diperoleh

dari pengamatan nilai–nilai sebelumnya. Hasil peramalan yang dibuat

tergantung pada metode yang digunakan, menggunakan metode yang

berbeda akan diperoleh hasil peramalan yang berbeda.

B. Konsep Dasar Time Series

Time series adalah suatu rangkaian atau seri dari nilai-nilai suatu

variabel atau hasil observasi, dalam hal ini adalah nilai indeks harga saham,

yang dicatat dalam jangka waktu yang berurutan (Atmaja, 2009: 29).

Metode time series adalah metode peramalan dengan menggunakan analisa

pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel waktu

atau analisis time series, antara lain:

1. Metode Smoothing

2. Metode Box–Jenkins (ARIMA)

3. Metode Proyeksi trend dengan Regresi.

Hal yang perlu diperhatikan dalam melakukan peramalan adalah pada

galat (error), yang tidak dapat dipisahkan dalam metode peramalan. Untuk

9

mendapatkan hasil yang mendekati data asli, maka seorang peramal berusaha

membuat error-nya sekecil mungkin.

Dengan adanya data time series, maka pola gerakan data dapat

diketahui. Dengan demikian, data time series dapat dijadikan sebagai dasar

untuk:

a. Pembuatan keputusan pada saat ini.

b. Peramalan keadaan perdagangan dan ekonomi pada masa yang akan

datang.

c. Perencanaan kegiatan untuk masa depan.

Analisa data time series adalah analisa yang menerangkan dan

mengukur berbagai perubahan atau perkembangan data selama satu periode

(Hasan, 2002: 184). Analisis time series dilakukan untuk memperoleh pola

data time series dengan menggunakan data masa lalu yang akan digunakan

untuk meramalkan suatu nilai pada masa yang akan datang. Dalam time series

terdapat empat macam tipe pola data, yaitu:

1) Horizontal

Tipe data horizontal ialah ketika data observasi berubah-ubah di sekitar

tingkatan atau rata-rata yang konstan. Sebagai contoh penjualan tiap bulan

suatu produk tidak meningkat atau menurun secara konsisten pada suatu

waktu.

2) Musiman (Seasonal)

Tipe data seasonal ialah ketika observasi dipengaruhi oleh musiman, yang

ditandai dengan adanya pola perubahan yang berulang secara otomatis dari

10

tahun ke tahun. Sebagai contoh adalah pola data pembelian buku baru pada

tahun ajaran baru.

3) Trend

Tipe data trend ialah ketika observasi naik atau menurun pada perluasan

periode suatu waktu. Sebagai contoh adalah data populasi.

4) Cyclical

Tipe data cyclical ditandai dengan adanya fluktuasi bergelombang data

yang terjadi di sekitar garis trend. Sebagai contoh adalah data-data pada

kegiatan ekonomi dan bisnis.

C. Matriks

Matriks adalah susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan.

Bilangan – bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks (Anton,

2004 : 26). Jika A adalah suatu matriks dengan entri yang menyatakan baris

ke-i dalam kolom ke-j dari A maka matriks A dapat dinyatakan A= .

Ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris dan banyaknya

kolom yang terdapat dalam matriks tersebut.

Jika A adalah suatu matriks berukuran maka secara umum

ditulis sebagai berikut:

Misalkan ada sistem persamaan linear sebagai berikut:

11

Maka sistem persamaan diatas dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai

berikut

(2.1)

dengan

, ,

Pada persamaan (2.1) jika adalah sistem yang terdiri dari n

persamaan linear dalam n bilangan tak diketahui dan det (A) ≠ 0 , maka sistem

tersebut penyelesaian sebagai berikut :

,

12

Dengan adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan entri-

entri dalam kolom ke-j dari A dengan entri-entri dalam matriks B.

Penyelesaian ini dinamakan Aturan Cramer.

D. Variansi

Sifat penggandaan dan pembagian variansi sebagai berikut (Walpole,

1992):

Bila suatu peubah acak dan suatu konstanta, maka

(2.2)

(2.3)

Jadi, bila suatu peubah acak digandakan atau dibagi dengan suatu konstanta,

maka ragam semula harus digandakan atau dibagi dengan kuadrat konstanta

tersebut.

E. Maksimum Likelihood Estimator (MLE)

Menurut Bain dan Engelhardt (1992), misalkan adalah sampel

random dari populasi dengan densitas , fungsi likelihood didefinisikan

dengan:

Bila fungsi likelihood ini terdiferensialkan dalam maka calon estimator

likelihood yang mungkin adalah sedemikian sehingga:

13

(2.4)

Untuk membuktikan bahwa benar-benar memaksimumkan fungsi likelihood

harus ditunjukkan bahwa:

(2.5)

Dalam banyak kasus dimana diferensi digunakan, akan lebih mudah bekerja

pada logaritma dari yaitu . Hal ini dimungkinkan karena fungsi

logaritma naik tegas pada yang berarti bahwa mempunyai ekstrem

yang sama.

Sehingga untuk menentukan estimator maksimum likelihood dari sebagai

berikut:

1. Tentukan fungsi likelihood

2. Bentuk log-likelihood

3. Tentukan turunan dari terhadap

Penyelesaian dari persamaan poin 3 merupakan estimator maksimum

likelihood untuk .

14

4. Tentukan turunan kedua dari terhadap . Jika

, maka akan membuktikan bahwa benar-benar memaksimumkan fungsi

likelihood .

