bab 2 sistem lti.pdf
DESCRIPTION
Matakuliah Sinyal dan Sistem, sistem LTITRANSCRIPT
Bab 2 Sistem Linear Time Invariant∗
Tujuan Pembelajaran
Peserta dapat memodelkan sistem yang berjenis LinearTime Invariant (LTI), baik untuk sinyal DT maupun CT
1. Peserta dapat merepresentasikan sistem LTI dengansinyal impuls respons
(a) Peserta dapat menghitung ouput sistem LTI den-gan cara konvolusi.
(b) Peserta dapat menentukan sifat sitem LTI danmenggunakannya untuk menentukan output sis-tem.
2. Peserta dapat menerapkan model persamaan diferen-sial dan diferens untuk menentukan respons sistem LTI
(a) Peserta mengenali model sistem LCCDE sertamenggambarkan diagram blok sistem
(b) Peserta dapat mengimplementasikan sistem LC-CDE (digital) menggunakan komputer
(c) Peserta dapat menghitung solusi dari persamaanLCCDE
(d) Peserta dapat menerapkan solusi LCCDE untukmenentukan respons sistem terhadap input, ter-masuk respons impuls.
1 Pendahuluan
Model sistem menjadi sederhana bila sistem diasumsikanlinier dan time invariant (LTI). Pertama, sistem dapatdikarakterisasi menggunakan respons impuls. Kedua, re-spons dari sistem dapat dihitung melalui proses konvolusi.Salah satu sistem LTI adalah sistem linear di�erential
constant coe�cients (LCCDE). Pada sistem LCCDE per-samaan input-output dapat dimodelkan dengan persamaandiferensial. Dengan demikian respons dari sistem LCCDEadalah solusi dari persamaan diferensialTujuan dari bab ini adalah membekali peserta dengan
pengetahuan dan kemampuan untuk menghitung outputdari sistem LTI dan LCCDE.
2 Ringkasan Materi Sistem LTI
1. Sistem LTI CT dan DT
(a) Representasi Sinyal Menggunakan Impulse
∗©2012 Armein Z R Langi, STEI ITB. v 12.05 alpha
x h y
Fig. 1: Sistem
(b) Response Impulse
(c) Konvolusi
2. Sifat-Sifat Sistem LTI
(a) Sifat Komutatif, Asosiatif, dan Distributif
(b) Sistem LTI Dengan dan Tanpa Memori
(c) Kausabilitas
(d) Stabilitas
3. Diferensial Equations
(a) CT LCCDE
i. Diagram Blok
ii. Solusi DE
(b) LCCDE Di�erence Equations
i. DT LCCDE
ii. Diagram Blok
iii. Solusi DE
3 Sistem LTI
3.1 Respons Impuls dan Sistem LTI
Sistem F secara umum menghasilkan sinyal output sinyaly dengan memproses (menembuskan) sinyal input x (lihatGambar 1), yang ditulis secara umum
y = F {x} (1)
Secara khusus sistem ini menghasilkan sinyal h bila dima-suki input impuls δ. Sinyal h disebut respons impuls.Sistem LTI adalah sistem yang sekaligus linier dan time
invariant. Sistem F di sebut linier bila untuk setiap inputx1 dan x2 (baik untuk DT maupun CT) berlaku
F {α1x1 + α2x2} = α1F {x1}+ α2F {x2} (2)
Selanjutnya sistem F ini juga disebut time invariant bilainput yang tertunda akan menghasilkan output yang ter-tunda. Untuk kasus CT, berarti
1
3 Sistem LTI 2
y (t) = F {x (t)} ⇐⇒ y (t− t0) = F {x (t− t0)} (3)
sedangkan untuk kasus DT, berlaku
y [n] = F {x [n]} ⇐⇒ y [n− n0] = F {x [n− n0]} (4)
Catat juga bahwa untuk sistem time invariant, berlaku
F {δ (t− t0)} = h (t− t0) ; F {δ [n− n0]} = h [n− n0]
3.2 Konvolusi
Konvolusi antara dua sinyal s dan v menghasilkan sinyal wyang dinyatakan dinyatakan sebagai
w = s⊗ v (5)
yang dide�nisikan untuk kasus CT sebagai
w (t) = s (t)⊗ v (t) =ˆ ∞−∞
s (τ) v (t− τ) dτ (6)
dan untuk kasus DT sebagai
w [n] = s [n]⊗ v [n] =∞∑
l=−∞
s [l] v [n− l] (7)
Melalui kedua de�nisi ini dapat dibuktikan sifat komutatifbahwa
s⊗ v = v ⊗ s (8)
Dalam praktek kita memilih cara di ruas kiri bila sberdurasi lebih pendek daripada v, karena menyerhanakanperhitungan.
