BAB I

PENDAHULUAN

I.1 Latar Belakang

Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit dari percobaan yang dilakukan sebanyak n kali dengan masing-masing percobaan mempunyai probabilitas p dan masing-masing percobaan tidak saling mempengaruhi (independent).distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyekyang dipilih tanpa pengembalian.distribusi poisson adalah distribusi probabilitas diskrit yang menyajikan frekuensi darikejadian acak tertentu. Ini dapat digunakan sebagai pendekatan distribusi binomial.Beberapa tipe variabel acak sering digunakan dan kesemuanya mempunyai nama-namak Kitajuga dapatmenunjukkan bahwa probabilitas menghasilkan kegagalan dalam 10kali percobaanadalah(l-p) 10. Sebagaicontoh,jika p= 0.8makakemungkinanmenghasilkan10 kegagalan dari 10 kali percobaan adalah 0.210=0.0000001.anggaplah kita ingin mengetahui probabilitas mendapatkan 6 keberhasilandari 10 kali percobaan. Untuk melakukan perhitungan ini kita perlu menggunakan suatudistribusi acak: distribusi binomial. Distribusi binomial dapat diterapkan pada berbagaisituasi dimana beberapa percobaan bebas (independent) dilakukan, dan masing-masing mempunyai satu dari duakemungkinanhasil.Kitamenyebutduakemungkinanitudengankeberhasilandankegagalan.meskipununtukbeberapakasusmungkinadapenunjukkanyang berubah-ubah. Misalnya seorang ilmuwan melakukan percobaan sebanyak n kali. Anggaplah X mewakili jumlahkeberhasilan.Jikaprobabilitasuntukmendapatkankeberhasilandari setiap percobaan adalah p, maka probabilitas mendapatkan i keberhasilan khusus. Satu distribusi variabel acak yang penting adalah distribusi binomial.

PENGERTIAN DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijulukikurva lonceng(bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuklonceng. Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitungmelalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata - rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.

SEJARAH DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de Moivre dalam artikelnya pada tahun 1733 sebagai pendekatan distribusi binomial untukn besar. Karya tersebut dikembangkan lebih lanjut oleh Pierre Simon de Laplace, dan dikenal sebagai teorema Moivre-Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk analisis galat suatu eksperimen. Metode kuadrat terkecil diperkenalkan oleh Legendre pada tahun 1805.

Sementara itu Gauss mengklaim telah menggunakan metode tersebut sejak tahun 1794 dengan mengasumsikan galatnya memiliki distribusi normal. Istilah kurva lonceng diperkenalkan oleh Jouffret pada tahun 1872 untuk distribusi normal bivariat. Sementara itu istilah distribusi normal secara terpisah diperkenalkan oleh Charles S. Peirce, Francis Galton, dan Wilhelm Lexis sekitar tahun 1875. Terminologi ini secara tidak sengaja Memilik nama sama

Distribusi normal didefinisikan dengan persamaan berikut: Z= x - µ ket : Z = standar normal µ = rata-rata populasi σ x = rata-rata sample σ = standar deviasi Adapun Kurva yang terdapat pada Distribusi Normal :

KURVA DISTRIBUSI NORMAL

Grafik distribusi normal tergantung pada dua factor mean dan deviasi standart. Mean dari distribusi menentukan lokasi pusat grafik, dan deviasi standard menentukan tinggi dan dan lebar grafik. Ketika standard deviasi besar, kurva pendek dan lebar, ketika standard deviasi kecil, kurva kecil dan sempit. Semua distribusi normal tampak seperti lonceng, Kurva berbentuk simetris, seperti yang di tunjukan di gambar ini.

Kita kembali ke situasi dimana seorang ilmuwan melakukan percobaan, percobaanitu mempunyai dua kemungkinan hasil yaitu berhasil atau gagal. Probabilitas untuk berhasil darisetiap percobaan adalah p dan probabilitas gagal adalah I-p. Jika peercobaan dilakukansebanyak 10 kali, berapa percobaan akan menghasilkan keberhasilan?

