TUGAS EKONOMI TEKNIK KIMIA

OPTIMUM DESIGN AND DESIGN STRATEGY

DISUSUN OLEH :

1. DIAH ANGGRAINI (03121003034)

2. TESSA REBECCA (03121003078)

3. FOLITA MALAU (03121003092)

FAKULTAS TEKNIK

JURUSAN TEKNIK KIMIA

UNIVERSITAS SRIWIJAYA

2015

BAB 11

DESAIN OPTIMUM DAN STRATEGI DESAIN

Desain optimum didasarkan pada kondisi yang terbaik atau yang paling

menguntungkan. Dalam hampir setiap kasus, kondisi optimum pada akhirnya dapat direduksi

menjadi pertimbangan biaya atau keuntungan. Dengan demikian, desain ekonomi yang

optimal dapat didasarkan pada kondisi biaya per unit waktu atau keuntungan maksimum per

unit produksi. Ketika salah satu variabel desain berubah, sering ditemukan bahwa beberapa

biaya meningkat dan yang lainnya menurun. Dengan kondisi tersebut, total biaya mungkin

minimum di salah satu nilai variabel desain tertentu, dan nilai ini akan dianggap sebagai nilai

optimal.

Sebuah contoh yang menggambarkan prinsip-prinsip desain ekonomi optimum

disajikan pada Gambar 11-1. Dalam kasus sederhana ini, masalahnya adalah untuk

menentukan ketebalan optimum isolasi untuk diberikan instalasi uap-pipa. Sebagaimana

ketebalan isolasi meningkat, biaya tetap tahunan akan meningkat, biaya kehilangan panas

berkurang, dan semua biaya lainnya tetap konstan. Oleh karena itu, seperti yang ditunjukkan

pada Gambar 11-1, jumlah dari biaya harus minimal di ketebalan isolasi optimal.

Meskipun pertimbangan biaya dan saldo ekonomi merupakan dasar dari desain

optimal, ada kalanya faktor lain selain biaya dapat menentukan kondisi yang paling

menguntungkan. Misalnya, dalam operasi katalitik sebuah reaktor, suhu operasi optimal

mungkin ada untuk setiap ukuran reaktor karena keseimbangan dan keterbatasan laju reaksi.

Suhu tertentu dapat didasarkan pada konversi persentase maksimum atau maksimal jumlah

produk akhir per unit waktu. Pada akhirnya, bagaimanapun, variabel biaya perlu

dipertimbangkan, dan pengembangan desain operasi optimum biasanya hanya satu langkah

dalam penentuan desain ekonomi yang optimal.

BIAYA TAMBAHAN

Pertimbangan biaya tambahan menunjukkan bahwa rekomendasi desain akhir tidak perlu

sesuai dengan desain ekonomi yang optimal, karena tambahan pengembalian investasi

tambahan mungkin menjadi tidak dapat diterima sebelum titik optimum tercapai. Namun,

nilai-nilai optimum dapat digunakan sebagai dasar untuk memulai analisis tambahan biaya.

PERWUJUDAN DAN PERTIMBANGAN PRAKTIS

Berbagai metode matematika untuk menentukan kondisi optimum, seperti yang

disajikan dalam bab ini, mewakili secara teoritis kondisi yang paling memenuhi persyaratan.

Namun, faktor-faktor yang tidak dapat dengan mudah dihitung atau pertimbangan praktis

dapat mengubah rekomendasi akhir selain kondisi optimum yang benar secara teoritis.

Dengan demikian, penentuan suatu "kondisi optimal," seperti yang dijelaskan dalam bab ini,

berfungsi sebagai titik dasar untuk analisis biaya atau desain, dan sering dapat dihitung dalam

bentuk matematika tertentu. Dari titik ini, insinyur harus menerapkan penilaian untuk

memperhitungkan faktor praktis lainnya yang penting, seperti laba atas investasi atau fakta

bahwa peralatan komersial sering tersedia dalam ukuran diskrit interval.

PROSEDUR UMUM UNTUK MENENTUKAN KONDISI OPTIMUM

Langkah pertama dalam pengembangan desain optimal adalah untuk menentukan apa

faktor yang harus dioptimalkan. Faktor khas akan total biaya per unit produksi atau per unit

waktu, keuntungan, jumlah produk akhir per unit waktu, dan persen konversi. Setelah dasar

ditentukan, maka perlu untuk mengembangkan hubungan yang menunjukkan bagaimana

variabel yang berbeda yang terlibat mempengaruhi faktor yang dipilih. Akhirnya, hubungan

ini digabungkan secara grafis atau secara analitis untuk memberikan kondisi optimum yang

diinginkan.

PROSEDUR DENGAN SATU VARIABEL

Ada banyak kasus di mana faktor yang dioptimalkan adalah fungsi dari variabel

tunggal. Prosedur kemudian menjadi sangat sederhana. Perhatikan contoh disajikan pada

Gambar. 11-1, di mana perlu untuk mendapatkan ketebalan isolasi yang memberikan total

biaya terendah. Variabel utama yang terlibat adalah ketebalan isolasi, dan hubungan bisa

dikembangkan menunjukkan bagaimana variabel ini mempengaruhi semua biaya.

Data biaya untuk pembelian dan pemasangan isolasi yang tersedia, dan panjang

service life dapat diperkirakan. Oleh karena itu, hubungan memberikan efek ketebalan isolasi

atas biaya tetap dapat dikembangkan. Demikian pula, hubungan yang menunjukkan biaya

panas yang hilang sebagai fungsi ketebalan isolasi dapat diperoleh dari data nilai uap, sifat

isolasi, dan pertimbangan perpindahan panas. Semua biaya lain, seperti biaya pemeliharaan

dan plant, dapat diasumsikan independen dari ketebalan isolasi. Kedua hubungan biaya yang

diperoleh mungkin dinyatakan dalam bentuk yang disederhanakan seperti berikut:

di mana a, b, c, dan d adalah konstanta dan x adalah variabel umum (ketebalan isolasi).

Metode grafis untuk menentukan ketebalan isolasi yang optimal ditunjukkan pada

Gambar. 11-1. Ketebalan optimum isolasi ditemukan pada titik minimum pada kurva yang

diperoleh dengan memplot biaya variabel total terhadap ketebalan isolasi.

Kemiringan kurva-total biaya variabel adalah nol pada titik ketebalan isolasi optimal.

Oleh karena itu, jika Persamaan (3) berlaku, nilai optimum dapat ditemukan secara analitis

hanya dengan pengaturan turunan dari CT terhadap x sama dengan nol dan memecahkan nilai

dari x.

Nilai x yang ditunjukkan pada Persamaan (5) terjadi pada titik optimum atau titik

belok. Turunan kedua dari Persamaan (3) dievaluasi pada titik tertentu, menunjukkan jika

tercapai nilai minimal (kedua derivatif lebih besar dari nol), maksimum (kedua turunan

kurang dari nol), atau titik belok (kedua turunan sama dengan nol). Sebuah metode alternatif

untuk menentukan jenis titik yang terlibat adalah untuk menghitung nilai faktor yang

dioptimalkan pada titik-titik yang sedikit lebih besar dan sedikit lebih kecil dari nilai

optimum dari variabel tetap. Turunan kedua dari Persamaan (3) adalah :

Jika x merupakan variabel seperti ketebalan isolasi, nilainya harus positif. Oleh karena itu,

jika c adalah positif, turunan kedua pada titik optimal harus lebih besar dari nol, dan (c/a)1/2

mewakili nilai x pada titik di mana total biaya variabel adalah minimum.

PROSEDUR DENGAN DUA ATAU LEBIH VARIABEL

Ketika dua atau lebih variabel independen mempengaruhi faktor yang dioptimalkan,

prosedur untuk menentukan kondisi optimum dapat menjadi agak membosankan. Namun,

pendekatan umumnya sama dengan ketika hanya satu variabel yang terlibat.

Pertimbangkan kasus di mana total biaya untuk operasi tertentu adalah fungsi dari dua

variabel independen x dan y, atau

Dengan menganalisis semua biaya yang terlibat dan mengurangi hubungan yang dihasilkan

menjadi bentuk sederhana, fungsi berikut ditemukan untuk Persamaan (7) :

di mana a, b, c, dan d adalah konstanta positif.

PROSEDUR GRAFIS. Hubungan antara CT, x, dan y bisa ditampilkan sebagai permukaan

melengkung di plot tiga dimensi, dengan nilai minimal CT terjadi pada nilai-nilai optimum

dari x dan y. Namun, penggunaan plot tiga dimensi tidak praktis untuk sebagian penentuan

rekayasa.

Nilai-nilai optimum dari x dan y dalam Persamaan (8) dapat ditemukan grafis pada

plot dua dimensi dengan menggunakan metode yang ditunjukkan pada Gambar 11-2. Dalam

gambar ini, faktor yang dioptimalkan diplot terhadap salah satu variabel independen (x),

dengan variabel kedua (y) yang diselenggarakan pada nilai konstan. Serangkaian plot tersebut

dibuat dengan setiap kurva putus-putus mewakili nilai konstan yang berbeda variabel kedua.

Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 11-2, masing-masing kurva (A, B, C, D, dan E)

memberikan satu nilai dari x variabel pertama pada titik di mana total biaya minimum. Kurva

NM merupakan lokus dari semua titik minimum tersebut, dan nilai optimum dari x dan y

terjadi pada titik minimum pada kurva NM.

Prosedur grafis yang sama dapat digunakan bila ada lebih dari dua variabel

independen. Sebagai contoh, jika z variabel ketiga dimasukkan dalam Persamaan. (8),

langkah pertama akan membuat plot yang mirip dengan Gambar 11-2 di satu nilai konstan z.

Plot serupa kemudian akan dibuat pada nilai konstan lainnya dari z. Setiap plot akan

memberikan nilai optimum dari x, y , dan CT, untuk z tertentu. Akhirnya, seperti yang

ditunjukkan dalam insert pada Gambar. 11-2, nilai optimum keseluruhan x, y, z, dan CT,

dapat diperoleh dengan memplot z terhadap nilai-nilai optimal individu CT .

PROSEDUR ANALITIS. Pada Gambar. 11-2, nilai optimum x ditemukan pada titik di

mana sama dengan nol. Demikian pula, hasil yang sama akan diperoleh jika y

digunakan sebagai absis bukan x. Jika ini dilakukan, nilai optimum dari y (yaitu, y') akan

ditemukan pada titik di mana sama dengan nol. Ini segera menunjukkan

prosedur analitis untuk menentukan nilai optimal.

Menggunakan Persamaan (8) sebagai basis,

Pada kondisi optimum, kedua derivatif parsial harus sama dengan nol; dengan demikian,

persamaan (9) dan (10) dapat diatur sama dengan nol dan nilai-nilai optimum dari x = (cb /

a2)1/3 dan y = (ab / c2)1/3 dapat diperoleh dengan memecahkan dua persamaan simultan. Jika

lebih dari dua variabel independen yang terlibat, prosedur yang sama akan diikuti, dengan

jumlah persamaan simultan yang sama dengan jumlah variabel independen.

Contoh 1. Penentuan nilai optimum dengan dua variabel independen.

Persamaan berikut menunjukkan pengaruh variabel x dan y pada biaya total untuk operasi

tertentu:

Tentukan nilai x dan y yang akan memberikan total biaya terendah.

Penyelesaian :

Metode analisis.

Pada titik optimum:

Pemecahan secara bersamaan untuk nilai-nilai optimal dari x dan y,

Sebuah cek harus dilakukan untuk memastikan nilai-nilai sebelumnya merupakan kondisi

biaya minimum.

Karena derivatif kedua positif, kondisi optimum harus terjadi pada titik biaya minimum.

Metode grafis. Nilai-nilai konstan berikut y dipilih secara sewenang-wenang:

Pada setiap nilai konstan y, plot terbuat dari CT, dibandingkan dengan x. Plot ini disajikan

pada Gambar 11-2 sebagai kurva A, B, C, D, dan E. Ringkasan dari hasil disajikan dalam

tabel berikut:

Satu kurva (NM pada Gambar 11-2) melalui berbagai titik optimum menunjukkan bahwa

optimum keseluruhan terjadi pada:

x = 16

y = 20

CT = 121,6

Catatan: Dalam hal ini, nilai y terpilih yang berhubungan dengan nilai optimum. Biasanya,

perlu untuk interpolasi atau membuat perhitungan lebih lanjut untuk menentukan kondisi

optimum akhir.

PERBANDINGAN GRAFIS DAN METODE ANALITIS

Dalam penentuan kondisi optimum, hasil akhir yang sama diperoleh baik dengan

metode grafis atau analitis. Kadang-kadang tidak mungkin untuk mengatur satu fungsi

analitis untuk diferensiasi, dan metode grafis harus digunakan. Jika pengembangan dan

penyederhanaan fungsi total analitis memerlukan matematika yang rumit, mungkin akan

sederhana dengan menggunakan solusi grafis secara langsung; Namun, setiap masalah secara

individu harus dianalisis berdasarkan keadaan yang ada. Misalnya, jika banyak percobaan

ulang diperlukan, waktu tambahan yang dibutuhkan untuk mengembangkan solusi analitis

dapat digunakan dengan baik.

Metode grafis memiliki satu keuntungan yang berbeda dibandingkan metode analisis.

Bentuk kurva menunjukkan pentingnya operasi atau sangat dekat dengan kondisi optimum.

Jika maksimum atau minimum terjadi pada titik di mana kurva datar dengan hanya perubahan

bertahap di slope, akan ada penyebaran yang cukup besar dalam pilihan kondisi akhir, dan

analisis biaya tambahan mungkin diperlukan. Di sisi lain, jika maksimum atau minimum

tajam, mungkin penting untuk diperasikan pada kondisi optimum yang tepat.

BAGAN BREAK-EVEN UNTUK JADWAL PRODUKSI DAN PENTINGNYA

PERUSAHAAN UNTUK ANALISIS OPTIMUM

Dalam mempertimbangkan biaya keseluruhan atau keuntungan dalam operasi pabrik, salah

satu faktor yang memiliki efek penting pada hasil ekonomi adalah sebagian kecil dari total

waktu yang tersedia selama tanaman ini beroperasi. Jika tanaman berdiri menganggur atau

beroperasi pada kapasitas rendah, biaya-biaya tertentu, seperti untuk bahan baku dan 'tenaga

kerja, dikurangi, tetapi biaya untuk depresiasi dan pemeliharaan terus di dasarnya tingkat

yang sama meskipun tanaman tidak digunakan penuh.

Ada hubungan erat antara waktu operasi, tingkat produksi, dan harga jual. Hal ini

diinginkan untuk beroperasi pada jadwal yang akan memungkinkan pemanfaatan maksimal

biaya tetap sekaligus memenuhi permintaan penjualan pasar dan menggunakan kapasitas

produksi plant untuk memberikan hasil ekonomi terbaik. Gambar 11-3 menunjukkan grafik

bagaimana tingkat produksi mempengaruhi biaya dan keuntungan. Biaya tetap tetap konstan

sementara biaya produk total, serta keuntungan, meningkat dengan peningkatan laju

produksi. Titik di mana biaya total produk sama dengan total pendapatan merupakan titik

impas, dan jadwal produksi yang optimal harus pada tingkat produksi yang lebih tinggi dari

itu sesuai dengan titik impas.

TARIF PRODUKSI OPTIMUM DALAM TANAMAN OPERASI

Prinsip yang sama digunakan untuk mengembangkan desain optimum dapat

diterapkan ketika menentukan kondisi yang paling menguntungkan dalam pengoperasian

pabrik. Salah satu variabel yang paling penting dalam setiap operasi pabrik adalah jumlah

produk yang dihasilkan per unit waktu. Tingkat produksi tergantung pada banyak faktor,

seperti jumlah jam dalam operasi per hari, per minggu, atau per bulan; beban ditempatkan

pada peralatan; dan pasar penjualan yang tersedia. Dari analisis biaya yang terlibat dalam

situasi yang berbeda dan pertimbangan faktor-faktor lain yang mempengaruhi plant tertentu,

adalah mungkin untuk menentukan tingkat optimum produksi atau disebut economic lot size.

Biaya produk total per unit waktu dapat dibagi ke dalam dua klasifikasi biaya operasi

dan biaya organisasi. Biaya operasi tergantung pada tingkat produksi dan termasuk biaya

tenaga kerja langsung, bahan baku, listrik, panas, persediaan dan barang serupa yang

merupakan fungsi dari jumlah bahan yang dihasilkan. Biaya organisasi adalah biaya untuk

personil direktif, peralatan fisik, dan layanan atau fasilitas lain yang harus dijaga terlepas dari

jumlah bahan yang dihasilkan. Biaya organisasi independen terhadap tingkat produksi.

Hal ini mudah untuk mempertimbangkan biaya operasi atas dasar satu unit produksi. Bila ini

dilakukan, biaya operasi dapat dibagi menjadi dua jenis biaya sebagai berikut: (1) biaya

minimum untuk bahan baku, tenaga kerja, listrik, dll, yang tetap konstan dan harus dibayar

untuk setiap unit produksi selama setiap jumlah bahan diproduksi; dan (2) biaya ekstra karena

meningkatnya tingkat produksi. Biaya ekstra ini dikenal sebagai biaya produksi yang super.