3.3 Representasi Sinyal MenggunakanKonvolusi Impuls
Sebuah sinyal dapat direpresentasikan sebagai konvolusisinyal itu terhadap sinyal impulse. Dalam kasus CT, sinyalx(t) dapat diekspresikan sebagai
x(t) =
ˆ ∞−∞
x (τ) δ (t− τ) dτ = x (t)⊗ δ (t) (9)
Dengan cara yang serupa untuk kasus DT, sebuah sinyalx[n] dapat direpresentasikan sebagai
x [n] =
∞∑l=−∞
x [l] δ [n− l] = x [n]⊗ δ [n] (10)
Representasi ini adalah kasus khusus dari sifat umumbahwa sebuah sinyal CT dapat direpresentasikan dalambentuk integral terhadap sebuah kernel s(t, τ) menurut
x(t) =
ˆ ∞−∞
X (τ) s(t, τ)dτ (11)
dan sinyal DT dapat direpresentasikan oleh sebuah kom-binasi linier dari sinyal basis s (n, l) menurut
x [n] =
∞∑l=−∞
X [l] s (n, l) (12)
3.4 Representasi Sistem LTI DenganRespons Impuls
Setiap sistem, termasuk sistem LTI, memiliki respons im-puls h. Khusus untuk sistem LTI, respons impuls sangatberperan untuk merepresentasikan sistem, artinya reponssistem dapat digunakan untuk menghitung ouput dari in-put x. Tepatnya,
y = x⊗ h (13)
Untuk memperlihatkan hal ini dalam kasus DT, per-hatikan bahwa
y [n] = F {x [n]} = F{∑∞
l=−∞ x [l] δ [n− l]}
=∑∞l=−∞ x [l]F {δ [n− l]} =
∑∞l=−∞ x [l]h [n− l]
maka diperoleh
y [n] =
∞∑l=−∞
x [l]h [n− l] (14)
dan untuk kasus CT,
y (t) = F {x (t)} = F{´∞−∞ x (τ) δ (t− τ) dτ
}=´∞−∞ x (τ)F {δ (t− τ)} dτ =
´∞−∞ x (τ)h (t− τ) dτ
maka diperoleh
y (t) =
ˆ ∞−∞
x (τ)h (t− τ) dτ (15)
Latihan: Sebuah sistem CT memiliki h(t) = e−αtu (t), dimana α > 0, dimasuki input x(t) = u(t). Cari outputy(t).
Cara 1: y = x⊗ h = u⊗ h,
Diperoleh
y (t) =
ˆ ∞−∞
u (τ)h (t− τ) dτ =
ˆ ∞−∞
u (τ) e−α(t−τ)u (t− τ) dτ
=
[ˆ t
0
e−α(t−τ)dτ
]u (t) = u(t)e−αt
ˆ t
0
eατdτ
Dan
y(t) =1
α
[1− e−αt
]u(t)
Cara 2: y = h⊗ x = h⊗ u,
Diperoleh
y (t) =
ˆ ∞−∞
h (τ)x (t− τ) dτ =
ˆ ∞−∞
e−ατu (τ)u (t− τ) dτ
4 Sifat Tambahan Sistem LTI 3
=
[ˆ t
0
e−ατdτ
]u (t)
dan
y(t) =1
α
[1− e−αt
]u(t)
3.5 Respons Step
Respons dari sinyal step adalah s(t)
s (t) = F {u (t)} = h (t)⊗ u (t) =ˆ ∞−∞
h (τ)u (t− τ) dτ
s (t) =
ˆ t
−∞h (τ) dτ
Catatan, dapat diperlihatkan bahwa h(t) = ddts (t), karena
δ(t) = ddtu (t).
4 Sifat Tambahan Sistem LTI
4.1 Memori
Pada sistem tanpa memori, y(t) hanya bergantung x(t) pa-da saat t. Untuk sistem LTI tanpa memori, y(t) = Kx(t),dan h(t) = Kd(t). Jadi bila h(t0) 6= 0 untuk t0 6= 0, makasistem memiliki memori.
4.2 Kausalitas
Pada sistem LTI kausal, h(t) = 0 pada t < 0, sehinggabentuk konvolusinya menjadi:
y(t) =
ˆ ∞0
h (τ)x (t− τ) dτ
atau
y(t) =
ˆ t
−∞x (τ)h (t− τ) dτ
Kita dapat mende�nisikan sinyal kausal sebagai sinyaldengan sifat x(t) = 0 untuk t < 0, dan anti kausal bersifatx(t) = 0 untuk t > 0. Maka bia kedua sinyal dan sistemkausal, persamaan konvolusi menjadi:
y(t) =
ˆ t
0
h (τ)x (t− τ) dτ
atau
y(t) =
ˆ t
0
x (τ)h (t− τ) dτ
4.3 Stabilitas
Sistem LTI yang stabil secara bounded-input bounded-output(BIBO) memiliki respons impuls dengan sifatˆ ∞
−∞|h (τ)| dτ
4.4 Latihan Soal
1. Sebuah sistem LTI CT memiliki respons step s(t) =e−tu(t). Tentukan output bila sistem dimasuki sinyalx(t) seperti pada gambar di bawah.