F. Stasioneritas dan Nonstasioneritas

Stasioneritas berarti bahwa tidak terdapat perubahan yang drastis pada

data. Fluktuasi data berada disekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak

tergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi tersebut (Makridakis, 1995:

351). Data time series dikatakan stasioner jika rata-rata dan variansinya

konstan, tidak ada unsur trend dalam data, dan tidak ada unsur musiman.

Apabila data tidak stasioner, maka perlu dilakukan modifikasi untuk

menghasilkan data yang stasioner. Salah satu cara yang umum dipakai adalah

metode pembedaan (differencing). Untuk menentukan apakah series stasioner,

nonstasioner dapat dibantu dengan melihat plot dari series atau bentuk

difference-nya. Proses differencing dapat dilakukan untuk beberapa periode

sampai data stasioner, yaitu dengan cara mengurangkan suatu data dengan data

sebelumnya.

Menurut Makridakis, dkk (1995: 382) notasi yang sangat bermanfaat

dalam metode pembedaan adalah operator shift mundur (backward shift), B,

sebagai berikut:

(2.6)

15

Notasi yang dipasang pada , mempunyai pengaruh menggeser

data 1 periode ke belakang. Dua penerapan untuk akan menggeser data

tersebut 2 periode ke belakang, sebagai berikut:

(2.7)

Apabila suatu time series tidak stasioner, maka data tersebut dapat dibuat lebih

mendekati stasioner dengan melakukan pembedaan pertama.

(2.8)

Menggunakan operator shift mundur, persamaan (2.8) dapat ditulis kembali

menjadi

(2.9)

Pembedaan pertama dinyatakan oleh

Sama halnya apabila pembedaan orde kedua (yaitu pembedaan

pertama dari pembedaan pertama sebelumnya) harus dihitung, maka;

(2.10)

Pembedaan orde kedua diberi notasi , sedangkan pembedaan

pertama .

16

Tujuan dari menghitung pembedaan adalah untuk mencapai

stasioneritas dan secara umum apabila terdapat pembedaan orde ke- untuk

mencapai stasioneritas, ditulis sebagai berikut:

Selanjutnya stasioneritas dibagi menjadi 2 (Wei, 2006: 80), yaitu:

1. Stasioner dalam mean (rata-rata)

Stasioner dalam mean adalah fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai

rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan variansi dari

fluktuasi tersebut. Dari bentuk plot data seringkali dapat diketahui bahwa

data tersebut stasioner atau tidak stasioner. Apabila dilihat dari plot ACF,

maka nilai-nilai autokorelasi dari data stasioner akan turun menuju nol

sesudah time lag (selisih waktu) kedua atau ketiga.

2. Stasioneritas dalam Variansi

Suatu data time series dikatakan stasioner dalam variansi apabila struktur

data dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan

dan tidak berubah-ubah. Secara visual untuk melihat hal tersebut dapat

dibantu dengan menggunakan plot time series, yaitu dengan melihat

fluktuasi data dari waktu ke waktu.

G. Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial

Dalam metode time series, alat utama untuk mengidentifikasi model

dari data yang akan diramalkan adalah dengan menggunakan fungsi

Autokorelasi/Autocorrelation Function (ACF) dan fungsi Autokorelasi

parsial/Partial Autocorrelation Function (PACF).

17

Menurut Wei (2006: 10) dari proses stasioner suatu data time series

( diperoleh dan variansi , yang

konstan dan kovariansi ), yang fungsinya hanya pada perbedaan

waktu | . Maka dari itu, hasil tersebut dapat ditulis sebagai

kovariansi antara dan sebagai berikut:

(2.11)

dan korelasi antara sebagai

(2.12)

dimana notasi . Sebagai fungsi dari , disebut

fungsi autokovariansi dan disebut fungsi autokorelasi (ACF), dalam analisis

time series dan menggambarkan kovarian dan korelasi antara dan

dari proses yang sama, hanya dipisahkan oleh lag ke- .

Fungsi autokovariansi sampel dan fungsi autokorelasi sampel dapat

ditulis sebagai berikut:

(2.13)

dan

, (2.14)

dengan

(2.15)

Fungsi autokovariansi dan fungsi autokorelasi memiliki sifat-

sifat sebagai berikut:

18

1. .

2. .

3. dan untuk semua , dan adalah fungsi yang

sama dan simetrik lag . Sifat tersebut diperoleh dari perbedaan

waktu antara dan . Oleh sebab itu, fungsi autokorelasi sering

hanya diplotkan untuk lag nonnegatif. Plot tersebut terkadang disebut

korrelogram.

Menurut Alan Pankratz, pendugaan koefisien autokorelasi ( kr ) adalah

dugaan dari koefisien autokorelasi secara teoritis yang bersangkutan ( k ).

Nilai dari kr tidak sama persis dengan k

yang berkorespondensi dikarenakan

error sampling. Distribusi dari kemungkinan nilai-nilai disebut dengan

distribusi sampel. Standar error dari distribusi sampling adalah akar dari

penduga variansinya.

Pengujian koefisien autokorelasi:

H0 : (Koefisien autokorelasi tidak berbeda secara signifikan

dengan nol)

H1 : (Koefisien autokorelasi berbeda secara signifikan dengan nol)

Statistik uji: )( k

k

rSE

rt

(2.16)

dengan

T

r

rSE

k

j

j

k

1

1

221

(2.17)

19

dengan,

: standar error autokorelasi pada saat lag k

: autokorelasi pada saat lag j

k : time lag

T : banyak observasi dalam data time series

Kriteria keputusan: tolak H0 jika nilai df

hitung tt,

2

dengan derajat bebas

df = T-1, T merupakan banyaknya data dan k adalah lag koefisien autokorelasi

yang diuji.