Pertama-tamakita menjawab pertanyaan: jika ilmuwan melakukan percobaan sebanyak 2 kali, berapa probabilitas kedua percobaan itu menghasilkan keberhasilan? Jika A adalahkejadian mendapatkan keberhasilan pada percobaan pertama dan B adalah kejadian untukmendapatkan keberhasilan pada percobaan kedua, maka Pr (A) = P dan Pr (B) = p. Kejadian untuk mendapatkan keberhasilan pada kedua percobaan dapat ditulis A nB (A irisan B, lihatbab IV).Kita akan membuat asumsi penting, masing-masing percobaan adalah bebas. Hal ini berarti bahwa kemungkinan untuk mendapatkan keberhasilan pada percobaan tertentu tidakdipengaruhi oleh hasil percobaan yang lain. Jika kedua percobaan tidak saling mempengaruhi,maka kita dapat mengalikan dua probabilitas:

Pr (A n B) = Pr (A dan B) = Pr (A) x Pr (B) = p2.

I.2 Perumusan Masalah

Percobaan Binomial adalah percobaan yang mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:

1.Percobaandiulang kali2. Hasil setiap ulangan hanya dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas;Misal: "BERHASIL" atau "GAGAL"("YA" atau "TIDAK"; "SUCCESS" or "FAILED")

3. Peluang keberhasilan = p dan dalam setiap ulangan nilai p tidak berubah.Peluang gagal = q

=1- p.4.Setiap ulangan bersifat bebas satu dengan yang lain.

RUMUS DISTRIBUSI BINOMIALb(x;n,p) = nCx px qn-x dimana x = 0,1,2,3,…,nn : banyaknya ulanganx : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak xp : peluang berhasil dalam setiap ulanganq : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan

Catatan : Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q anda harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan adalah = kejadian SUKSESSuatu percobaan statistik disebut percobaan Binomial atau Bernoulli jika percobaan statistik tersebut mempunyai ciri-ciri :1. Percobaan diulang sebanyak n kali2. Setiap hasil percobaan dibedakan menjadi dua, yaitu kejadian sukses (S) dan kejadian gagal (G)3. Probabilitas terjadinya kejadian sukses (S) dan gagal (G), yaitu P (sukses) = P(S) dan P(gagal) = 1 – p = q adalah tetap.4. Semua hasil yang muncul saling bebas satu sama lain.

Suatu percobaan binomial yang diulang sebanyak n kali, dengan P (sukses) = P(S) = p dan P (gagal) = P(G) = 1 – p = q adalah tetap pada setiap percobaan dan X menyatakan banyaknya sukses dalam percobaan binomial, maka variabel acak X mempunyai distribusi binomial yang dirumuskan sebagai berikut :

f(x) = P(X=x) = b(x,n,p) = ( n | x ) p^xq^n-x

di mana x = 0,1,2 …,n dan q = 1 – pp dan q disebut parameter.

Distribusi Binomial mempunyai nilai rata-rata variansi, simpangan baku, koefisien kemiringan dan koefisien keruncingan sebagai berikut :

Rata –ratau = n.p

Variansitho^2 = npq

Simpangan bakutho = \/npq

Koefisien Kemiringantho^3 = q - p / \/npq

Koefisien Keruncingantho^4 = 3 + 1-6pq / npq

untuk x = 0,1,23,...,n

n: banyaknya ulanganx: banyak keberhasilan dalam peubah acak Xp: peluang berhasil pada setiap ulanganq: peluang gagal = 1 - p pada setiap ulangan

Contoh :

Tentukan peluang mendapatkan "MATA 1" muncul 3 kali pada pelemparan 5 kali sebuah dadu setimbang!Kejadian sukses/berhasil = mendapat "MATA 1"x = 3n = 5 * pelemparan diulang 5 kalip = q = 1- =

= = 10 0.003215...= 0.03215...

Contoh :

Peluang seorang mahasiswa membolos adalah 6:10, jika terdapat 5 mahasiswa, berapa peluang terdapat 2 orang mahasiswa yang tidak membolos?

Kejadian yang Kejadian SUKSES = TIDAK MEMBOLOSditanyakan Yang diketahui peluang MEMBOLOS = q = 6 : 10 = 0.60p = 1 - q = 1 - 0.60 = 0.40 x = 2, n = 5b(x = 2; n = 5, p = 0.40) = .......