t
x (t)
1
0 1 2 3
Perhatikan bahwa x(t) = u(t− 1)−u(t− 3). Dari sifatLTI, disimpulkan bahwa y(t) = s(t−1)−s(t−3). Hasilini dapat dilihat pada gambar berikut.
t0 3
s(t) s(t− 1)
−s(t− 3)
t0 3
y(t)
2. Sebuah sistem DT memiliki h[n] = αnu[n], dimasukiunit step. Cari outputnya.
Karena sinyal dan sistem kausal, maka y[n] = x[n] ⊗h[n]
y[n] = u[n]
n∑k=0
αn−k
tapi
n∑k=0
αn−k =
0∑m=n
αm =
n∑m=0
αm =1− αn+1
1− α
sehingga
y[n] =1− αn+1
1− αu[n]
3. Perlihatkan bahwa pada sistem LTI bila x[n] periodikdengan periode N , maka y[n] juga periodik dengan pe-riode N .
Perhatikan bahwa pada sistem LTI
y [n] =
∞∑l=−∞
h [l]x [n− l]
4 Sifat Tambahan Sistem LTI 4
Asumsi n=m+N, maka diperoleh
y [m+N ] =
∞∑l=−∞
h [l]x [m+N − l]
=
∞∑l=−∞
h [l]x [(m− l +N ]
Karena x[n] periodik, x[(m−l)+N ] = x[m−l], sehingga
y [m+N ] =
∞∑l=−∞
h [l]x [m− l] = y[m]
yang berarti y[n] periodik dengan periode N .
4. Tentukan output bila respons impuls dan input sepertipada gambar berikut.
h [n]
1
n0 1 2 3
4 5
x [n]
1
1
n0 1 2 3
4
5
Jawab: Dari gambar dapat disimpulkan bahwa sinyalinput hanya terdiri dari dua pulsa, x[n] = δ [n− 2] −δ [n− 4], sedangkan sinyal respons impuls terdiri darienam pulsa. Oleh sebab itu, lebih mudah kita menggu-nakan konvolusi jenis y[n] = x [n]⊗ h [n], yang berarti:
y[n] = h [n− 2]− h [n− 4]
Menggunakan tabel sederhana, kita dapat menghitungy[n] sebagai berikut
n h[n] h[n− 2] -h[n− 4] y[n]
-1 0 0 0 00 1 0 0 01 1 0 0 02 1 1 0 13 1 1 0 14 -1 1 -1 05 -1 1 -1 06 0 -1 -1 -27 0 -1 -1 -28 0 0 1 19 0 0 1 110 0 0 0 011 0 0 0 0
Output ini dapat juga dilihat scara visual sebagai pen-jumlahan dua gelombang respons impuls yang tergesermasing-masing 2 dan 4 sampel.
h [n− 2]
1
−1
n0 1 2 3 4 5
6 7
8 9 10 11
h [n− 4]
1
−1
n0 1 2 3 4 5 6 7
8 9
10 11
y [n] = h [n− 2]− h [n− 4]
1
−1
−2
n0 1 2 3 4 5
6 7
8 9 10 11
5. Sebuah sistem LTI memiliki respons impuls h[n] =αnu[n].
(a) Apakah sistem kausal?
Jawab: ya, karena h[n] = 0 untuk n < 0.
(b) Apakah sistem stabil BIBO?
Jawab:
∞∑k=−∞
|h[k]| =∞∑
k=−∞
∣∣αku[k]∣∣ = ∞∑k=0
|α|k
5 Sistem LCCDE 5
Maka ini tidak stabil kecuali bila |α| < 1, karena ke-mudian
∞∑k=−∞
|h[k]| =∞∑k=0
|α|k =1
1− |α|<∞
5 Sistem LCCDE
Selama ini kita sudah mengkarakterisasi sistem berdasarkanhubungan I/O (terutama persamaan I/O) dan respons im-puls. Sekarang kita ingin memodelkan sistem LTI dalambentuk khusus, yaitu persamaan I/O nya memenuhi sebuahpersamaan diferensial (untuk CT) dan diferens (untuk DT).