Pada Gambar 2.1 memperlihatkan plot ACF untuk data stasioner,

dimana hanya lag pertama saja yang signifikan, sedangkan lag–lag berikutnya

berada di dalam daerah interval.

Gambar 2.1 Plot ACF Data Stasioner

Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) pada lag-k adalah korelasi di

antara dan setelah dependensi linear antara dan variabel

antara dihapus (Dedi Rosadi, 2011: 31).

Lag

Au

toco

rre

lati

on

605550454035302520151051

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

-0.2

-0.4

-0.6

-0.8

-1.0

Autocorrelation Function for return(with 5% significance limits for the autocorrelations)

20

Autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan

(association) antara dan , apabila pengaruh dari time lag 1, 2, 3, . . . ,

dan seterusnya sampai dianggap terpisah (Makridakis, 1995: 345). Ada

beberapa prosedur untuk menentukan bentuk PACF yang salah satunya akan

dijelaskan sebagai berikut. Menurut Wei (2006: 12) fungsi autokorelasi parsial

dapat dinotasikan dengan:

misalkan adalah proses yang stasioner dengan , selanjutnya

dapat dinyatakan sebagai model linear

(2.18)

dengan adalah parameter regresi ke-i dan adalah nilai kesalahan yang

tidak berkorelasi dengan untuk . Untuk mendapatkan nilai

PACF, langkah pertama yang dilakukan adalah mengalikan persamaan (2.18)

dengan pada kedua ruas sehingga diperoleh:

(2.19)

Selanjutnya, nilai ekspektasi dari (2.19) adalah

Dimisalkan nilai , j = 0,1,…k dan karena

, sehingga diperoleh

(2.20)

21

Persamaan (2.20) dibagi dengan

(2.21)

diperoleh

, (2.22)

dan diberikan

Untuk didapatkan sistem persamaan sebagai berikut:

(2.23)

Sistem persamaan (2.23) dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan

Cramer. Persamaan (2.23) untuk digunakan untuk mencari

nilai-nilai fungsi autokorelasi parsial lag k yaitu .

a. Untuk lag pertama (k = 1) dan j = 1 diperoleh sistem persamaan sebagai

berikut :

, karena sehingga

, yang berarti bahwa fungsi autokorelasi parsial pada lag

pertama akan sama dengan fungsi autokorelasi pada lag pertama.

b. Untuk lag kedua (k = 2) dan j =1,2 diperoleh sistem persamaan :

(2.24)

22

Persamaan (2.24) jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi

(2.25)

, dan dengan menggunakan aturan Cramer

diperoleh

c. Untuk lag ketiga (k = 3) dan j = 1,2,3 didapatkan sistem persamaan

(2.26)

Persamaan (2.26) jika dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi

(2.27)

, dan dengan menggunakan aturan

Cramer diperoleh

23

Menurut teorema, matriks berukuran dapat dibalik jika dan hanya

jika det atau tidak ada baris yang mengandung nol maka det

.

d. Untuk k lag dan sistem persamaannya adalah:

(2.26)

Persamaan (2.26) jika dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi

(2.27)

Dengan menggunakan aturan Cramer diperoleh

Nilai fungsi autokorelasi parsial lag k hasilnya adalah:

24

dengan disebut PACF antara dan

Fungsi autokorelasi parsial (PACF)

Jadi diperoleh autokorelasi parsial dari pada lag k didefinisikan sebagai

1

1

1

1

1

1321

2311

1221

1321

2311

1221

kkk

kk

kk

kkkk

k

k

kk (2.28)

Himpunan dari , disebut sebagai Partial

Autocorrelation Function (PACF). Fungsi menjadi notasi standar untuk

autokorelasi parsial antara observasi dan dalam analisis time series.

Fungsi akan bernilai nol untuk k > p. Sifat ini dapat digunakan untuk

identifikasi model AR dan MA, yaitu pada model Autoregressive berlaku ACF

akan menurun secara bertahap menuju nol dan Moving Average berlaku ACF

25

menuju ke-0 setelah lag ke-q sedangkan nilai PACF model AR yaitu

dan model MA yaitu (Wei, 2006: 11).

Hipotesis untuk menguji koefisen autokorelasi parsial adalah sebagai berikut

(Wei, 2006: 22):

H0 :

H1 :

Taraf signifikansi:

Statistik uji: (2.29)

dengan

(2.30)

Kriteria keputusan: tolak H0 jika , dengan derajat bebas df

= T-1, T adalah banyaknya data dan k adalah lag koefisien autokorelasi parsial

yang akan diuji.

H. Proses White Noise

Suatu proses { t} disebut proses white noise jika series-nya terdiri dari

variabel random yang tidak berkorelasi dan berdistribusi normal dengan rata–

rata konstan E( t) = 0, variansi konstan Var ( t) = dan

untuk k ≠ 0 (Wei, 2006: 15). Dengan demikian proses white noise

stasioner dengan fungsi autokovariansi

0,0

0,2

kjika

kjikat

k

(2.31)

26

fungsi autokorelasi

0,0

0,1

kjika

kjikak (2.32)

fungsi autokorelasi parsial

(2.33)

Proses white noise dapat dideteksi menggunakan uji autokorelasi

residual pada analisis error-nya. Uji korelasi residual digunakan untuk

mendeteksi ada tidaknya korelasi residual antar lag. Langkah-langkah

pengujian korelasi residual, yaitu:

H0: 0321 K

H1: Kkk ,,2,1,0

Taraf signifikansi atau = 5%

Statistik uji yaitu uji Ljung Box-Pierce. Rumus uji Ljung Box-Pierce (Wei,

2006: 153):

K

k

kK

kTTTQ

1

2ˆ)2(

(2.34)

dengan,

T : banyaknya data

K : banyaknya lag yang diuji

k̂ : dugaan autokorelasi residual periode k

Kriteria keputusan yaitu tolak H0 jika Q-hitung > tabel, dengan derajat

kebebasan K dikurangi banyaknya parameter pada model atau p-value < ,

artinya adalah barisan yang tidak memiliki korelasi.