Mereka menjadi sangat penting pada tingkat produksi yang tinggi. Contoh biaya produksi

yang super adalah biaya ekstra yang disebabkan oleh kelebihan pada fasilitas listrik,

kebutuhan tenaga kerja tambahan, atau efisiensi penurunan konversi. Biaya produksi yang

super sering dapat direpresentasikan sebagai berikut:

Menunjuk h sebagai biaya operasi yang tetap konstan per unit produksi dan OC sebagai biaya

organisasi per unit waktu, total biaya produk CT per unit produksi

Berikut persamaan untuk berbagai jenis biaya atau keuntungan didasarkan pada Pers. (12):

LAJU PRODUKSI OPTIMUM UNTUK BIAYA MINIMUM PER UNIT PRODUKSI

Hal ini sering diperlukan untuk mengetahui tingkat produksi yang akan memberikan

biaya paling atas dasar satu unit materi yang dihasilkan. Informasi ini menunjukkan harga

jual di mana perusahaan akan dipaksa untuk menghentikan operasi atau beroperasi pada

kerugian. Pada tingkat optimum tertentu ini, sebidang biaya total produk per unit produksi

terhadap tingkat produksi menunjukkan biaya produk minimum; Oleh karena itu, tingkat

produksi optimum harus terjadi di mana dCT, / dP = 0. Solusi analitik untuk kasus ini dapat

diperoleh dari Persamaan (12), dan tingkat PO optimal memberikan biaya minimum per unit

produksi ditemukan sebagai berikut:

LAJU PRODUKSI OPTIMUM UNTUK MAKSIMAL LABA JUMLAH PER UNIT

WAKTU

Dalam kebanyakan badan usaha, jumlah uang yang diperoleh selama periode waktu

tertentu jauh lebih penting daripada jumlah uang yang diperoleh untuk setiap unit produk

yang dijual. Oleh karena itu, perlu untuk mengakui bahwa tingkat produksi untuk keuntungan

maksimum per unit waktu mungkin berbeda jauh dari tingkat produksi untuk biaya minimum

per unit produksi.

Persamaan (15) menyajikan hubungan dasar antara biaya dan keuntungan. Sebuah

plot keuntungan per unit waktu terhadap tingkat produksi melewati maksimal. Persamaan

(19) , oleh karena itu, dapat digunakan untuk menemukan nilai analitis dari tingkat produksi

optimum. Ketika harga jual tetap konstan, tingkat optimal memberikan keuntungan

maksimum per unit waktu adalah :

KONDISI OPTIMUM DALAM OPERASI SIKLIK

Banyak proses yang dilakukan dengan menggunakan operasi siklik yang melibatkan

shutdowns periodik untuk pemakaian, cleanout, atau reaktivasi. Jenis operasi ini terjadi ketika

produk dihasilkan oleh proses batch atau ketika tingkat produksi menurun terhadap waktu,

seperti dalam pengoperasian unit filtrasi plate-and-frame. Dalam operasi batch, tidak ada

produk yang diperoleh sampai unit dimatikan pemakaiannya. Dalam operasi siklik

semikontinu, produk dihasilkan secara terus menerus ketika unit ini beroperasi, namun

tingkat pengiriman berkurang dengan waktu. Dengan demikian, dalam batch atau operasi

siklik semikontinu, variabel total waktu yang dibutuhkan per siklus harus dipertimbangkan

ketika menentukan kondisi optimum.

Analisis operasi siklik dapat dilakukan mudah dengan menggunakan waktu selama

satu siklus sebagai dasar. Bila ini dilakukan, hubungan mirip dengan berikut ini dapat

dikembangkan untuk mengekspresikan faktor keseluruhan, seperti total biaya tahunan atau

tingkat produksi tahunan :

OPERASI SIKLIK SEMIKONTINU

Operasi siklik semikontinu sering dihadapi dalam industri kimia, dan insinyur desain

harus memahami metode untuk menentukan waktu siklus optimum dalam jenis operasi.

Meskipun produk dihasilkan terus menerus, tingkat pengiriman berkurang dengan waktu

karena scaling, koleksi produk samping, penurunan efisiensi konversi, atau penyebab serupa

lainnya. Hal ini diperlukan, oleh karena itu, untuk menutup operasi secara berkala untuk

memulihkan kondisi asli untuk tingkat produksi yang tinggi. Waktu siklus optimum dapat

ditentukan untuk kondisi seperti jumlah maksimum produksi per unit waktu atau biaya

minimum per unit produksi.

Pembentukan Kerak di Evaporator

Selama evaporator beroperasi, padatan sering terbentuk pada permukaan perpindahan

panas, membentuk kerak. Pembentukan terus menerus dari kerak menyebabkan peningkatan

bertahap dalam perlawanan terhadap aliran panas dan akibatnya, penurunan laju perpindahan

panas dan laju penguapan. Dengan kondisi tersebut, unit penguapan harus ditutup dan

dibersihkan setelah waktu operasi optimum, dan siklus ini kemudian diulang.

Pembentukan kerak terjadi sampai batas tertentu dalam semua jenis evaporator, tetapi

ini penting ketika campuran umpan mengandung bahan terlarut yang memiliki kelarutan

terbalik. Ekspresi terbalik kelarutan berarti kelarutan berkurang karena suhu larutan

meningkat. Untuk bahan jenis ini, kelarutan adalah paling dekat permukaan perpindahan

panas di mana suhu adalah yang terbesar. Dengan demikian, setiap kristalisasi padat dari

larutan melakukannya di dekat permukaan perpindahan panas dan sangat mungkin untuk

membentuk kerak pada permukaan ini. Zat pembentuk kerak paling umum adalah kalsium

sulfat, kalsium hidroksida, natrium karbonat, natrium sulfat, dan garam kalsium asam organik

tertentu.

Ketika pembentukan kerak benar terjadi, koefisien perpindahan panas keseluruhan

mungkin terkait dengan waktu evaporator telah beroperasi dengan persamaan garis lurus.

Dimana a dan d adalah konstanta untuk setiap operasi tertentu dan U adalah keseluruhan

koefisien perpindahan panas setiap saat operasi b, sejak awal operasi.

Jika Q merupakan jumlah total panas yang ditransfer dalam waktu operasi b dan A

dan At mewakili masing-masing, kekuatan daerah perpindahan panas dan driving force

perbedaan temperatur, laju perpindahan panas pada setiap saat adalah :

Tingkat sesaat perpindahan panas bervariasi selama waktu operasi, tapi daerah

perpindahan panas dan driving force perbedaan temperatur tetap pada dasarnya konstan. Oleh

karena itu, jumlah total panas yang ditransfer selama waktu pengoperasian b, dapat

ditentukan dengan mengintegrasikan Persamaan (23) sebagai berikut:

SIKLUS WAKTU UNTUK BIAYA MINIMUM PER UNIT PANAS TRANSFER

Ada banyak situasi yang berbeda yang dapat mempengaruhi biaya minimum per unit

panas yang ditransfer dalam operasi evaporator. Total biaya untuk satu pembersihan dan

persediaan biaya diasumsikan konstan tidak peduli berapa banyak didih waktu digunakan.

Masalahnya adalah menentukan waktu siklus yang akan memungkinkan operasi pada total

biaya .

Total biaya termasuk (1) biaya tetap pada peralatan dan biaya overhead tetap, (2)

biaya uap, bahan, dan penyimpanan yang proporsional dengan jumlah umpan dan penguapan,

(3) biaya untuk tenaga kerja langsung selama operasi penguapan yang sebenarnya, dan (4)

biaya pembersihan. Karena ukuran dari peralatan dan jumlah umpan dan penguapan adalah

tetap, biaya termasuk dalam (1) dan (2) adalah independen dari waktu siklus. Waktu siklus

optimum, oleh karena itu, bisa ditemukan dengan meminimalkan jumlah dari biaya untuk

pembersihan dan untuk tenaga kerja langsung selama penguapan.

AKURASI DAN SENSITIVITAS HASIL

Tujuan dari diskusi dan contoh yang disajikan dalam bagian sebelumnya dari bab ini

telah memberikan dasar untuk memahami pentingnya kondisi optimum ditambah contoh

sederhana untuk menggambarkan konsep umum. Biaya karena pajak, nilai waktu dari uang,

modal, efisiensi atau inefisiensi operasi, dan pemeliharaan khusus adalah contoh dari faktor

yang belum ditekankan sebelumnya. Faktor-faktor tersebut dapat memiliki pengaruh yang

cukup penting pada kondisi optimum bahwa mereka perlu diperhitungkan untuk analisis

akhir. Insinyur harus memiliki pemahaman praktis untuk mengenali kapanfaktor-faktor

tersebut penting (diperhitungkan).

Sebuah contoh klasik yang menunjukkan bagaimana melakukan perbaikan dapat

datang ke analisis untuk kondisi optimum terlibat dalam pengembangan metode untuk

menentukan diameter pipa ekonomi optimum untuk transportasi cairan. Analisis berikut,

berurusan dengan diameter pipa ekonomi, memberikan derivasi rinci untuk menggambarkan

bagaimana ekspresi disederhanakan untuk kondisi optimum dapat dikembangkan.

Pembahasan lebih lanjut menunjukkan efek dari variabel lain di sensitivitas juga disajikan.

