1.2 conjuntos

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  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    INDICEINTRODUCCIN

    RELACION DE PERTENENCIADETERMINACION DE CONJUNTOS

    DIAGRAMAS DE VENN

    CONJUNTOS ESPECIALES

    RELACIONES ENTRE CONJUNTOSCONJUNTOS NUMRICOS

    UNION DE CONJUNTOS

    INTERSECCIN DE CONJUNTOS

    DIFERENCIA DE CONJUNTOS

    DIFERENCIA SIMTRICA

    COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

    PROBLEMAS

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    En matemticas el concepto deconjunto es considerado

    primitivo y no se da unadefinicin de este, por lo tanto lapalabra CONJUNTO debe

    aceptarse lgicamente como untrmino no definido.

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    4/56

    Un conjunto se puede entender como

    una coleccin o agrupacin biendefinida de objetos de cualquier clase.Los objetos que forman un conjunto

    son llamados miembros o elementosdel conjunto.Ejemplo:

    En la figura adjuntatienes un Conjunto dePersonas

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    NOTACIN

    Todo conjunto se escribe entre llaves { }y se le denota mediante letrasmaysculas A, B, C, ...,sus elementos se

    separan mediante punto y coma.Ejemplo:

    El conjunto de las letras del alfabeto; a,b, c, ..., x, y, z. se puede escribir as:

    L={ a; b; c; ...; x; y; z}

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    Ejemplo:A= {a;b;c;d;e} su cardinal n(A)=

    B= {x;x;x;y;y;z} su cardinal n(B)=

    En teora de conjuntos no se acostumbra

    repetir los elementos por ejemplo:El conjunto {x; x; x; y; y; z } simplementeser { x; y; z }.

    Al nmero de elementos que tiene un conjuntoQ se le llama CARDINAL DEL CONJUNTO y sele representa por n(Q).

    5

    3INDICE

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    7/56

    Para indicar que un elemento pertenecea un conjunto se usa el smbolo: Si un elemento no pertenece a un

    conjunto se usa el smbolo:Ejemplo: Sea M = {2;4;6;8;10}2 M ...se lee 2 pertenece al conjunto M

    5 M ...se lee 5 no pertenece al conjunto M

    INDICE

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    I) POR EXTENSIN

    Hay dos formas de determinar un conjunto,por Extensin y por Comprensin

    Es aquella forma mediante la cual se indicacada uno de los elementos del conjunto.

    Ejemplos:

    A) El conjunto de los nmeros pares mayoresque 5 y menores que 20.

    A = { 6;8;10;12;14;16;18 }

    INDICE

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    B) El conjunto de nmeros negativos

    impares mayores que -10.B = {-9;-7;-5;-3;-1 }

    II) POR COMPRENSIN

    Es aquella forma mediante la cual se da unapropiedad que caracteriza a todos loselementos del conjunto.

    Ejemplo:se puede entender que el conjunto P esta formadopor los nmeros 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

    P = { los nmeros dgitos }

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    Otra forma de escribir es: P = { x / x = dgito }se lee P es el conjunto formado por los

    elementos x tal que x es un dgito Ejemplo:

    Expresar por extensin y por comprensin el

    conjunto de das de la semana.Por Extensin : D = { lunes; martes; mircoles;

    jueves; viernes; sbado; domingo }

    Por Comprensin : D = { x / x = da de la semana }

    INDICE

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    Los diagramas de Venn que se deben al

    filsofo ingls John Venn (1834-1883)sirven para representar conjuntos demanera grfica mediante dibujos

    diagramas que pueden ser crculos,rectngulos, tringulos o cualquier curvacerrada.

    AMT

    7

    23

    6

    9

    aei

    o

    u(1;3) (7;6)

    (2;4) (5;8)

    84

    1 5

    INDICE

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    A = o A = { } se lee: A es el conjuntovaco o A es el conjunto nulo

    CONJUNTO VACO

    Es un conjunto que no tiene elementos,tambin se le llama conjunto nulo.Generalmente se le representa por los

    smbolos: o { }J

    J

    Ejemplos:M = { nmeros mayores que 9 y menoresque 5 }

    P = { x / }1

    0X !

