bab 2 trnsf-geomtr -pdf

7/23/2019 BAB 2 Trnsf-Geomtr -PDF

http://slidepdf.com/reader/full/bab-2-trnsf-geomtr-pdf 1/40

1

Geometri Transformasi Dan Analitik Ruang

LKPP

UNIVERSITAS HASANUDDIN

GEOMETRI

Transformasi & Analitik Ruang

M M’

D

Refleksi

2011

M Saleh AF



2


BAB II

TRANSFORMASI GEOMETRI DI

A. Pendahuluan

Salam hangat dan sejahtera bagi para pembelajar Kreatif!

Bab ini merupakan bagian pertama bagi anda. Semoga anda

terinspirasi dan menyenangi mata kuliah Geometri Transformasi dan

Analitik Ruang ini, dan anda dapat memahami konsep-konsep dasar

dan muatan dalam bab ini tanpa mengalami kesulitan yang berarti.

Konsep geometri “sama” dan “sebangun” sudah dikenal dibangku

SLTP/SLTA. Hal ini secara tidak langsung telah memperkenalkan

transformasi yang menyebabkan objek-objek geometri menjadi sama

dan sebangun. Misalnya sebuah segitiga dikatakan sama dan sebangun

dengan segitiga lain jika dapat dilakukan penggeseran dan memutar

satu segitiga menjadi tepat berimpit dengan segitiga yang lainnya .

Jadi secara alamiah muncul pertanyaan tentang sifat-sifat dari

transformasi yang didasarkan pada pergeseran dan rotasi.

Dalam bab ini anda akan mempelajari konsep tentang Transformasi

pada bidang digunakan untuk memindahkan suatu titik atau bangun

pada suatu bidang. Transformasi geometri adalah bagian dari geometri

yang membahas tentang perubahan (letak bentuk dan penyajian) yang

didasarkan pada gambar atau notasi matriks. Selanjutnya akan

diperkenalkan tentang pencerminan, translasi, rotasi, penskalaan,

geseran, dilatasi dan komposisi transformasi. Pada bagian akhir bab ini

diberikan soal-soal dan pembahasan masalah disekitar anda.



3


B. Sasaran Umum

Setelah mempelajari bab ini, para pembelajar kfreatif diharapkan akan

dapat memahami pengertian transformasi geometri, pencerminan

(refleksi), translasi, rotasi, dan dilatasi terhadap suatu titik atau objek

pada bidang rata, serta komposisi transformasi dengan operasi matriks

C. Sasaran Khusus

Setelah mempelajari bab ini, para pembelajar kreatif diharapkan akan

dapat :

a. menentukan bayangan sebuah titik atau objek terhadap suatu

cermin garis yang di ketahui

b. menentukan bayangan suatu objek terhadap sumbu-sumbu

koordinat , titik asal atau garis-garis tertentu yang diketahui.

c. melakukan translasi sumbu koordinat terhadap suatu objek

yang diketahui

d. melakukan suatu rotasi objek terhadap titik asal atau terhadap

sembarang titik yang diketahui

e. menentukan refleksi (pencerminan) , translasi dan rotasi sutu

objek dengan menggunakan matriks berukuran 2x2

f. membuat geseran dan penskalaan serta dilatasi pada suatu

objek terhadap sumbu-sumbu koordinat

g. menentukan komposisi transformasi linier menggunakan

matriks

h. terlatih memecahkan soal-soal transformasi berdasarkan konsep

atau dalil-dalil yang baku dan benar.



4


Selamat Datang Pada Trayek Seorang Pemuda

Seorang pemuda berangkat dari rumahnya berjalan kaki selama 3 jamuntuk tiba di rumah tunangannya. Dirumah tersebut ia beristirahat

selama 1 jam, kemudian pemuda tersebut pulang ke rumahnya dengan

kendaraan motor tunangannya, Gamabr 2.0. Dapatkah anda membantu

menemukan trayek perjalanan si Pemuda tersebut diantara gambar

berikut yang menunjukkan perjalanan si pemuda sejak meninggalkan

rumah hingga kembali kerumahnya. [deuxieme]

Sumbu X : waktu dalam jam (t ) ; Sumbu Y : Jarak dalam km.Gambar 2.0

1 2 3

10

km

2 4 53 10

km

2 4 53 10

km

2 4 53

6

10

km

2 4 53

5

10

km

2 4 53

4

10

km

2 4 53



5


Kegiatan Belajar 1

2.1. TRANSFORMASI GEOMETRI

2.1.1 Refleksi (Pencerminan)

Refleksi adalah suatu transformasi yang memindahkan titik-titik

pada bidang dengan menggunakan sifat suatu cermin datar.

Gambar 2.2a memperlihatkan bahwa titik ′ adalah bayangan

dari titik akibat refleksi terhadap sumbu D, dinotasikan

= ( ).

• = ′ , jika ∈

• D adalah mediatris (garis tengah) segmen [MM’] jika

∉

• Jika = ( ), maka = ( )

• Sebuah titik M adalah invariant akibat jika dan

hanya jika M sebuah titik pada D

M M’

D

Gambar 2.2a : refleksi



6


Refleksi dalam bentuk matriks di

Misalkan : → adalah transformasi linier pada bidang

datar. Suatu titik atau bangun dapat di refleksikan dengan

delapan cara sebagai berikut

(a) Refleksi terhadap sumbu x

Perhatikan bahwa koordinat titik ( , ) akan mempunyai

bayangan ( , − ) bila dicerminkan terhadap sumbu x, Gambar

2.2b.