27

I. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Beberapa model ARIMA yang dapat digunakan pada data time series,

yaitu:

1. Model Autoregressive (AR)

Autoregressive adalah suatu bentuk regresi tetapi bukan yang

menghubungkan variabel tak bebas, melainkan menghubungkan nilai-nlai

sebelumnya pada time lag (selang waktu) yang bermacam-macam. Jadi suatu

model Autoregressive akan menyatakan suatu ramalan sebagai fungsi nilai-

nilai sebelumnya dari time series tertentu (Makridakis, 1995: 513).

Model Autoregressive (AR) dengan order p dinotasikan dengan AR (p).

bentuk umum model AR (p) adalah:

(2.35)

dengan,

: nilai variabel pada waktu ke-t

: nilai masa lalu dari time series

yang bersangkutan pada waktu t-1, t-2,…, t-p

: koefisien regresi, i: 1, 2, 3,……., p

: nilai error pada waktu ke-t

p : order AR

Persamaan (2.35) dapat ditulis menggunakan operator B (backshift):

(2.36)

dimana: , disebut operator AR (p)

Pada umumnya, order AR yang sering digunakan dalam analisis time

series adalah p = 1 atau p = 2, yaitu model AR (1) dan AR (2).

Bentuk umum model Autoregressive order 1 atau AR (1), yaitu:

28

(2.37)

Persamaan (2.37) dapat ditulis dengan operator backshift (B), menjadi:

Bentuk umum model Autoregressive order 1 atau AR (2), yaitu:

(2.38)

Persamaan (2.38) dapat ditulis dengan operator backshift (B), menjadi:

2. Model Moving Average (MA)

Menurut Wei (2006: 47), model Moving Average dengan order

dinotasikan MA (q) didefinisikan sebagai:

; ) (2.39)

dengan,

: nilai variabel pada waktu ke-t

: nilai-nilai dari error pada waktu t, t-1, t-2,…,t-q

dan diasumsikan White Noise dan normal.

: koefisien regresi, i: 1, 2, 3,……., q

: nilai error pada waktu ke-t

q : order MA

Persamaan di atas dapat ditulis menggunakan operator backshift (B),

menjadi:

dengan merupakan operator MA ( ).

Secara umum, order MA yang sering digunakan dalam analisis time series

adalah q =1 atau q = 2, yaitu MA (1) dan MA (2).

29

Model Moving Average order 1 atau MA (1) secara matematis didefinisikan

menjadi:

(2.40)

Persamaan (2.40) dapat ditulis dengan operator B (backshift), menjadi:

tt BX )1( 1

Sedangkan model Moving Average order 2 atau MA (2) secara matematis

didefinisikan

2211 ttttX (2.41)

Persamaan (2.41) dapat ditulis dengan operator B (backshift), menjadi:

tt BBX 2

211

3. Model Autoregressive Moving Average (ARMA)

Model Aoturegressive Moving Average (ARMA) merupakan suatu

kombinasi dari model AR dan MA (Palit & Dobrivoje Popovic, 2005: 28).

Bentuk umum model ARM , yaitu:

persamaan di atas menjadi

(2.42)

Persamaan (2.42) dapat ditulis menggunakan operator B (backshift), menjadi:

Sehingga diperoleh

30

dengan,

Xt : nilai variabel pada waktu ke-t

: koefisien regresi ke-i , i = 1, 2, 3, ..., p

p : order AR

: parameter model MA ke-i , i = 1, 2, 3, ..., q

t : nilai error pada waktu ke – t

: error pada saat t,t-1,t-2,…,t-q dan diasumsikan

White Noise dan normal.

4. Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA)

Secara umum model ARIMA untuk suatu data time series

adalah sebagai berikut (Pankratz, 1983: 99):

; (2.43)

Persamaan (2.43) dapat ditulis menggunakan operator B (backshift), menjadi:

sehingga diperoleh

dengan,

: data observasi ke-t

: operator back shift

: time series yang stasioner pada

pembedaan ke-

: nilai error pada waktu ke-t

: order AR

: order pembedaan

: order MA

31

Apabila pembedaan pertama dilakukan terhadap model agar menjadi

stasioner, maka model menjadi ARIMA (1,1,1) didefinisikan sebagai berikut:

5. Prosedur Pembentukan ARIMA

Metode ARIMA berbeda dari metode peramalan lain karena metode ini

tidak mensyaratkan suatu pola data tertentu, sehingga model dapat dipakai

untuk semua tipe pola data. Metode ARIMA akan bekerja baik jika data dalam

time series yang digunakan bersifat dependen atau berhubungan satu sama lain

secara statistik. Secara umum, model ARIMA ditulis dengan ARIMA (p, d, q)

yang artinya model ARIMA dengan derajat AR (p), derajat pembeda d, dan

derajat MA (q). Langkah-langkah pembentukan model secara iteratif adalah

sebagai berikut:

a. Identifikasi Model

Hal pertama yang dilakukan pada tahap ini adalah apakah time series

bersifat stasioner atau nonstasioner dan bahwa aspek-aspek AR dan MA dari

model ARIMA hanya berkenaan dengan time series yang stasioner

(Makridakis, 1995: 381).