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    CONJUNTO UNITARIO

    Es el conjunto que tiene un solo elemento.

    Ejemplos:

    F = { x / 2x + 6 = 0 } G = a_ 2x / x 4 x 0!

    CONJUNTO FINITOEs el conjunto con limitado nmero deelementos.Ejemplos:

    E = { x / x es un nmero impar positivo menorque 10 }

    N = { x / x2

    = 4 }

    ;

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    CONJUNTO INFINITOEs el conjunto con ilimitado nmero de

    elementos.Ejemplos:R = { x / x < 6 } S = { x / x es un nmero par }

    CONJUNTO UNIVERSALEs un conjunto referencial que contiene atodos los elementos de una situacin

    particular, generalmente se le representapor la letra UEjemplo: El universo o conjunto universal

    ;

    de todos los nmeros es el conjunto de losNMEROS COMPLEJOS. INDICE

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    INCLUSINUn conjunto A esta incluido en otro conjunto B ,sy slo s, todo elemento de A es tambin elementode B

    NOTACIN : A BSe lee : A esta incluido en B, A es subconjunto deB, A esta contenido en B , A es parte de B.

    REPRESENTACIN GRFICA :

    B A

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    PROPIEDADES:

    I ) Todo conjunto est incluido en si mismo. A A

    II ) El conjunto vaco se considera incluido encualquier conjunto. J A

    III ) A est incluido en B ( ) equivale a decir

    que B incluye a A ( )

    A B

    B AIV ) Si A no est incluido en B o A no essubconjunto de B significa que por lo menos unelemento de A no pertenece a B. ( )A B

    V ) Simblicamente: A B x A x B

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    CONJUNTOS COMPARABLESUn conjunto A es COMPARABLE con otro

    conjunto B si entre dichos conjuntos existe unarelacin de inclusin.

    A es comparable con B A B B A

    Ejemplo: A={1;2;3;4;5} y B={2;4}

    1

    23

    4

    5A

    B

    Observa que B est

    incluido en A ,por lotanto Ay B son

    COMPARABLES

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    IGUALDAD DE CONJUNTOSDos conjuntos son iguales si tienen los mismos

    elementos.Ejemplo:

    A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x 3)(x + 3) =0 }

    Resolviendo la ecuacin de cada conjunto seobtiene en ambos casos que x es igual a 3 o -3,es decir : A = {-3;3} y B = {-3;3} ,por lo tanto A=B

    Simblicamente : !

    A B

    (A B

    ) (B A

    )

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    CONJUNTOS DISJUNTOSDos conjuntos son disjuntos cuando no tienen

    elementos comunes.REPRESENTACIN GRFICA :

    A B

    17

    5 39

    24

    8

    6

    Como puedes

    observar los

    conjuntos A y B notienen elementos

    comunes, por lo

    tanto son

    CONJUNTOS

    DISJUNTOS

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    CONJUNTO DE CONJUNTOSEs un conjunto cuyos elementos son conjuntos.

    Ejemplo:F = { {a};{b};{a; b};{a;b;c} }

    Observa que los elementos del conjunto F tambin

    son conjuntos.{a} es un elemento del conjunto F entonces {a} F

    Es correcto decir que {b} F ? NO

    Porque {b} es un elemento del conjunto F ,locorrecto es {b} F

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    CONJUNTO POTENCIAEl conjunto potencia de un conjunto A denotado

    por P(A) o Pot(A) es el conjunto formado portodos los subconjuntos de A.

    Ejemplo: Sea A = { m;n;p }

    Los subconjuntos de A son{m},{n},{p},{m;n}, {n;p},{m;p}, {m;n;p},

    Entonces el conjunto potencia de A es:

    P(A) = { {m};{n};{p};{m;n};{m;p};{n;p};{m:n;p}; }

    CUNTOS ELEMENTOS TIENE EL CONJUNTOPOTENCIA DE A ?

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    Observa que el conjunto A tiene 3 elementos ysu conjunto potencia osea P(A) tiene 8

    elementos.PROPIEDAD:

    Dado un conjunto A cuyo nmero de elementos es

    n , entonces el nmero de elementos de suconjunto potencia es 2n.

