Aplikasi Turunan

Mendeskripsikan grafik-grafik fungsi-fungsi

Aturan turunan pertama dan kedua

Masalah optimisasi

Penggunaan turunan untuk bisnis dan ekonomi

Menggambar grafik dan asimtot

Teorema nilai rata-rata

Aplikasi Turunan:

Tujuan Instruksional Khusus

Mahasiswa mampu: mendeskripsikan kecenderungan (naik, turun, mencapai

maksimum/minimum) dari grafik fungsi

mencari titik kritis dan menggunakannya untukmenentukan lokasi maksimum dan minimum

menggunakan titik kritis dan tanda dari turunan pertamadan kedua untuk membuat sketsa dari grafik fungsi

menggunakan turunan pertama untuk menentukaninterval di mana fungsi naik dan turun

menggunakan turunan kedua untuk menentukankekonkafan dan titik belok

menggunakan turunan pertama dan kedua untukmengklasifikasi titik kritis

menggunakan turunan untuk menyelesaikan masalah-masalah optimisasi secara manual dan dengan bantuanTIK

Mat

emat

ika

A1

Un

iver

sita

s In

do

nes

ia

Mendeskripsikan grafik fungsi

Misalkan diberikan suatu fungsi f(x) dengandaerah asal I. Maka kita akan menghadapibeberapa pertanyaan, antara lain,

Apakah f(x) mempunyai nilai maksimum atauminimum di I?

Jika f(x) mempunyai nillai maksimum atauminimum, dimanakah nilai itu dicapai?

Jika ada, berapakah nilai maksimum atauminimum itu?

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Mendeskripsikan grafik fungsi

Definisi. Misalkan interval I adalah daerah asalfungsi f yang mengandung titik c. Kita katakanbahwa:

f(c) adalah nilai maksimum global f pada I jikaf(c) f(x) untuk setiap x I;

f(c) adalah nilai minimum global f pada I jika f(c) f(x) untuk setiap x I;

f(c) adalah nilai ekstrim f pada I jika f(c) adalahnilai minimum atau nilai maksimum;

fungsi yang ingin dimaksimumkan ataudiminimumkan disebut fungsi tujuan.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Mendeskripsikan grafik fungsi

Apakah f(x) mempunyai niai maksimum atauminimum di I?

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Mendeskripsikan grafik fungsi

Teorema. Eksistensi Maksimum-Minimum

Jika fungsi f kontinu pada interval tertutup [a, b] maka f mencapai nilai maksimum dan minimumpada [a, b].

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Mendeskripsikan grafik fungsi

Di manakah nilai maksimum atau minimum dicapai?

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Mendeskripsikan grafik fungsi

Teorema. Titik Kritis

Misalkan fungsi f didefinisikan pada interval I yang mengandung c. Jika f(c) adalah nilaiekstrim dari f, maka c haruslah merupakan titikkritis, yaitu c merupakan salah satu dari:

titik-titik ujung I

titik-titik stasioner dari f; yaitu titik dimanaf’(c) = 0.

titik-titik singular dari f; yaitu titik dimanaf’(c) tidak ada.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Mendeskripsikan grafik fungsi

Contoh. Carilah titik-titik kritis dari

pada interval [-1, 3/2].

Penyelesaian

Titik ujung dari interval adalah -1 dan 3/2

Titik stasioner

titik 0 dan 1

Jadi titik-titik kritis adalah -1, 0, 1, dan 3/2.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Mendeskripsikan grafik fungsi

Contoh.Carilah titik-titik kritis dari

pada interval [0, 9].

Penyelesaian

Titik ujung dari interval adalah 0 dan 9.

Titik stasioner

tidak ada nilai x dimana

titik singular ada di x = 1.

Jadi titik-titik kritis adalah 0, 1, dan 9.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Mendeskripsikan grafik fungsi

Berapakah nilai maksimum atau minimum darisuatu fungsi ?

Titik kritis. Cari titik-titik kritis f di I. (Titikujung interval, titik stasioner, titik singular)

Evaluasi nilai f pada setiap titik kritis. Nilaiterbesar adalah nilai maksimum dan nilaiterkecil adalah nilai minimum.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Mendeskripsikan grafik fungsi

Contoh. Carilah nilai maksimum dan minimum dari

pada interval [-1, 2].

Penyelesaian.

Titik Kritis.

titik stasioner x = 0 dan titik-titik ujung yaitu -1 dan 2.

Evaluasi.

nilai maksimum adalah f(0) = 2 dan nilaiminimum adalah f(2) = -2.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

f(-1) = 1, f(0) = 2, f(2) = -2

Aturan turunan pertama dan kedua

Definisi. Kemonotonan Fungsi

Suatu fungsi f(x) disebut naik pada suatuinterval I, jika untuk setiap di I,

Suatu fungsi f(x) disebut turun pada suatuinterval I, jika untuk setiap di I,

Suatu fungsi f(x) disebut strik monoton padasuatu interval I, jika f naik saja atau turun saja diI.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan kedua

Grafik naik pada interval-interval

turun pada interval-interval

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan kedua

Naik pada interval-interval

turun pada interval-interval

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan kedua

Teorema. Uji kemonotonan

Suatu fungsi f(x) adalah naik pada interval I, jika pada I

dan sama dengan nol hanya pada sejumlahberhingga titik.