Jika adalah sebuah operator yang mencerminkan titik ( , )

terhadap sumbu x, maka adalah transformasi linier, sehingga

dapat di lambangkan oleh matriks berukuran 2 × 2, yaitu :

= 1 0

0 −1(2.1)

Dalam hal ini disebut matrik stnadar untuk T.

Hal ini diperoleh dari (e ) = 1

0 =

10

dan (e ) = 0

1 =

0−1

dimana (e ) merupakan kolom pertama matrik A, dan (e )

merupakan kolom kedua dari matriks A, dimana = 0

1dan

= 0

1

adalah basis standar untuk .

Gambar 2.2b : Refleksi terhadap sumbu x

x

y ( , )

( , − )

x

y

F

F′0



7


Dengan demikian bayangan dari titik ( , ) akibat refleksi

terhadap sumbu x, diperoleh dari rumus

′′

= 1 0

0 −1(2.2a)

atau disingkat

= (2.2b)

(b) Refleksi terhadap sumbu y

Dengan cara serupa, koordinat titik ( , ) akan mempunyai

bayangan (− , ) bila dicerminkan terhadap sumbu y, Gambar

2.3.

Jika adalah sebuah operator yang mencerminkan vector titik

( , ) terhadap sumbu y, maka matriks standar untuk adalah

= −1 0

0 1(2.3)

Karena (e ) = 1

0 =

−10

dan (e ) = 0

1 =

01

Gambar 2.3

Refleksi terhadap sumbu y

x

y

( , )(− , )

x

y

F F′



8


Jadi bayangan dari titik ( , ) akibat pencerminan terhadap

sumbu y, dinyatakan dengan rumus

′′

= −1 0

0 1(2.4a)

atau disingkat

= (2.4b)

(c) Refleksi terhadap titik asal

Jika sebuah titik ( , ) di refleksikan terhadap titik asal O,

Gambar (2.4) maka matriks standar untuk diberikan oleh

= −1 0

0 −1(2.5a)

Sehingga

′

′

= −1 0

0 −1

(2.5b)

(d) Refleksi terhadap garis =

Koordinat titik ( , ) akan mempunyai bayangan ( , ) bila

dicerminkan terhadap garis = , Gambar 2.4.

Karena (e ) = 1

0 =

01

dan (e ) = 0

1 =

10

O

( , )

( − , − ) Gambar 2.4 Refleksi

terhadap titik asal

O



9


maka matriks stnadar untuk adalah :

= 0 1

1 0 (2.6a)

Sehingga

′′

= 0 1

1 0(2.6b)

(e) Refleksi terhadap garis = − , maka matriks standar untuk

adalah

= 0 −1−1 0

(2.7a)

Sehingga

′′

= 0 −1−1 0

(2.7b)

(f) Refleksi terhadap garis = ℎ (garis yang sejajar sumbu y)

Pencerminan titik ( , ) terhadap garis = ℎ menghasilkan

bayangan ( , ′), dimana = 2ℎ − dan = , Gambar

2.5

Gambar 2.4

Refleksi terhadap garis y=x

x

y

F

F′

=

x

y

( , )

( , ) =



10


Jika di notasikan dalam matriks transformasi, rumusnya adalah

′′ = −1 00 1

+ 2ℎ0

(2.8)

(g) Refleksi terhadap garis = (sejajar sumbu x)

Pencerminan titik ( , ) terhadap garis = menghasilkan

bayangan ( , ′), dimana = dan = 2 − , Gambar

2.6

Jika di notasikan dalam matriks transformasi, rumusnya adalah

′′

= 1 0

0 −1 +

02

(2.9)

(h) Refleksi terhadap titik ( , )

Bayangan dari titik ( , ) bila direfleksikan terhadap titik

( , ) adalah ( , ′) dengan = 2 − dan = 2 − ,

Gambar 2.7, sehingga

Gambar 2.5 : Refleksi terhadap

garis = ℎ

( , )

( ′, ′)

(2ℎ − , )

2ℎ −

x = h

x

y

Gambar 2.6 : Refleksi terhadap

garis =

( , )

( ′, ′)

( , 2 − )2 −

y = k

x

y



11


′′

= −1 0

0 −1 +

22

(2.10)

2.1.2 Translasi di

Translasi adalah perpindahan titik-titik pada bidang dengan

jarak dan arah tertentu yang diwakili oleh ruas garis berarah

(vector) atau dengan suatu pasangan bilangan(ℎ, ), Gambar

2.5.

Trnaslasi = ℎ

memetakan titik M(x, y) ke titik M′( , ′),

dimana = + ℎ dan = + , dinotasikan sebagai

= ℎ

: M(x, y) → M′(x + h, y + k) (2.11a)

M′

M

Gambar 2.8

( , )

( ′, ′) = (2 − , 2 − )2 −

2 a − xx

y

( , )

Gambar 2.7 : Refleksi terhadapa titik ( , )



12


Dalam bntuk matriks, bayangan diperoleh dengan rumus

′

′ = +

ℎ

(2.11b)

disingkat

= + (2.11c)

Langkah-langkah translasi

• Letakkan suatu titik atau bangun F pada suatu bidang (2D)

• Translasikan objek F dengan menambahkan jarak horisontal

= ℎ dan jarak pertikal = dari posisi semula,

sehingga titik atau bangun F bergeser tanpa mengalami

perubahan dimensi,Gambar 2.9.