5.1 Persamaan Diferensial Koe�sen Konstan
Sebuah persamaan diferensial dengan koe�sien konstan ordeN (untuk CT) memiliki bentuk umum
N∑k=0
akdk
dtky (t) =
M∑k=0
bkdk
dtkx (t) (16)
dengan sebuah kasus khusus orde dua berbentuk
a2d2y (t)
dt2+a1
dy (t)
dt+a0y (t) = b2
d2x (t)
dt2+b1
dx (t)
dt+b0x (t)
(17)Dengan cara serupa untuk DT, persamaan diferens den-
gan koe�sien konstan berorde N memiliki bentuk
N∑k=0
aky [n− k] =M∑k=0
bkx [n− k] (18)
dengan sebuah kasus khusus orde dua berbentuk
a2y [n− 2] + a1y [n− 1] + a0y [n]= b2x [n− 2] + b1x [n− 1] + b0x [n]
(19)
Baik persamaan (16) maupun (18) bersifat linier dengankoe�sien konstan, sehingga keduanya disebut LCCDE (lin-ear constant coe�cient di�erential/di�erence equation).Persamaan LCCDE memiliki memori y[n−k] dan x[n−k]
untuk k > 0 yang menentukan keadaan (state) persamaanpada saat n = 0. Dalam keadaan rileks, y[n−k] dan x[n−k]ini bernilai 0. State ini berubah oleh x[n]. Dengan bentukLCCDE, kita dapat menggunakan komputer untuk mensim-ulasi perubahan state akibat perubahan x[n].
Latihan: Gunakan tabel spreadsheet untuk mensimulasikanLCCDE orde dua rileks dengan persamaan
1
6y [n− 2]− 5
6y [n− 1] + y [n] = x [n]
yang dipicu oleh x[n] = δ[n].
Pada Tabel 1 mula-mula kita meletakkan koe�sien daripersamaan ini ke dalam kolom B untuk label dan C un-tuk nilai mulai dari baris 2 s/d 7. Kemudian pada baris
Tab. 1: Tabel simulasi LCCDE dengan spreadsheet.A B C
1 Koe�sien Nilai2 a2 0.16666666673 a1 -0.83333333334 a0 15 b2 06 b1 07 b0 189 n x[n] y[n]10 -2 0 011 -1 0 012 0 1 113 1 0 0.833333333314 2 0 0.527777777815 3 0 0.300925925916 4 0 0.16280864217 5 0 0.085519547318 6 0 0.044131515819 7 0 0.022523005320 8 0 0.011413918421 9 0 0.005757764522 10 0 0.0028958173
Kode spreadsheet:C12: =SUM(B10:B12*C$5:C$7)-SUM(C10:C11*C$2:C$3)
[ctrl+shift]-[enter]
C13: =SUM(B11:B13*C$5:C$7)-SUM(C11:C12*C$2:C$3)
[ctrl+shift]-[enter]
dst
9 kita memberikan label indeks waktu n, eksitasi x[n],serta state y[n]. Pada baris 10 dan 11, kita mengisi kon-disi awal rileks untuk x[n] dan y[n]. Kita lalu mengisibaris berikutnya dengan sample dari δ[n].
Untuk menghitung y[0], y[1] dan seterusnya kita meng-gunakan perhitungan
y[0] = 1a0x[0]− a1
a0y [−1]− a2
a0y [−2]
y[1] = 1a0x[1]− a1
a0y [0]− a2
a0y [−1]
...
yang dapat dilakukan oleh spreadsheet menggunakanfungsi array yang di copy-paste pada setiap sel di kolomC mulai baris 12:
C12: =SUM(B10:B12*C$5:C$7)-SUM(C10:C11*C$2:C$3)
[ctrl+shift]-[enter]
C13: =SUM(B11:B13*C$5:C$7)-SUM(C11:C12*C$2:C$3)
[ctrl+shift]-[enter]
dstMaka keadaan (state) pada setiap waktu dapat dilihatpada Tabel 1.
5.2 Solusi Persamaan LCCDE
Solusi persamaan LCCDE y(t) (atau y[n]) akibat inputx(t) (atau y[n]) serta akibat kondisi awal, terdiri dari dua
5 Sistem LCCDE 6
Tab. 2: Solusi partikular, di mana A, K, dan Ki adalahkonstanta, dan n ≥ 0.
Input x[n] Solusi Partikular yp[n]
δ [n] 0A K
AMn KMn
AnM∑Ml=0KM−ln
l
AnnM An(∑M
l=0KM−lnl)
A cos(ω0n) K1 cosω0n+K2 sinω0nA sin(ω0n)
bagian: solusi homogen yh(t) (atau yh[n]) dan solusi par-tikular yp(t) (atau yp[n]), sehingga
y(t) = yh(t) + yp(t)y[n] = yh[n] + yp[n]
(20)
Solusi homogen adalah kontribusi internal sistem akibatkondisi awal sedangkan solusi partikular adalah kontribusiinput. Solusi y[n] ini hanya dihitung untuk n ≥ 0, sedan-gkan y[n] pada n < 0 ditentukan langsung oleh kondisi awal.
