bab 3 pers linier simultan

29

3.1. Teori Dasar

Persamaan linier simultan terjadi jika jumlah variabel yang akan ditentukan nilainya sama dengan jumlah persamaan yang tersedia. Variabel persamaan mempunyai pangkat satu (linier).

Bentuk umum persamaan linier simultan adalah :

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + L + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 + L + a2n xn = b2

M M M M M .. (3.1) an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 + L + ann xn = bn

Persamaan (3.1) dalam bentuk notasi matriks [A] .{x} = {B} adalah :

.. (3.2)

dimana aij dan bi adalah koefisien yang nilainya telah diketahui dan xi adalah variabel yang akan ditentukan nilainya.

Secara umum terdapat 3 metode penyelesaian persamaan linier simultan : 1. Metode Determinan, misal Metode Cramer. 2. Metode Iterasi, misal Iterasi Gauss-Seidel 3. Metode Eliminasi, misal : Metode Gauss-Jordan, Eliminasi Gauss,

Metode Cholesky.

=

nn b

bb

x

x

x

MM

K

MMMM

K

K

2

1

2

1

mnm3m2m1

2n232221

1n131211

aaaa

aaaa

aaaa

30

Persamaan Linier Simultan

3.2. Metode Cramer

Formulasi umum Metode Cramer dalam penyelesaian persamaan linier simultan adalah :

dan seterusnya sampai :

.. (3.3)

dimana :

Metode Cramer lebih sesuai digunakan untuk perhitungan persamaan linier simultan secara manual. Sebaiknya metode ini dipakai hanya untuk jumlah persamaan yang sedikit (< 3).

Contoh soal.

Selesaikan persamaan linier simultan berikut dengan Metode Cramer :

-x1 + 3x2 2x3 = 2 2x1 4x2 + 2x3 = 1 4x2 + x3 = 3

a11 b1 a13 L a1n a21 b2 a23 L a2n M M M M

an1 bn an3 L ann

|A| x2 =

b1 a12 a13 L a1n b2 a22 a23 L a2n M M M M

bn an2 an3 L ann

|A| x1 =

a11 a12 a13 L b1 a21 a22 a23 L b2 M M M M

an1 an2 an3 L bn

|A| xn =

a11 a12 a13 L a1n

a21 a22 a23 L a2n

M M M M

an1 an2 an3 L ann

|A| =

31


Solusi

Persamaan linier diatas dalam bentuk matriks adalah :

-1 3 -2 x1 2 2 - 4 2

x2 1 0 4 1 x3 3

Dengan menggunakan persamaan (3.3) diperoleh :

1,410

41

1 4 0 2 4- 2 2 3 1-

1 4 3 2 4- 1

2 3 2

1 =

=

=x

1,1

1 4 0 2 4- 2 2 3 1-

1 3 0 2 1 2

2 2 1-

2 =

=x

4,1

1 4 0 2 4- 2 2 3 1-

3 4 0 1 4- 2

2 3 1-

3 =

=x

3.3. Metode Gauss-Seidel

Metode ini merupakan salah satu metode iterasi, dimana nilai-nilai variabel x yang diperoleh pada iterasi ke-k, langsung dipakai pada iterasi ke-( k+1).

=

32


Iterasi dianggap selesai jika nilai x hasil iterasi ke-k mendekati nilai x hasil iterasi ke-( k+1).

Bentuk iteratif Metode Gauss-Seidel adalah sebagai berikut :

( ))(1)(313)(212111

)1(1 ...

1 knn

kkkxaxaxab

ax =

+L

( ))(2)(323)1(121222

)1(2 ...

1 knn

kkkxaxaxab

ax =

++L

M M

( ))1()1)(1()1)(1()1(32)1(11)1( ...1 ++++ = knnnnknknnnn

kn xaxaxab

ax L

.. (3.4)

Nilai awal x2(0), x3(0) dan seterusnya sampai xn(0) diambil sama dengan nol. Metode Iterasi Gauss-Seidel sebaiknya digunakan untuk sistem persamaan linier simultan yang banyak mempunyai koefisien nol.