2.1.3 Perputaran (rotasi)

Transformasi yang memindahkan titik-titik dengan memutar

titik-titik tersebut sebesar sudut terhadap suatu titik pusat

rotasi I, disebut rotasi. Sebuah titik mempunyai bayangan di

titik ′ melalui rotasi pada pusat I dengan sudut di notasikan

sebagai = ( , )( ) , disingkat = ( ), Gambar 2.10

Gambar 2.9a :

sebelum translasi

Gambar 2.9b :

setelah translasi

x

y

O′

F′

O

x′

y′

x

y

0

F



13


dengan sifat bahwa

•M = M’ jika M = I

• IM = IM’ dan

sudut ; ′ = , jika M ≠

(a). Rotasi terhadap titik pusat (0,0)

Misalkan adalah transformasi linier yang memetakan ke

dalam yang merotasi setiap vector sebesar sudut yang

berlawanan arah jarum jam, terhadap titik asal (0,0). Pada

Gambar 2.11, tampak bahwa dipetakan ke

cossin dan peta dari

adalah −sin

cos. Matriks A yang melambangkan transformasi

ini akan memiliki entri-entri kolom pertama cos

sindan kolom

keduanya adalah −sin

cos, sehingga matrik transformasinya

adalah

= cos − sinsin cos

(2.12)

Secara geometrik ,jika = sembarang vector di , maka

untuk memutar berlawanan arah jarum jam sebesar sudut ,

maka tinggal mengalikan matriks dengan vector , Gambar 2.12.

M’

M

IGambar 2.10 : Rotasi



14


Penurunan rumus (2.12) diperoleh sebagai berikut ,Pada koordinat

polar , titik ( , ) dinyatakan sebagai

= cos ∅ dan = sin ∅, dan bayangannya, dinyatakan

sebagai ( , ′) , Gambar 2.11, dimana

= cos(∅ + ) = ( cos ∅ )cos − ( sin ∅) sin

= sin(∅ + ) = ( cos ∅) sin + ( sin ∅ )cos ,

Setelah cos∅ dan sin∅, disubtitusi diperoleh

′ = cos − sin dan ′ = sin + cos

atau dalam bentuk matriks di tuliskan :

′′

= cos − sin

sin cosdisingkat = A (2.13)

Gambar 2.11

r

( , ′)y

x∅

r

( , )

Gambar 2.12

r

( , ′

)y

x

∅

r

( , )

( , )

O

(1,0)

(0,1)

(cos , sin )

(−sin , cos )

Gambar 2.11 Gambar 2.12



15


(b). Rotasi terhadap titik ( , )

Jika suatu titik ( , ) di putar sebesar sudut yang berlawanan

arah jarum jam dengan pusat titik ( , ), dan bayangannya adalah

( , ′), Gambar 2.12, dengan

− = ( − ) cos − ( − ) sin

− = ( − ) sin + ( − ) cos

atau dalam bentuk matriks, di tuliskan sebagai

′′

= cos − sin

sin cos

−− + (2.14)

2.1.4 Perkalian atau Dilatasi (Dilatation)

Suatu transformasi yang berbentuk

( ) = (2.15)

disebut dilatasi (perkalian) dengan faktor bilangan positif dengan

pusat dilatasi di O(0,0). Jika > 1 menghasilkan gambar yang

diperbesar (ekspansi), Gambar 2.13.a dan jika 0 < < 1,

menghasilkan gambar yang diperkecil (reduksi), Gambar 2.13b.

Transformasi dilambangkan oleh matriks = dengan

matriks identitas berukuran 2 × 2.

Gambar 2.13a : ekspansi, k=1.5

′

′

O

Gambar

semula



16


Gambar 2.13a adalah sebuah ekspansi yang memperbesar

gambar dengan faktor sebesar = 1.5, yang berarti =

1.5 dan = 1.5 . Sedangkan Gambar 2.13b adalah

suatu reduksi yang memperkecil gambar dengan faktor sebesar

= , yang berarti " = dan " = .

Karena transformasi dilambangkan oleh matriks =

dengan matriks identitas berukuran 2 × 2, maka rumus

trnasformasi (2.15) dengan pusat (0,0) dapat dinyatakan

dalam bentuk :

′′

= 0

0(2.16)

disingkat

′ = atau ( ) = (2.17)

dengan = 0

0

Dilatasi dengan pusat ( , ) dinyatakan dengan rumus

′′

= 0

0

−− + (2.18)

Penskalaan dan Geseran (Scaling and Shear)

Jika koordinat x dari setiap titik pada bidang dikalikan dengan

sebuah konstanta positif , maka efeknya adalah memperbesar

Gambar 2.13b : reduksi, k=2/3

"

"

