ANALISA GETARAN MEKANIK LANJUT

GETARAN DENGAN METODA PENDEKATAN NUMERIK

Oleh

Kelompok 1

Azwar arif (D211 07 059)

Muh. Arsyadah amin (D211 07 037)

Ashar (D211 07 006)

METODA RAYLEIGH

Metoda Rayleigh dapat digunakan untuk menentukan frekuensi dasar suatu balok atau proses yang digambarkan oleh suatu deret massa gumpalan.

Sebagai pendekatan pertama diassumsikan suatu kurva penyimpangan statik , karena beban-beban M1g, M2g , M3g dan seterusnya dengan penyimpangan masing-masing y1, y2, y3 dan seterusnya. Energi regangan yang disimpan dalam balok ditentukan oleh kerja yang dilakukan pada beban-beban ini dan energi potensial dan kinetik maksimum menjadi :

233

222

211

2

2

1yMyMyMTmaks

3322112

1yMyMyMgUmaks

PENGGABUNGAN Dengan menyamakan keduanya akan

diperoleh persamaan :

iii

iii

yM

yMg

221

CONTOH SOAL PENYELESAIAN

Hitunglah pendekatan pertama untuk frekuensi dasar getaran lateral untuk sistem pada gambar di bawah ini.

Jawab:

2,5 m 1,5 m1,5 m

225 kg 135 kg

5,5 m

W

x b

l

blx

bxlEIl

Wbxxy

222

6

Defleksi akibat beban-beban dapat diperoleh dengan cara superposisi yang diakibatkan oleh masing-masing beban yang bekerja secara terpisah.

Akibat massa 135 kg, diperoleh :

Akibat massa 225 kg diperoleh

m

EIEIy

3222135

1

10273,35,15,25,5

5,56

5,25,113581,9

m

EIEIy

3222135

2

10889,25,145,5

5,56

45,113581,9

m

EIEIy

3222225

1

10524,75,235,5

5,56

35,222581,9

m

EIEIy

3222225

2

10455,55,25,15,5

5,56

5,15,213581,9

Dengan menambahkan y135 dan y225 maka defleksi pada 1 dan 2 menjadi :

Subsitusi pada persamaan

Maka didapatkan

mEI

y

3

1

10797,10 m

EIy

3

2

10344,8

iii

iii

yM

yMg

221

22

22

3

21

10344,8135797,10225

10344,8135797,1022581,9

EI

EI

sec 03129,01

radEI

METODA RAYLEIGH-RITZ  W. Ritz mengembangkan suatu metoda yang merupakan peluasan metoda Rayleigh .

Metoda ini tidak saja merupakan suatu cara untuk mendapatkan nilai frekuensi dasar yang lebih teliti , tapi juga memberi pendekatan pada frekuensi tinggi dan bentuk ragam.

Sekarang akan diuraikan secara umum prosedur metoda Rayleigh-Ritz , yaitu dimulai dengan persamaan Rayleigh

Dengan energi kinetik dinyatakan dengan dalam metoda Rayleigh , suatu fungsi tunggal dipilih untuk penyimpangan (defleksi), tapi Ritz menganggap penyimpangan (defleksi) adalah jumlah berbagai fungsi yang diperkalikan dengan konstanta sebagai berikut :

Dengan adalah setiap fungsi yang dapat diterima serta memenuhi syarat-syarat batas dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan:

maks

maks

T

U2

xCxCxCxCxy nn 332211

i jjiij

i jjiij

CCmT

CCkU

2

1

2

1

CONTOH SOAL Gambar di bawah menunjukkan pelat berbentuk baji (wedge) dengan tebal tetap dan

dilekatkan pada diding kayu . Tentukan dua frekuensi natural pertama dan bentuk

ragamnya dalam osilasi longitudinal dengan menggunakan metoda Rayleigh-Ritz.

Jawab :

Untuk fungsi perpindahan dipilih dua ragam longitudinal pertama dari sebuah batang yang dijepit pada salah satu ujungnya.

Massa persatuan panjang dan kekakuan pada x adalah

lx

xl

Cxl

Cxu2

3sin

2sin 21

xCxC 2211

l

xmxm 10

l

xEAxEA 10

dan untuk ragam longitudinal dihitung dari persamaan

Subsitusi ke dalam persamaan (20) diperoleh :

ijk ijm

dxmmdxEAk jiijjiij dan

l

EA

l

EAxdxll

xEA

lk

l0

20

0

202

2

11 86685,02

1

822cos1

4

l

EAxdxl

xll

xEA

lk

l0

002

2

12 750,02

3cos

2cos1

4

3

l

EA

l

EAxdxll

xEA

lk

l0

20

0

202

2

22 80165,52

1

8

9

22

3cos1

4

9

lmlmxdxll

xmm

l

0200

2011 148679,0

1

4

1

2sin1

lmlmxdxl

xll

xmm

l

0200012 101321,01

2

3sin

2sin1

lmlmxdxll

xmm

l

0200

2022 238742,0

9

1

4

1

2

3sin1

023874,080165,510132,0750,0

10132,0750,014868,086685,0

2

1

20

020

0

20

020

0

C

C

lml

EAlm

l

EA

lml

EAlm

l

EA

Jika determinan persamaan di atas dibuat nol, maka akan didapat persamaan frekuensi :

Dimana

Kedua akar persamaan ini adalah :

Dengan menggunakan hasil kali ini pada persamaan (c) akan diperoleh :

untuk ragam 1

untuk ragam 2

Jadi kedua frekuensi natural dan bentuk ragam adalah :

00377,1773676,36 224

20

0

lm

EA

5778,30 dan 7898,5 22

21

12 03689,0 CC

21 63819,0 CC

20

01 4062,2

lm

EA x

lxl

xu2

3sin03689,0

2sin0,11

20

02 5297,5

lm

EA x

lxl

xu2

3sin0,1

2sin63819,02