5.2.1 Solusi Partikular
Solusi partikular yp(t) (atau yp[n]) adalah fungsi dari x(t)(atau x[n]) yang memenuhi persamaan LCCDE. Tabel 2memperlihatkan beberapa bentuk sinyal input, dan usulansolusi partikular yang sesuai untuk kasus DT. KonstantaK, dan Ki adalah koe�sien yang membuat yp[n] memenuhipersamaan LCCDE untuk semua n.
Latihan: Cari solusi partikular dari persamaan diferens LC-CDE orde dua
1
6y [n− 2]− 5
6y [n− 1] + y [n] = x [n]
bila diketahui input x1 [n] = 2nu [n].
Jawab: Dari Tabel 2 diperoleh kandidat dsolusi par-tikular yp[n] = K2nu [n]. Untuk menentukan konstan-ta K yang memenuhi persamaan LCCDE, maka kitamelakukan substitusi
1
6yp [n− 2]− 5
6yp [n− 1] + yp [n] = x1 [n]
menjadi
1
6K2n−2u [n− 2]−5
6K2n−1u [n− 1]+K2nu [n] = 2nu [n]
Karena persamaan ini linier, n yang manapun kita pil-ih untuk evaluasi akan menghasilkan K yang berlakuuntuk semua n, asalkan semua term dalam persamaanikut terevaluasi. Maka kita mengevaluasi persamaandengan pilihan n = 2 karena n ini tersederhana yangmengikutkan semua term dalam persamaan. Untukn = 2, kita dapatkan
1
6K − 5
6K2 +K22 = 22
dan kemudian K = 85 , sehingga kita peroleh
yp[n] =8
52nu [n]
5.2.2 Solusi Homogen
Solusi homogen itu sendiri adalah solusi persamaan ho-mogen untuk CT
N∑k=0
akdk
dtky (t) = 0 (21)
atau untuk DT
N∑k=0
aky [n− k] = 0 (22)
Fungsi yang dikenal mempertahankan bentuk akibatdiferensiasi adalah bentuk eksponensial, sehingga bentukeksponensial ini secara alamiah dapat membentuk per-samaan homogen.Asumsi solusi homogen yh[n] memiliki bentuk kompleks
eksponensial, maka kita coba bentuk yang paling sederhana:
yh[n] = λn
Karena solusi homogen memenuhi persamaan homogen,maka kita peroleh
N∑k=0
akyh [n− k] = 0
perhatikan
N∑k=0
akyh [n− k] =N∑k=0
akλn−k = λn−N
N∑k=0
aN−kλk
maka solusi persamaan homogen yang tidak trivialmemenuhi
N∑k=0
aN−kλk = 0
Ruas kiri adalah polinomial λ (disebut polinomial karak-teristik) berorde N yang memiliki N buah akar λi yangmenjadi solusi persamaan homogen ini. Maka solusi ho-mogen yang akan kita gunakan adalah kombinasi linier dariakar-akar ini, yakni
yh[n] =
N∑i=0
ciλni (23)
5 Sistem LCCDE 7
yang sudah dipastikan melalui proses penurunan tersebutakan memenuhi persamaan homogen. Konstanta ci diten-tukan oleh kondisi awal dari LCCDE. Bila ada N buah ciyang perlu diketahui maka diperlukan N buah kondisi aw-al untuk membentuk N persamaan dengan N yang tidakdiketahui.
Latihan: Tentukan solusi homogen dari LCCDE orde duadalam kondisi relaks (kondisi awal y[n] = 0, pada n <0), bila persamaan LCCDE berbentuk
1
6y [n− 2]− 5
6y [n− 1] + y [n] = x [n] (24)
Jawab: dari persamaan homogen
1
6y [n− 2]− 5
6y [n− 1] + y [n] = 0
kita peroleh polinomial karakteristik
p (λ) =1
6− 5
6λ+ λ2 =
(λ− 1
2
)(λ− 1
3
)
sehingga diperoleh akar λ1 = 12 dan λ2 = 1
3 , dan solusihomogen adalah
yh [n] = c1
(1
2
)n+ c2
(1
3
)n(25)
5.3 Penerapan Pada Sistem LCCDE
Secara umum sebuah sistem LCCDE dengan orde Nberbentuk
y[n] = −N∑k=1
aky[n− k] +M∑k=0
bkx[n− k] (26)
Perhatikan bahwa sistem ini pada dasarnya mengambil ben-tuk Persamaan (18) dengan a0=1.
Sistem DT ini dapat diimplementasi menggunakan kom-puter atau spreadsheet, seperti pada contoh sebelumnya.