O



17


atau memperkecil gambar bidang datar dalam arah x. Jika

0 < < 1 , maka hasilnya adalah sebuah penskalaan yang

memperkecil (reduksi) gambar dalam arah x, dan jika > 1,

maka hasilnya akan memperbesar (ekspansi) gambar dalam arah x,

dengan matriks standar

00 1

. (2.19a)

Dengan cara serupa matriks standar untuk penskalaan ke arah y

adalah

1 00 (2.19b)

Geseran

Jika sebuah transformasi menggerakkan setiap titik ( , ) sejajar

sumbu x sebesar . ke posisi yang baru ( , ) = ( + . , ),

transformasi seperti ini disebut geseran (shear ) ke arah x, dengan

matriks standar

= 1

0 1, ∈ (2.20a)

Demikian juga bila setiap titik ( , ) sejajar sumbu y sebesar ke

posisi yang baru ( , ) = ( , + . ), transformasi seperti ini

disebut geseran ke arah y dengan matriks standar

= 1 0

1 , ∈ (2.20b)



18


Tabel 2.1: Tabel Pemetaan dan Matriks Transformasi

No Jenis Transformasi Pemetaan / Bayangan Matriks transformasi

1 Refleksi terhadapsumbu x

( , ) → ( , − ) 1 00 −1

2 Refleksi terhadap

sumbu y( , ) → (− , )

−1 00 1

3 Refleksi terhadap

titik asal (0,0) ( , ) → (− , − )

−1 00 −1

4 Refleksi terhadap

garis = ( , ) → ( , )

0 11 0

5 Refleksi terhadap

garis = − ( , ) → (− , − )

0 −1−1 0

6 Refleksi terhadap

garis = ℎ

( , ) → (2ℎ − , ) −1 0

0 1 +

2ℎ0

7 Refleksi terhadap

garis = ( , ) → ( , 2 − )

1 00 −1

+ 02

8 Refleksi terhadap

titik ( , ) ( , ) → (2 − , 2 − )

−1 00 −1

+ 2ℎ2

9 Rotasi terhadap titik

(0,0) sebesar sudut

berlawanan arah

jam

( , ) → ( cos − sin ,

sin + cos )

cos − sinsin cos

10 Rotasi terhadap titik

( , ) sebesar sudut

berlawanan arah

jam

− = ( − ) cos

−( − ) sin

− = ( − ) sin+( − ) cos

cos − sinsin cos

−−

+

11 Dilatasi terhadap

titik pusat (0,0),

dengan faktor skala

> 0

( , ) → ( , ) 0

0

12 Translasi ℎ ( , ) → ( + ℎ, + ) +

ℎ

13 Scaling ke arah x

dengan faktor

> 0

( , ) → ( , )0

0 1

14 Scaling ke arah y

dengan faktor

> 0( , ) → ( , )

1 0

0

15 Geseran ke arah x

dengan faktor ∈ ( , ) → ( + , )

10 1

16 Geseran ke arah y

dengan faktor ∈ ( , ) → ( , + )

1 01

17 Bentuk umum

transformasi

Geometri

( , ) → ( , ′)= += +

Sumber : Modul Geometri transformasi H12SA



19


Matriks-matriks transformasi tersebut diasumsikan dapat dibalik

(mempunyai invers)

2.2 KOMPOSISI TRANSFORMASI DI

Gabungan dari beberapa transformasi disebut komposisi

transformasi. Transforma dilanjutkan transformasi

terhadap titik ( , ), dapat digambarkan dalam bentuk bagan

urutan transformasi sebagai berikut:

( , ) ′( ′, ′) ′′( ′′, ′′)

yang dapat dituliskan dalam bentuk komposisi transformasi

berikut

= ∘ ∶ ( , ) ∘

′′( ′′, ′′)

dibaca “transforma dilanjutkan dengan transformasi

terhadap titik ( , )”.

2.2.1 Komposisi untuk Transformasi yang berbentuk perkalian

matriks (Multiplikatif)

Jika = adalah matriks yang bersesuaian dengan

trnasformasi dan =ℎ

adalah matriks yang

bersesuaian dengan trnasformasi , dengan dan matriks-

matriks yang dapat dibalik. Maka komposisi transformasi

menghasilkan perkalian matriks berikut :

(a) ∘ = =ℎ

(2.21)

(b) ∘ = =ℎ

(2.22)



20


dimana ∘ ≠ ∘

Rumus ini dapat diperluas untuk berhingga banyaknya

transformasi, dengan memperhatikan urutan trnasformasinya.

2.2.2 Komposisi untuk transformasi yang berbentuk

penjumlahan matriks (Additive)

Jika translasi = ℎ

dan = maka komposisi translasi

dilanjutkan dapat diwakili oleh translasi tunggal yang

ditentukan oleh

∘ = ℎ

+ = ℎ +

+(2.23)

Perhatikan diagram translasi berurutan yang mentranslasikan

titik ( , )

′′

′′′′

maka bayangan komposisi translasi adalah

′′′′

= + ℎ +

+(2.24)

Sifat-sifat komposisi translasi

(a) Jika dan dua translasi berurutan, maka

∘ = ∘ (komutatif )

(b) Jika tiga translasi berurutan , dan , maka

( ∘ ) ∘ = ∘ ( ∘ ) (asosiatif )



21


2.2.3 Transformasi Oleh Perkalian Matriks yang Dapat Dibalik

Teorema 2.1

Jika : → adalah perkalian oleh sebuah matriks

berukuran 2 × 2 yang dapat dibalik (mempunyai invers), maka

efek dari T adalah sama seperti urutan yang sesuai dari

gesesran, dilasi (kontraksi, ekspansi) dan refleksi.