    Ejemplo:

    Dado el conjunto B ={x / x es un nmero par y5< x

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    Nmeros Naturales ( N ) N={1;2;3;4;5;....}

    Nmeros Enteros ( Z ) Z={...;-2;-1;0;1;2;....}

    Nmeros Racionales (Q)

    Q={...;-2;-1; ;0; ; ; 1; ;2;....}

    Nmeros Irracionales ( I ) I={...; ;....}2; 3; T

    Nmeros Reales ( R )

    R={...;-2;-1;0;1; ;2;3;....}2; 3

    1

    2

    1

    5

    1

    2

    4

    3

    Nmeros Complejos ( C )

    C={...;-2; ;0;1; ;2+3i;3;....}2; 31

    2

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    N

    Z

    Q

    I

    RC

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    EJEMPLOS:

    Expresar por extensin los siguientes conjuntos:

    A ) _ a2P x N / x 9 0! !

    B )C )

    D ) a_T x Q /(3x 4)(x 2) 0! !

    E ) a_B x I /(3x 4)(x 2) 0! !

    _ a2

    Q x Z / x 9 0! !_ a2F x R / x 9 0! !

    P={3}

    Q={-3;3}

    F = { }

    _ a4

    T3

    !

    _ aB 2!

    RESPUESTAS

    INDICE

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    76

    556

    A B

    El conjunto A unin B que se representa asi

    es el conjunto formado por todos los elementos quepertenecen a A,a B o a ambos conjuntos.

    A B

    a_ ! A B x / x A x B

    Ejemplo:a_ a_! !A 1;2;3; 4; 5; 6; 7 yB 5; 6; 7; 8; 9

    9

    87

    3

    1

    4

    2

    a_ !A B 1;2;3; 4; 5; 6;7; 8; 9

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    REPRESENTACIONES GRFICAS DE LAUNIN DE CONJUNTOS

    Si A y B son no comparables Si A y B son comparables

    Si A y B sonconjuntos disjuntos

    U

    U

    U

    A

    A

    AB

    B

    B

    AUB AUB

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    PROPIEDADES DE LA UNIN DECONJUNTOS

    1. A A = A

    2. A B = B A

    3. A = A4. A U = U

    5. (AB)C =A(BC)

    6. Si AB= A= B=

    INDICE

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    29/56

    76

    556

    A B

    El conjunto A interseccin B que se representa es

    el conjunto formado por todos los elementos quepertenecen a A y pertenecen a B.

    A B

    a_A B x / x A x B !

    Ejemplo:

    a_ a_! !A 1;2;3; 4; 5; 6; 7 yB 5; 6; 7; 8; 9

    9

    87

    3

    1

    4

    2

    a_A B 5; 6;7 !

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    REPRESENTACIONES GRFICAS DE LAINTERSECCIN DE CONJUNTOS

    Si A y B son no comparables Si A y B son comparables

    Si A y B sonconjuntos disjuntos

    U

    U

    U

    A

    A

    AB

    B

    AB AB=B

    B

    AB=

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    PROPIEDADES DE LA INTERSECCINDE CONJUNTOS

    1. A A = A

    2. A B = B A

    3. A = 4. A U = A

    5. (AB)C =A(BC)

    6. A(BC) =(AB)(AC)A(BC) =(AB)(AC)

    INDICE

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    76

    556

    A B

    El conjunto A menos B que se representa

    es el conjunto formado por todos los elementos quepertenecen a A y no pertenecen a B.

    A B

    a_A B x / x A x B !

    Ejemplo:a_ a_! !A 1;2;3; 4; 5; 6; 7 yB 5; 6; 7; 8; 9

    9

    87

    3

    1

    4

    2

    a_A B 1;2;3; 4 !

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    33/56

    76

    556

    A B

    El conjunto B menos A que se representa

    es el conjunto formado por todos los elementos quepertenecen a B y no pertenecen a A.

    B A

    a_B A

    x / xB

    xA

    !