Kestasioneran suatu time series dapat dilihat dari plot ACF yaitu

koefisien autokorelasinya menurun menuju nol dengan cepat, biasanya setelah

lag ke-2 atau ke-3. Bila data tidak stasioner maka dapat dilakukan pembedaan

atau differencing, orde pembedaan sampai deret menjadi stasioner dapat

digunakan untuk menentukan nilai pada ARIMA .

32

Model AR dan MA dari suatu time series dapat dilakukan dengan

melihat grafik ACF dan PACF.

1) Jika terdapat lag autokorelasi sebanyak yang berbeda dari nol secara

signifikan maka prosesnya adalah MA .

2) Jika terdapat lag autokorelasi parsial sebanyak yang berbeda dari nol

secara signifikan maka prosesnya adalah AR . Secara umum jika terdapat

lag autokorelasi parsial sebanyak yang berbeda dari nol secara signifikan,

terdapat lag autokorelasi sebanyak yang berbeda dari nol secara

signifikan dan pembedaan maka prosesnya adalah ARIMA . Tabel

2.1 merupakan identifikasi order model AR dan MA dengan plot ACF dan

PACF, yaitu:

Tabel 2.1 Identifikasi Order Model ARIMA dengan Pola Grafik ACF

dan PACF

No Model ACF PACF

1. AR (p) Menurun secara bertahap

menuju ke-0

Menuju 0 setelah

lag ke-p

2. MA (q) Menuju ke-0 setelah lag ke-q Menurun secara

bertahap menuju

ke-0

3. ARMA (p,q) Menurun secara bertahap

menuju ke-0

Menurun secara

bertahap menuju

ke-0

Dari Tabel 2.1 dapat dijelaskan sebagai berikut:

1. Jika plot ACF menurun secara bertahap menuju ke-0 dan plot PACF

menuju ke-0 setelah lag-p, maka dugaan modelnya adalah AR (p).

33

2. Jika plot ACF menuju ke-0 setelah lag-q dan plot PACF menurun secara

bertahap menuju ke-0, maka dugaan modelnya adalah MA (q)

3. Jika plot ACF dan plot PACF menurun secara bertahap menuju ke-0, maka

dugaan modelnya adalah ARMA (p,q).

b. Estimasi Parameter

Langkah berikutnya setelah menetapkan model sementara adalah

estimasi parameter model. Salah satu metode yang digunakan yaitu maximum

likelihood, untuk menduga parameter model ARIMA yaitu dan . Untuk

fungsi likelihood nilai-nilai parameter yang memaksimalkan nilai fungsi

likelihood disebut dugaan maximum likelihood. Penurunan fungsi likelihood

pada suatu model time series, dapat digambarkan dengan mempertimbangkan

model ARMA (Hamilton, 1994: 143).

Diberikan bentuk umum model ARMA (p,q) sebagai berikut:

dimana dan vektor populasi parameter yang akan diestimasi

adalah

, misalkan

dan

adalah nilai awal yang digunakan untuk memperoleh

estimator parameter ARMA.

Barisan dapat dihitung dari oleh iterasi pada

34

(2.44)

untuk

Estimator parameter maximum likelihood dapat diperoleh dengan

memaksimalkan fungsi likelihood bersyaratnya dengan fungsi densitasnya

sehingga

(2.45)

Kemudian log-likelihood bersyarat dihitung sebagai berikut:

(2.46)

Selanjutnya ditentukan turunan dari terhadap menggunakan persamaan

(2.4) yaitu sebagai berikut:

35

Kemudian ditentukan turunan kedua dari terhadap menggunakan

persamaan (2.5), untuk membuktikan bahwa benar-benar memaksimumkan

fungsi likelihood yaitu sebagai berikut:

c. Uji Signifikansi Parameter

Dilakukan uji signifikansi parameter, setelah berhasil mengestimasi

nilai-nilai parameter dari model ARIMA yang ditetapkan sementara untuk

mengetahui apakah parameternya signifikan atau tidak.

Berikut merupakan uji signifikansi parameter model pada parameter

Autoregressive, yaitu:

H0 : 0 (parameter tidak signifikan dalam model)

H1 : 0 (parameter signifikan dalam model)

Taraf signifikansi 05,0

Statistik uji: uji t

(2.47)

Kriteria keputusan: tolak H0 jika 2

tthitung , dengan derajat bebas db = T-p,

dengan T banyaknya data dan p adalah banyaknya parameter dalam model.

Sedangkan pada parameter Moving Average digunakan hipotesis:

Ho : (parameter tidak signifikan dalam model)

36

H1 : (parameter signifikan dalam model)

Statistik uji yang digunakan adalah

(2.48)

Kriteria keputusan: tolak H0 jika 2

tthitung , dengan derajat bebas db = T-q,

dengan T banyaknya data dan q adalah banyaknya parameter dalam model.

d. Pemeriksaan Diagnostik

Setelah berhasil megestimasi nilai-nilai parameter dari model ARIMA

yang ditetapkan sementara, selanjutnya perlu dilakukan pemeriksaan

diagnostik untuk membuktikan bahwa model tersebut cukup memadai dan

menentukan model mana yang terbaik digunakan untuk peramalan

(Makridakis, 1999: 411). Pemeriksaan diagnostik ini dapat dilakukan dengan

mengamati apakah residual dari model terestimasi merupakan proses white

noise atau tidak (Nachrowi, 2006: 389). Model dikatakan memadai jika asumsi

dari error ( ) memenuhi proses white noise dan berdistribusi normal. Apabila

dijumpai penyimpangan yang cukup serius maka harus dirumuskan kembali

model yang baru, selanjutnya diestimasi dan dilakukan pemeriksaan kembali.

