Getaran Bebas

Tak Teredam

Getaran Mekanik

Muchammad Chusnan Aprianto

Getaran Bebas

• Getaran bebas adalah gerak osilasi di sekitar titik kesetim-bangan dimana gerak ini tidak dipengaruhi oleh gaya luar (gaya eksternal)

• (a) pada kondisi rehat, pegas memiliki panjang l

• (b) ketika pegas pengalami pergeseran Xo, besar gaya kXo dan energi potensialnya k𝑋𝑜2/2

Metode Penurunan Persamaan Gerak

• Diagram Benda Bebas (Free Body Diagram)

• Metode Kesetaraan Sistem (Equivalent Systems Method)

Diagram Benda Bebas (FBD)

• Pilih Koordinat Umum.

– Variabel ini harus mewakili pergeseran partikel

– Jika aada rotasi, maka harus mewakili rotasi dan kecepatan dan percepatan sudut

• FBD berkaitan dengan waktu sesaat

• Terapkan hukum Newton pada sistem

• Gunakan teknik aljabar/kalkulus untuk memperoleh persamaan differential gerak

Contoh 1

• Kita gunakan hukum Newton:

• Sehingga

• Analisis pada kondisi statis, diperoleh:

• Dengan subtitusi persamaan ini ke persamaan differential kita peroleh:

Turunkan persamaan differensial gerak untuk sistim di atas! Jawab Gaya pegas dirumuskan dengan:

Contoh 2

• Turunkan persamaan gerak dari gambar di bawah ini!

• Jawab – Sistem memiliki gerak melingkar, dan

anggaplah gerak melingkar berlawanan dengan arah jarum jam

– Terjadi kesetimbangan Momen Gaya

• Atau

• Sehingga menjadi

• Bentuk sinus dapat didekati dengan derat Taylor, yaitu

• Untuk sudut sangat kecil, diperoleh:

dan

• Sehingga, persamaan menjadi:

Contoh 3

• Dengan menggunakan pergeseran-x, carilah persamaan gerak pada sistem di atas!

Solusi Contoh 3

• Pada kondisi setimbang:

• Berdasarkan hukum Newton

• Kita aplikasikan ke FBD:

• Gunakan persamaan kondisi se-timbang untuk menghilangkan gravitasi dan pergeseran statik

• Hasilnya kita peroleh

Contoh 4

• Dengan menggunakan x, cari persamaan gerak untuk sistem di atas!

• Jawab – X1 pergeseran pegas yg

terhubung dengan A

– X2 pergeseran pegas yang terhubung dengan B

• Total pegeseran pegas:

• Saat statis, dengan asumsi tidak tidak terjadi gesekan, maka kesetimbangan gaya

Cont’d

• Dengan mengkombinasi kedua persamaan di atas kita peroleh

• Berdasarkan humum Newton:

• Akan menghasilkan bentuk persamaan:

AKHIR PERTEMUAN 3

Metode Sistem Kesetimbangan

• Kita tentukan, yang menjadi sistem koordinat adalah x.

• Energi total pada sistem:

• Karena sistem rigid, maka besar kecepatan linear dan kec. Sudut berkorelasi dengan x

• Subtitusikan ke persamaan energi kita peroleh

• Dimana

• yaitu massa ekuivalen.

• Energi potensial sistem:

• Sistem hanya memiliki satu derajat kebebasan, sehingga ada x dalam xi dan ada x dalam yi

• Melalui subtitusi kita peroleh

• Persamaan kedua (ruas kanan) dlm kondis stais = nol

Cont’d

• Persamaan ketiga (ruas kanan) disebut sebagai energi potensial awal Vo.

• Penyederhanaan persamaan:

• Keq adalah konstanta pegas ekuivalen

• Usaha yang dilakukan dari x1 ke x2:

• Ceq adalah koefisien peredam cairan ekuivalen

• Hukum kekekalan energi kita peroleh:

• T1, T2, dan Vo konstan dan juga

• Kita akan peroleh persamaan gerak

Cont’d

• Analisis lain dapat dilakukan dengan persamaan yang gayut terhadap . Energi kinetik dan energi potensial yang diperoleh adalah

dan

• Usaha yang dilakukan adalah

• Sehingga bentuk persamaan geraknya:

Contoh

Sebuah roda (gambar di bawah) memiliki jari-jari r, dan momen inertia J. Roda dilekatkan pada batang dengan kons-tanta kekakuan Kt. Roda bergerak pada lintasan bergerigi dgn massa m yang dilekatkan pada pegas (konstanta pegas k). Carilah bentuk persamaan geraknya!

Jawab

Karena tidak ada slip, maka: = x/r

Energi kinetik sistemnya adalah

Massa ekuivalen ditentukan dengan

Energi potensial sistemnya adalah:

Dengan konstanta ekuivalen

Shg persamaan gerak sistem

One Degree of Freedom Systems

• Getaran bebas dengan satu sistem derajat kebebasan tak teredam

k m

x

K (+x)

mg m

x

m x’’

F = k F = mg

Kesetimbangan statis = static deflection

K = spring rate = force/deflection

X = displacement

One Degree of Freedom Systems

m

K (+x)

mg

x

m x’’

0 = Fx

0)(2

2

mgxkdt

xdm

0'' mgkkxmx

mgk since 0'' kxmx

One Degree of Freedom Systems

0'' kxmx

0''

x

m

kx

m

k2

m

k

0'' 2 xx

Penyelesaian dalam bentuk stex stsex '

stesx 2''

Akibatnya, dengan subtitusi

0'' 2 xx 022 stst ees

One Degree of Freedom Systems

Dengan subtitusi

022 stst ees

or 022 s is /2

Dari persamaan Euler titi eCeCx 21

titCtitCx sincossincos 21

Kita kelompokkan

tiCCtCCx sincos 2121

One Degree of Freedom Systems

tiCCtCCx sincos 2121

tBtAx sincos

BiCCACCLet 2121

A & B terbentuk pada kondisi awal

nt)displaceme initial()0(0@ 0XAxt

)0()1()0( BAx

tBtXx cossin' 0

00 )1()0()0(' VBXx

One Degree of Freedom Systems

00 )1()0()0(' VBXx

0VB

Sehingga, untuk satu dejarat bebas tak teredam:

tV

tXtx

sincos)( 00

m

k

m

kfn

2

1

Contoh 1

Sebuah mesin dengan massa 500 kg , dilekatkan pada fondasi elastik dengan konstanta 7 x105 N/m. Tentukan frekuensi alami dari sistem!

Jawab

Frekuensi alami dirumuskan dengan persamaan:

Sehingga

Contoh 2

Sebuah perusahaan perakitan, menggunakan robot pengang-kut untuk mengangkat beban berat (gambar di samping). Pengangkut ini dapat bergerak pada lintasannya. Hitunglah frekuensi alami sistem jika ia mengangkat beban (part mesin) 800 kg dengan panjang kabel 9 m dan tebal batang pengangkut (beam) 3,1 m!

Contoh 2 (Cont’d)

Jawab

Sistem pada kasus daat diwakili dengan:

Konstanta pada pengangkut kb adalah

Konstanta pada kabel kc adalah

Konstanta pegas totalnya

Sehingga besar frekuensi alaminya

TERIMA KASIH