Latihan: Simulasikan sistem LCCDE rileks
y[n] = 3y[n− 1] + 4y[n− 2]+x[n] + 2x[n− 1]
untuk mencari y[n] pada n ≥ 0 bila dimasuki inputx[n] = 4nu[n].
Jawab: dengan cara serupa pada Tabel 1, kita per-oleh hasil pada Tabel 3. Perubahan yang dilakukanadalah mengubah nilai koe�sien pada sel C2 s/d C7,serta mensimulasikan input pada kolom B12, B13 dstdengan x[n] = 4nu[n].
Tab. 3: Simulasi sistem LCCDE.A B C
1 Koe�sien Nilai2 a2 -43 a1 -34 a0 15 b2 06 b1 27 b0 189 n x[n] y[n]10 -2 0 011 -1 0 012 0 1 113 1 4 914 2 16 5515 3 64 29716 4 256 149517 5 1024 720918 6 4096 3375119 7 16384 15466520 8 65536 69730321 9 262144 310378522 10 1048576 13673431
Kode spreadsheet:B12: =4^A12 [enter]
B13: =4^A13 [enter]
dstC12: =SUM(B10:B12*C$5:C$7)-SUM(C10:C11*C$2:C$3)
[ctrl+shift]-[enter]
C13: =SUM(B11:B13*C$5:C$7)-SUM(C11:C12*C$2:C$3)
[ctrl+shift]-[enter]
dst
Tab. 4: Jumlah komputasi untuk LCCDE dalam implemen-tasi direct form.Komputasi Tipe I Tipe II
Perkalian skalar N +M + 1 N +M + 1Perjumlahan N +M N +MElemen Delay N +M N
Jumlah 3N + 3M + 1 3N + 2M + 1
5 Sistem LCCDE 8
Bentuk ini disebut bentuk direct form tipe 1 karenabentuk ini langsung diperoleh dari persamaan. Jumlahkomputasi yang diperlukan adalah kombinasi dari jumlahperkalian skalar, penjumlahan, dan elemen delay. Seba-gaimana diperlihatkan pada Tabel 4, jumlah komputasi un-tuk direct form tipe I adalah 3M + 3N + 1.Perhatikan bahwa sistem ini dapat dianggap kaskade antaradua sistem.
v[n] =
M∑k=0
bkx[n− k]
y[n] = −N∑k=1
aky[n− k] + v[n]
Karena kedua sistem ini linier, maka kaskade ini bersifatkomutatif, sehingga dapat diubah menjadi kaskade antaradua sistem
w[n] = −N∑k=1
akw[n− k] + x[n]
y[n] =
M∑k=0
bkw[n− k]
dengan hasil yang identik. Karena kedua sistem ini meng-gunakan w[n − k] yang sama, maka kedua kaskade dapatdigabung dengna men-share elemen delay. bentuk ini dise-but direct form tipe II. Karena delay elemen digabung, ma-ka terjadi penghematan sumberdaya komputasi. AsumsiN ≥ M , maka jumlah sumber daya komputasi yang diper-lukan tinggal 3N + 2M + 1.Sistem LCCDE orde dua memiliki bentuk
y[n] = −a2y[n−2]−a1y[n−1]+b0x[n]+b1x[n−1]+b2x[n−2](27)
Latihan: Cari respons impuls dari sistem LCCDE yangrileks
y [n] = −1
6y [n− 2] +
5
6y [n− 1] + x [n]
Sistem ini memiliki bentuk LCCDE sebagaimana per-samaan (24). Maka kita dapat langsung menggunakansolusi homogen pada persamaan (25). Karena kitamenghitung respons impuls, maka x[n] = 0 untukn > 0, sehingga solusi partikular. Jadi impul responsadalah solusi total yang sama dengan solusi homogen.
