bab 2 barisan dan deret pdf

Download BAB 2 Barisan Dan Deret PDF

Post on 31-Aug-2014

323 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 1BarisanBarisan Tak HinggaKekonvergenan barisan tak hinggaSifat sifat barisanBarisan MonotonHandout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 2Barisan Tak HinggaBarisan dg n suku, dinyatakan dalam bentuk : a1,a2,,an. a1 : suku ke1, a2 : suku ke2 an: suku ken. DefinisiSecara sederhana, barisan merupakan susunan daribilanganbilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli. Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 3Barisan Tak Hingga{ }=1 nnaDefinisiBarisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 4Barisan Tak HinggaContohBarisanBisa dituliskan dengan rumus BarisanBisa dituliskan dengan rumusPenentuan anhanya bersifat coba coba.K , 8 , 6 , 4 , 2{ }=1 nn 2K ,64,53,42,31=)`+ 1 nn 2 nHandout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 5Kekonvergenan barisan tak hinggaDefinisiSuatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila atau L a lim nn = < > > L a , N n 0 N 0 nHandout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 6Kekonvergenan barisan tak hinggaContoh 1Periksa kekonvergenan dari barisan berikut JawabanKarena maka divergen=)`+ 1 n21 nn =+ 1 nnlim 2n=)`+ 1 n21 nnHandout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 7Kekonvergenan barisan tak hinggaContoh 2Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut JawabanKarena merupakan bentuk tak tentu maka untuk menyelesaikannya digunakan teorema berikut : Misal ,bila maka untuk x R.=)`1 nn2en n2nenlim( ) n f an = ( ) L x f limx = ( ) L n f limn = Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 8Kekonvergenan barisan tak hinggaJawaban (lanjutan)Jadi dan dengan menggunakan dalil Lhopital maka Berdasarkan teorema maka . Karena nilai limitnya menuju 0, maka Konvergen menuju 0.xx ex 2lim =( ) x2exx f =x2x exlim 0enlim n2n = =)`1 nn2en0e2lim xx = = Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 9Kekonvergenan barisan tak hinggaContoh 3Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut JawabanDg menggunakan prinsip apitSehinggaJadi barisan diatas konvergen ke 0=)`1 nn cosn10coslim = xxx0coslim = nnnHandout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 10Sifat sifat barisanMisal {an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu konstanta, maka 1.2.3.4.5.k k limn = nnnn a lim k a k lim =( ) nnnnn nn b lim a lim b a lim = ( ) nnnnn nn b lim a lim b a lim =0 b lim ,b lim a limbalim nnnnnnnnn = Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 11Barisan MonotonKemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan menjadi 4 macam :1. Monoton naik bila 2. Monoton turun bila 3. Monoton tidak turun bila 4. Monoton tidak naik bila 1 n n a a +1 n n a a +1 n n a a +Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 12Deret Tak HinggaDefinisiDeret tak hingga merupakan jumlahan dari : a1+a2++an. Notasi deret tak hingga : .Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan barisan jumlahan parsial yaitu , ,dimana :Dan { }=1 n na=1 n nann S lim 1 1 a S =3 2 1 3 a a a S + + =Mn 3 2 1 n a ... a a a S + + + + =2 1 2 a a S + ={ } .... , S ..., , S , S S k 2 11 nn ==Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 13Deret Tak HinggaContoh Selidiki apakah deret konvergen ?JawabanKarena , maka konvergen menuju 1. Penentuan Sndari suatu deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba coba.|.|

\|+= 1 k 1k11 k1 nn1 n11 Sn+=+ =11 nnlim S lim nnn =+= 1 k 1k11 k +=Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 14Deret Suku PositifSebuah disebut deret suku positif, bila semua suku-sukunya positif. Berikut ini adalah deret-deret suku positif yang sering digunakan :1. Deret geometri2. Deret harmonis3. Deret-pDeretp akan dibahas secara khusus dalam uji integral=1 n naHandout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 15Deret Suku PositifDeret geometriBentuk umum : Proses menentukan rumusan Snadalah sebagai berikut : Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga . untuk r 1.Kekonvergenan dari deret geometri bergantung pada nilai r. 1 n 3 2 1 kn1 k r a ... r a r a r a a r a = + + + + + =1 n 3 2n r a ... r a r a r a a S + + + + + =n 1 n 3 2n r a r a ... r a r a r a S r + + + + + = nn n r a a S r S = ( )r 1 r 1 aS nn=Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 16Deret Suku PositifDeret geometri (lanjutan)Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret geometri : 1.Bila r = 1, maka Sn= na sehingga , deret divergen2.Bila | r |1, maka , deret divergen = na limn0 r lim nn = r 1a = nn r limHandout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 17Deret Suku PositifDeret harmonisBentuk umum : Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari Snnya, yaitu =1 n n1n1....817161514131211 Sn + + + + + + + + + =.....161....91817161514131211 +|.|