Satu cara pemeriksaan yang mudah adalah dengan menggunakan uji

yang mampu menetapkan apakah sekumpulan autokorelasi secara keseluruhan

menunjukkan berbeda dari nol yang disebut dengan uji Statistik Ljung Box-

Pierce seperti pada persamaan (2.34).

Uji kenormalan error digunakan untuk memeriksa apakah suatu proses

error berdistribusi normal atau tidak.

37

Uji kenormalan dapat dilakukan dengan uji Geary’s a dengan hipotesis

(Nachrowi, 2006):

H0 : error berdistribusi normal

H1 : error tidak berdistribusi normal

Taraf signifikansi atau α yang digunakan adalah 5 %

dengan statistik uji Geary’s:

(2.49)

Nilai 0,7979 dan 0,2123 adalah konstanta untuk mencapai kenormalan

dengan

(2.50)

(Sum Absolute Deviation)

(2.51)

(Sum Square Error)

(2.52)

ditolak jika nilai

e. Peramalan

Tujuan yang paling penting pada analisis times series adalah untuk

meramalkan nilai masa depan (Wei, 2006: 88). Menurut Gujarat (2004), cara

peramalan dengan menggunakan model MA dapat dijelaskan sebagai berikut:

38

Misalkan merupakan himpunan time series yang lalu

, maka

kemudian dapat diperoleh dari

Jika semua tahap telah dilakukan dan diperoleh model, maka model ini

selanjutnya dapat digunakan untuk melakukan peramalan untuk data periode

selanjutnya.

39

Berdasarkan langkah-langkah pemodelan ARIMA, Gambar 2.2

menunjukkan diagram alir langkah pemodelan ARIMA (Box, Jerkins &

Reinsel, 1994: 17).

Tahap I

Identifikasi

Tahap II

Penaksiran Parameter

Tahap III

Pemeriksaan Diagnostik

Ya Tidak

Gambar 2.2 Diagram Alir Pemodelan ARIMA

Perumusan kelompok

model-model yang umum

(penentuan orde p,d, dan q)

Penetapan model untuk

sementara

Penaksiran Parameter

pada model sementara

Pemeriksaan diagnostik

(Apakah model cocok?)

Peramalan

Uji Signifikansi

Parameter

40

J. Heteroskedastisitas (Heteroscedasticity)

Faktor error pada suatu model regresi biasanya memiliki masalah atas

pelanggaran asumsi-asumsi pada residual. Suatu keadaan dikatakan

heteroskedastisitas, apabila suatu data memiliki variansi error yang tidak

konstan untuk setiap observasi atau dengan kata lain melanggar asumsi

. Jika error pada suatu model mengandung masalah

heteroskedastisitas, maka akibatnya estimator yang dihasilkan tetap konsisten,

tetapi tidak lagi efisien karena ada estimator lain yang memilki variansi lebih

kecil daripada estimator yang memiliki residual yang bersifat

heteroskedastisitas.

K. Volatilitas (Volatility)

Menurut Dedi Rosadi (2011:114), untuk menggambarkan fluktuasi dari

suatu data dikenal konsep volatilitas. Volatilitas dapat didefinisikan sebagai

variansi bersyarat dari suatu data relatif terhadap waktu. Volatilitas dapat

digambarkan dengan adanya kecenderungan suatu data berfluktuasi secara

cepat dari waktu ke waktu sehingga variansi dari error-nya akan selalu

berubah setiap waktu, maka datanya bersifat heteroskedastisitas. Volatilitas

secara umum tidak dapat diobservasi langsung, namun beberapa karakteristik

khusus dari volatilitas dapat diberikan sebagai berikut:

1. Seringkali ditemukan adanya pengelompokan volatilitas (volatility clustering)

dalam data yakni volatilitas bernilai besar selama periode waktu tertentu dan

bernilai kecil untuk selama periode waktu yang lain atau dapat digambarkan

41

dengan berkumpulnya sejumlah error dengan besar yang relatif sama dalam

beberapa waktu yang berdekatan.

2. Volatilitas seringkali bersifat asimetris, yakni pergerakan volatilitas berbeda

terhadap kenaikan atau penurunan harga suatu asset.

Volatilitas sering dipergunakan untuk melihat naik turunnya harga

saham. Jika volatilitas hariannya sangat tinggi maka harga saham mengalami

kenaikan dan penurunan yang tinggi sehingga keuntungan dapat diperoleh,

maka investor sangat tepat melakukan strategi trading. Tetapi, harga saham

yang volatilitasnya rendah maka pergerakan harga sahamnya sangat rendah.

Pada volatilitas rendah biasanya investor tidak bisa memperoleh keuntungan

tetapi harus memegang saham dalam jangka panjang agar memperoleh capital

again. Oleh karenanya, investor yang suka melakukan strategi trading sangat

menyukai volatilitas yang tinggi tetapi investor jangka panjang sangat

menyukai volatilitas rendah tetapi harga sahamnya mengalami peningkatan.

