ANALISIS DERET WAKTU

Abdul Kudus, SSi., MSi., PhD.Selasa, 15.00 – 17.30 di R313

1. mencari variabel terkait korelogram.2. menggunakan informasi dari data masa lalu.3. melakukan ekstrapolasi berdasarkan trend saat ini.

Metode yang paling efisien utk meramal satu variabel adalah:

Pemulusan Eksponensial (Exponential Smoothing)Tujuan utk meramal xn+k berdasarkan {x1,x2,...,xn} dengan asumsi:1. tidak ada trend sistematik2. tidak ada efek musiman

mungkin krn sudah dibuang dgn metode tertentu

Modelnya ttt wx Misal t ditaksir oleh at. Di lain pihak, taksiran yg wajar bagi nilai rata-rata pada waktu ke-t adalah rata-rata terboboti dari nilai pengamatan pada waktu ke-t dan nilai taksiran rata-rata pada waktu ke-(t-1).

(1)

Ini adalah Exponentially Weighted Moving Average (EWMA).

amerupakan parameter pemulusan (smoothing) , jika:1. a 1, sedikit pemulusan dan at didominasi oleh xt.2. a 0, at didominasi oleh taksiran sebelumnya at-1.

Biasanya diambil nilai a = 0.2

R bisa melakukan penaksiran bagi a

Karena diasumsikan:1. tidak ada trend sistematik2. tidak ada efek musimanMaka peramalan yg dilakukan pada waktu n utk meramal k waktu ke depan adalah taksiran rata-ratanya pada waktu n.

Rumus 11 ttt axa aa dapat ditulis sbg:

11 tttt aaxa a1.

kesalahan peramalan satu langkah ke depan2.

22

1

32

22

1

322

1

22

1

21

11

111

111

11

11

ttt

tttt

tttt

ttt

tttt

xxx

axxx

axxx

axx

axxa

aaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaa

aaaa

at adalah kombinasi linier dari pengamatan saat ini dan pengamatan sebelumnya, dengan pembobot yg lebih besar bagi data terkini. Dengan syarat 0 < a < 1, shg a(1- a)i makin kecil. Dengan menetapkan a1 = x1.

Untuk nilai a tertentu, model dan penetapan a1 = x1 dapat digunakan utk menghitung at utk t = 2,3,...,n. Kesalahan prediksi satu langkah ke depan adalah

11 tttt aaxa a

1

1|ˆ

tt

tttt

ax

xxe

R menaksir parameter a melalui MINIMISASI Jumlah Kuadrat Kesalahan Prediksi Satu Langkah ke Depan (Sum of Squared One-Step-Ahead Prediction Error = SS1PE).

1122

322

2

2

dengan ;

1

xaeee

ePESS

n

n

tt

Contoh: Jumlah Keluhan Terhadap Organisasi

Terdapat data keluhan (bulanan) dari tahun 1996 sampai tahun 1999. Pada awal tahun 2000 ingin dilakukan penaksiran tingkat keluhan dan menyelidiki adanya trend. > www <- "http://www.massey.ac.nz/~pscowper/ts/motororg.dat"> Motor.dat <- read.table(www, header = T); attach(Motor.dat)> Comp.ts <- ts(complaints, start = c(1996, 1), freq = 12)> plot(Comp.ts, xlab = "Time / months", ylab = "Complaints")

Time / months

Com

plai

nts

1996 1997 1998 1999 2000

510

1520

2530

35

• tidak ada trend sistematik• tidak ada efek musiman

Pemulusan Eksponensial mrp kasus khusus dari metode Holt-Winters (yg akan dijelaskan nanti).