Contoh soal

Selesaikan persamaan linier simultan berikut dengan Metode Gauss-Seidel : 4x1 x2 = 2 -x1 + 4x2 x3 = 5 -x2 + 4x3 x4 = 6 -x3 + 2x4 = -2

Solusi Iterasi 1. ( ) ( ) 5,0 )0.(12 .12 41)0(241)1(1 =+=+= xx (nilai awal x2(0) = 0) ( ) ( ) 375,1 05,05 5 41)0(3)1(141)1(2 =++=++= xxx (nilai awal x3(0) = 0)

( ) ( ) 844,1 0375,16 6 41)0(4)1(241)1(3 =++=++= xxx (nilai x3(0) = 0) ( ) ( ) 078,0 844,12 2 21)1(321)1(4 =+=+= xx

33


Iterasi 2 ( ) ( ) 844,0 375,12 .12 41)1(241)2(1 =+=+= xx ( ) ( ) 922,1 844,1844,05 5 41)1(3)2(141)2(2 =++=++= xxx ( ) ( ) 961,1 078,0922,16 6 41)1(4)2(241)2(3 =+=++= xxx ( ) ( ) 0195,0 961,12 2 21)2(321)2(4 =+=+= xx

Iterasi 3 ( ) ( ) 981,0 922,12 .12 41)2(241)3(1 =+=+= xx ( ) ( ) 986,1 961,1981,05 5 41)2(3)3(141)3(2 =++=++= xxx ( ) ( ) 992,1 0195,0986,16 6 41)2(4)3(241)3(3 =+=++= xxx ( ) ( ) 004,0 992,12 2 21)3(321)3(4 =+=+= xx

Check hasil iterasi terakhir : Jika tidak diketahui nilai eksak, maka digunakan approximate error :

si toleran %100)1()()1(

=+

+

ki

ki

ki

aix

xx ; dimana i = 1,2,3,,n

... (3.5)

Jika diketahui nilai eksak, maka digunakan true relative error :

si toleran %100)(

)1()(

=+

eksaki

ki

eksaki

tix

xx ; dimana i = 1,2,3,,n

.. (3.6) misal toleransi = 10% :

10% 14% 100% 0,981

0,844)-(0,981 %100)3(

)2(1

)3(1

1 >==

=

ia

x

xx

34


maka iterasi dilanjutkan dengan cara yang sama, sampai terpenuhi kriteria kontrol kesalahan sebagaimana persamaan (3.5 atau 3.6).

3.4. Metode Cholesky ( LU Dekomposisi )

Dalam Analisa Struktur dengan Metode Matriks, seperti Direct Stiffness Method, seringkali dijumpai elemen-elemen matriks aij pada persamaan (3.2) yang simetris, dimana diagonal utamanya bernilai positif. Metode yang cukup efisien untuk menyelesaikan permasalahan ini dengan komputerisasi adalah Metode Cholesky (LU Dekomposisi).

Pertama-tama tinjau persamaan linier simultan yang telah disusun dalam bentuk matriks seperti persamaan (3.2) :

[A] .{x} = {B} .. (3.7)

Matriks [A] merupakan matriks simetris bujursangkar berukuran n x n dengan elemen-elemen aij, sehingga :

[A] = [A]T .. (3.8)

Selanjutnya matriks [A] didekomposisi menjadi 2 matriks, yaitu matriks segitiga bawah [L] (Lower Triangular Matrix) dan matriks segitiga atas [U] (Upper Triangular Matrix).

[A] = [L] . [U] .. (3.9)

Matriks segitiga bawah adalah matriks yang mempunyai elemen-elemen bernilai tidak nol pada daerah dibawah diagonal utama dan bernilai nol pada daerah diatas diagonal utama. Matriks segitiga atas adalah kebalikan dari matriks segitiga bawah.