L. Model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH)

Model yang dapat digunakan untuk mengatasi variansi error yang

tidak konstan dalam data time series finansial adalah model Autoregressive

Conditional Heteroscedasticity (ARCH) yang diperkenalkan pertama kali oleh

Engle pada tahun 1982. Pada model ARCH variansi error sangat

dipengaruhi oleh error di periode sebelumnya (Wei, 2006: 368).

1. Bentuk Umum Model Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH).

42

Ide pokok model ARCH adalah error dari asset return tidak berkorelasi

secara parsial, tetapi dependen dan keterikatan dapat dijelaskan oleh fungsi

kuadratik sederhana (Tsay, 2005: 115). Model ARCH ini, merupakan model

variansi dan model yang digunakan untuk peramalan ialah model mean terbaik

yang diestimasi secara bersama-sama dengan model variansi untuk

memperoleh dugaan parameternya. Model mean yang digunakan dapat berupa

model-model ARIMA (Hamilton, 1994: 656).

Menurut Tsay (2005: 116), lebih spesifikasi lagi, suatu model ARCH orde

diasumsikan bahwa

(2.53)

dengan N , , dan untuk Pada

kenyataannya sering diasumsikan mengikuti distribusi normal baku, maka

model ARCH dapat dicirikan dengan dengan untuk

menotasikan variansi bersyarat dalam persamaan (2.53). Model variansi yang

memenuhi persamaan ARCH ( adalah model variansi yang menghubungkan

antara variansi error pada waktu ke-t dengan kuadrat error pada waktu

sebelumnya.

Model ARCH memiliki beberapa kelemahan, diantaranya (Tsay, 2005:

119)

a. Model mengasumsikan bahwa error positif dan error negatif memiliki

pengaruh sama terhadap volatilitas. Padahal dalam kenyataannya harga

43

sebuah asset finansial memberi respon berbeda terhadap error positif dan

error negatif.

b. Model ARCH hanya menyediakan cara mekanis untuk menjelaskan

perilaku variansi bersyarat.

c. Model ARCH merespon secara lambat perubahan yang besar terhadap

return.

d. Parameter model ARCH terbatas.

2. Pengujian efek ARCH dalam Model

Engle menunjukkan bahwa seringkali data time series selain memiliki

masalah autokorelasi juga memiliki masalah heteroskedastisitas. Uji yang

dapat digunakan untuk mendeteksi keberadaan heteroskedastisitas atau

keberadaan efek ARCH adalah sebagai berikut (Tsay, 2005: 114):

Uji ARCH-Lagrange Multiplier (ARCH-LM)

Pengujian untuk mengetahui masalah heteroskedastisitas dalam time

series yang dikembangkan oleh Engle dikenal dengan uji ARCH-LM. Ide

pokok uji ini adalah bahwa variansi residual bukan hanya fungsi dari variabel

independen tetapi tergantung pada residual kuadrat pada periode sebelumnya

(Enders, 1995: 143).

Misalkan adalah residual dari persamaan rata-rata.

Barisan digunakan untuk memeriksa heterokedastisitas bersyarat atau efek

ARCH. Uji ini sama dengan statistik F pada umumnya untuk menguji

dalam regresi linear

; (2.54)

44

dengan adalah error, bilangan bulat, dan adalah ukuran sampel atau

banyaknya observasi (Tsay, 2005: 114).

Langkah pengujian ARCH-LM adalah sebagai berikut:

Hipotesis:

(tidak terdapat efek ARCH)

(terdapat efek ARCH)

Taraf signifikansi atau

Statistik Uji:

(2.55)

dengan,

, rata-rata sampel dari

, residual kuadrat terkecil

Kriteria keputusan:

ditolak jika atau – value .

M. Model Generalized Aotoregressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH)

Model Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity

GARCH dikembangkan oleh Bollerslev (1986) yang merupakan

pengembangan dari model ARCH. Model ini dibangun untuk menghindari

ordo yang terlalu tinggi pada model ARCH dengan berdasar pada prinsip

45

parsimoni atau memilih model yang lebih sederhana, sehingga akan menjamin

variansinya selalu positif (Enders, 1995: 147).

Menurut (Tsay, 2005: 132) , dikatakan mengikuti

model GARCH jika

(2.56)

dengan,

: variansi dari residual pada waktu t

: komponen konstanta

: parameter dari ARCH

: kuadrat dari residual pada waktu t-i

: parameter dari GARCH

: variansi dari residual pada saat t-j

dengan

. Persamaan variansi yang memenuhi persamaan GARCH

menghubungkan antara variansi residual pada waktu ke-t dengan

variansi residual pada waktu sebelumnya.

Jika persamaan (2.56) ditulis ke dalam operator B (backshift) maka didapat

(2.57)

dengan

dan

46

(2.58)

Untuk menjamin bahwa variansi bersyarat didefinisikan dengan baik

dalam model GARCH (p,q) maka semua koefisien yang berhubungan linear

dengan model ARCH (∞) seharusnya positif.