h [n] = c1
(1
2
)n+ c2
(1
3
)nKita membutuhkan dua persamaan untuk mencari ke-dua koe�sien c1 dan c2, yang bisa kita bentuk meng-gunakan solusi ini pada n = 0 dan n = 1:
h[0] = c1(12
)0+ c2
(13
)0h[1] = c1
(12
)1+ c2
(13
)1Untuk keperluan ini kita memanfaatkan Tabel 1 padan = 0 dan n = 1, sehingga diperoleh (secara pecahan)y[0] = 1 dan y[1] = 5
6 . Sekarang kita punya sistem duapersamaan dengan dua tidak diketahui
1 = c1 + c256 = 1
2c1 + 13c2
yang menghasilkan c1 = 3 dan c2 = −2. Maka solusitotal adalah
h [n] = 3
(1
2
)n− 2
(1
3
)nHasil ini dapat diveri�kasi menggunakan mengemban-gan Tabel 1 menjadi Tabel 5. Misalnya, pada n=10,
kita peroleh h [10] = 3(12
)10 − 2(13
)10yang dapat di-
hitung menggunakan rumus spreadsheet:
D22: =(3*(1/2)^A22)-(2*(1/3)^A22) [enter]
dst
Tabel 5 mengkon�rmasi hasil yang identik antara pen-dekatan simulasi menggunakan persamaan I/O LCCDE dansimulasi menggunakan solusi LCCDE. Meskipun cara yangkedua lebih panjang, tapi sekali solusi ditemukan, per-samaan solusi bisa langsung digunakan untuk n berapapun.Cara yang pertama memerlukan hasil dari n sebelum karenabersifat rekursif.Latihan: Cari solusi dari sistem LCCDE rileks
y[n] = 3y[n− 1] + 4y[n− 2]+x[n] + 2x[n− 1]
untuk mencari (i) respons impuls h[n], dan (ii) y[n] padan ≥ 0 bila dimasuki input x[n] = 4nu[n].Jawab:Untuk mencari solusi y[n] = yh[n]+yp[n] kita perlu men-
gubah bentuk persamaan ke dalam bentuk LCCDE, kemu-dian menghitung solusi partikular yp[n] dan solusi homogenyh[n]. Persamaan LCCDE menjadi
y[n]− 3y[n− 1]− 4y[n− 2]= x[n] + 2x[n− 1]
(i) Persamaan sistem untuk respons impuls adalah
h[n] = 3h[n− 1] + 4h[n− 2]+δ[n] + 2δ[n− 1]
Untuk menghitung respons impuls, kita tidak perlumenghitung solusi partikular. Dengan demikian solusi yangdiperlukan berasal dari soulsi homogen. Untuk LCCDE diatas, kita peroleh persamaan homogen
6 Soal-Soal Latihan 9
Tab. 5: Simulasi solusi LCCDEA B C D
89 n x[n] y[n] y[n]10 -2 0 0 011 -1 0 0 012 0 1 1 113 1 0 0.8333333333 0.833333333314 2 0 0.5277777778 0.527777777815 3 0 0.3009259259 0.300925925916 4 0 0.162808642 0.16280864217 5 0 0.0855195473 0.085519547318 6 0 0.0441315158 0.044131515819 7 0 0.0225230053 0.022523005320 8 0 0.0114139184 0.011413918421 9 0 0.0057577645 0.005757764522 10 0 0.0028958173 0.0028958173
Kode spreadsheet:D12: =(3*(1/2)^A12)-(2*(1/3)^A12) [enter]
D13: =(3*(1/2)^A13)-(2*(1/3)^A13) [enter]
dst
y[n]− 3y[n− 1]− 4y[n− 2] = 0
dan karakteristik polinomial
p (λ) = λ2 − 3λ− 4 = (λ+ 1) (λ− 4)
dengan demikian maka solusi homogen adalah
h[n] = c1 (−1)n + c2 (4)n
Dari persamaan ini dapat dibuat dua persamaan untkmencari c1 dan c2 dengan memilin n = 0 dan n = 1:
h[0] = c1 + c2h[1] = −c1 + 4c2
Kemudian dari persamaan sistem respons impuls di atasdiproleh dua sample pertama dari impulse respons
h[0] = 3h[−1] + 4h[−2]+δ[0] + 2δ[−1]
= 0 + 0 + 1 + 0= 1
h[1] = 3h[0] + 4h[−1]+δ[1] + 2δ[0]
= 3 + 0 + 0 + 2= 5
sehingga
1 = c1 + c25 = −c1 + 4c2
dan diperoleh c1 = − 15 dan c2 = 6
5 . Jadi respons impulsnya adalah
h[n] =
(−1
5(−1)n +
6
5(4)
n
)u [n]
(ii) Kandidat solusi partikular untuk input x[n] = 4nu[n]ini adalah yp [n] = K (4)
nu [n], di mana K seharusnya dapat
diperoleh melalui substitusi pada persamaan LCCDE untukn = 2. Akan tetapi khsusu untik kasus ini ternyata solusiini juga sudah terdapat pada solusi homogen, sehingga perludicari kandidat lain. Kandidat solusi partikular berikutnyayang masih mengandung input tapi bukan bagian dari solusihomogen adalah yp [n] = Kn (4)
nu [n] sehingga diperoleh
persamaan substitusi
Kn (4)nu [n]− 3K(n− 1) (4)
n−1u [n− 1]− 4(n− 2)K (4)
n−2u [n− 2]
= (4)nu[n] + 2 (4)
n−1u[n− 1]
dari sini, setelah dievaluasi pada n=2 diperoleh
K2 (4)2u [n]− 3K (4)
1 − 4(0)K (4)0
= (4)2+ 2 (4)
1
dan K = 65 . Jadi solusi partikular adalah
yp [n] =6
5n (4)
nu [n]
Karena kita sudah menghitung solusi homogen padabagian sebelumnya, solusi total adalah
y [n] = c1 (−1)n + c2 (4)n+
6
5n (4)
nu [n]