Substitusi persamaan (3.9) ke persamaan (3.8) dihasilkan :

[L] . [U] = ( [L] . [U] )T .. (3.10) atau : [L] . [U] = [U]T . [L]T .. (3.11)

sehingga :

[L] = [U]T .. (3.12) [U] = [L]T .. (3.13)

35


Substitusi salah satu persamaan (3.12) atau (3.13) ke persamaan (3.9) :

[A] = [U]T . [U] .. (3.14) [A] = [L] . [L]T .. (3.15)

Jadi matriks simetris [A] dapat difaktorisasi menjadi 2 matriks segitiga atas (persamaan 3.14) atau menjadi 2 matriks segitiga bawah (persamaan 3.15). Langkah selanjutnya adalah menentukan nilai elemen-elemen matriks [U] atau [L] berdasarkan fungsi elemen-elemen matriks [A]. Misal akan ditentukan nilai elemen-elemen matriks [U] dari persamaan (3.14).

=

nn

n

n

n

nnnnnnnnnn

n

n

n

u

uu

uuu

uuuu

uuuu

uuu

uu

u

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

L

MMMM

L

L

L

L

MMMM

L

L

L

L

MMMM

L

L

L

000

000

000000

333

22322

1131211

321

332313

2212

11

321

3333231

2232221

1131211

[A] = [U]T [U] .. (3.16)

Dari persamaan (3.16) dapat diketahui bahwa pada baris pertama : a11 = u11

2 u11 = a11

a12 = u11 . u12 u12 = a12 / u11 a13 = u11 . u13 u13 = a13 / u11 M M

a1n = u11 . u1n u1n = a1n / u11

Secara umum, elemen-elemen matriks [U] untuk baris pertama adalah :

ii

ijij

iiii

u

au

au

=

=

.. (3.17)

dimana i = indeks baris matriks dan j = indeks kolom matriks. Selanjutnya dari persamaan (3.16) dapat diketahui bahwa pada baris kedua : a22 = u12

2 + u22

2 2122222 uau =

a23 = u12 . u13 + u22 . u23 ( )131223123 . 22

uuauu

=

M M

a2n = u12 . u1n + u22 . u2n ( )131223123 . 22

uuauu

=

36


dan pada baris ketiga :

a33 = u132 + u23

2 + u33

2 )( 2232133333 uuau +=

a34 = u13 . u14 + u23 . u24 + u33 . u34 ( )) . . ( 242314133413433

uuuuauu

+=

M M

a3n = u13 . u1n + u23 . u2n + u33 . u3n ( )) . . ( 22311331333

nnnunuuuuau +=

Secara umum, elemen-elemen matriks [U] untuk baris kedua, ketiga dan seterusnya adalah :

=

=

1

1

2i

kkiiiii uau

=

=

1

1

1 .

i

kkjkiijuij uuau ii

.. (3.18)

Resume formula elemen-elemen matriks [U] : Untuk i = 1 dan i < j :

ii

ijij

iiii

u

au

au

=

=

.. (3.19)

Untuk i > 1 dan i < j :

=

=

1

1

2i

kkiiiii uau

.. (3.20)

=

=

1

1

1 .

i

kkjkiijuij uuau ii

Untuk i > j :

0=iju .. (3.21)

37


Setelah elemen-elemen matriks [U] diperoleh, langkah selanjutnya adalah menentukan nilai-nilai dari variabel x. Tinjau kembali persamaan linier simultan (persamaan 3.7) :

[A] .{x} = {B} .. (3.22)

Substitusi persamaan (3.14) ke persamaan (3.22) :

[U]T . [U] .{x} = {B} .. (3.23)

Jika dimisalkan :

[U] .{x} = {y} .. (3.24)

maka persamaan (3.23) menjadi :

[U]T . {y} = {B} .. (3.25)

Jadi sebelum menentukan nilai-nilai vektor {x} dengan menggunakan persamaan (3.24), maka harus ditentukan terlebih dahulu nilai-nilai vektor {y} berdasarkan persamaan (3.25).