> Comp.hw1 <- HoltWinters(complaints, beta = FALSE, gamma = FALSE)> Comp.hw1Holt-Winters exponential smoothing without trend and without seasonal component.Call: HoltWinters(x = complaints, beta = FALSE, gamma = FALSE) Smoothing parameters: alpha: 0.1429622 beta : FALSE gamma: FALSE Coefficients: [,1]a 17.70343> plot(Comp.hw1)

Taksiran jumlah keluhan pada akhir tahun 1999

Taksiran a yg meminimumkan SS1PE

Holt-Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

10 20 30 40

510

1520

2530

35> Comp.hw1$SSE[1] 2502.028

Menurun

> Comp.hw2 <- HoltWinters(complaints, alpha = 0.2, beta=F,gamma=F)> Comp.hw2Holt-Winters exponential smoothing without trend and without seasonal component. alpha: 0.2 beta : FALSE gamma: FALSE Coefficients: [,1]a 17.97913> Comp.hw2$SSE[1] 2526.39

Metode Holt-WintersJika data mempunyai trend dan musiman, maka kita bisa menggunakan metode Holt-Winters.Metode Holt-Winters berdasar pada smoothing pada tiga persamaan yaitu level, trend dan musiman. Ada dua metode Holt-Winters, yakni:1. untuk musiman yg aditif2. untuk musiman yg multiplikatif

Holt-Winters utk Seasonal Aditif

level 111 ttpttt basxa aa 11 1 tttt baab ptttt saxs 1

trendmusiman

ramalan pknnnnkn skbax |ˆ pk untuk

Biasanya:a, dan bernilai 0.2

a1 = x1

b1 dan (s1,...,sp) diperoleh dari dekomposisi

Holt-Winters utk Seasonal Multiplikatif

level 111

tt

pt

tt ba

sxa aa

11 1 tttt baab

ptt

tt s

axs

1

trend

musiman

ramalan pknnnnkn skbax |ˆ pk untuk

Biasanya:a, dan bernilai 0.2

a1 = x1

b1 dan (s1,...,sp) diperoleh dari dekomposisi

Contoh: Data penjualan minuman anggur (bulanan) dari Jan 1980 sampai Jul 1995.

> www <- "http://www.massey.ac.nz/~pscowper/ts/wine.dat"> wine.dat <- read.table(www, header = T) ; attach (wine.dat)> sweetw.ts <- ts(sweetw, start = c(1980,1), freq = 12)> plot(sweetw.ts, xlab= "Time (months)", ylab = "sales (1000 litres)")

Time (months)

sale

s (1

000

litre

s)

1980 1985 1990 1995

100

200

300

400

500

600 Terdapat variasi musiman

model multiplikatif

> sweetw.hw <- HoltWinters (sweetw.ts, seasonal = "mult")> sweetw.hw ; sweetw.hw$coef ; sweetw.hw$SSE

Smoothing parameters: alpha: 0.4086698 beta : 0 gamma: 0.4929402

Coefficients: [,1]a 285.6890314b 1.3509615s1 0.9498541s2 0.9767623s3 1.0275900s4 1.1991924s5 1.5463100s6 0.6730235

s7 0.8925981s8 0.7557814s9 0.8227500s10 0.7241711s11 0.7434861s12 0.9472648

SSE[1] 477693.9

a, b dan (s1,...,s12) adalah taksiran level, trend dan efek musiman multiplikatif pada waktu yg terakhir (n = 187), yg akan digunakan utk meramal ke depan

100

300

500

xhat

100

200

300

400

leve

l0.

81.

21.

6

trend

0.8

1.2

1985 1990 1995

seas

on

Time

sweetw.hw$fitted

> plot (sweetw.hw$fitted)

Holt-Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1985 1990 1995

100

200

300

400

500

600

> plot (sweetw.hw)

Contoh: Ramalan penumpang pesawat empat tahun ke depan.

> data(AirPassengers)> AP <- AirPassengers> AP.hw <- HoltWinters(AP, seasonal = "mult")> plot(AP.hw)

Holt-Winters filtering

Time

Obs

erve

d / F

itted

1950 1952 1954 1956 1958 1960

100

200

300

400

500

600

> AP.predict <- predict(AP.hw, n.ahead = 4 * 12)> ts.plot(AP, AP.predict, lty = 1:2)

Time

1950 1955 1960 1965

100

200

300

400

500

600

700

800

> AP.hw$alpha alpha 0.2755925

> AP.hw$beta beta 0.03269295

> AP.hw$gamma gamma 0.8707292