Pada dasarnya proses yang berlaku disini adalah proses Bernoulli (distribusi binomial), tetapi antara eksperimen yang satu dan yang lainnya [b]tidak independent[/b].

Distribusi Hipergeometris digunakan untuk menghitung probabilitas dari peristiwa yangbersifat dependen (bersyarat) dan variabelnya bersifat diskrit. Rumus yang digunakan : P(x1, x2, ..., xi) = (n1Cx1.n2Cx2 ... niCxi)/(nCx); dimana x1, x2, ... xi : banyaknya peristiwa yang diharapkan terjadi dari setiap peristiwa; n1, n2, ...ni : banyaknya seluruh frekuensi yang dapat terjadi dari setiap peristiwa; n = n1 + n2 + ... + ni; dan x = x1 + x2 + ... + xi.Contoh :Sebuah kotak berisi 10 bola, yang terdiri 4 bola warna merah dan 6 bola warna hitam. Jika diambil sebanyak 3 bola secara berturut-turut (tanpa dikembalikan) berapa probabilitas terambil bola 2 warna merah dan 1 warna hitam.Jawab :X1 = kejadian bola warna merahX2 = kejadian bola warna hitamP(2 ; 1) = ((4C2).(6C1))/(10C3) = 36/120 = 0,3

distribusi normal

Mengapa banyak analisis statistik yang mengharuskan kita untuk menguji distribusi Normal terlebih dahulu?Distribusi normal itu distribusi data yang memiliki grafik setangkup (seimbang antara kanan dan kiri/Xmin dan Xmaks), dimana rata-rata (mean) sama dengan modus (nilai yg sering muncul) dan sama dengan median (nilai yang berada di tengah), tidak ada outlier. Ada rumus dari distribusi tersebut namun sulit untuk menuliskan di sini.Banyak analisis mengasumsikan distribusi normal karena turunan rumus dari analisis tersebut berasal dari rumus distribusi normal, seperti distribusi z (normal baku, rata-rata=0, variance(s)=1) dan ada juga distribusi t, F, Chi-Square, dll yang merupakan turunan dari distribusi normal.Ada teori yg bernama "teorima limit pusat" yang menyatakan, semakin banyak data yang diambil akan semakin mendekati ditribusi normal.

I.3 tujuan penelitian

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas

diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas,

dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga

disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli.

Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.

Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah

sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan

sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik,

bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan

yang baik dan banyak digunakan.

Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu

proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Suatu proses bernouli

adalah proses sampling yang (Haryono subiakto, 1994) :

1. Ada dua kejadian yang dapat terjadi dan saling asing pada setiap percobaan atau

observasi, untuk mudahnya disebut sukses atau gagal.

2. Urut-urutan, untuk mudahnya disebut sukses atau gagal.

3. Probabilitas sukses dinyatakan dengan (p), yang nilainya tetap dari percobaan

kepercobaan atau dari suatu kejadian yanmg lain

Distribusi probabilitas normal merupakan salah satu distribusi yang paling penting dalam statistika. Banyak peristiwa atau kejadian di alam yang memiliki karakteristik seperti yang di modelkan pada distribusi normal ini. Distribusi ini mempunyai nilai yang jumlahnya tidak terbatas dalam skala atau jarak tertentu. Pada hakikatnya proses kejadian di alam dengan berbagai macam pengukuran menunjukkan gejala normal sebagaimana berlakunya Hukum

Bilangan Besar (Law of Large Numbers), dimana kejadian di alam dan perilaku manusia beraneka ragam, namun demikian satu sama lain pada dasarnya akan saling menyesuaikan. Dengan hukum bilangan besar tersebut, peristiwa atau kejadian dapat saling mengimbangi sehingga grafik dari kejadian berbentuk simetris, sisi kanan dan kiri saling melingkupi.

Bentuk :

Kurva berbentuk genta atau lonceng yang simetris

Karakteristik Distribusi Probabilitas Normal

1. Kurva berbentuk genta atau lonceg dan memiliki satu puncak yang terletak di tengah. Nilai rata-rata hitung sama dengan median dan modus.