DINAMIKA FLUIDA (OPTIMUM PIPA EKONOMI DIAMETER)

Investasi untuk pipa dan fitting pipa merupakan bagian penting dari total investasi

untuk pabrik kimia. Hal ini diperlukan, karena itu, untuk memilih ukuran pipa yang dekat

dengan total biaya minimum untuk memompa dan biaya tetap. Untuk setiap himpunan

kondisi aliran, penggunaan peningkatan diameter pipa akan menyebabkan peningkatan biaya

tetap untuk sistem perpipaan dan penurunan biaya pemompaan. Oleh karena itu, diameter

pipa secara ekonomi yang optimal harus ada. Nilai diameter ini optimal dapat ditentukan

dengan menggabungkan prinsip-prinsip dinamika fluida dengan pertimbangan biaya.

Diameter pipa ekonomi optimum ditemukan pada titik di mana jumlah biaya pemompaan dan

biaya tetap didasarkan pada biaya sistem perpipaan adalah minimum.

Biaya Pemompaan

Untuk setiap kondisi operasi tertentu yang melibatkan aliran fluida non kompresibel

melalui pipa diameter konstan, saldo mekanik-energi dapat dikurangi dengan bentuk berikut:

Biaya Tetap Untuk Sistem Perpipaan

Untuk sebagian besar jenis pipa, sebidang logaritma dari diameter pipa versus

logaritma dari biaya pembelian per kaki pipa pada dasarnya adalah berbanding lurus. Oleh

karena itu, biaya pembelian untuk pipa dapat diwakili oleh persamaan berikut:

Biaya tahunan untuk sistem perpipaan dipasang dapat dinyatakan sebagai berikut:

Diameter Optimal Pipa Ekonomi

Biaya tahunan total untuk sistem perpipaan dan pemompaan dapat diperoleh dengan

menambahkan Pers (35) dan (38) atau pers (36) dan (38). Satu-satunya variabel dalam

menghasilkan ekspresi total penerbangan adalah diameter pipa. Diameter pipa ekonomi yang

optimal dapat ditemukan dengan mengambil turunan dari total biaya sehubungan dengan

diameter pipa, pengaturan hasilnya sama dengan nol, dan memecahkan untuk Q. Prosedur ini

memberikan hasil sebagai berikut:

Untuk aliran turbulen,

Untuk aliran viskos:

Nilai n untuk pipa baja adalah sekitar 1,5 jika diameter pipa adalah 1 in. atau lebih besar dan

1,0 jika diameter kurang dari 1 in. Subsitusinilai di pers. (39) dan (40) memberikan:

Untuk aliran turbulen di pipa baja,

Nilai-nilai berikut berlaku di bawah kondisi industri yang biasa :

K = $O.O9/kWh

J = 0.35 or 35 percent

H,, = 8760 h/year

E = 0.50 or 50 percent

F= 1.4

KF = 0.20 or 20 percent

X = $0.74 per ft untuk 1-in.-diameter pipa steel

Pers. (39) melalui (48) dapat digunakan untuk memperkirakan ekonomi optimal

diameter pipa. Pada pers. (45) melalui (48) cukup akurat untuk perkiraan desain dibawah

kondisi pabrik yang biasa, dan perkiraan diameter diperoleh biasanya dalam keadaan aman

untuk penambahan dalam metode perhitungan yang pada umumnya cenderung menghasilkan

diameter yang lebih kecil.

Pers. 39

Pers. 48

Analisis Efek Pajak dan Biaya Modal

Analisis sebelumnya jelas mengabaikan beberapa faktor yang memiliki pengaruh

pada diameter pipa ekonomi yang optimal, seperti biaya modal atau laba atas investasi, biaya

peralatan pompa, pajak, dan nilai waktu dari uang. Jika sebelumnya dari Pers. (39) untuk

aliran turbulen yang disempurnakan untuk mencakup dampak pajak dan biaya modal (atau

laba atas investasi) ditambah pers. yang lebih akurat untuk kerugian gesekan karena fitting

dan tikungan, hasilnya adalah:

Penyederhanaan untuk memperoleh pers. (45)

ke (48) dan Pers. (50) Pendekatan yang dapat digunakan untuk hasil perkiraan, ketika

variabel tertentu muncul dalam perubahan yang relatif besar tapi memiliki sedikit efek pada

hasil akhir.

Pers. 50

Perpindahan Panas ( Laju Alir Optimum dari Kondensor Cooling Water)

Jika kondensor, dengan air sebagai media pendingin, dirancang demikian, cooling

water dapat bersirkulasi pada tingkat tinggi dengan perubahan kecil pada suhu air atau pada

tingkat rendah dengan perubahan besar dalam suhu air. Suhu air mempengaruhi perbedaan

kekuatan pendorong untuk transfer panas. Penggunaan peningkatan jumlah air, akan

menyebabkan berkurangnya jumlah yang diperlukan pada daerah perpindahan panas dan

penurunan resultan dalam investasi awal dan biaya tetap. Di sisi lain, biaya untuk air akan

meningkat jika lebih banyak air yang digunakan. Keseimbangan ekonomi antara kondisi

tingkat air tinggi - luas permukaan keil dan tinggi air rendah - rendah dan luas permukaan air

rendah, menunjukkan bahwa laju alir optimum cooling water terjadi pada titik total biaya

minimum untuk pendinginan biaya air dan peralatan tetap.

panas harus dihilangkan dari uap kondensasi pada tingkat tertentu yang diberikan, q

(Btu / jam). Laju perpindahan panas dapat di nyatakan:

Biaya tetap tahunan untuk kondensor adalah AKFCA, dan total biaya tahunan untuk air

pendingin ditambah biaya tetap adalah:

Tingkat pendinginan air optimum terjadi ketika biaya tahunan total minimum. Dengan

demikian, temperatur keluar optimum yang sesuai dapat ditemukan dengan membedakan

Pers. (55) sehubungan dengan t, (atau, lebih sederhana, sehubungan dengan t '- t2) dan

pengaturan hasil sama dengan nol. Nilai optimum t2 dapat diberikan Pers. 56

Perpindahan Massa (Rasio Reflux Optimum)

Desain pada unit distilasi biasanya berdasarkan spesifikasi yang memberikan tingkat

pemisahan untuk umpan yang masuk ke unit pada komposisi diketahui, suhu, dan laju aliran.

Insinyur desain harus menentukan ukuran kolom dan rasio refluks yang diperlukan untuk

memenuhi spesifikasi. Peningkatan rasio refluks, dapat mengakibatkan biaya yang lebih

rendah untuk kolom distilasi dan biaya yang lebih besar untuk suplai panas reboiler dan

kondensor. Contohnya biaya kolom, biaya reboiler, biaya kondensor, biaya sauna, dan biaya

air pendingin. Masing-masing biaya ini adalah fungsi dari rasio refluks, dan rasio refluks

optimum terjadi pada titik di mana jumlah dari biaya variabel tahunan minimum. Total biaya

variabel akan ditentukan pada berbagai rasio refluks, dan rasio refluks optimum akan

ditemukan dengan metode grafis.

Mole fraction benzene in liquid

Strategi Liniarisasi Untuk Analisis Optimum

Prosedur ini mengasumsikan bahwa absolut maksimum atau minimum terjadi dengan

operasi limit dan dibatasi dengan kondisi yang relatif sederhana di mana membatasi kendala

tidak terlampaui. Namun, masalah industri praktis sering melibatkan mendirikan program

terbaik untuk memenuhi kondisi yang ada dalam keadaan di mana optimal mungkin pada

batas atau membatasi kondisi daripada maksimal benar atau titik minimum. Sebuah contoh

khas adalah bahwa produsen yang harus menentukan bagaimana untuk berbaur berbagai

bahan baku menjadi campuran akhir yang akan memenuhi spesifikasi dasar sekaligus

memberikan keuntungan yang maksimal atau biaya minimal. Dalam hal ini, keterbatasan

dasar atau kendala adalah bahan baku yang tersedia, spesifikasi produk, dan jadwal produksi,

sedangkan tujuan keseluruhan (atau fungsi tujuan) adalah untuk memaksimalkan keuntungan.

Satu strategi untuk menyederhanakan pendekatan untuk masalah pemrograman

berdasarkan pada pengungkapkan kendala dan tujuan dalam bentuk linear matematika

ax1 + bx2 +……. +jxj + ….. +nxn = z

Sebuah contoh:

Sebuah tempat pembuatan bir menerima pesanan 100 gal bir dan harus mengandung 4

persen alkohol dan harus diberikan segera. Akan tetapi tidak ada bir 4 persen sekarang di

persedian. Maka diputuskan untuk mencampur dua bir untuk menghasilkan bir yang

diinginkan. Bir A mengandung 4,5 persen alkohol seharga $ 0,32 per galon. Bir B

mengandung 3,7 persen alkohol seharga $ 0,25 per galon. Air dapat ditambahkan ke

campuran, tanpa biaya. Berapa volume campuran dari dua bir dengan air, termasuk

setidaknya 10 gal dari Bir A, akankah diberikan biaya minimum untuk bir 100 gal 4 persen?

