MODUL E-LEARNING

E-LEARNING MATEMATIKA

Oleh : NURYADIN EKO RAHARJO, M.PD.

NIP. 19721015 200212 1 002

Penulisan Modul e Learning ini dibiayai oleh dana DIPA BLU UNY TA 2010 Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan e Learning

Nomor 1993a.9/H34.15/PL/2010 Tanggal 1 Juli 2010

JURUSAN PENDIDIKAN TEKNIK SIPIL DAN PERENCANAAN

FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

TAHUN 2010

18

BAB III VEKTOR

I. KOMPETENSI YANG DICAPAI

Mahasiswa dapat :

1. Menggambar vektor dengan sistem vektor satuan.

2. Menghitung perkalian vektor.

3. Menghitung penambahan vektor dengan aturan segitiga, aturan jajaran

genjang, dan aturan poligon.

4. Menghitung pengurangan vektor.

5. Menghitung panjang vektor dalam ruang.

II. MATERI

A. PENGERTIAN

Vektor adalah suatu kuantita/besaran yang mempunyai besar dan arah. Secara

grafis suatu vektor ditunjukkan sebagai potongan garis yang mempunyai arah. Besar

atau kecilnya vektor ditentukan oleh panjang atau pendeknya potongan garis.

Sedangkan arah vektor ditunjukkan dengan tanda anak panah.

Dalam gambar vektor di samping, titik A disebut titik

awal (initial point) dan titik P disebut titik terminal

(terminal point). Pada gambar tersebut vektor dapat

ditulis dengan berbagai cara seperti, AB a

, a atau a.

Panjang vektor juga dapat ditulis dengan berbagai cara

seperti | AB |, | AB |, | a

|, | a |, atau a .

Disini kita akan memakai simbul AB atau a untuk menyatakan vektor dan

| AB | atau | a | untuk menyatakan besaran (modulus) dari vektor tersebut. Contoh

vektor misalnya lintasan, kecepatan, percepatan, dan gaya.

Skalar adalah suatu kuantita yang mempunyai besaran tetapi tidak

mempunyai arah. Suatu skalar adalah bilangan nyata dan secara simbolik dapat

ditulis dengan huruf kecil. Operasi skalar mengikuti aturan yang sama dengan aturan

operasi aljabar elementer.

A

B

AB = a

19

B. VEKTOR SATUAN

Untuk menggambarkan suatu vektor

pada sistem koordinat kartesean

diperlukan vektor satuan. Vektor

dari titik (0,0) sampai titik (1,0)

adalah vektor satuan i . Vektor dari

titik (0,0) sampai titik (0,1) adalah

vektor satuan j .

Arah vektor i positif sesuai dengan arah sumbu X positif. Arah vektor j

positif sesuai dengan arah sumbu Y positif. Pada gambar disebelah ini vektor a

dengan titik awal P dan titik akhir Q diuraikan menjadi dua vektor yaitu vektor ia1

dan ja2

. Vektor 1

a dan 2

a disebut komponen vektor a . Besaran 1

a dan 2

a

disebut komponen skalar a . Secara simbolis vektor a dan komponennya ditulis a

= ia1

+ ja2

C. ALJABAR VEKTOR

Aljabar vektor adalah operasi pada dua atau lebih dari vektor yang meliputi

penambahan, pengurangan dan perkalian. Operasi vektor dapat dilakukan melalui

komponen-komponen skalarnya.

1. Kesamaan Dua vektor

Dua vektor dikatakan sama apabila panjang serta

arahnya sama.

a = b jika a = b dan arah a = arah b

X

Y

(1,0)

(0,1)

i

j

P

Q

(0,0)

a

ia1

ja2

a b

20

2. Vektor Negatif

Vektor – a mempunyai ukuran sama dengan

vektor a tetapi arahnya berlawanan.

Jika vektor a = - b maka a = -b .

Vektor negatif sering disebut sebagai vektor

invers.

3. Perkalian Vektor dengan Skalar

Jika k bilangan real yang positif, maka k u

adalah vektor yang panjangnya k u dan

mempunyai arah yang sama dengan u .

Sedangkan –k u adalah vektor yang panjangnya

k u tetapi arah berlawanan dengan u .