=

nnnnnnn b

bbb

y

yyy

uuuu

uuu

uu

u

MM

L

MMMM

L

L

L

3

2

1

3

2

1

321

332313

2212

11

000000

[U]T {y} = {B}

dengan subtitusi kebawah diperoleh : u11 . y1 = b1

111

1 uby =

u12 . y1 + u22 . y2 = b2 ) . ( 11221211

yubyu

=

u13 . y1 + u23 . y2 + u33 . y3 = b3 ( )) . . ( 22311331333

yuyubyu

+=

M

u1n . y1 + u2n . y2 + u3n . y3 + L + unn . yn = bn

( )) . . . . ( 1,13322111 ++++= nnnnnnnun yuyuyuyuby nn L

38


Atau secara umum dapat ditulis sebagai :

iii

iu

by = untuk i = 1 .. (3.26)

=

=

1

1

1 .

i

kkkiiui yuby ii

untuk i = 2,3,,n .. (3.27)

Selanjutnya nilai vektor {x} dapat ditentukan dengan persamaan (3.24) :

=

nnnn

n

n

n

y

yyy

x

x

x

x

u

uu

uuu

uuuu

MM

L

MMMM

L

L

L

3

2

1

3

2

1

333

22322

1131211

000

000

[U] {x} = {y}

dengan subtitusi ke atas dhasilkan : unn . xn = yn

nn

n

u

ynx =

un-1, n-1 . xn-1 + un-1, n . xn = yn-1 ) . ( ,11111,1

nnnnunxuyx

nn

=

M

u11 . x1 + u12 . x2 + u13 . x3 + L + u1n . xn = y1 ( )) . . . (

,131321211

111

nnuxuxuxuyx +++= L

Atau secara umum dapat ditulis sebagai :

iii

iu

yx = untuk i = n .. (3.28)

=

+=

n

ikkikiui xuyx ii 1

1 . untuk i = n-1, n-2, ,1 .. (3.29)

39


Contoh Soal

Selesaikan sistem persamaan linier simultan berikut dengan metode Cholesky

=

864

1210610173639

3

2

1

x

x

x

[A] {x} = {B}

Solusi

Tahapan pertama adalah memfaktorisasi matriks [A] menjadi 2 matriks segitiga atas dengan menggunakan persamaan (3.19) sampai (3.21) :

Baris 1 (i =1 dan i < j)

ii

ijij

iiii

u

au

au

=

=

persamaan 3.19

u11 = a11 = 9 = 3 u12 = a12 / u11 = -3 / 3 = -1 u13 = a13 / u11 = 6 / 3 = 2

Baris 2 dan 3 (i = 2 dan i = 3, atau i >1 dan i < j)

=

=

1

1

2i

kkiiiii uau

=

=

1

1

1 .

i

kkjkiijuij uuau ii

persamaan 3.20

4 )1(17 2212221

1

222222 ====

=

uauau

kk

( ) [ ] 2 2)] . )1[(10 . . 4113122311

13223

123

2222===

=

=

uuauuauu

kkku

40


2 ])2(2[12 )( 22223213332

1

233333 =+=+==

=

uuauau

kk

Jadi diperoleh dekomposisi matriks [A] menjadi perkalian 2 matriks [U] sebagai berikut :

=

200240

213

222041003

1210610173639

[A] = [U]T [U]

Selanjutnya ditentukan nilai vektor {y} dengan menggunakan persamaan (3.25) :

=

864

222041003

3

2

1

yyy

[U]T {y} = {B}

dengan substitusi ke bawah diperoleh (persamaan 3.26 dan 3.27) : 3 y1 = 4 3

41 =y

- y1 + 4 y2 = 6 611

34

41

141

2 )6( )) (6( =+== yy 2 y1 - 2 y2 + 2 y3 = 8

( ) ( ) 29311382121213 8 ) 2 2(8 =+== yyy

Nilai vektor {x} diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.24) :