Permasalahan diatas dapat diselesaikan dengan program linier. Ada beberapa langkah:

1. Penjelasan sistematis keterbatasan atau kendala

2. Penjelasan sistematis tujuan

3. Mengkombinasikan dari kondisi kendala dan fungsi objektif untuk memilih hasil

terbaik dari banyak kemungkinan.

.

Generalisasi Strategi untuk pemrograman linier

Masalah dasar dalam pemrograman linear adalah untuk memaksimalkan atau

meminimalkan fungsi linear. Ada berbagai strategi yang dapat dikembangkan untuk

menyederhanakan metode solusi, beberapa di antaranya yaitu algoritma yang memungkinkan

metode hafalan atau murni dari solusi plugging.

Persamaan Simultan

Pemrograman linear berkaitan dengan solusi untuk persamaan linier simultan di mana

persamaan dikembangkan atas dasar pembatasan pada variabel. Karena pembatasan ini sering

dinyatakan sebagai ketidaksetaraan, perlu untuk mengkonversi ketidaksetaraan ini agar

menjadi kesetaraan. Hal ini dapat dicapai dengan dimasukkannya variabel baru ditunjuk

sebagai variabel slack.

a1x1 + a2x2 + a3x3 ≤ b

Variabel slack mengambil nilai apapun yang diperlukan untuk memenuhi persamaan dan

biasanya dianggap sebagai memiliki batasan non negatif. variabel slack akan dikurangkan

dari sisi kiri untuk ketidaksetaraan dalam bentuk

a1x1 + a2x2 + a3x3 ≥ b

Generalisasi Strategi untuk pemrograman linier

Solusi efisien untuk masalah pemrograman linear, sebuah algoritma dapat

dikembangkan. Algoritma, pada dasarnya, hanyalah sebuah metode matematis tujuan untuk

memecahkan masalah sehingga dapat diajarkan untuk non-profesional atau diprogram untuk

komputer. Algoritma dapat terdiri dari serangkaian langkah berulang atau iterasi. Untuk

mengembangkan bentuk pendekatan untuk solusi pemrograman linear, set linear kesenjangan

yang membentuk kendala, ditulis dalam bentuk "sama dengan kurang dari" persamaan adalah

am1xl + am2x2 + …... + amnxm ≤ bm

Algoritma Simplex

Dasar untuk metode simpleks adalah solusi ekstrim dengan memulai pada satu titik

ekstrim yang solusinya layak dikenal dan kemudian melanjutkan ke titik ekstrim selanjutnya.

Ketika titik ekstrim tercapai kemudian ada perbaikan lebih lanju, maka solusi yang optimum

layak diinginkan. Dengan demikian, algoritma simpleks merupakan proses berulang yang

dimulai pada satu ekstrim dengan solusi yang layak, proses ini meningkatkan solusi. Jika

solusi yang optimal ada, algoritma ini dapat digunakan dengan efisien untuk solusi. Prosedur

untuk algoritma simpleks adalah sebagai berikut:

1. masalah pemrograman linear standar

2. menetapkan solusi awal yang layak agar dapat diproses

3. menguji solusi yang layak dengan optimal

4. iterasi terhadap program optimal yang dicapai

5. kasus special

6. memperoleh titik maksimum pada metode sebelumnya, seperti fungsi objektif bisa

diterapkan untuk suatu kasus ketika fungsi objektif minimum, dengan mengenali

bahwa memaksimalkan fungsi negatif adalah sepadan untuk meminimalkan suatu

fungsi.

5. Pada kasus khusus :

a. Jika solusi awal yang diperoleh dengan menggunakan metode yang diberikan dalam

sebelumnya tidak layak, solusi yang layak dapat diperoleh dengan menambahkan lebih

banyak variabel buatan yang kemudian harus dipaksa keluar dari solusi akhir.

b. Degenerasi dapat terjadi dalam metode simpleks jika variabel keluar dipilih. Jika ada dua

atau lebih nilai dengan ukuran yang sama, hal ini dapat dihilangkan dengan metode ratioing

setiap elemen dalam baris yang bersangkutan dengan koefisien positif dari kolom k dan

memilih baris untuk variabel keluar sebagai yang pertama mengandung rasio aljabar terkecil.

6. Metode sebelumnya untuk mendapatkan maksimum sebagai fungsi tujuan dapat diterapkan

untuk kasus ketika fungsi tujuan adalah minimum dengan mengakui bahwa memaksimalkan

negatif dari suatu fungsi setara dengan meminimalkan fungsi.

THE SIMPLEX ALGORITMA DIGUNAKAN SEBAGAI CONTOH

Ditunjukkan dalam Gambar 11-10

Dalam contoh yang digunakan sebelumnya, dan yang solusinya grafis ditunjukkan pada

Fig.11-10, masalah dalam bentuk linear-programming standar : cari nilai-nilai dari variabel

yang mewakili solusi untuk

2x1 + 5x2 + x3 = 10

4x1 + 3x2, + X4 = 12

3x1, + 4x2 (menjadi 3x, + 4x, + Ox, + Ox, = z)

dimana x1 > 0, x2 > 0, x3 > 0, and x4 > 0.

Kolom ketiga, b, memberikan daftar konstanta kondisi untuk membatasi persamaan. Kolom

setelah b memiliki harga x dan mewakili variabel. Variabelnya adalah x3 dan x4, ditunjuk

sebagai kesatuan untuk baris yang sesuai, sementara variabel struktural x1 dan x2 dengan

bentuk matriks normal berdasarkan koefisien untuk x1 dan x2 dalam persamaan. Kolom

terakhir di sebelah kanan, bi / aik, digunakan untuk mencatat rasio ditunjukkan untuk setiap

baris selama proses iterasi. Dua baris terbawah untuk memberikan metode yang nyaman

untuk merekam tujuan-fungsi komponen baris zj dan nilai-nilai cj - zj untuk setiap kolom.

Dengan definisi j= 1,2 ,. . . , n, nilai zj adalah 0 untuk semua kolom ini adalah 0. Karena baris

cj - zj memiliki setidaknya satu nilai positif di dalamnya, program optimal yang lebih baik

tersedia. Variabel di kepala kolom (k) dengan nilai maksimum cj - zj adalah x2. Oleh karena

itu, x2 akan menjadi variabel yang masuk. Nilai minimum bi / aik terjadi untuk baris x3;

sehingga x3 akan menjadi titik penting. Untuk menghilangkan x3 dari dasar, elemen yang

sesuai untuk titik penting telah dikurangi menjadi 1 dengan membagi baris x3 dengan 5.

Hasil yang ditunjukkan pada Tabel 9 memberikan titik ekstrim lain dari x1 = 15/7, x2 = 8/7, x3

= x4 = 0. Nilai zj untuk kolom b adalah (4 x 8/7) + (3 x 15/7) = 11, dan nilai untuk empat

kolom lain dari kiri ke kanan diperoleh sebagai (4 x 2/7) + (3 x- 3/14 = 1/2, (4 x -1/7) + (3 x

5/14) = 1/2, (4x0) + (3x1) = 3, dan (4x1) + (3x0) = 4. Karena baris cj - zj hanya memiliki

negatif atau nol nilai di dalamnya, ini adalah solusi optimal, dan fungsi tujuan adalah

maksimum (4 x 8/7) + (3 x 15/7) = 11 pada x1 = 15/7 dan x2 =8/7, yang merupakan solusi

yang sama yang diperoleh oleh analisis grafis pada Gambar. 11-10. Langkah berikutnya

setelah pernyataan yang tepat dari masalah linear-programming adalah untuk membangun

solusi layak awal dari yang iterasi selanjutnya dapat melanjutkan. Untuk kasus ini, biarkan x1

= x2 = 0, dan x3 = 10, x4 = 12, z = 0. Pada kolom pertama, ci, memberikan koefisien dari

variabel dalam fungsi tujuan untuk solusi pertama ini keduanya nol karena x3 dan x4 tidak

muncul dalam fungsi tujuan.

STRATEGI DINAMIS PROGRAMMING UNTUK OPTIMASI ANALISIS

Penggunaan pemrograman dinamis yang bersangkutan untuk desain dalam industri

kimia di mana fungsi tujuan untuk sistem yang rumit sering dapat diperoleh dengan membagi

sistem secara keseluruhan menjadi serangkaian tahapan. Mengoptimalkan tahap sederhana

yang dihasilkan dapat menyebabkan solusi optimal untuk masalah yang kompleks asli.

Formulasi umum untuk masalah yang dinamis-pemrograman, disajikan dalam bentuk yang

disederhanakan, ditunjukkan pada Gambar. 11-11. Atas dasar definisi istilah yang diberikan

pada Gambar. 11-l1a, masing-masing variabel, xi + i, xi, dan di, dapat diganti dengan vektor

karena mungkin ada beberapa komponen atau aliran terlibat dalam input dan output, dan

beberapa variabel mungkin terlibat. Keuntungan atau kembali Pi adalah skalar yang

memberikan ukuran kontribusi tahap i untuk fungsi tujuan. Untuk pengoperasian satu tahap,

output adalah fungsi dari input dan keputusan.