Model ARCH (∞) didefinisikan sebagai berikut

Model GARCH (p,q) sebagai ARCH (∞) dapat ditulis sebagai berikut

(2.59)

dengan , dan adalah

Model GARCH (1,1)

Model GARCH yang paling sederhana tetapi paling sering digunakan

adalah Model GARCH (1,1). Model GARCH (1,1) secara umum dinyatakan

sebagai berikut (Bollerslev, 1986: 311):

(2.60)

dengan,

, dan

47

: variansi dari error pada waktu t

: komponen konstanta

: parameter pertama dari ARCH

: kuadrat residual pada waktu t-1

: parameter pertama dari GARCH

Dengan substitusi berulang, maka dapat dibuktikan pula bahwa Model

GARCH (1,1) dapat menggantikan Model ARCH (∞) sehingga model yang

dihasilkan lebih sederhana. Substitusinya sebagai berikut:

(2.61)

Jika menjadi

(2.62)

sesuai dengan model ARCH ( ) yaitu

dengan dan

untuk .

Solusi stasioner rangkaian variabel random dari i.i.d (independent

identically distributed) sedemikian rupa sehingga diperoleh

dengan menggunakan proses bermula pada jarak tak terbatas di masa lalu

sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut

48

(2.63)

Dengan mengambil ekspektasi dari , maka diperoleh

(2.64)

Oleh karena itu ekspektasi tidak bersyarat dari adalah terdefinisi

(ada nilainya) dan urutan tidak terbatas dari di atas konvergen ke

dengan syarat .

Untuk menjamin bahwa time series stasioner dalam variansi maka

perlu diberikan batasan pada parameter-parameter dari model GARCH,

sedemikian sehingga harus dipenuhi syarat , , dan

. Pada persamaan (2.53) terlihat bahwa nilai variansi bersyarat

49

yang diukur dengan tergantung pada nilai masa lalu dari error dan juga

nilai masa lalu dari dirinya sendiri.

Setelah mengetahui Model GARCH (1,1) maka akan diperiksa momen

yang lebih tinggi untuk dan . Dimulai dengan mengkuadratkan

(2.65)

Diketahui bahwa dan dengan adalah independen.

Kemudian dengan mengganti dengan dan dengan membuat ekspektasi,

serta telah diketahui bahwa pada distribusi normal standar nilai kurtosis selalu

sama dengan 3 sehingga , maka

(2.66)

Jika proses ini stasioner, maka , maka

(2.67)

50

Oleh karena itu momen kedua dari akan terdefinisi jika

. Jika kondisi tersebut tidak terjadi maka tidak akan ada nilai

positif untuk yang memenuhi persamaan di atas.

Kemudian akan dilihat momen untuk , momen pertama dan ketiga

dari adalah nol.

(2.68)

(2.69)

sedangkan momen kedua dan keempat bisa didapatkan dengan cara

(2.70)

dan

(2.71)

(2.72)

didefinisikan kurtosis sebagai

(2.73)

Sesuai dengan persamaan (2.73) diatas maka kurtosis dari adalah

(2.74)

yang nilainya akan selalu lebih besar dari 3 kecuali jika ,

51

Kurtosis dari distribusi normal standar adalah 3, maka jika kurtosis dari

( ) lebih besar dari 3 berarti distribusinya berupa leptokurtic (meruncing)

ketika .

Estimasi Parameter Model GARCH

Setelah model diidentifikasi, langkah selanjutnya adalah estimasi

parameter. Model regresi umum dengan kesalahan autokorelasi dan model

GARCH untuk variansi bersyarat adalah sebagai berikut (Wei, 2006: 373)

(2.75)

dengan

(2.76)

(2.77)

(2.78)

dan adalah i.i.d. N(0,1) dan tidak tergantung dari keadaan masa lalu dari

. Estimasi parameter dari model GARCH dengan menggunakan

Maksimum Likelihood Estimation. Persamaan (2.75) dapat ditulis kembali

menjadi

(2.79)

atau

(2.80)

dan dan menjadi nilai awal yang

diperlukan untuk menghitung untuk dari persamaan (2.80).

52

Untuk mengestimasi parameter , terlebih dahulu akan dicari

fungsi likelihood bersyarat pada , dengan fungsi densitasnya adalah:

sehingga

(2.81)

Kemudian log-likelihood bersyarat dihitung sebagai berikut:

(2.82)

Selanjutnya ditentukan turunan dari terhadap dengan menggunakan

persamaan (2.4) yaitu sebagai berikut:

Kemudian ditentukan turunan kedua dari terhadap dengan

menggunakan persamaan (2.5), untuk membuktikan bahwa benar-benar

memaksimumkan fungsi likelihood yaitu sebagai berikut:

53

Dimana diberikan (2.78), diberikan pada (2.80),

dan .

N. Mekanisme Penentuan Model GARCH

Analisis data runtun waktu finansial dengan menggunakan model

GARCH langkah – langkahnya adalah sebagai berikut:

1. Tahap pertama adalah melakukan proses identifikasi dengan memeriksa

data hasil pengamatan apakah sudah stasioner atau belum. Hal ini perlu

dilakukan karena untuk membentuk model GARCH diperlukan data yang

stasioner.

2. Langkah selanjutnya yaitu menentukan model mean yang cocok dengan

mengidentifikasi struktur korelasi yang ditangkap oleh model berdasarkan

plot ACF dan PACF.

3. Dilakukan pengujian efek ARCH dengan menggunakan uji Lagrange

Multiplier.

4. Kemudian dilakukan estimasi parameter model GARCH

5. Setelah diperoleh estimasi parameter model GARCH kemudian dilakukan

pemeriksaan diagnostik dengan uji Ljung Box-Pierce.

54

6. Setelah diperoleh model GARCH yang signifikan kemudian dilakukan

pemilihan model yang paling baik dengan membandingkan nilai SC. Model

yang paling baik adalah model yang memiliki nilai SC yang paling kecil.