    Ejemplo:a_ a_! !A 1;2;3; 4; 5; 6; 7 yB 5; 6; 7; 8; 9

    9

    87

    3

    1

    4

    2

    a_B A 8; 9 !

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    REPRESENTACIONES GRFICAS DE LADIFERENCIA DE CONJUNTOS

    Si A y B son no comparables Si A y B son comparables

    Si A y B sonconjuntos disjuntos

    U

    U

    U

    A

    A

    AB

    B

    A - B A - B

    B

    A - B=A

    INDICE

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    35/56

    76

    556

    A B

    El conjunto A diferencia simtrica B que se

    representa es el conjunto formado por todos loselementos que pertenecen a (A-B) o(B-A).A B(

    a_A B

    x / x (A B

    ) x (B A

    )( !

    Ejemplo:a_ a_! !A 1;2;3; 4; 5; 6; 7 yB 5; 6; 7; 8; 9

    9

    87

    3

    1

    4

    2

    a_ a_A B 1;2;3; 4 8; 9( !

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    36/56

    Tambin es correcto afirmar que:

    A B (A B) (B A)( !

    A B (A B) (A B)( !

    A BA-B B-A

    A B

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    37/56

    Dado un conjunto universal U y un conjunto

    A,se llama complemento de A al conjuntoformado por todos los elementos deluniverso que no pertenecen al conjunto A.

    Notacin: A o AC

    Ejemplo:

    U ={1;2;3;4;5;6;7;8;9} A ={1;3; 5; 7; 9}y

    Simblicamente: a_A ' x / x U x A!

    A = U - A

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    38/56

    12 3

    4

    56

    7 8

    9

    U AA

    A={2;4;6,8}

    PROPIEDADES DEL COMPLEMENTO

    1. (A)=A2. AA=U

    3. AA=

    4. U=5. =U

    INDICE

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    39/56

    PROBLEMA 1PROBLEMA 2PROBLEMA 3

    PROBLEMA 4PROBLEMA 5FIN

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    40/56

    Dados los conjuntos:A = { 1; 4 ;7 ;10 ; ... ;34}B = { 2 ;4;6;...;26}C = { 3; 7;11;15;...;31}

    a) Expresar B y C por comprensinb) Calcular: n(B) + n(A)c) Hallar: A B , C A

    SOLUCIN

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    41/56

    Los elementos de A son:Primero analicemos cada conjunto

    ,1 3 x1

    tt4tt

    ,1 3 x 2

    tt7tt

    ,1 3 x3

    tt tt10

    ,1 3 x11

    tt3 tt4

    ,1 3 x0

    tt1tt

    ...

    A = { 1+3n / nZ 0 n11}Los elementos de B son:

    ,2x 2

    tt4tt,2x3

    tt6tt ,2x 4

    tt8tt,

    2x13

    tt tt26,2x1

    tt2tt ...

    B = { 2n / nZ 1 n13}

    n(B)=13

    n(A)=12

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    42/56

    Los elementos de C son:

    ,3 4 x1tt7tt ,3 4 x2tt tt11,

    3 4x3

    tt tt15

    ,

    3 4x7

    tt tt31

    ,3 4 x0tt3tt ...

    C = { 3+4n / nZ 0 n

    7 }a) Expresar B y C por comprensinB = { 2n / nZ 1 n18}C = { 3+4n / nZ 0 n

    7 }b) Calcular: n(B) + n(A)

    n(C)=8

    n(B) + n(A) = 13 +12 = 25

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    43/56

    A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34}B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}C = {3;7;11;15;19;23;27;31}

    c) Hallar: A B , C A

    A B = { 4;10;16;22 }

    C A = { 3;11;15;23;27 }

    Sabemos que A

    B esta formado por loselementos comunes de A y B,entonces:

    Sabemos que C - A esta formado por loselementos de C que no pertenecen a A,entonces:

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    44/56

    Si : G = { 1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ;11 }Determinar si es verdadero o falso:

    a) Gb) {3} Gc) {{7};10}G

    d) {{3};1} Ge) {1;5;11} G

    SOLUCIN

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    45/56

    Observa que los elementos de A son:

    1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11

    es VERDADERO

    Entonces:es VERDADERO porque estaincluido en todo los conjuntos

    es VERDADERO porque {3}es un elemento de de G

    es FALSO porque {{7};10}

    no es elemento de Ges FALSO

    a) G ....

    b) {3} G ...

    c) {{7};10}G ..

    d) {{3};1} G ...

    e) {1;5;11} G ...