Simbolisme fi (xi+1) menunjukkan bahwa maksimum (atau optimal) kembali atau

keuntungan dari proses tergantung pada masukan untuk proses itu, dan istilah dalam kurung

mengacu pada fungsi yang sedang dioptimalkan. Dengan demikian, ekspresi Qi (xi + 1, di)

merupakan gabungan kembali dari semua tahapan dan harus sama kembali dari tahap i, atau

gi (x i + i, di), ditambah pengembalian maksimal dari tahap sebelumnya 1 sampai i - 1, atau f i-

1(xi). Dalam melaksanakan prosedur untuk menerapkan pemrograman dinamik untuk solusi

masalah pabrik-desain yang tepat, setiap masukan x i + 1 dianggap sebagai parameter. Dengan

demikian, pada setiap tahap, masalahnya adalah untuk menemukan nilai optimum dari

variabel keputusan d, untuk semua nilai layak dari variabel input. Dengan menggunakan

pendekatan dinamis-program yang melibatkan tahap n, total n optimasi harus dilakukan.

Pendekatan ini dapat dibandingkan dengan pendekatan konvensional di mana nilai-nilai

optimal dari semua tahapan dan keputusan akan dibuat oleh analisis kombinasi probabilitas

dasar. Dengan demikian, metode konvensional akan memiliki usaha komputasi yang akan

meningkat sekitar eksponensial dengan jumlah tahap, sedangkan pendekatan dinamis-

pemrograman dapat memberikan pengurangan besar dalam upaya komputasi yang diperlukan

karena upaya ini hanya akan meningkat sekitar linear dengan jumlah tahap. Namun,

keuntungan ini pemrograman dinamis didasarkan pada rendahnya jumlah komponen dalam

input vektor x i + 1, dan pemrograman dinamis dengan cepat kehilangan efektivitasnya untuk

kelayakan komputasi praktis jika jumlah komponen ini meningkat di atas dua.

Contoh Sederhana Dynamic Pemrograman

Sebagai gambaran dari prosedur umum dan metode analisis yang digunakan dalam

pemrograman dinamis, mempertimbangkan masalah contoh desain disajikan dalam tabel

prosedur umum yang terdiri dari langkah-langkah berikut:

1. Menetapkan urutan tahap tunggal ke mana proses tersebut akan dibagi. Ini ditampilkan

sebagai tahap 1 sampai 5 pada tabel 10.

2. Tentukan unit yang akan digunakan untuk mengekspresikan fungsi keuntungan untuk

setiap tahap individu dan keseluruhan proses.

3. Untuk setiap tahap, menentukan kemungkinan input, keputusan, dan output. Ini

ditunjukkan pada Tabel 11.

4. Untuk setiap tahap dan untuk setiap kombinasi dari keputusan masukan membangun

output.

5. Membangun kembali optimal dari keseluruhan proses dan dari setiap tahap oleh penerapan

prinsip yang ditunjukkan dalam persamaan. (91).

Langkah (l), (2), dan (3) selesai, ditunjukkan pada tabel 10 dan 11. Untuk melaksanakan

langkah-langkah (4) dan (5), perlu untuk mengasumsikan sejumlah tingkat diskrit untuk

masing-masing variabel keputusan. Ukuran subdivisi untuk setiap variabel keputusan tentu

saja merupakan kendala yang dikenakan pada solusi sistem, tetapi kendala ini sangat berguna

untuk mempersempit wilayah yang harus mendapat perhatian paling hati-hati untuk optimasi.

Output urutan untuk subproses yaitu dari tahap 1, tahap 1 - tahap 2, tahap 1 - tahap 2 tahap 3,

tahap 1-tahap 2 tahap 3 - tahap 4, dan akhirnya tahap 1-tahap 2 tahap 3-tahap 4 tahap 5.

Tabel 10

Sebuah model dinamis-pemrograman untuk produksi bahan kimia baru tanpa recycle

termasuk data spesifik untuk contoh

Feed : 50.000 lb/ tahun dari bahan baku yang diumpankan ke tahap 5 dari model di atas dari

proses dengan biaya $ 1 per pon. Output dari proses 5 tahap harus setidaknya 15.000 lb

produk per tahun. Fungsi objektif keseluruhan dari seluruh proses adalah untuk

mengoptimalkan untuk keuntungan maksimum selama lima tahun. Asumsikan periode

kehidupan peralatan adalah 3 tahun.

Tabel 10

Sebuah model dinamis-pemrograman untuk produksi bahan kimia baru tanpa recycle

termasuk data spesifik untuk contoh (Lanjutan)

Subdivisi keputusan dalam contoh ini ditunjukkan oleh data pada Tabel 10 dan

diringkas dalam Tabel 11. Dengan demikian, dalam tahap 5, ada tiga keputusan mungkin

pada pilihan mixer, dan masing-masing memiliki empat keputusan efisiensi. Pada tahap 4,

ada empat keputusan pada tingkat suhu untuk pemanas. Pada tahap 3, ada tiga reaktor dan

dua katalis. Tahap 2 memiliki tiga keputusan yang mungkin dari reaktor II, II, atau tidak ada

reaktor. Pada tahap 1, ada dua keputusan yang mungkin dari satu pemisah besar atau dua

pemisah kecil. Secara keseluruhan, oleh karena itu, modus operasi yang mungkin oleh

pendekatan yang acak tersebut adalah

3 x 4 x 4 x 3 x 2 x 3 x 2 = 1728

Dengan menerapkan teknik pemrograman dinamis, kondisi optimum akhir dapat dibentuk

oleh operasi tahap-demi-tahap sehingga hanya sekitar 15 mode operasi harus

dipertimbangkan.

Subproses Tahap I

Untuk prosedur dinamis-program yang melibatkan hanya tahap 1, analisis didasarkan

pada penjualan produk akhir dengan pertimbangan hanya yang tahap pertama. Dengan dasar

ini, memungkinkan konversi dari aliran masuk harus dipertimbangkan. Data yang diberikan

pada Tabel 10 menunjukkan bahwa setidaknya 30 persen dari umpan harus dikonversi. Ini

menunjukkan bahwa kemungkinan tidak masuknya reaktor II pada tahap 2 hanya dapat

dipertimbangkan jika konversi meninggalkan reaktor I sekitar 30 persen atau lebih tinggi.

Untuk setiap konversi (misalnya, untuk 50 persen konversi), lima tahun laba dapat

dievaluasi untuk kasus satu pemisah besar dan dua pemisah kecil. Oleh karena itu, dengan

menggunakan data yang diberikan pada Tabel 10 dan mengabaikan biaya umpan yang

konstan maka,

Laba lima tahun menggunakan salah satu pemisah besar :

= (5)(50,000)(0.5)($5.0) - $15,000 - (5)($4,000) = $590,000

Laba lima tahun menggunakan dua pemisah kecil :

= (5)(50,000)(0.5)($5.0) - (2)($9,000) - (2)(5)($1,500) = $592,000

Hal ini menunjukkan bahwa operasi yang optimal dari tahap 1 dengan konversi 50 persen

memerlukan penggunaan dua pemisah kecil. Perhitungan ini diulang untuk semua konversi

kelayakan, dan hasil [yaitu, satu-tahap keuntungan Q1 (x2, d1)] disajikan pada Tabel 12

dengan kondisi optimum untuk setiap konversi ditunjukkan dengan tanda bintang.

Subproses Tahap 1-Tahap 2

Subproses ini melibatkan membuat keputusan pada jenis reaktor II (II, II, atau tidak ada).

Semua kemungkinan ini, termasuk keputusan konversi dan jenis reaktor, harus dievaluasi.

Setiap hasil akan memberikan konversi akhir yang merupakan umpan untuk tahap 1, tapi

kondisi optimum untuk tahap 1 telah dihasilkan untuk berbagai feed. Oleh karena itu, jumlah

dari biaya yang optimal untuk tahap 1 dan biaya yang dikembangkan untuk tahap 2 dapat

ditabulasikan sehingga sistem yang optimal untuk tahap l-tahap 2 dapat dipilih untuk setiap

umpan yang tepat untuk tahap 2. Sebagai contoh, jika tahap 2 masukan konversi terpilih

sebagai 40 persen, data dan perhitungan berikut berlaku (mengabaikan biaya umpan yang

tetap konstan):

Laba lima tahun menggunakan reaktor II,

= $676,000 - $60,000 - (5)($10,000) = $566,000 (optimum untuk tahap pertama dengan

konversi 80%)

Laba lima tahun menggunakan reaktor II,

= $693,500 - $80,000 - (5)($20,000) = $513,500 (optimum untuk tahap pertama dengan

konversi 90%)

Laba lima tahun tidak menggunakan reaktor II = $503,000

Sisa Subproses dan Solusi Final

Optimum akhir untuk proses sekarang dapat dilihat dari Tabel 16 dengan memberikan

keuntungan lima tahun dari $ 427.000. Operasi tahap yang baik harus sebagai berikut:

Tahap 5: Dari Tabel 16, tipe B mixer dengan efisiensi 80 persen harus digunakan.