=

29

611

34

3

2

1

200240

213

x

x

x

[U] {x} = {y}

Susbtitusi ke atas manghasilkan (persamaan 3.28 dan 3.29) :

29

32 =x 49

3 =x

41


611

32 24 = xx ( ) ( ) 121929611413611412 2 =+=+= xx 34

321 23 =+ xxx ( ) ( ) 361929121934313234311 - 2 =+=+= xxx

Jadi diperoleh :

=

864

1210610173639

49

1219

3619

3.5. Metode Cholesky yang dimodifikasi

Metode Cholesky seperti yang telah dijelaskan pada subbab diatas mempunyai kelemahan, yaitu dalam menentukan elemen uii, sebagaimana persamaan (3.19) dan (3.20), suku dalam tanda akar harus selalu bernilai positif agar tidak terjadi nilai uii imaginer. Metode Cholesky yang dimodifikasi mengatasi kelemahan ini dengan menguraikan matriks simetris [A] menjadi 3 suku :

[A] = [U]T.[D].[U] .. (3.29)

=

1

010010001

321

2313

12

321

3333231

2232221

1131211

L

MMMM

L

L

L

L

MMMM

L

L

L

nnnnnnnn

n

n

n

uuu

uu

u

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

1000

10010

1

000

000000000

3

223

11312

33

22

11

L

MMMM

L

L

L

L

MMMM

L

L

L

n

n

n

nn

u

uu

uuu

d

dd

d

42


Dari persamaan ini terlihat bahwa untuk baris pertama :

)1(

)1(

jida

u

iad

ii

ijij

iiii

j)

Penentuan suku-suku matriks [U] dan [D] sebagaimana persamaan (3.31) dan (3.33) diatas dilakukan berdasarkan urutan baris. Pada baris ke-i, suku dii dihitung lebih dahulu dan diikuti suku uij. Proses yang sama diulangi untuk baris ke-i+1, -i+2, L, n.

43


Jumlah perkalian dalam Formulasi Metode Cholesky yang dimodifikasi (persamaan 3.31 dan 3.33) diatas 2 kali lebih banyak daripada jumlah perkalian dalam Formulasi Metode Cholesky (persamaan 3.19 dan 3.20). Peningkatan jumlah operasi matematis ini dapat dihindari dengan pembahasan dibawah ini.

Persamaan (3.31) dan (3.33) menunjukkan bahwa suku diagonal dii dihitung terlebih dahulu, dan diikuti oleh perhitungan suku pada baris ke-i dari [U]. Pembentukan suku menurut baris ini dapat dibuat menurut kolom :

=

=

1

1 .

1 i

kkjkikkij

iiij uudad

u (1< i < j) .. (3.34)

=

=

1

1

2 .

j

kkjkkjjjj udad (1< i = j) .. (3.35)

Terlihat perkalian dkk ukj terdapat baik dalam persamaan (3.34) maupun persamaan (3.35). Bila perkalian ini dituliskan sebagai :

kjkkkj udu .* = .. (3.36)

maka perhitungan untuk uij dan djj untuk j = 2, 3, L, n menjadi :

=

=

1

1

**

i

kkjkiijij uuau (1< i < j) .. (3.37)

=

=

1

1

* .

j

kkjkjjjjj uuad (1< i = j) .. (3.38)

dengan :

*1kjdkj uu kk

= .. (3.39)

Selanjutnya tinjau kembali persamaan linier simultan yang akan diselesaikan (pers. 3.2) , yaitu : [A] .{x} = {B}

44


dimana matriks [A] dikomposisi menurut persamaan (3.29) : [U]T .[D].[U] .{x} = {B} .. (3.40)

Definisikan {y}sebagai : [U] .{x} = {y} .. (3.41)

Sehingga persamaan (3.40) menjadi : [U]T .[D].{y} = {B} .. (3.42)