Bukti

Karena matriks dapat dibalik, maka dapat direduksikepada identitas dengan urutan berhingga dari operasi baris

elementer. Sebuah baris elementer dapat dilakkan dengan

mengalikan sebuah matriks elementer dari kiri, sehingga ada

matriks-matriks elementer , , ⋯ , sedemikian sehingga.

⋯ , = (2.25)

Dengan mengalikan dari kiri ⋯ pada (2.25),

diperoleh

⋯ ⋯ , = ⋯

atau = ⋯ ∎ (2.26)

Teorema 2.2

Jika : → adalah perkalian oleh sebuah matriks

berukuran 2 × 2 yang dapat dibalik , maka

(a) Bayangan sebuah garis lurus adalah sebuah garis lurus

(b) Bayangan sebuah garis lurus melalui titik asal adalah sebuah

garis lurus melalui titik asal

(c) Bayangan garis-garis lurus yang sejajar adalah garis-garis

lurus yang sejajar



22


(d) Bayangan sebuah segmen garis yang menghubungkan titik

adalah segmen garis yang menghubungkan

bayangan P dan bayangan Q.

(e) Bayangan dari tiga titik akan terletak pada sebuah garis jika

dan hanya jika titik-titik tersebut terletak pada sebuah garis

(koliner)

Dengan kedua teorema ini, dapat dijelaskan efek geometrik dari suatu

transformasi oleh perkalian matrik yang dapat dibalik.

Luas daerah bangun hasil transformasi

Jika mtariks transformasi adalah = yang

mentransformasikan bangun menjadi ′ maka luas bangun

= |(| |)| × (2.27)

dimana |(| |)| nilai mutlak determinan A dan

| | = = −



23


2.3 APLIKASI GEOMETRI TRANSFORMASI

Pada bagian ini akan dibahas beberapa soal-soal untuk memperjelas

konsep teori yang telah diuraikan sebelumnya.

2.3.1. Refleksi

1. Tentukan bayangan dari ruas garis yang berpangkal di titik

(1,1) dan berujung di titik (2,3) melalui refleksi terhadap

(a) sumbu x , (b) sumbu y , (c) titik asal , (d) = , (e)= − , (f) = 3

Penyelesaian

(a). Refleksi garis AB terhadap sumbu x. Dengan rumus (2.1),

maka

Bayangan titik (1,1) adalah

= ′

′ =

1 00 −1

11

= 1−1


= ′

′ =

1 00 −1

23

= 2−3

(b).Refleksi garis AB terhadap sumbu y. Dengan rumus (2.2a),

maka


= ′

′ =

−1 00 1

11

= −1

1


= ′

′ =

−1 00 1

23

= −2

3



24


(c). Refleksi garis AB terhadap titik asal (0,0). Dengan rumus

(2.5b), maka


= ′

′ =

−1 00 −1

11

= −1

−1


= ′

′ =

−1 00 −1

23

= −2

−3

(d). Refleksi garis AB terhadap garis = . Dengan rumus (2.6b),

maka

Bayangan titik (1,1) adalah = ′

′ =

0 11 0

11

= 1

1

Bayangan titik (2,3) adalah = ′

′ =

0 11 0

23

= 3

2

(e). Refleksi garis AB terhadap garis = − . Dengan rumus

(2.7b), maka


= ′

′ =

0 −1−1 0

11

= −1

−1


= ′

′ =

0 −1−1 0

23

= −3

−2

(e). Refleksi garis AB terhadap garis = 3 (sejajar sumbu x).

Dengan rumus (2.9), maka bayangan titik (1,1) adalah

= ′

′ =

1 00 −1

11

+ 02(3)

= 1

5


= ′

′ =

1 00 −1

23

+ 02(3)

= 2

3



25


Hasil dari semua refleksi ini di tunjukkan dalam Gambar 2.14.

Refleksi terhadap sumbu x

Refleksi terhadap sumbu y

Refleksi terhadap titik asal (0,0)

Refleksi terhadap garis =

Refleksi terhadap garis = −

Refleksi terhadap garis = 3

2.3.2 Translasi

2. Sebuah segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudut

(1,0), (3,1) dan (3,−1), di translasikan pada vector

= 4

3. Tentukan dan gambar hasil translasi tersebut.

Penyelesaian

Dengan rumus (3.11b), maka bayangan hasil transformasitiap-

tiap titik sudut segitiga ABC adalah

O

=

= −= 3

B(2,3)

A(1,1)

1

2

3

4

5

6

(1,5)

(2,−3)(−2,−3)

(3,2)

(−2,2)

(−1,1)

(−1,−1)

(−3, −2)

(1,−1)

Gambar 2.14 : Refleksi

1

2

3

4

5

6



26


′

′ =

10

+ 4

3 =

53

; ′

′ =

31

+ 43

= 7

4;