2. Distribusi probabilitas dan kurva normal berbentuk kurva simetris dengan rata-rata hitungnya.

3. Kurva ini menurun di kedua arah yaitu keeeeee kanan untuk nilai positif tak terhingga dan kekiri untuk nilai negatif tak terhingga.

4. Luas daerah yang terletak di bawah kurva normal tetapi di atas sumbu mendatar sama dengan 1.

 

Jenis Distribusi Probabilitas Normal

Bentuk dari distribusi ini dipengaruhi oleh 2 parameter yaitu :

a. Nilai rata-rata

b. Standar deviasinya

 

Pada proses pembandingan bentuk kurva ada beberapa hal yang perlu diperhatikan.

a. Distribusi probabilitas kurva normal dengan nilai rata-rata sama dan standar deviasi berbeda. Semakin besar standar deviasi, maka kurva akan semakin pendek. Semakin tinggi nilai standar deviasi, maka kurva akan semakin runcing.

b. Distribusi probabilitas kurva normal dengan nilai rata-rata berbeda dan nilai standar deviasi sama. Kedua kurva ini akan memiliki bentuk yang sama, akan tetapi letaknya yang akan berbeda.

c. Distribusi probabilitas kurva normal dengan nilai rata-rata berbeda dan nilai standar deviasi yang berbeda. Kedua kurva ini akan memiliki bentuk yangberbeda sama sekali.

Distribusi normal, atau dikenal juga dengan istilah Gaussian Distribution, mengandung dua parameter, yaitu mean (m) dan varians (s2). Parameter-parameter ini memberikan

karakteristik yang unik pada suatu distribusi berdasarkan “lokasi”-nya (central tendency), dan sebagai metode statistik, mendasarkan perhitungannya juga pada kedua parameter tersebut.

I.4 Pembatasan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan di atas maka dapat dirumuskan suatu permasalahan, yakni penentuan estimasi interval dari distribusi sampel normal dan binomiall hypergeometri

Dalam modul ini, pembahasan masalah akan dibatasi mengenai:a) Distribusi sampel yang digunakan adalah distribusi normal b) Distribusi binomial hipergeometri yang digunakan adalah distribusi normal standar c) Interval kepercayaan yang disusun antara lain: Interval kepercayaan mean dengan variansi 2 diketahui untukdistribusi prior normal standar. Interval kepercayaan variansi 2 dengan mean diketahui untukdistribusi prior invers gamma.

Suatu percobaan yang terdiri atas beberapa usaha, tiap-tiap usaha, memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori yaitu sukses atau gagal, dan tiap-tiap ulangan percobaan bebas satu sama lainnya. Probabilitas kesuksesan tidak berubah dari percobaan satu ke percobaan lainnya. Proses ini disebut proses Bernoulli. Jadi proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut:

1. Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang

2. Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokan

menjadi 2-kategori, sukses atau gagal

3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari

satu usaha ke usaha berikutnya.

4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya

Banyaknya X yang sukses dalam n-usaha Bernoulli disebut “perubah acak binomial”, dan distribusi dari perubah acak ini disebut “distribusi Binomial”. Jika p menyatakan probabilitas kesuksesan dalam suatu usaha, maka distribusi perubah acak X ini dinyatakan dengan b(x;n,p). Karena nilainya bergantung pada banyaknya usaha (n)

Misalnya: X= banyaknya barang yang cacat. Selanjutnya menentukan rumus yang memberikan proailitas x sukses dalam n-usaha suatu pecobaan binomial b(x;n,p)

Distribusi probabilitas perubah acak hipergeometrik X yang menyatakan banyaknya kesuksesan dalam sampel acak dengan ukuran n yang diambil dari N-obyek yang memuat k sukses dan N-k gagal dinyatakan sebagai:

1.5 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan dalam skripsi ini, disusun sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUANBab ini berisi latar belakang, perumusan masalah, pembatasan masalah,tujuan dan manfaat, sistematika penulisan.

BAB II LANDASAN TEORIBab ini membahas tentang variabel random, distribusi bersyarat,ekspektasi dan varian, distribusi normal , distribusi binomial hypergeometri.