\| + + +|.|

\| + + + +|.|

\| + + + =Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 18Deret Suku PositifDeret harmonis (lanjutan)Karena, maka . Sehingga deret harmonis divergen. 21....212121212121211 + + + + + + + + + =....161....161818181814141211 S n2 +|.|

\| + + +|.|

\| + + + +|.|

\| + + + > = + 2n1 limn2n1+ =Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 19Kedivergenan Deret Tak HinggaBila deret konvergen, maka . kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah Bila ,maka deret akan divergen.Bila dalam perhitungan limit annya diperoleh nol, maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif.=1 n na 0 a lim nn = 0 a lim nn =1 n naHandout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 20Kedivergenan Deret Tak HinggaContohPeriksa apakah konvergen ?JawabanJadi divergen n12 1limn += = +1 1 2n nn1 n 2 nlim a limnnn += +=1 n 1 n 2 n 021 =Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 21Uji Deret Positif1. Uji integral2. Uji Banding3. Uji Banding limit4. Uji Rasio5. Uji AkarHandout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 22Uji Deret PositifUji integralMisal merupakan deret suku positif dan monoton turun, ,maka integral tak wajar dari f(x) adalah:Bila nilai limit dari integral tak wajar tersebut tak hingga atau tidak ada, maka deret divergen. Bila nilainya menuju suatu nilai tertentu(ada), maka deret konvergen. =1 n na( ) ( ) dx x f lim dx x f b1b1 =Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 23Uji Deret PositifContoh 1: Uji Integral DeretpBentuk umum :Untuk menentukan pada nilai p berapa deret konvergen atau divergen, digunakan integral tak wajar yaitu Misal maka . Selanjutnya nilai f(x) tersebut di integralkan dengan batas 1 sampai .=1 n pn1( ) pnn1n f a = = ( ) px1x f =Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 24Uji Deret PositifDeretp (lanjutan)Integral tak wajar dari f(x) adalah Kekonvergenan deretp ini akan tergantung dari nilai integral tak wajar tersebut. Bila integralnya konvergen maka deretnya juga konvergen. Sebaliknya bila integralnya tak hingga atau tidak ada maka deretnya juga akan divergen. dxx1lim b1 pb = dxx11 p b1p 1b p 1xlim(((= p 1 1p 1blim p 1b = Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 25Uji Deret PositifDeretp (lanjutan)Nilai integral tak wajar tersebut bergantung pada nilai p berikut :1. Bila p = 1, maka deretnya harmonis, sehingga deret divergen2. Bila 0 p1, maka , sehingga deret konvergen. ( ) 1 pb b 1 p 11 p1lim = = p 1 1p 1blim p 1bp 1 1p 1blim p 1b 1 p1=Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 26Uji Deret PositifContoh 2Tentukan kekonvergenan deretJawabanDeret tersebut monoton turun, sehingga dapat digunakan uji integral yaitu :Misal , maka Perhitungan integral tak wajar : dxx ln x 1lim b2b ==2 n n ln n 1( ) n ln n 1n f an = =x ln x 1) x ( f =dxx ln x 12( )| = = b2b x ln ln limHandout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 27Uji Deret PositifContoh 2 (lanjutan)Karena nilai limitnya menuju tak hingga, maka integral tak wajarnya divergen. Sehingga deret juga divergen. =2 n n ln n 1Handout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 28Uji Deret PositifUji BandingBila untuk n N, berlaku bn anmaka a. Bila konvergen, maka juga konvergen b. Bila divergen, maka juga divergen . =1 n nb =1 n na=1 n na =1 n nbHandout Matematika Teknik 2, D3 Teknik Telekomunikasi IT Telkom Bandung 29Uji Deret PositifContoh 1Uji kekonvergenan JawabanDalam uji banding, pemilihan deret pembanding adalah dipilih yang