′′

= 3−1

+ 43

= 72

Sehingga diperoleh titik-titik (5,3), (7,4) dan (7,2) ,

Gambar 2.15

2.3.3 Rotasi

3. Diberikan titik (3,1) dan (2,3). Carilah bayangan segmen

garis AB dengan rotasi 90 berlawanan arah jarum jam dengan

pusat titik asal yaitu ( , )( )

Penyelesaian . Dengan rumus (2.13a), maka

( , )( ): = ′

′ =

cos 90 − sin 90sin 90 cos 90

31

= 0 −1

1 031

= −1

3

( , )( ): = ′

′ =

cos 90 − sin 90sin 9 0 cos 90

23

= 0 −1

1 023

= −3

2

Jadi hasil rotasi segmen garis AB adalah segmen ′ ′

dengan (−1,3) dan (−3,2), Gambar 2.16

x

y

(1,0)

B(3,1)

C(3, −1)

A

0

(a). sebelum translasi

Gambar 2.15

(b). setelah translasi

A′

B′(7,4)

C′(7,2)

x

y

0

(5,3)



27


Cara lain adalah sebagai berikut :

( , )( ) =′ ′

= 0 −1

1 03 21 3

= −1 −3

3 2

Jadi kolom pertama adalah = (−1,3) dan kolom kedua

adalah (−3,2).

4. Tenukan bayangan parabola = + 1 bila dirotasikan

sebesar 90 berlawanan arah jarum jam dengan titik pusat

rotasi (2, −1)

Penyelesaian

Ambil sembarang titik ( ′, ′) pada parabola, sehingga

′ = ′ + 1. Rotasikan titik sebesar 90 berlawanan arah

jarum jam dengan titik pusat rotasi ( , ) = (2, −1), sehingga

diperoleh bayangan titik ( , ), dengan

′′

= cos 90 − sin 90

sin 9 0 cos 9 0

−− +

= 0 −1

1 0

− 2+ 1

+ 2−1

= − − 1

− 2 +

2−1

= − + 1

− 3

B (−3,2)

A (−1,3)

A(3,1)

B(2,3)

O

Gambar 2.16



28


diperoleh persamaan

= − + 1 atau = 1 − ′

dan = − 3 atau = + 3

Subtitusi pada parabola = + 1, diperoleh

1 − = ( + 3)

1 − = ′ + 6 + 9 atau = − ′ − 6 − 8

Jadi bayangan dari parabola = + 1 akibat rotsi 90

berpusat di (2,−1) adalah

= − − 6 − 8

2.3.4. Dilatasi

5. Sebuah segitiga ABC dengan koordinat titik-titik sudut

(2,0), (4,1) dan (4, −1), Tentukan dilatasi dengan

= 1/2 dan = 3 2⁄ . Kemudian gambarkan hasil

transformasinya.

Penyelesaian

Berdasarkan rumus dilatasi (2.16) untuk = 1/2 dan = 3/2

masing-masing adalah

0

0dan

0

0.

Tuliskan koordinat-koordinat x pada baris pertama dan y pada

baris kdua dari titik-titik A,B dan C, demikian pula untuk

bayangannya, sehingga:

• Untuk = 1/2,

′ ′ ′

′ ′ ′ =

0

02 4 40 1 −1

= 1 2 2

0 −



29


• Untuk = 3/2,

′ ′ ′′ ′ ′

= 00

2 4 40 1 −1

= 3 6 60 −

Jadi dilatasi dengan = 1/2, ukuran segitiga ABC mengecil,

dengan faktor sebesar = 1/2 , Gambar 2.17b, dan dengan

dengan = 3/2, maka ukuran segitiga ABC akan membesar

dengan faktor = 1.5, Gambar 2.17c

Cara lain dapat dilakukan dengan mendilatasikan setiap titik-

titik segitiga ABC dan memberikan hasil yang sama.

(c). Ekspansi, = 1.5

B"(6,3 2⁄ )

C"(6,−3 2⁄

A"0

(3,0)

B′(2, 1/2)

C′(2,−1/2)

A′

0 (1,0)

(b).Kontraksi, = 1/2

B(4,1)

C(4,−1

A0 (2,0)

(a).Gambar semula

Gambar 2.17 : Dilatasi



30


2.3.5. Komposisi Geseran dan Refleksi (Composition of Shear

and Reflection)

6. (a). Tentukan sebuah transformasi matriks dari

yang mula-mula menggeser objek dengan sebuah faktor sebesar

= 2 dalam arah x dan kemudian merefleksikannya terhadap

garis = .

(b). Tentukan sebuah transformasi matriks dari

yang mula-mula merefleksikan objek terhadap garis = dan

kemudian menggeser dengan sebuah faktor sebesar = 2

dalam arah x .

(c). Berikan sebuah contoh figur untuk soal (a) dan (b)

untuk memperlihatkan efek transformasi tersebut.

Penyelesaian

(a). Dari rumus (2.20a), matriks standar untuk geseran kearah

x dengan faktor = 2 adalah

= 1 2

0 1dan dari rumus (2.6a) ,matriks refleksi terhadap garis =

adalah

= 0 1

1 0

Sehingga matriks standar untuk geseran yang di ikuti oleh

refleksi adalah

= 0 1

1 01 20 1

= 0 1

1 2

(b) dengan cara serupa, maka matriks standar untuk refleksi

yang di ikuti oleh geseran adalah

= 1 2

0 10 11 0

= 2 1

1 0



31


Dari kasus ini tampak bahwa ≠ , sehingga efek

penggeseran kemudian di ikuti refleksi berbeda dari efek

refleksi kemudian di ikuti penggeseran.