BAB III METODELOGI PENELITIANBab ini berisikan flow chart dan keterangan dalam modul ini

BAB IV PENGUMPULAN DAN PENGOLAHANBab ini berisi pengumpulan data serta pengolahan dataBAB V ANALISAPada bab ini membahas analisa data yang berkaitan dari pengumpulan serta pengolahan data.

BAB VI

Di dalam BAB ini berisikan hasil kesimpulan modul dari BAB I sampai BAB V hasil Analisa data.

DAFTAR PUSTAKA

BAB II

LANDASAN TEORI

Distribusi Binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli. Misalnya, dalam perlemparan sekeping uang logam sebanyak 5 kali, hasil setiap ulangan mungkin muncul sisi gambar atau sisi angka. Begitu pula, bila kartu diambil berturut-turut, kita dapat memberi label “berhasil” bila kartu yang terambil adalah kartu merah atau “gagal” bila yang terambil adalah kartu hitam. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas dan peluang keberhasilan setiap ulangan tetap sama,taitu sebasar ½..(Ronald E. Walpole)

CIRI – CIRI DISTRIBUSI BINOMIALPercobaan diulang sebanyak n kali.Hasil setiap ulangan dapat dikategorikan ke dalam 2 kelas, misal :“BERHASIL” atau “GAGAL”;“YA” atau “TIDAK”;“SUCCESS” or “FAILED”.Peluang berhasil / sukses dinyatakan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap. Peluang gagal dinyatakan dengan q, dimana q = 1-p.Setiap ulangan bersifat bebas (independen) satu dengan lainnya.Percobaannya terdiri atas n ulangan (Ronald.E Walpole)Nilai n < 20 dan p > 0.05

RUMUS DISTRIBUSI BINOMIALb(x;n,p) = nCx px qn-x dimana x = 0,1,2,3,…,n n : banyaknya ulanganx : banyaknya keberhasilan dalam peubah acak xp : peluang berhasil dalam setiap ulangan q : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan

Catatan : Agar anda mudah dalam membedakan p dengan q, anda harus dapat menetapkan mana kejadian SUKSES dan mana kejadian GAGAL. Anda dapat menetapkan bahwa kejadian yang menjadi pertanyaan atau ditanyakan adalah = kejadian SUKSES.

Contoh Distribusi Binomial :1.Berdasarkan data biro perjalanan PT Mandala Wisata air, yang khusus menangani perjalanan wisata turis manca negara, 20% dari turis menyatakan sangat puas berkunjung ke Indonesia, 40% menyatakan puas, 25% menyatakan biasa saja dan sisanya menyatakan kurang puas. Apabila kita bertemu dengan 5 orang dari peserta wisata turis manca negara yang pernah berkunjung ke Indonesia, berapakah probabilitas :a.Paling banyak 2 di antaranya menyatakan sangat puas.b.Paling sedikit 1 di antaranya menyatakan kurang puas c.Tepat 2 diantaranya menyatakan biasa saja

d.Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puasJawab :a.X ≤ 2Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :b(x; n, p) = b(0; 5, 0.20) + b(1; 5, 0.20) + b(2; 5, 0.20) =0.32768 + 0.40960 + 0.20480 = 0.94208 ataub(x=0) = 5C0 (0.20)0 (0.80)5 = 0.32768b(x=1) = 5C1 (0.20)0 (0.80)4 = 0.40960b(x=2) = 5C2 (0.20)0 (0.80)3 = 0.20480 +Maka hasil x ≤ 2 adalah = 0.94208b.X ≥ 1Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :b(1; 5, 0.15) + b(2; 5, 0.15) + b(3; 5, 0.15) + b(4; 5, 0.15) + b(5; 5, 0.15) =0.3915 + 0.1382 + 0.0244 + 0.002 + 0.0001 = 0.5562 atau b(x ≥1; 5, 0.15) = 1 – b(x = 0)1 – 5C0 (0.15)0 (0.85)51 – 0.4437 = 0.5563c.X = 2b(2; 5, 0.25) = 0.2637d.X ≤ 2 X ≤ 4Lihat tabel dan lakukan penjumlahan sebagai berikut :b(2; 5, 0.40) + b(3; 5, 0.40) + b(4; 5, 0.40) = 0.3456 + 0.2304 + 0.0768 = 0.6528Analisis masing – masing point :a.Sebanyak paling banyak 2 dari 5 orang dengan jumlah 0.94208 atau 94,28% yang menyatakan sangat puas adalah sangat besar.b.Paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti semuanya) dengan jumlah 0,5563 atau 55,63% yang menyatakan kurang puas dapat dikatakan cukup besar (karena lebih dari 50%).c.Tepat 2 dari 5 orang yang menyatakan biasa saja dengan jumlah 0,2637 atau 26,37% adalah kecil (karena dibawah 50%).d.Ada 2 sampai 4 yang menyatakan puas dengan jumlah 0,6528% atau 65,28% dapat dikatakan cukup besar.Analisis keseluruhan :A. Persentase Jika diambil persentase terbesar tanpa memperhatikan jumlah X, maka persentase terbesar ada di point pertama (a) yaitu 94,28% yang menyatakan sangat puas. Hal tersebut menandakan banyak turis manca negara yang sangat menyukai Indonesia.