Tahap 4: Dari Tabel 15, pemanas harus dioperasikan pada 800 ° F.

Tahap 3: Dari Tabel 14 dan 10, reaktor I, dengan katalis 1 harus digunakan memberikan

konversi 60 persen.

Tahap 2: Dari Tabel 13, tidak ada reaktor II harus digunakan.

Tahap 1: Dari Tabel 12, dua pemisah kecil harus digunakan.

Contoh sebelumnya menggambarkan teknik yang digunakan dalam pemrograman dinamis.

Teknik ini memungkinkan penghematan besar dalam jumlah usaha komputasi yang terlibat

seperti yang diilustrasikan oleh fakta bahwa pendekatan optimasi tahap-demi-tahap yang

digunakan dalam contoh yang terlibat pertimbangan hanya sekitar 15 kemungkinan mode

operasi.

TEKNIK MATEMATIKA LAINNYA DAN STRATEGI UNTUK MEMBANGUN

KONDISI OPTIMUM

Banyak teknik matematika, di samping pendekatan dasar yang sudah dibahas, telah

dikembangkan untuk aplikasi dalam berbagai situasi yang membutuhkan penentuan kondisi

optimum. Ringkasan dari beberapa umum lainnya dan teknik matematika lebih maju,

bersama dengan referensi karena adanya informasi tambahan, disajikan sebagai berikut:

Aplikasi Lagrange

Ketika kendala kesetaraan atau pembatasan pada variabel tertentu ada di optimasi

situasi, teknik analisis yang kuat adalah penggunaan Lagrange. Dalam banyak kasus,

prosedur optimasi normal pengaturan parsial dari fungsi tujuan terhadap setiap variabel sama

dengan nol dan memecahkan persamaan yang dihasilkan secara bersamaan menjadi sulit atau

tidak mungkin matematis. Mungkin lebih sederhana untuk mengoptimalkan dengan

mengembangkan Lagrange ekspresi, yang kemudian dioptimalkan di tempat fungsi tujuan

yang nyata. Dalam menerapkan teknik ini, ekspresi Lagrange didefinisikan sebagai nyata

fungsi dioptimalkan (yaitu, fungsi tujuan) ditambah produk dari Multiplier Lagrangian (A)

dan kendala. Jumlah pengganda Lagrangian harus sama dengan jumlah kendala, dan kendala

adalah dalam bentuk persamaan ditetapkan sama dengan nol. Untuk menggambarkan

aplikasi, mempertimbangkan situasi di mana tujuannya adalah untuk mencari nilai positif dari

variabel x dan y yang membuat produk xy maksimal di bawah kendala yang X2 + y2 = 10.

Untuk kasus sederhana ini, fungsi tujuan adalah xy dan persamaan menjadi kendala,

ditetapkan sama dengan nol, adalah X2 + y2 - 10 = 0. Jadi, ekspresi Lagrange adalah

L.E. (x, y) = xy + ʎ (x2+ y2 - 10)

METODE INTEGRAL ATAU DIFERENSIAL?

Untuk situasi optimasi di mana dua atau lebih variabel independen yang terlibat,

permukaan respon sering dipersiapkan untuk menunjukkan hubungan antara variabel-

variabel. Gambar 11-12 adalah contoh dari permukaan respon unimodal dengan titik

minimum tunggal. Banyak metode telah diusulkan untuk menjelajahi permukaan respon

seperti untuk menentukan kondisi optimum. Salah satu metode yang diusulkan awal untuk

mendirikan kondisi optimal dari permukaan respon ini dikenal sebagai metode integral atau

penurunan. Dasar dari metode ini adalah pembentukan garis lurus atau pesawat dua dimensi

yang merupakan daerah terbatas permukaan melengkung. Gradien di wilayah dibatasi

kemudian ditentukan dari pendekatan linier, dan arah yang diinginkan dari gradien sebagai

arah linear memberikan perubahan terbesar dalam fungsi yang dioptimalkan terhadap

perubahan dalam satu atau lebih variabel independen.

Untuk menggambarkan ide-ide dasar yang terlibat, mempertimbangkan kasus di mana fungsi

tujuan harus diminimalkan (C) diwakili oleh

C = 2x2 + y2 + xy (96)

di mana x dan y adalah variabel independen. Persamaan (96) diplot sebagai permukaan

kontur pada Gambar. 11-12, dan tujuannya adalah untuk menentukan dengan metode steepest

descent, nilai-nilai x dan y yang membuat C minimum. Titik awal dari x = 2, y = 2, dan C =

16 dipilih dan ditetapkan sebagai titik S pada Gambar. 11-12. Gradien pada titik S ditentukan

dengan mengambil sebagian dari C terhadap masing-masing variabel independen untuk

memberikan

EKSPLORASI RESPON PERMUKAAN DENGAN KELOMPOK EKSPERIMEN

Selain metode integral dan turunan, banyak strategi lainnya untuk menjelajahi

permukaan respon yang mewakili fungsi objektif. Ini didasarkan pada eksperimen atau

perhitungan kelompok sedemikian rupa bahwa hasil pencarian permukaan untuk mendekati

cepat titik optimum unimodal. Sebuah contoh khas dari teknik pencarian efisien dengan

eksperimen grup dikenal sebagai Metode Lima-Poin dan dijelaskan berikut ini. Dasar metode

ini adalah pertama untuk memilih jangkauan keseluruhan permukaan yang akan diperiksa dan

kemudian untuk menentukan nilai dari fungsi tujuan pada kedua ekstrem dari permukaan dan

di tiga titik lainnya pada interval sama di seluruh permukaan.

Gambar 11-13 menunjukkan hasil khas untuk ini awal lima poin untuk

disederhanakan kasus dua dimensi di mana hanya satu maksimum atau minimum yang

terlibat. Dari kelima perhitungan pertama, dapat dilihat bahwa, dengan menjaga titik optimal

dan titik di setiap sisi itu, area pencarian dapat dipotong di setengah dengan jaminan bahwa

wilayah yang tersisa masih mengandung nilai optimum. Di Gambar. 11-13, optimal diwakili

oleh keuntungan yang maksimal, sehingga setengah dari area pencarian dipertahankan. Dua

atau lebih perhitungan atau eksperimen kemudian dibuat di sisa area pencarian dengan titik-

titik ini lagi sehingga tersisa daerah menjadi empat bagian yang sama. Seperti sebelumnya,

titik optimum (profit tertinggi) disimpan bersama dengan titik-titik pada setiap sisi itu,

sehingga daerah itu dipotong setengah. Prosedur ini dapat diulang untuk mengurangi area

pencarian oleh besar berjumlah dengan relatif sedikit perhitungan. Misalnya, seperti yang

ditunjukkan dalam berikut, 99,9 persen dari area pencarian dapat dihilangkan dengan total

hanya 23 perhitungan :

Untuk kasus di mana A adalah 0,001, atau 99,9 persen dari permukaan telah

dieliminasi, persamaan. (99) memberikan jumlah perhitungan yang diperlukan (n,) sebagai

23. Pendekatan yang sama digunakan dalam Teknik Pencarian Golden Section. Metode ini

dapat menghilangkan 99,9 persen dari area pencarian dengan total 17 poin pencarian

dibandingkan dengan 23 poin pencarian sederhana metode lima poin. Sebuah pencarian

dikotomis disebut untuk optimal pada permukaan yang mewakili fungsi tujuan dilakukan

dengan melakukan eksperimen atau perhitungan berpasangan. Dengan menempatkan

pasangan pada interval yang tepat di atas permukaan, daerah yang tidak pantas dapat

dihilangkan dengan cepat, dan teknik sekuensial bisa dikembangkan untuk memungkinkan

penghapusan cepat dari bagian utama dari permukaan. Demikian pula, metode simpleks,

berdasarkan triangulasi eksperimental atau poin dihitung, dapat digunakan untuk

menunjukkan arah yang diinginkan pencarian.

Sebuah teknik pencarian sekuensial sangat efektif, yang dikenal sebagai pencarian

Fibonacci karena urutan pencarian berdasarkan nomor Fibonacci, dapat digunakan ketika

fungsi tujuan hanya memiliki satu optimal dan didasarkan pada satu variabel bebas.

Kesalahan eksperimental terlibat dalam menganalisis permukaan respon bisa dihilangkan

sebagian oleh operasi evolusi disebut (EVOP). Teknik ini didasarkan pada pengukuran

respon terhadap kondisi operasi yang jumlah yang memadai kali sehingga rata-rata dari

respon sampel mendekati rata-rata.

PEMROGRAMAN GEOMETRIK

Sebuah teknik untuk optimasi, berdasarkan ketidaksamaan berkaitan aritmatika berarti

mean geometrik untuk satu set angka, telah disebut geometris pemrograman. Dengan metode

ini, ide dasarnya adalah untuk memulai dengan mencari optimum cara untuk

mendistribusikan total biaya antara berbagai faktor tujuan fungsi. Hal ini kemudian diikuti

dengan analisis distribusi optimal untuk menetapkan optimal akhir untuk fungsi tujuan.