6 Soal-Soal Latihan
1. Dari pengamatan input-output sebuah sistem time-invariant diperoleh pasangan input-output sebagaiberikut.
x[n] y[n]
{1, 0, 2} {0, 1, 2}{0, 0, 3} {1, 0, 0, 2}{0, 0, 0, 1} {1, 2, 1}
(a) Tentukan apakah sistem linier atau tidak? ____
(b) Cari respons impulse h[n] = ___
2. Dari pengamatan sebuah sistem linier, diperolehhubungan input-output berikut ini
x [n] y [n]
{−1,2, 1} {1,2,−1, 1}{1,−1,−1} {−1,1, 0, 2}{0,1, 1} {1, 2, 1}
(a) Tentukan apakah sistem ini time-invariant atautidak?
(b) Carilah respons impuls dari sistem ini.
7 Laboratorium Komputer 10
3. Hitunglah/sketsalah y (t) = x (t) ⊗ h (t), dengan x (t)dan h (t) menurut gambar berikut
t
x (t)
1
0 1 2 3 t
h (t)
1
0 1 2
4. Perhatikan sebuah sistem LTI waktu kontinu denganrespons impuls h (t).
x (t) h (t) y (t)
t
h (t)
1
-1 1
(a) Bila input adalah x (t) =∑∞k=2 δ (t− k) , seba-
gaimana diperlihatkan berikut ini, Carilah dansketsalah output y (t) di sampingnya.
t-1 0
x (t)
1 2 3 4 5
1 1 1 1
(b) Kemudian coba cari/sketsa input x (t) di sampingkanan apabila output y(t) diketahui periodik padagambar samping kiri sebagai berikut.
t-4-3
-2 0
y (t)
2
3 4
6
8
-2
2
5. Diketahui sebuah sistem waktu kontinu dengan inputx (t) dan output y (t) dengan hubungan
d
dty (t) + ay (t) = x (t)
di mana a konstanta.
(a) Carilah y(t) dengan kondisi awal y (0) = y0 danx (t) = Ke−btu (t)
(b) Nyatakan y (t) dalam penjumlahan respon zero-input dan respon zero-state.
Fig. 2: Sinyal output untuk input x[n] = cosωn pada ω =1.5.
6. Diketahui sistem waktu kontinu dengan persamaandiferensial
y′ (t) + 2y (t) = x (t) + x′ (t)
Carilah respon impuls h(t) dari sistem ini.
7. Sebuah sistem waktu diskrit dengan input x[n] dan out-put y[n] dengan hubungan
y [n]− ay [n− 1] = x [n]
dengan a adalah konstan. Bila sistem relaks, carilahy[n] untuk input
x [n] = Kbnu [n]
8. Diketahui sistem waktu diskrit dengan persamaandiferens
y [n] + 2y [n− 1] = x [n] + x [n− 1]
Carilah respons impuls h[n] dari sistem ini.
7 Laboratorium Komputer
1. Sebuah sistem seperti pada persamaan (27) dengankoe�sien pada Tabel 6 dimasuki sebuah sinyal input si-nusoid x1 [n] = cos 1.5n. Output dari sistem ini adalahy1[n], diperlihat kan pada spreadsheed Tabel 6dan plotGambar 2. Perhatikan bahwa energi sinyal telah berku-rang sebesar 22.31dB. Berarti sistem ini telah meredamsinyal input.
7 Laboratorium Komputer 11
Tab. 6: Output dari sistem orde dua terhadap sinyal sinu-soid.
A B C
1 Koe�sien Nilai2 a2 0.7438607183 a1 -1.245230964 a0 15 b2 1.3567898566 b1 -0.2755119667 b0 1.35678985689 Frekuensi: 1.510 n x1[n] y1[n]11 -2 -0.99012 -1 0.07166 0 1.000 -0.00667 1 0.071 -0.09168 2 -0.990 -0.115...
......
...70 57 -0.779 -0.04571 58 0.570 0.05472 59 0.860 0.0537374 Energy 30.39 0.1875 Relatif (dB) -22.31
Kode spreadsheet:B11:=COS(B$9*A11) [enter]
D11:=COS(D$9*A11) [enter]
C13: =SUM(B11:B13*C$5:C$7)-SUM(C11:C12*C$2:C$3)
[ctrl+shift]-[enter]
B74:=SUM(B13:B72*B13:B72) [ctrl+shift]-[enter]
C74:=SUM(C13:C72*C13:C72) [ctrl+shift]-[enter]
C75:=10*LOG10(C74/B74) [enter]