B. Nilai XJika dilihat dari jumlah X, maka perlu diperhatikan point kedua (b). Jumlah X adalah paling sedikit 1 dari 5 orang (berarti X>=1) yaitu 55,63% yang menyatakan kurang puas . Hal tersebut berarti kelima (semua) turis manca negara kurang puas terhadap kunjungannya ke Indonesia.

RATA – RATA dan RAGAM DISTRIBUSI BINOMIALRata – rata μ = n . pRagam σ2 = n . p . q

n : ukuran populasip : peluang berhasil dalam setiap ulanganq : peluang gagal, dimana q = 1-p dalam setiap ulangan

Contoh Rata – rata dan Ragam Distribusi Binomial : Untuk b (5; 5, 20) dimana x = 5, n = 5 dan p = 0.20 q = 1-p ; q = 1-0.20 = sehingga q = 0.80 maka : = 5 x 0.20 = 12 = 5 x 0.20 x 0.8 = 0.80 0.80= = 0.8944

Distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyek yang

dipilih tanpa pengembalian.

Misalnya anda diberikan sebuah kotak yang berisi 10 buah kembang gula, kesemuanya

narnpak sama bila dilihat dari luar. Anggaplah kemudian anda tahu bahwa 8 mempunyai rasa

marshmallow (rasa ini yang anda suka) dan 2 buah rasa almond (rasa ini tidak anda suka).

Jika anda mengarnbil 5 buah, berapa probabilitas bahwa anda akan mendapat 3 rasa

marshmallow? Ini adalah kasus probabilitas dimana jumlah keberhasilan dibagi dengan

jumlah kemungkinan hasil. Pertama-tarna kita harus mengetahui jumlah cara pengarnbilan 5

buah kembang gula dari kotak yang berisi 10 buah kembang gula. Kita dapat menggunakan

formula ini:

Sekarang kita menghitung berapa probabilitas mendapatkan 3 kembang gula dengan rasa

marshmallow. Karena ada 8 buah kembang gula yang harus dipilih, maka ada (38) cara

pengarnbilan 3 kembang gula marshmallow. Kemudian kita mengalikannya dengan jumlah

kemungkinan pengarnbilan 2 kembang gula rasa almond dari 2 kembang gula rasa almond di

dalarn kotak, yaitu (22) (sarna dengan I) Dengan demikian, probabilitas mengarnbil 3 buah

kembang gula rasa marshmallow adalah:

Perbedaan Peluang Binomial dengan peluang Hipergeometrik:

Peluang Binomial perhatian hanya untuk peluang BERHASIL

Peluang Hipergeometrik untuk kasus di mana peluang BERHASIL berkaitan

dengan Peluang GAGAL

ada penyekatan dan pemilihan/kombinasi obyek

(BERHASIL dan GAGAL)

Percobaan hipergeometrik adalah percobaan dengan ciri-ciri sebagai berikut:

1. Contoh acak berukuran n diambil dari populasi berukuran N

2. k dari N diklasifikasikan sebagai "BERHASIL" sedangkan N-k diklasifikasikan

sebagai "GAGAL"

Definisi Distribusi Hipergeometrik:

Bila dalam populasi N obyek, k benda termasuk kelas "BERHASIL" dan N-k (sisanya)

termasuk kelas "GAGAL", maka Distribusi Hipergeometrik peubah Acak X yg menyatakan

banyaknya keberhasilan dalam contoh acak berukuran n adalah :

h x N n kC C

Cxk

n xN k

nN( ; , , )

untuk x = 0,1,2,3...,k

Perluasan Distribusi Hipergeometrik jika terdapat lebih dari 2 kelas

Distribusi Hipergeometrik dapat diperluas menjadi penyekatan ke dalam beberapa kelas

f x x x a a a N nC C C

Ck k

xa

xa

xa

nN

k

k

( , ,..., ; , ,..., , , )1 2 1 21

1

2

2

dan perhatikan bahwa n xii

k

1

dan

N : ukuran populasi atau ruang contoh

n : ukuran contoh acak

k : banyaknya penyekatan atau kelas

xi : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam contoh

ai : banyaknya keberhasilan kelas ke-i dalam populasi

fC C C

C( , , ; , ) . ...1 2 2 10

3 6 3

252

54

252

3

180 21421

324

23

510 3,4,3, 5

Pendekatan Hipergeometrik dapat juga dilakukan untuk menyelesaikan persoalan binomial :

Binomial untuk pengambilan contoh dengan pemulihan (dengan pengembalian)

Hipergeometrik untuk pengambilan contoh tanpa pemulihan (tanpa pengembalian)

Contoh 1

Dalam suatu kotak terdapat 5 bola yang terdiri dari 2 bola Merah, 2 bola Biru dan 1 buah

Putih. Berapa peluang

a. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak dengan

pemulihan?

b. terambil 2 bola Merah, dari 4 kali pengambilan yang dilakukan secara acak tanpa

pemulihan?

Soal a diselesaikan dengan Distribusi Peluang binomial :

p = 2/5 = 0.40 n = 4 x = 2

b(2; 4,0.40) = 0.16 (lihat Tabel atau gunakan rumus Binomial)

Soal b diselesaikan dengan Distribusi Peluang Hipergeometrik

N = 5 n = 4 k = 2 x = 2

N-k = 3 n-x=2

h(2; 5, 4,2) =

APLIKASI DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK

Berikut ini adalah contoh yang termasuk dalam distribusi hipergeometrik:

1. Jumlah barang dagangan yang rusak dalarn sarnpel acak dari sejumlah besar kiriman.

·

2. Jumlah orang-orang yang anda temui dalarn hidup anda dengan nama Fred.

3. Jumlah penny yang terambil dari dalarn kendi. Di dalarn kendi itu ada penny

sebanyak M dan nikel sebanyak N-M. Jika hanya mengarnbil 1, maka n=I dan

probabilitas mendapatkan penny: MIN.

Aplikasi penting lainnya adalah: dalarn penyelidikan pendapat umum seperti SurveyGallup.

Orang yang diberi pertanyaan analog dengan kembang gula yang dipilih dari kotak, dan

keseluruhan populasi analog dengan jumlah keseluruhan kembang gula dalarn kotak. Pada

waktu kita melakukan penelitian pengumpulan pendapat umum, kita ingin mengetahui

apakah proporsi orang-orang dengan pendapat tertentu dalarn sampel dengan proporsi orang-

orang pemberi pendapat dalarn populasi adalah sarna.

Dengan distribusi binomial, tiap pengambilan tidak tergantung satu dengan yang lain, karena

anda selalu meletakkan kembali ke dalam kotak kembang gula. Dengan distribusi

hipergeometrik, anda tidak mengembalikan kembang gula yang telah diambil, sehingga tiap

pengembalian dapat mempengaruhi pengambilan yang lain. Probabilitas keberhasilan dalam

setiap pengambilan tergantung berapa banyak macam kembang gula yang ada di dalam kotak

dan tergantung pada kembang gula apa yang telah diambil. Tetapi jika jumlah kembang gula

di dalam gula tidak merubah probabilitas pengambilan berikutnya secara berarti. Dalam kasus

ini tidak membuat perbedaan yang terlalu besar apakah anda mengembalikan (dan

menggunakan distribusi binomial) atau tidak (menggunakan distribusi hipergeometrik)

kembang gula yang sudah anda ambil.