(c) Gambar 2.18 memperlihatkan efek transformasi pada sebuh

persegi panjang

Verifikasi

Perhatikan titik (3,1) dituliskan = 3

1, dan misalkan

bayangannya adalah ( , ) atau ′

′, maka aturan

kompositnya

(a). ′

′ = =

0 11 2

31

= 1

5, yang sesuai hasil

(b) . ′

′ = =

2 11 0

31

= 7

3, yang sesuai hasil

Refleksi

terhadap =

Geseran pada arah ,

= 2Figur semula

1,3 =

3,1

7,3

Refleksi terhadap

=

Geseran pada arah ,

= 2

Figur semula

Gambar 2.18

3,1 5,1

1,5

=



32


Jika di kehendaki mencari titik semula, maka dapat dicari dengan

rumus

= [ ] ′

′ =

0 11 −2

73

= 3

1

yang merupakan titik semula.

7. (a) Tentukan hasil transformasi matriks = 2 4

3 5terhadap

titik (2, −3) dan

(b) Kemudian cari efek geometrinya yang merupakan urutan

transformasinya

Penyelesaian

(a). Bayangan dari 2−3

adalah ′

′ =

2 43 5

2−3

= −8−9

(b). Lakukan operasi baris elementer pada matriks transformasi

2 43 5

× 1 23 5

1 20 −1

×( ) 1 20 1

1 00 1

dengan

= 0

0 1, =

1 0−3 1

, = 1 0

0 −1, =

1 −20 1

,

dan

= 2 0

0 1, =

1 03 1

, = 1 0

0 −1 , =

1 20 1

sehingga

= = 2 0

0 11 03 1

1 00 −1

1 20 1

= 2 4

3 5

Dengan membaca dari belakang maka efek geometri dari

tarnsformasinya adalah

(a). geseran ke arah x dengan factor = 2 , di ikuti

(b). refleksi terhadap sumbu x, di ikuti



33


(c). geseran kea rah y dengan factor = 3, di ikuti

(d). scaling kea rah x dengan skala = 2

Pemeriksaan :

1 20 1

2−3

= −4

−3 →

1 00 −1

−4−3

= −4

3 →

1 03 1

−43

= −4

−9

→ 2 0

0 1−4−9

= −8

−9

(a) → (b) → (c) → ( )

8. Nyatakan matriks = 1 2

3 4sebagai hasil kali matriks-

matriks elementer dan jelaskan efek geometric dari perkalian

oleh A dalam geseran, dilasi dan refleksi.

Penyelesaian

Matrik dapat direduksi pada matriks identitas berukuran 2 × 2

sebagai berikut :

1 23 4

1 20 −2

×1 20 1

1 00 1

Ketiga operasi baris yang berurutan tersebut dapat dilakukan dengan

mengalikan dari sebelah kiri oleh

= 1 0−3 1

, = 1 0

0 − , = 1 −2

0 1

Invers masing-masing matriks ini adalah

= 1 0

3 1 , =

1 00 −

, = 1 2

0 1

Berdasarkan (2.26) maka



34


= = 1 0

3 11 00 −2

1 20 1

Tetapi 1 0

0 − =

1 00 −1

1 00 2

, maka A dapat dituliskan dalam

bentuk

= 1 0

3 11 00 −1

1 00 2

1 20 1

Dengan membacanya dari arah kanan ke kiri, terlihat bahwa efek

pengalian matriks ekivalen dengan

(a). Geseran oleh sebuah faktor = 2 dalam arah x

(b). Kemudian menskalakannya dengan faktor sebesar =2 dalam

arah y

(c). Kemudian merefleksikannya terhadap sumbu x

(d). Kemudian menggesernya dengan sebuh faktor = 3 pada arah y

9. Tentukan bayangan garis = 2 + 1 melalui transformasi

matriks = 3 1

2 1

Penyelesaian

Menurut teorema 3.2, matriks = 3 1

2 1dapat dibalik

sehingga memetakan garis = 2 + 1 ke dalam garis yang

lain.

Misalkan ( . ) adalah sebuah titik pada garis = 2 + 1 dan

( ′, ′) adalah bayangannya di bawah perkalian oleh , maka

= atau ′

′ =

3 12 1



35


Karena A dapat dibalik, yaitu =.

( ) =

1 −1−2 3 =

1 −1−2 3 , maka

= A ′ atau = 1 −1−2 3

′′

, diperoleh

= −

= −2 ′ + 3 ′(∗)

Dengan mensubtitusikan (*) ke dalam = 2 +1 diperoleh

−2 + 3 = 2( − ′) + 1

⟺ 5 = 4 + 1 atau = ′+

Jadi ( , ) memenuhi persamaan garis = + yang

diminta.