4. Penjumlahan Vektor

a) Aturan Segitiga

Perhatikan gambar di samping. Jika AB dan

BC mewakili a dan b maka AC dikatakan

penjumlahan vektor a + b .

b) Aturan Jajaran Genjang

AB dan DC mewakili vektor a

BC dan AD mewakili vektor b ,

maka AC = a +b

atau AC = b + a .

a

ba

u

uk

ba

a

b

ba

a

b b

a

ab

21

c) Aturan Polygon

Penjumlahan tiga vektor atau lebih dapat dilakukan dengan menggunakan

aturan poligon.

5. Selisih Dua Vektor

Selisih dua arah vektor a dan b , dinyatakan sebagai a – b , dapat

dipandang sebagai penjumlahan vektor a dengan invers vektor b yaitu

vektor – b .

Misalkan a – b = c maka c = a +(–b )

Secara diagram selisih dua vektor tersebut seperti gambar berikut.

6. Vektor Nol

Jika vektor a = b maka a – b = 0. 0 disebut vektor nol. Vektor nol tidak

mempunyai besar dan arahnya tak tentu.

ba a

b

b

a c

c

cba

a

b

a bac

b

22

Dalam aljabar vektor, misalkan vektor a = ia1

+ ja2

dan vektor b = ib1

+ jb2

maka berlaku aturan :

a). a = b jika dan hanya jika ia1

= ib1

dan ja2

= jb2

b). m. a = m. ia1

+ m. ja2

untuk m suatu skalar

c). a + b = (1

a + 1

b ) i + (2

a + 2

b ) j

d). a - b = (1

a - 1

b ) i + (2

a - 2

b ) j

e). a . b = 0 jika a = 0 atau b = 0 atau a tegak lurus dengan b

f). i . i = j . j = 1 dan i . j = 0

g). a . b = ( ia1

+ ja2

) . ( ib1

+ jb2

) = 1

a . 1b +

2a .

2b

h). a = 2

2

2

1aa

i). = arc tan ( 2

a / 1

a )

j). a . b = a b cos γ

D. VEKTOR DALAM RUANG TIGA DIMENSI

Vektor OP disefinisikan oleh komponen-

komponenya :

a sepanjang OX

b sepanjang OY

c sepanjang OZ

Misalkan i = vektor satuan dalam arah OX

j = vektor satuan dalam arah OY

k = vektor satuan dalam arah OZ

maka :

OP = ckbjai

OL2 = a

2 + b

2 dan OP

2 = OL

2 + c

2

OP2 = a

2 + b

2 + c

2 jadi ckbjair

O

X

a

L

b

c r

P

Z

Y

23

Contoh penyelesaian soal :

1. Diketahui vektor a = 3i + 4j dan vektor b = 2i + j. Hitunglah harga-harga : a +

b ; b + a ; a – b ; b – a ; a . b ; sudut a ; sudut b ; a .b dan b . a .

Jawab :

Dari vektor a dan b tersebut dapat diketahui bahwa 1

a = 3 ; 2

a = 4 ; 1

b = 2

dan 2

b = 1 , sehingga diperoleh :

a). a + b = (1

a +1

b ) i + (2

a + 2

b ) j = ( 3 + 2 ) i + ( 4 + 1 ) j = 5i + 5j

b). b + a = (1

b + 1

a ) i + (2

b + 2

a ) j = ( 2 + 3 ) i + ( 1 + 4 ) j = 5i + 5j

c). a – b = (1

a – 1

b ) i + (2

a – 2

b ) j = ( 3 – 2 ) i + ( 4 – 1 ) j = i + 3 j

d). b – a = (1

b – 1

a ) i + (2

b – 2

a ) j = ( 2 – 3 ) i + ( 1 – 4 ) j = -i – 3j

e). a = 2

2

2

1aa =

2243 = 25169 = 5

f). b = 1412bb22

2

2

2

1 = 5

g). Sudut a adalah = arc tan (2

a /1

a ) = arc tan ( 4/3 ) = 53,1301 atau

= 53 7 48.36”

h). Sudut b adalah = arc tan (2

b /1

b ) = arc tan ( ½ ) = 26,565051 atau

= 26 33 54,18”

i). a . b = 1

a . 1

b + 2

a . 2

b = 3 . 2 + 4 . 1 = 6 + 4 = 10

j). b . a = b1 . 1a +

2b .

2a = 2 . 3 + 1 . 4 = 6 + 4 = 10

Jawaban i). dan j). dapat juga menggunakan aturan

a . b = a . b cos .

dalam hal ini adalah sudut antara a dan b .