Dan definisikan {z} sebagai : [D].{y} = {z} .. (3.43)

sehingga persamaan (3.42) menjadi : [U]T.{z} = {B} .. (3.44)

atau dalam bentuk yang diekspansi :

=

nnnnn b

bbb

z

z

z

z

uuu

uu

u

MM

L

MMMM

L

L

L

3

2

1

3

2

1

321

2313

12

1

010010001

[U]T. {z} = {B}

dari persamaan (3.45) diperoleh suku pertama {z}: z1 = b1

suku kedua dan ketiga adalah : z2 = b2 u12 . z1 z3 = b3 (u13 . z1 + u23 . z2

atau secara umum :

)1( .

)1( 1

1>=

==

=

izubz

ibzi

kkkiii

ii

.. (3.45)

45


Vektor {y) diperoleh dengan persamaan (3.43) :

=

nnnn z

z

z

z

y

yyy

d

dd

d

MM

L

MMMM

L

L

L

3

2

1

3

2

1

33

22

11

000

000000000

[D] {y} = {z}

dimana diperoleh :

),,3 ,2 ,1( nidz

yii

ii L== .. (3.46)

Selanjutnya vektor {x} ditentukan dengan persamaan (3.41) :

=

nn

n

n

n

y

yyy

x

x

x

x

u

uu

uuu

MM

L

MMMM

L

L

L

3

2

1

3

2

1

3

223

11312

1000

10010

1

[U] {x} = {y}

dimana untuk suku terakhir diperoleh :

)( niyx ii == .. (3.47)

dan untuk suku selanjutnya :

)( .1

nixuyxn

ikkikii

46


Diagram Alir (flowchart) Metoda Cholesky yang dimodifikasi.

mulai

A(1.1) 0 ya

tidak

Sum = A(I , J) I1 = I 1

DO 5 J = 2, N

J1 = J 1

tidak

ya

DO 1 K = 1, I1

Sum = Sum A(K , I) + A(K , J)

1 2

3

4

5

Persamaan (3.37)

Baca : N, matriks [A], {B}

DO 2 I = 2, J1

47


1

A(I , J) = Sum

Sum = A(I , J)

DO 4 K = 1, J1

2 3

Temp = A(K , J) / A(K , K) Sum = Sum Temp A(K , J)

A(K , J) = Temp

4

A(J , J) = Sum

5

DO 20 I = 1, N

Sum = B(I) K1 = I 1

10 20

20

Persamaan (3.39)

Persamaan (3.38)

Sum 0,0 ya

tidak

I = 1 ya

tidak

48


DO 10 K = 1, K1

10

Sum = Sum U(K , I) X(K)

I = N I1 + 1 Sum = X(I) K2 = I + 1

X(I) = X(I) / U(I , I)

X(I) = Sum

DO 30 I = 1, N

DO 50 I1 = 1, N

20

I = N ya

tidak

DO 40 K = K2, N

40

30

Persamaan (3.48)

Persamaan (3.46)

Persamaan (3.45)

50

Sum = Sum U(I , K) X(K)

49


Penjelasan Flowchart

Pada tahap awal dilakukan faktorisasi matriks simetris dengan Metode Cholesky yang dimodifikasi. Bilangan integer N menunjukkan ukuran matriks yang akan difaktorisasi. Matriks A merupakan matriks simetris bilangan riil. Variabel riil Sum dan Temp digunakan untuk penyimpan hasil perhitungan sementara. Notasi B menyatakan vektor suku konstan dibagian kanan tanda sama dengan dari persamaan linier simultan dan X menyatakan bilangan yang akan dicari (lihat persamaan 3.7).

Jika matriks A tidak positif tertentu, maka program akan kembali membaca data yang baru. Matriks segitiga atas U diturunkan menurut kolom dalam penyimpanan yang semula ditempati oleh bagian segitiga atas dari matriks A. Jadi notasi A tetap digunakan diseluruh bagian dari flowchart.