10. Cari bayangan sebuah bujur sangkar dengan titik-titk sudut(0,0), (1,0), (0,1) dan (1,1) di bawah transformasi perkalian

oleh matriks = −1 3

3 −1dan tentukan luas daerah bayangannya

Penyelesaian

Transformasikan setiap titik-titk sudut bujur sangkar untuk

memperoleh bayangannya

′

′

= −1 3

3 −1

0

0

= 0

0

′

′

= −1 3

3 −1

1

0

= −1

3

′′

= −1 3

3 −101

= 3−1

′′

= −1 3

3 −111

= 22

Jadi bayangan bujur sangkar adalah sebuah jajaran genjang

′ ′ ′ ′ dengan titik-titik sudut

′(0,0), ′(−1,3), ′(3,−1) dan ′(2,2), Gambar 2.19.



36


Berdasarkan rumus (2.27), maka luas jajaran genjang

′ ′ ′ ′ = |(| |)| ×luas bujursangkar

= −1 3

3 −1 ×1 = |−8| × 1 = 8 satuan luas

Pemeriksaan

Alas jajaran genjang adalah = √10 dan tinggi adalah √10 ,

sehingga luas jajaran genjang

= × = √10 ×

4

5√10=8 ∎

Ataupun = 2 × ∆ = 2 ×4 = 8

11. Diketahui jajaran genjang ABCD dengan titik-titik sudut

(−3,2), (−1,11), (2,4) dan (0,−5). Tentukan bayangan

jajaran genjang tersebut jika

(a) di refleksikan terhadap sumbu x, dilanjutkan dengan

refleksi terhadap sumbu y

(b) di refleksikan terhadap sumbu y, dilanjutkan denganrefleksi terhadap sumbu x

Penyelsaian

(a) Bayangan refleksi jajaran genjang ABCD terhadap sumbu x

adalah

′(3,−1)

′(−1,3)

′(2,2)

O(1,0)

(0,1) (1,1)

O

Gambar 2.19



37


= 1 00 −1

−3 −1 2 02 11 4 −5

= −3 −1 2 0−2 −11 −4 5

Hasil ini di refleksikan terhadap sumbu y, sehingga bayangan

jajaran genjang ′ ′ ′ ′ adalah

= −1 0

0 1−3 −1 2 0−2 −11 −4 5

= 3 1 −2 0−2 −11 −4 5

(b) Bayangan refleksi jajaran genjang ABCD terhadap sumbu y

adalah

= −1 0

0 1−3 −1 2 02 11 4 −5

= 3 1 −2 02 11 4 −5

Hasil ini di refleksikan terhadap sumbu x, sehingga bayangan jajaran genjang ′ ′ ′ ′ adalah

= 1 00 −1

3 1 −2 02 11 4 −5

= 3 1 −2 0−2 −11 −4 5

Cara lain dapat digunakan komposisi dua refleksi, yaitu refleksi

terhadap sumbu y dilanjutkan refleksi terhadap sumbu x, yaitu

= 1 00 −1

−1 00 1

−3 −1 2 02 11 4 −5

= −1 0

0 −1−3 −1 2 02 11 4 −5

= 3 1 −2 0−2 −11 −4 5

Tampak bahwa hasil (a) sama dengan hasil (b). Hal ini disebabkan

karena dua refleksi berurutan terhadap sumbu-sumbu yang saling tegak

lurus, adalah bersifat komutatif.



38


RANGKUMAN GAMBAR

PENCERMINAN ( Reflection) SIMETRI TITIK (Simetri Pusat)

TRANSLASI ROTASI

PENSKALAAN (Scaling) DILATASI

GESERAN PADA ARAH X (Shear)

O

90

O

(a). Gambar semula(b). Geseran, > 0 (c). Geseran, < 0

(x+sy,y)(x ,y)(x+sy,y)



39


Mencari Grafik aliran air

Enam benda berikut mempunyai tinggi yang sama 80 dan memilikivolume yang sama 100 . Keenam benda tersebut di aliri air

dengan debit konstan / , Gambar 2.30.

Grafik kenaikan permukaan air dalam ke enam benda tersebut selama

awal pengisian hingga penuh, merupakan fungsi dari waktu,

ditunjukkan dalam Gambar 2.31.

Temukan pasangan yang bersesuaian antara benda dan grafik kenaikan

permukaan air tersebut. [ , , , , , ]

AB

CF

ED

air air airair air

Gambar 2.30

1

20

0

80

2 4 53 1

20

0

80

2 4 53 1

20

0

80

2 4 53

1 2 3

1

20

0

80

2 4 53 1

20

0

80

2 4 53 1

20

0

80

2 4 53

4 5 6

Gambar 2.31



40

Referensi

1. David W Hnderson, 1995, Experiencing Geometry on plan and sphere, Ithaca

2. Nathalie Nakatani et Francis Nassiet, 1994, DIMATHEME 2 ,Didier, Paris3. P.A. Surjadi, 1979, Aljabar Linier dan Ilmu Ukur Analitik, Jambatan

4. Rawuh, 1988, GEOMETRI, Karunika Jakarta

5. Shanti Narayan, 2007, Analytical Solid Geometry, S.Chand & Company LTD. New

Delhi.

6. Suryadi, 1984, Ilmu Ukur Analitik Ruang, Ghalia Indonesia, Jakarta

7. Varberg Purcell, 2000, Calculus and Geometry, Prentice-Hall, Inc, New Jersey

bab 2 trnsf-geomtr -pdf

Documents