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    46/56

    Dados los conjuntos:P = { xZ / 2x2+5x-3=0 }M = { x/4N / -4< x < 21 }T = { xR / (x2 - 9)(x - 4)=0 }a) Calcular: M - ( T P )

    b) Calcular: Pot(M T )c) Calcular: (M T) P

    SOLUCIN

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    47/56

    P = { xZ / 2x2+5x-3=0 }

    Analicemos cada conjunto:

    2x2 + 5x 3 = 02x 1

    + 3x

    (2x-1)(x+3)=0

    2x-1=0 x = 1/2x+3=0 x = -3

    Observa que xZ ,entonces: P = { -3 }

    M = { x/4N / -4< x < 21 }

    Como x/4 N entonces los valores de x son: 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 pero los elementos de Mse obtienen dividiendo x entre 4,por lo tanto :

    M = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

    48/56

    T = { xR / (x2 - 9)(x - 4)=0 }

    Cada factor lo igualamos a cero y calculamos

    los valores de xx 4 = 0 x = 4x2 9 = 0 x2 = 9 x = 3 o x =-3

    Por lo tanto: T = { -3;3;4 }

    a) Calcular: M - ( T P )

    T P = { -3;3;4 } - { -3 } T P = {3 ;4 }M - (T P)= {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } - {3 ;4 }

    M - (T P)= {1 ; 2 ; 5 }

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    b) Calcular: Pot( M T )

    M T = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } - { -3;3;4 }

    M T = {1 ; 2 ; 5 }Pot( M T ) = { {1}; {2}; {5};{1;2};{1;5};

    {1;2;5};{2;5};

    }

    c) Calcular: (M T) P

    M T = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } { -3;3;4 }

    M

    T = { -3 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }(M T) P = { -3 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 } - { -3 }

    (M T) P = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    Expresar la regin sombreada entrminos de operaciones entre los

    conjuntos A,B y C.

    A B

    C

    A

    B

    C

    SOLUCIN

    A

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    A B

    C

    A B

    CA

    B

    C

    AB

    C

    [(AB) C]

    [(B

    C) A]

    [(AC) B]

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    A B

    A

    B

    C

    Observa como seobtiene la regin

    sombreada

    Toda la zona de amarillo esABLa zona de verde es AB

    Entonces restando se obtiene la zonaque se ve en la figura : (AB) - (AB)

    C

    Finalmente le agregamos C y se obtiene:

    [ (A

    B) - (A

    B) ]

    C( A B ) C

    =

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    Segn las preferencias de 420personas que ven los canales A,B o

    C se observa que 180 ven el canal A,240 ven el canal B y 150 no ven elcanal C,los que ven por lo menos 2

    canales son 230cuntos ven lostres canales?

    SOLUCIN

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    El universo es: 420

    Ven el canal A: 180 Ven el canal B: 240

    No ven el canal C: 150Entonces si ven el canal C: 420 150 = 270

    A B

    C

    a

    d

    (I) a + e + d + x =180

    be

    xf

    (II) b + e + f + x = 240

    c

    (III) d + c + f + x = 270

    Dato: Ven por lo menosdos canales 230 ,entonces:

    (IV) d + e + f + x = 230

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    (I) a + e + d + x =180

    (II) b + e + f + x = 240(III) d + c + f + x = 270

    Sumamos las ecuaciones (I),(II) y (III)

    Sabemos que : a+b+c+d+e+f+x =420

    230entonces : a+b+c =190

    a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690

    190 230190 + 560 + x =690 x = 40

    Esto significa que 40 personas ven los tres canales

  • 8/3/2019 1.2 conjuntos

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    Profesor: Rubn Alva Cabrera

    [email protected]