Elemen diagonal Dii juga disimpan pada posisi diagonal Aii dari matriks A. Jika harga Dii sama dengan nol atau negatif, maka program akan kembali membaca data yang baru. Elemen A dibawah diagonal utama dibiarkan tidak terganggu dalam program ini.

Selanjutnya vektor antara Z dihitung dengan substitusi ke muka berdasarkan persamaan (3.45). Pada bagian ini vektor X digunakan sebagai penyimpan sementara untuk Z.

Vektor Y dihitung dengan membagi setiap harga Zi dengan suku diagonal Dii yang selaras (persamaan 3.46). Pada bagian ini vektor X digunakan sebagai penyimpan sementara untuk Y, dan suku Dii berada pada posisi diagonal Uii .

Pada bagian akhir program adalah menentukan elemen vektor X dengan substitusi ke belakang (Persamaan 3.47 dan 3.48).

X(I) = Sum

30 40

Tulis : X(I)

selesai

50

50


Contoh Soal

Contoh soal pada Metode Cholesky yang telah dibahas sebelumnya, akan diselesaikan dengan Metode Cholesky yang dimodifikasi :

=

864

1210610173639

3

2

1

x

x

x

[A] {x} = {B}

Solusi

Tahapan pertama adalah memfaktorisasi matriks [A] menjadi 3 matriks [U]T[D][U]. Suku-suku matriks [U] dan [D] dapat dihitung dengan urutan baris (persamaan 3.30 sampai 3.33) atau dengan urutan kolom (persamaan (3.37) dan (3.38) :

Misal dihitung dengan urutan baris (persamaan 3.30 sampai 3.33). Suku dii dihitung lebih dahulu dan diikuti suku baris ke-i dari [U].

Baris 1 (i =1 dan i < j)

d11 = a11 = 9

11da

uij

ij = persamaan 3.30

31

1112

12 93

=

==

da

u

32

1113

13 96

===

da

u

Baris ke-2 dan 3 (i = 2 dan i = 3, atau i >1 dan i < j)

=

=

1

1

2 .

i

kkikkiiii udad persamaan 3.31

( ) 16.917 . . 231212112211

222222 =

===

=

udaudadk

kkk

51


=

=

1

1 .

1 i

kkjkikkij

iiij uudad

u persamaan 3.33

( )1312112322

1

13223

2223 .

1 .

1uuda

duuda

du

kkkkk =

=

=

( )( )( ) 213231161 .910 ==

( )22322213113321

233333 . . . ududaudad

kkkk +==

=

( ) ( ) 4 .16 .912 221232 = +=

Jadi diperoleh :

=

10010

1

4000160009

101001

1210610173639

213

23

1

21

32

31

[A] = [U]T [D] [U]

Selanjutnya ditentukan nilai vektor {z} dengan menggunakan persamaan (3.45) :

=

864

101001

3

2

1

21

32

31

z

z

z

[U]T {z} = {B}

dengan substitusi ke bawah diperoleh : z1 = 4 ( ) 322312 4.6 =+=z ( ) ( )( ) 9 .4.8 32221323 =+=z

52


Vektor {y) diperoleh dengan persamaan (3.46) :

=

9

4

4000160009

322

3

2

1

yyy

[D] {y} = {z}

diperoleh :

493

24112

941

=

=

=

y

y

y

Nilai vektor {x} diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.47) dan (3.48)

=

49

2411

94

3

2

1

213

23

1

10010

1

x

x

x

[U] {x} = {y}

Susbtitusi ke atas manghasilkan :

49

3 =x

( ) ( ) 1219492124112 . =+=x ( ) ( ) ( ) ( ) 36194932121931941 - . . =+=x

Jadi diperoleh :

=

864

1210610173639

49

1219

3619

3.6. Contoh Aplikasi (Nasution 1990)

Suatu pekerjaan proyek pembangunan memerlukan pasir 4800 m3, kerikil halus 5810 m3 dan kerikil kasar 5690 m3. Untuk keperluan proyek tersebut,

53


terdapat 3 sumber galian material dengan komposisi kandungan mineral sebagai berikut :

Pasir (%) Ker. Halus (%)

Ker. Kasar (%)

Sumber I 52 30 18 Sumber II 20 50 30 Sumber III 25 20 55

Berapa m3 yang harus digali dari ke-3 sumber tersebut untuk memenuhi kebutuhan proyek.