Dengan aturan tersebut diperoleh :

a . b = a . b cos = 5 5 cos ( - ) = 5. 5 cos (53,13 – 26,56)

= 5. 5 cos 26,57 = 5. 5 . 0,894427191 = 10

b . a = b . a cos = 5 . 5 cos ( - ) 5 . 5 cos (-26,57) = 10

24

2. Diketahui vektor-vektor a , b dan c seperti di bawah ini .

Lukislah secara grafis operasi vektor : a - b +2. c dan 3 c - 0,5(2 a - b ).

Jawab :

a - b +2. c = a + (- b ) + 2 . c

3 c - 0,5(2 a -b ) = 3 c + [-0,5{2 a + (- b )}]

a

c

b b

a

c2ba

c2

a

c

b

b

a2

ba2

c3

3 c + [-0,5{2 a + (- b )}]

1/2(2 a +(- b )

25

Soal-soal vektor :

1. Gambarlah vektor-vektor dibawah ini pada koordinat kartesean.

a). a = 4i+5j b). b = -4i+5j c). c = -4i–5j d). d = 4i – 5j

2. Gambarlah dan tuliskan dalam bentuk vektor ai + bj yang memiliki ketentuan

sebagai berikut :

a. Dari titik sumbu ( 0 , 0 ) ke titik ( 2 ; -3 )

b. Dari titik ( 2 ; 3 ) ke titik ( 4 ; 2 )

c. Mempunyai besar 6 dengan arah 150

3. Diketahui vektor a = 1,5 i + j3 dan vektor b = 2 - 5j

Hitunglah : a. a + b b. a – b c. a . b

4. Vektor a = 3i + 4j ; vektor b = 2i + 5j dan vektor c = -5i + 3j.

Hitunglah : a. a + b b. a + b + c c. a . b . c

5. Hitunglah kerja yang dilakukan vektor 6i + 8j pada vektor 2i + 3j.

6. tentukan besarnya sudut pada vektor-vektor i + j ; 2i – 3j dan 5j.

7. Vektor a = 1i + 5j, vektor b = -5i – 7j dan vektor c = 3i – 7j.

Gambarlah : a. 2 . a – b + c b. b – 0.25 ( a –2. c ) c. a +b +3 c

26

PERKALIAN SKALAR ANTARA DUA VEKTOR 2D

Jika a dan b adalah dua buah vektor, maka perkalian skalar antara a dengan

b didefinisikan sebagai a . b cos

Dimana a = besar vektor a

b = besar vektor b

a = sudut yang diapit oleh vektor a dan b

b

Perkalian skalar dinyatakan dengan a . b sehingga juga disebut sebagai

perkalian titik

Jadi a . b = a . b . cos

= a . proyeksi b pada a

atau = b . proyeksi a pada b

Hasil dari perkalian skalar antara dua vektor berupa besaran skalar

PERKALIAN SKALAR ANTARA DUA VEKTOR 3D

Jika a = ia1

+ a2j + a3k

b = b1i + b2 j + b3k

maka

a . b = ( ia1

+ a2j + a3k ) (b1 i + b2 j + b3k )

a . b = a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3

Rumus tersebut berasal dari perhitungan sebagaiberikut :

a . b = ( ia1

+a2j + a3k ) (b1 i + b2 j + b3k )

= (a1 . b1 .i.i ) + (a1 . b2 .i.j ) + a1 . b3. i.k )

+ (a2. b1 . j.i ) + (a2 . b2. j.j ) + (a2 . b3 . j. k )

+ (a3 . b1 k.i ) + (a3. b2 . k.j ) + (a3 . b3 k.k )

ingat : i . i = j . j = k . k = 1 . 1. cos 0 = 1

i . j = j . k = k . i = 1 . 1. cos 90 = 0

27

Sehingga

a . b = a1 . b1 + a2 . b2 + a3 . b3

Contoh soal.

Jika a = 2i +3j +5k dan b = 4i +j +6k

Maka a . b = 2.4 + 3.1 + 5.6

= 8 + 3 + 30

= 41

PERKALIAN VEKTOR ANTARA DUA VEKTOR

Perkalian vektor antara a dan b ditulis a x b sehingga juga disebut sebagai

perkalian silang.

a x b didefinisikan sebagai vektor yang mempunyai besar a . b sin

= sudut antara vektor a dengan b

Arah vektor hasil kali a x b tegak lurus dengan vektor a dan b

Catatan :

Dalam perkalian vektor ( silang ) membentuk

sistem kanan sehingga jika b x a hasilnya tegak

lurus ke bawah.