Meskipun pendekatan ini dapat menjadi sangat terlibat secara matematis dan bisa melibatkan

persamaan nonlinier, dapat menangani kesetaraan dan ketidaksetaraan kendala dan sering

bisa lebih sederhana daripada pemrograman nonlinier-pendekatan langsung.

KONDISI OPTIMUM UNTUK PRODUKSI, PERENCANAAN, PENJADWALAN,

DAN KONTROL

Sejumlah teknik numerik khusus telah dikembangkan untuk pengefektifan

perencanaan, penjadwalan, dan pengendalian proyek. Dua metode ini, metode jalur kritis

(CPM) dan evaluasi program dan teknik tinjauan (PERT) telah menerima perhatian khusus

dan telah menunjukkan keinginan untuk menerapkan matematika dan grafis analisis untuk

perencanaan dan pengendalian proses produksi. Dasar dari kedua metode jalur kritis dan

evaluasi program. Teknik review adalah potret grafis, atau jaringan, menunjukkan

interdependenties dari berbagai kegiatan dalam program terkemuka dari masukan awal, atau

startup, dengan tujuan akhir. PERT adalah penggunaan utama untuk mengatur dan proyek

perencanaan yang melibatkan penelitian dan pengembangan dimana kegiatan biasanya

sedang berusaha untuk pertama kalinya. Akibatnya, perkiraan waktu, biaya, dan hasil tidak

dapat dibuat dengan akurasi, dan probabilitas dan statistik konsep harus digunakan untuk

mengembangkan prediksi. Sebagai perbandingan, CPM adalah biasanya diterapkan untuk

proyek-proyek yang estimasi relatif akurat dari waktu, biaya, dan hasil dapat dibuat, seperti

untuk proyek-proyek konstruksi.

Untuk kedua CPM dan PERT, proyek secara keseluruhan dipandang sebagai

serangkaian kegiatan atau operasi yang dilakukan dalam urutan yang optimal untuk mencapai

tujuan yang diinginkan. Setiap kegiatan dianggap sebagai memiliki awal dan akhir sehingga

proyek secara keseluruhan terdiri dari serangkaian tersebut "peristiwa." Teknik umum

berikutnya adalah untuk mengembangkan model matematis untuk memberikan program

terbaik atau rangkaian acara untuk mencapai suatu tujuan yang diinginkan. Perbedaan utama

dalam konsep antara CPM dan PERT adalah bahwa terlibat dalam memperkirakan durasi

waktu kegiatan. Dengan demikian, CPM mungkin relatif spesifik pada item waktu, sementara

PERT termasuk langkah-langkah dari ketidakpastian yang terlibat. Ketika rangkaian kegiatan

yang digambarkan, dapat dilihat bahwa banyak mungkin jalur ada antara start dan akhir. Jalur

kritis didefinisikan sebagai jalur yang melibatkan diinginkan (biasanya terpendek) durasi

selesai proyek. Konsep-konsep matematika dari kedua PERT dan CPM adalah biasanya

kompleksitas yang cukup bahwa komputer digital harus digunakan untuk solusi. Dengan

perhitungan jaringan yang sesuai, prosedur sekuensial akhir dikembangkan yang memberikan

"jalur kritis" yang harus diikuti dari "mulai" untuk "akhir" untuk menyelesaikan pekerjaan

dengan cara yang paling efisien dalam durasi waktu.

STRATEGI UNTUK AKUNTANSI INFLASI DI PERKIRAAN DESAIN

Metode mengoreksi perubahan harga yang telah terjadi di masa lalu ketika

memperkirakan biaya keperluan desain telah dibahas dalam Bab. 6 (biaya estimasi). Diskusi

ini menunjukkan sejarah perubahan biaya di Amerika pada masa lalu telah sangat inflasi.

Sebagai contoh, Marshall dan Swift All-Industri memiliki indeks biaya dua kali lipat dari 273

di 1968 menjadi 545 pada tahun 1978. Pada periode sepuluh tahun 1978-1988, indeks

meningkat sekitar 60 persen menjadi 852. Indeks harga lainnya menunjukkan faktor yang

sama dari peningkatan selama interval waktu tersebut. Tingkat bunga efektif 7,18 persen akan

menyebabkan dua kali lipat dari nilai selama 10 tahun, sementara tingkat 5 persen akan

memberikan 63 persen peningkatan 10 tahun dan tingkat 4 persen akan memberikan

peningkatan 48 persen dalam 10 tahun. Akibatnya, sejarah masa lalu dari perubahan harga di

Amerika Serikat akan menunjukkan bahwa tingkat inflasi minimal 3 persen dan mungkin

setinggi 7 persen dapat diharapkan setidaknya untuk waktu dekat, dan faktor ini harus

diperhitungkan dalam menyajikan perkiraan desain biaya. Unsur penting dari strategi untuk

akuntansi untuk inflasi dalam desain perkiraan adalah untuk menyajikan hasil dalam bentuk

nilai sekarang (present value, indeks profitabilitas, diskon fluw kas) dengan semua dolar

masa depan didiskontokan ke nilai dolar hadir pada waktu nol. Faktor diskon harus mencakup

kepentingan yang dibutuhkan oleh perusahaan minimal kembali dan estimasi tingkat suku

bunga inflasi. Jika laba yang dikenakan pajak penghasilan yang akan terlibat, maka layak

hadir berdasarkan situasi setelah pajak harus digunakan.

Dalam rangka untuk memahami bentuk faktor diskon untuk digunakan dengan inflasi

(atau dengan deflasi), dua kasus khusus untuk pendapatan tahunan konstan dalam

produktivitas tahunan masa depan dan konstan di masa depan akan dipertimbangkan. Dalam

semua kasus, bunga efektif dan arus kas sesaat akhir-tahun akan diasumsikan.

KASUS RUGI TAHUNAN KONSTAN DI MASA DEPAN

Asumsikan bahwa perusahaan ingin melakukan investasi sekarang untuk memberikan

$ 100.000 dalam kas pada akhir setiap tahun selama sepuluh tahun ke depan. Perusahaan

mengharapkan untuk menerima 10 persen kembali (i = 0,10) pada investasi terlepas dari efek

inflasi. Namun, perusahaan juga ingin menjelaskan inflasi tahunan diasumsikan dari 7 persen

(iinflation = 0,07) sehingga dolar yang berinvestasi sekarang dikoreksi untuk fakta bahwa

dolar ini akan bernilai kurang di masa depan. Dengan kondisi tersebut, pertanyaannya adalah

bagaimana membangun faktor diskon yang benar untuk menentukan investasi perusahaan

perlu membuat saat ini. Dengan kata lain, apa total nilai sekarang dari pendapatan tahunan

masa depan $ 100.000 untuk 10 tahun diskon untuk kedua laba atas investasi dan inflasi?

Pertimbangkan kasus pertama $ 100.000 datang pada akhir pertama tahun. Nilai

sekarang dari nol saat ini $ 100.000 hanya berdasarkan pada kebutuhan untuk menjaga daya

beli konstan dolar oleh mengoreksi inflasi $ 100.000 (l + 0.07)-1 atau, pada umumnya, $

100.000 (l + i inflation)-n’ di mana n'adalah tahun yang disebut. Selain itu, perusahaan menuntut

10 persen laba langsung pada investasi; sehingga faktor diskon tambahan (1 + 0.1) -1 atau,

umumnya (1 + i )–n’ harus diterapkan pada nilai pendapatan tahunan untuk memberikan nya

nilai sekarang pada waktu nol. Dengan demikian, nilai $ 100.000 yang pertama adalah ($

100.000) X (1 + 0,07)- 1(1 + 0.10)-1. Nilai total hadir di saat waktu nol, semua pendapatan

tahunan adalah sebagai berikut :

Faktor diskon yang efektif termasuk inflasi dan diperlukan pengembalian investasi adalah

Akibatnya, bunga gabungan efektif (icomb) termasuk bunga inflasi yang diperlukan dalam

pengembalian investasi yaitu :

KASUS PRODUKTIVITAS TAHUNAN KONSTAN DI MASA DEPAN

Untuk situasi khas operasi industri yang telah dirancang untuk menghasilkan sejumlah

set unit per tahun yang akan dijual dengan harga yang berlaku, tidak akan ada masalah

khusus dengan penanganan inflasi kecuali untuk pengaruh pajak penghasilan. Jika biaya

inflasi dianggap sebagai memiliki efek yang sama pada harga jual produk seperti pada biaya

untuk operasi, kemudian kembali atas investasi sebelum pajak adalah sama atau tidak inflasi

diperhitungkan. Namun, seperti yang digambarkan oleh contoh berikut, ketika pajak

penghasilan dimasukkan dalam analisis, laba atas investasi perubahan jika inflasi

diperhitungkan. Hal ini disebabkan fakta bahwa biaya penyusutan tidak diubah oleh inflasi

dalam prosedur akuntansi normal.