Solusi

Misalkan banyaknya material yang harus digali dari sumber 1, 2 dan 3 berturut-turut adalah x1, x2 dan x3. Selanjutnya dapat disusun persamaan linier simultan untuk menyelesaikan kasus ini, yaitu :

0,52 x1 + 0,20 x2 + 0,25 x3 = 4800 0,30 x1 + 0,50 x2 + 0,20 x3 = 5810 0,18 x1 + 0,30 x2 + 0,55 x3 = 5690

Jika disusun dalam bentuk matriks :

0,52 0,20 0,25 x1 4800 0,30 0,50 0,20

x2 5810 0,18 0,30 0,55 x3 5690

Permasalahan diatas diselesaikan dengan Metode Cramer.

0,52 0,20 0,25 A = 0,30 0,50 0,20

0,18 0,30 0,55

4800 0,20 0,25

5810 0,50 0,20

5690 0,30 0,55

=

= 4012 x1 = A

54


0,52 4800 0,25

0,30 5810 0,20

0,18 5690 0,55

0,52 0,20 4800 0,30 0,50 5810

0,18 0,30 5690

Jadi material yang harus digali dari : Sumber 1 = 4012 m3 Sumber 2 = 7163 m3 Sumber 3 = 5126 m3

3.6. Latihan

1. Persamaan kesetimbangan pada tiap titik kumpul rangka batang berikut akan memberikan :

H = S1 cos 30 + S3 cos 60 = 0 V = S1 sin 30 S3 sin 60 1000 = 0 H = S1 cos 30 + S2 + HA = 0 V = S1 sin 30 + VA = 0 H = S2 S3 cos 60 = 0

V = S3 sin 60 + VB = 0

Hitung gaya-gaya batang S1, S2, S3 dan reaksi perletakan HA, VA, VB.

2. Dari kasus struktur statis tak tentu seperti tergambar akan dihasilkan persamaan kesetimbangan sebagai berikut :

x2 =

A = 7163

x3 =

A = 5126

VB VA

1000 kg

300

900 S1 S3

S2 HA

A B C

L = 3 m L = 3 m

EI EI

P =20 kN

E = 2 .108 kN/m2 I = 0,2 m2

55


{P} = [K] . {d}

=

B

A

A

L

EIP

22

223

L 8 L 2 L 6

L 2 L 4 6L

L 6 L 6 12

0 0

Hitung lendutan di A (A) dan putaran sudut di A dan B (A ,B).

3. Jika suatu matriks simetris 3x3 [A] dikomposisi menjadi 2 matriks, yaitu matriks segitiga bawah dan transposenya :

[A] = [L] [L]T Tentukan formula untuk masing-masing elemen matriks [L]

4. Berdasarkan formula no. 3 diatas, selesaikan persamaan linier simultan berikut :

=

373120

7 6 46 5 34 3 2

3

2

1

x

x

x

5. Untuk mendapatkan beberapa jenis kuat tekan beton, dapat dilakukan dengan menggunakan campuran semen : pasir : kerikil sebagai berikut : Mutu A : 1 : 2 : 3 Mutu B : 1 : 2 : 4 Mutu C : 1 : 3 : 5 Jika semen yang tersedia sebanyak 55 m3, pasir 135 m3 dan kerikil 235 m

3, berapakah volume beton mutu A, B dan C yang dapat dibuat.

Selesaikan dengan metode Gauss-Seidel, gunakan iterasi cukup sampai 3 kali dan hitung Approximate error pada iterasi yang terakhir.

bab 3 pers linier simultan

Documents