Jika = 0 maka a x b = a x b sin 0 = 0

Jika = 90 maka a x b = a x b sin 90 = a x b

Sehingga :

i x i = j x j = k x k = 1 . 1 sin 0 = 0

i x j = 1 . 1 sin 90 = 1

b

a

a x b

b x a

28

Dalam arah OZ maka i x j = k

Jadi i x j = k tetapi j x i = -k

j x k = i k x j = -i

k x i = j i x k = -j

jika : a = ia1

+ a2j + a3k

b = ia1

+ b2 j + b3k

maka :

a x b = ( ia1

+ a2j + a3k ) x (b1 i + b2 j + b3k )

= a1 . b1 i x i + a1 . b2 i x j + a1 . b3 i x k

+ a2. b1 j x i + a2 . b2 j x j + a2 . b3 j x k

+ a3 . b1 k x i + a3. b2 k x j + a3 . b3 k x k

ingat rumus perkalian vektor satuan di depan, sehingga

= 0 + a1 . b1 k + a1 . b3 ( -j )

+ a2. b1 ( -k ) + 0 + a2 . b3 i

+ a3 . b1 j + a3. b2 ( -i ) + 0

= (a2 . b3– a3. b2 ) i+ (a3 . b1– a1 . b3 ) j + (a1 . b2– a2. b1 ) k

Jika susunannya dibalik menjadi

a x b = (a2 b3– b2 a3 ) i – (a1 b3 – b1 a3) j + (a1 b2 – b1 a2) k

Rumus diatas jika disusun dalam bentuk determinan sebegai berikut

a x b = i j k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

= i a2 a3 - j a1 a3 + k a1 a2

b2 b3 b1 b3 b1 b2

Bahan Diskusi:

Mengapa perkalian vektor antara dua vektor hanya ada dalam vektor 3

dimensi?

29

Contoh 1 :

Diketahui p = 2i + 4j + 3k

q = i + 5j – 2k

Hitung p x q

Jawab :

p x q = i j k

2 4 3

1 5 -2

= i 4 3 -j 2 3 + k 2 4

5 -2 1 -2 1 5

= i ( - 8 – 15 ) – j ( -4 – 3 ) + k ( 10 – 4 )

= -23i + 7j + 6k

Contoh 2 :

Jika m = 3i - 4 j + 2k

n = 2i + 5j – k

Hitunglah m x n

30

SUDUT ANTARA DUA VEKTOR

( Dengan cosinus arah )

Misal OP = a = ia1

+ a2j + a3k maka a = 2

3

2

2

2

1aaa

Maka : a

a1 = cos = l

a

a2 = cos = m

a

a3 = cos = n

l ,m, n disebut cosinus arah vektor OP

Contoh 1 :

Tentukan cosinus arah vektor a = 3i – 2j + 6k

Jawab : a1 = 3, a2= -2, a3= 6

a = 2226)2(3 = 49 = 7

l= a

a1 =3/7 ; m =

a

a2 = -2/7 ; n =

a

a3 = 6/7

α β

γ

Y

X

Z P

a1

a2

a3 a

31

Jika :

Cosinus arah p adalah l,m,n

Cosinus arah 1p adalah 1′,m′,n′

Maka :

Cos = l.l1 + m.m

1 + n.n

1

Contoh 2 :

Jika cosinus arah vektor a adalah l, m, n = ½ , 0,3, -0,4

Cosinus arah vektor b adalah l1,m1,n1 = 0,25, 0,6, 0,2

Maka sudut antara vektor a dengan b adalah

Cos = l.l1 + m.m

1 + n.n

1

= (1/2)(0,25) + (0,3)(0,6) +(-0,4)(0,2)

=0,125 + 0,18 – 0,08

= 0,225

Sehingga

= arc cos 0,225

= 77

θ

Y

X

Z P

P1

32

Soal latihan : Diketahui vektor a = 5i + 4j + 2k

b = 4i – 5j + 3k

c = 2i – j -2k

Hitunglah :

a) sudut antara vektor a dengan vektor b

b) sudut antara vektor b dengan vektor c

c) sudut antara vektor a dengan vektor c