Suatu fungsi f(x) adalah turun pada interval I, jika pada I

dan sama dengan nol hanya pada sejumlahberhingga titik.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan keduaM

atem

atik

a D

asar

A1

Un

iver

sita

s In

do

nes

ia

Aturan turunan pertama dan kedua

Contoh. Carilah interval dimana fungsi

naik atau turun.

Penyelesaian.

Titik pemisah x = -1, x = 0, dan x = 2

f naik :

f turun:

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Interval x x+1 x-2 f(x) f

(-, -1) - - - - turun

(-1, 0) - + - + naik

(0, 2) + + - - turun

(2, ) + + + + naik

.

Aturan turunan pertama dan kedua

Turunan kedua dan kecekungan

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan kedua

Definisi. Grafik fungsi f(x) disebut cekung keatas pada interval I jika f’(x) naik di I, dancekung ke bawah di I jika f’(x) turun di I. Titikpada gafik yang membedakan kecekungandisebut titik infleksi.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan kedua

cekung ke atas

cekung ke bawah

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan kedua

Teorema. Uji kecekungan

Suatu fungsi f(x) adalah cekung ke atas padainterval I, jika pada I

dan sama dengan nol hanya pada sejumlahberhingga titik.

Suatu fungsi f(x) adalah cekung ke bawah padainterval I, jika pada I

dan sama dengan nol hanya pada sejumlahberhingga titik.

Titik infleksi muncul ketika

dan f’’(x) berubah tanda, dan mungkin jugaketika f’’(x) tidak ada.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan kedua

Contoh. Carilah interval dimana fungsi

naik, turun, cekung ke atas, atau cekung kebawah.

Penyelesaian.

f naik pada:(-, 1] dan [3, )

f turun pada: [1, 3]

f cekung ke atas pada [2, )

f cekung ke bawah pada (-,2]

Titik x = 2 adalah titik infleksi.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan kedua

Ekstrim lokal

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan kedua

Definisi.

Suatu fungsi f(x) disebut mempunyai maksimumlokal (relatif) f(c) di x = c jika terdapat interval buka I yang mengandung c sedeikian sehinggauntuk setiap x di I,

Suatu fungsi f(x) disebut mempunyai minimum lokal (relatif) f(c) di x = c jika terdapat interval buka I yang mengandung c sedeikian sehinggauntuk setiap x di I,

f(c) adalah nilai ekstrim lokal f jika f(c) merupakan nilai minimum lokal atau maksimumlokal.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan keduaM

atem

atik

a D

asar

A1

Un

iver

sita

s In

do

nes

ia

Aturan turunan pertama dan kedua

Teorema. Uji turunan pertama

Andaikan f kontinu pada interval terbuka (a,b) yang mengandung titik kritis c.

Jika f’(x) > 0 untuk setiap x dalam (a,c) dan f’(x) < 0 untuk setiap x dalam (c,b), maka f(c) adalah nilaimaksimum lokal dari f.

Jika f’(x) < 0 untuk setiap x dalam (a,c) dan f’(x) > 0 untuk setiap x dalam (c,b) maka f(c) adalah nilaiminimum lokal dari f.

Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c makaf(c) bukan nilai ekstrim lokal dari f.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan kedua

Uji turunan pertama

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan kedua

Contoh. Carilah nilai-nilai ekstrim lokal dari

Penyelesaian

f(0) = 0 bukan nilai ektrim

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan kedua

Teorema. Uji Turunan Kedua

Seandainya f’’(x) kontinu pada interval buka yang mengadung titik c dimana f’(c) = 0, maka

Jika f’’(c) < 0 maka f(c) adalah nilai maksimumlokal.

Jika f’’(c) > 0 maka f(c) adalah nilai minimum lokal.

Jika f’’(c) = 0 maka tidak ada kesimpulan yang dapat dibuat.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan kedua

Contoh. Carilah nilai-nilai ekstrim lokal dari

Penyelesaian

Titik kritis f: x = 0 dan x = 1.

Untuk x = 0, f’’(0) =0.

Untuk x = 0, f’’(0) =0 tidak dapat disimpulkan

Untuk x = 1, f’’(1) = 12 > 0. maka f(1) = -1 adalahnilai minimum

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan keduaM

atem

atik

a D

asar

A1

Un

iver

sita

s In

do

nes

ia

Masalah optimisasi

Langkah-langkah menyelesaikan masalahoptimisasi Gambar. Buatlah gambar yang mengilustrasikan

masalah dan lengkapi dengan data-data yang diketahuidan beri nama bagi peubah yang terlibat.

Modelkan fungsi tujuan yang akan dimaksimumkanatau diminimumkan dalam peubah-peubah yang ada.

Eliminasi peubah-peubah pada fungsi tujuanmenggunakan kondisi pada masalah hingga tersisa satupeubah saja.

Titik Kritis. Cari titik-titik kritis dari fungsi tujuan.