PENGERTIAN DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi normal, disebut pula distribusi Gauss, adalah distribusi probabilitas yang paling banyak digunakan dalam berbagai analisis statistika. Distribusi normal baku adalah distribusi normal yang memiliki rata-rata nol dan simpangan baku satu. Distribusi ini juga dijuluki kurva lonceng(bell curve) karena grafik fungsi kepekatan probabilitasnya mirip dengan bentuk lonceng. Distribusi normal memodelkan fenomena kuantitatif pada ilmu alam maupun ilmu sosial. Beragam skor pengujian psikologi dan fenomena fisika seperti jumlah foton dapat dihitung melalui pendekatan dengan mengikuti distribusi normal. Distribusi normal banyak digunakan dalam berbagai bidang statistika, misalnya distribusi sampling rata - rata akan mendekati normal, meski distribusi populasi yang diambil tidak berdistribusi normal. Distribusi normal juga banyak digunakan dalam berbagai distribusi dalam statistika, dan kebanyakan pengujian hipotesis mengasumsikan normalitas suatu data.

SEJARAH DISTRIBUSI NORMAL Distribusi normal pertama kali diperkenalkan oleh Abraham de Moivre dalam artikelnya pada tahun 1733 sebagai pendekatan distribusi binomial untukn besar. Karya tersebut dikembangkan lebih lanjut oleh Pierre Simon de Laplace, dan dikenal sebagai teorema Moivre-Laplace. Laplace menggunakan distribusi normal untuk analisis galat suatu eksperimen. Metode kuadrat terkecil diperkenalkan oleh Legendre pada tahun 1805. Sementara itu Gauss mengklaim telah menggunakan metode tersebut sejak tahun 1794 dengan mengasumsikan galatnya memiliki distribusi normal. Istilah kurva lonceng diperkenalkan oleh Jouffret pada tahun 1872 untuk distribusi normal bivariat. Sementara itu istilah distribusi normal secara terpisah diperkenalkan oleh Charles S. Peirce, Francis Galton, dan Wilhelm Lexis sekitar tahun 1875. Terminologi ini secara tidak sengaja memiliki nama sama

Distribusi normal didefinisikan dengan persamaan berikut: Z= x - µ ket : Z = standar normal µ = rata-rata populasi σ x = rata-rata sample σ = standar deviasi :

KURVA DISTRIBUSI NORMAL

Grafik distribusi normal tergantung pada dua factor mean dan deviasi standart. Mean dari distribusi menentukan lokasi pusat grafik, dan deviasi standard menentukan tinggi dan dan lebar grafik. Ketika standard deviasi besar, kurva pendek dan lebar, ketika standard deviasi kecil, kurva kecil dan sempit. Semua distribusi normal tampak seperti lonceng, Kurva berbentuk simetris, seperti yang di tunjukan di gambar ini. Kurva di sebelah kiri lebih pendek dan lebih lebar dari kurva di sebelah kanan, karena kurva di sebelah kiri memiliki standar deviasi yang lebih besar.

BAB IIIMETODOLOGI PENELITIAN

Metodologi penelitian pada penelitian ini dapat dibagi menjadi beberapa bagian,Yaitu:

1.Pengambilan sample data2.pengumpulan sample data3.pengolahan data

1 pengambilan sample data

Pengambilan data dilakukan dengan menggunakan beberapa sample dari sebuah kotak yang berisikan kabel yang di potong kecil-kecil dengan di bagi menjadi 2 warna salah satu warna menunjukan sukses dan satu warna lagi menunjukan gagal

2.pengumpulan data

Setelah pengambilan sample data kemudian dilakukan pengumpulan data yang sesuai dengan sample data yang telah di ambil setelah itu data siap di olah.

3.pengolahan data

Setelah data dikumpulkan data siap diolah ada beberapa langkah yaitu denganmenentukan distribusi binomial hypergeometri dan distribusi normalnya.Setelah langkah-langkah diatas di lakukan kita akan mendapatkan hasil pengolahan data statistik yang di tunjukan oleh grafik seperti di bawah ini :

Grafik dalam distribusi frekuensi sering digambarkan dalam bentuk histogram atau grafik

batangan (bar chart) dan frekuensi poligon.