Evaluasi nilai f pada setiap titik kritis. Nilai terbesaradalah nilai maksimum dan nilai terkecil adalah nilaiminimum.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Masalah optimisasi

Contoh. Misalkan ingin dibuat kaleng silindrisdengan volume 125 m3 dengan alas dan tutupnyadibentuk dari sepotong lempengan besi persegi danselimutnya dibentuk dengan membengkokanlempengan besi persegi panjang sampai tepi –tepinya bertemu. Berapakah radius r dan tinggi h dari kaleng agar dapat meminimumkan total bahanyang diperlukan untuk dua persegi dan satu persegipanjang?

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Masalah optimisasi

Gambar tutup dan selimut silender

r adalah jari – jari alas dan tutup silinder

h adalah tinggi silinder.

Modelkan fungsi tujuan. Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Masalah optimisasi

Eliminasi.

Titik kritis.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Aturan turunan pertama dan kedua

Evaluasi.

Minimum A(r)

Jadi kita meminimumkan bahan yang dibutuhkandengan membuat kaleng berjari – jari 2,5 meter dandengan tinggi

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Penggunaan turunan untuk bisnis

dan ekonomi

Contoh. Biaya untuk memroduksi x barang (dalamribu rupiah) diberikan oleh

Sedangkan fungsi harga diberikan oleh

Hitunglah biaya marjinal, pemasukan marjinal, dan keuntungan marjinal saat 2500 barang terjualdan saat 7500 barang yang terjual. Asumsikanpabrik dapat menjual semua barang yang dihasilkan.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Penggunaan turunan untuk bisnis

dan ekonomi

Penyelesaian

Nilai fungsi marginal saat 2500 barang terjual

Nilai fungsi marginal saat 7500 barang terjual

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Menggambar grafik dan asimtot

Contoh. Sketsalah grafik dari fungsi

Penyelesaian

f fungsi ganjil, grafik simetris terhadap titik (0, 0)

Perpotongan dengan sumbu-x:

Titik kritis -2, 0, dan 2

Interval f naik/turun

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Menggambar grafik dan asimtot

nilai maksimum lokal

nilai minimum lokal

f cekung ke atas:

f cekung ke bawah:

Titik infleksi

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Menggambar grafik dan asimtotM

atem

atik

a D

asar

A1

Un

iver

sita

s In

do

nes

ia

Menggambar grafik dan asimtot

Ringkasan metode menggambar grafik

Prekalkulus.

Periksa daerah asal dan jangkauan dari fungsiuntuk memeriksa apakah ada titik-titik yang tidak termasuk di dalamnya.

Uji simetri terhadap sumbu-y dan titik asal(apakah fungsi ganjil atau genap)

Cari perpotongan dengan garis sumbu.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Menggambar grafik dan asimtot

Kalkulus.

Gunakan limit untuk mencari asimtot.

Gunakan turunan pertama untuk mencari titikkritis dan untuk mencari interval dimana fungsinaik atau turun.

Uji titik-titik kritis untuk maksimum atauminimum lokal.

Gunakan turunan kedua untuk mencari interval di mana fungsi cekung ke atas atau ke bawah dantitik infleksi.

Plot beberapa titik termasuk titik-titik kritis dantitik infleksi.

Sketsa grafik fungsi.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Menggambar grafik dan asimtot

Contoh. Gambarlah grafik fungsi

Prekalkulus.

Daerah asal adalah (-, -1) (-1, )

Simetri. f(-x) f(x) dan f(-x) -f(x) sehingga f(x) tidak simetris terhadap sumbu y maupun titikasal.

Perpotongan dengan sumbu-x:

Perpotongan dengan sumbu-y:

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Menggambar grafik dan asimtot

Kalkulus.

Diketahui bahwa x ≠ -1, maka periksa apakah x = - 1 adalah asimtot

x = - 1 adalah asimtot vertikal.

Turunan pertama

Titik kritis x = 1

f(x) naik pada (-1, 1) dan turun pada (-,-1)(1,)

f(1) = ¼ adalah nilai maksimum

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Menggambar grafik dan asimtot

Turunan kedua

Titik infleksi pada x = 2 dengan f(2)=2/9

f(x) cekung ke atas pada: (2, ) dan cekung kebawah pada: (-, -1) (-1, 2)

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Teorema nilai rata-rataM

atem

atik

a D

asar

A1

Un

iver

sita

s In

do

nes

ia

Teorema nilai rata-rata

Teorema. Teorema nilai rata-rata

Jika f kontinu di interval tertutup [a, b] danterturunkan pada titik dalamnya (a, b), makapasti ada setidaknya satu titik c pada (a, b) dimana

atau

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Teorema nilai rata-rata

Contoh. Carilah c yang dijamin oleh teoremanilai rata-rata untuk f(x) = x2 pada [0, 2].

Penyelesaian

Penyelesaian tunggal adalah c=1.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia

Teorema nilai rata-rata

Contoh. Carilah semua nilai c yang dijamin olehteorema nilai rata-rata untuk

pada [-3, 2].

Penyelesaian.

Mat

emat

ika

Das

ar A

1 U

niv

ersi

tas

Ind

on

esia