tugas aljabar linear - novika 2012110028.ppsx
Post on 23-Oct-2015
122 Views
Preview:
TRANSCRIPT
100%COMPLETE
WAITLOADING...
Fakultas Ilmu komputerUNIVERSITAS INDO GLOBAL
MANDIRI2013
Home
Materi
Latihan
Referensi
Selesai
Matriks
Sistem Persamaan Linier
Determinan
Vektor
Exit Home
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan - bilangan. Bilangan - bilangan tersebut dinamakan Entri.
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
Contoh :
• Selanjutnya ukuran suatu matriks dinyatakan sebagai banyaknya baris dan kolom, contoh 1. matriks A di atas berukuran 3 × 3
2. matriks B berukuran 2 x 3
3. matriks C berukuran 2 x 2.
a11 a12 a13
A = a21 a22 a23 = [aij]3x3
a31 a32 a33b11 b12
B = b21 b22 = [aij]2x3
b31 b32c11 c12
C = c21 c22 = [aij]2x2
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
Suatu matriks yang memiliki kolom dan baris yang banyaknya sama dinamakan matriks persegi.Contoh :
7 4 9 2
D = 5 9 3 7 3 8 1 6 4 2 5 3
Matriks Persegi 4 x 4
15 36 12K = 57 62 31
82 10 41
Matriks Persegi 3 x 3
Matriks Persegi 2 x 2
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
Matriks D dikatakan matriks diagonal jika matriks tersebut merupakan matriks persegi dengan entri-entri dij = 0 untuk setiap i ≠ j.Contoh :
3 0 0D = 0 6 0
0 0 9
2 0 0D = 0 3 0
0 0 8
10 0 0D = 0 15 0
0 0 60
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
Matriks I dikatakan matriks satuan jika matriks I merupakan matriks diagonal dengan entri-entri Iii = 1 untuk setiap i (entri diagonalnya = 1).
Contoh : 1 0 0D = 0 1 0
0 0 1
7 0 0D = 0 7 0
0 0 7
3 0 0D = 0 3 0
0 0 3
= 7 untuk setiap I (entri diagonalnya = 7) = 3 untuk setiap I (entri diagonalnya = 3)
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
1.Penjumlahan2.Perkalian3.Perkalian Scalar4.Transpose
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
1. Diketahui Matriks E dan K
E
=
E+K = +
K
=
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
2. Diketahui Matriks J dan M
J
=
J+M = +
M
=
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
3. Diketahui Matriks C dan V
C
=
C+V = +
V
=
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
1. Diketahui Matriks A dan K
A
=
A x K = x
=
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
2. Diketahui Matriks R dan S
R
=
R x S = x
=
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
3. Diketahui Matriks L dan Q
=
L x Q = x
L Q
=
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
1. Diketahui Matriks R dan K = 3
R
=
K x R = 3
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
2. Diketahui Matriks Z dan K = 2
Z
=
K x Z = 2
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
3. Diketahui Matriks N dan K =4
N
=
K x N = 4
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
Diketahui Matriks D, F dan G
D F G
Exit Home
* Matriks * Aljabar Linear
eka2391@gmail.com
Berikut beberapa sifat yang berlaku pada operasi matriks :1. A+ B = B + A ( komutatif terhadap penjumlahan)2. A + (B + C) = (A+B) + C ( assosiatif terhadap
penjumlahan)3. A(BC) = (AB) C ( assosiatif terhadap perkalian)4. A(B+C) = AB + AC ( distributif)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Persamaan Linear Satu Variabel adalah Kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan dan hanya memiliki satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum persamaan linear satu variabel adalah
ax + b = c, dengan a,b,c R dan a 0Persamaan Linear Dua Variabel adalah
Persamaan yang mengandung dua variabel dengan pangkat masing-masing variabel sama dengan satu. Bentuk umum persamaan linear dua variabel adalah
ax + by = c, dengan a,b,c R dan a 0, b 0
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Suatu persamaan linear yang mengandung n peubah x1, x2 ,…,xn dinyatakan dalam bentuk a1x1 + a2x2 + … + anxn = b dengan a1, a2, …, a n , b adalah konstanta riil.
Contoh• a. x + y = 4 persamaan linear dengan 2
peubah• b. 2x – 3y = 2z +1 persamaan linear
dengan 3 peubah• c. 2 log x + log y = 2 bukan persamaan
linear• d. 2ex = 2x + 3 bukan persamaan linear
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Prosedur untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi biasa disebut sebagai eliminasi Gauss– Jordan . Pada proses eliminasi tersebut operasi – operasi yang digunakan disebut operasi baris elementer (OBE), caranya;• Mengalikan suatu baris dengan konstanta
tak nol• Mempertukarkan dua buah baris• Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris
lainnya.
Operasi Baris Elementer
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Eliminasi Gauss adalah suatu metode
untuk mengoperasikan nilai-nilai di dalam
matriks sehingga menjadi matriks yang
lebih sederhana lagi. Dengan melakukan
operasi baris sehingga matriks tersebut
menjadi matriks yang baris.
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Contoh Soal :Diketahui persamaan linear
x + 2y + z = 6x + 3y + 2z = 92x + y + 2z = 12Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
1 2 1 | 61 3 2 | 92 1 2 | 12
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Operasikan Matriks nya:1 2 1 | 60 1 1 | 32 1 2 | 1 Baris ke-2 dikurangi baris ke-1
1 2 1 | 60 1 1 | 30 -3 0 | 0 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-1
1 1 1 | 60 1 1 | 30 0 3 | 9 Baris ke-3 ditambah 3 kali baris ke-2
1 2 1 | 60 1 1 | 30 0 1 | 3 Baris ke-3 dibagi dengan 3
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Maka mendapatkan 3 persamaan linier baru yaitux + 2y + z = 6y + z = 3z = 3
Kemudian lakukan substitusi balik maka didapatkan:y + z = 3y + 3 = 3y = 0
x + 2y + z = 6x + 0 + 3 = 6x = 3Jadi nilai dari x = 3 , y = 0 ,dan z = 3
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhanalagi. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks.
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Contoh soal:1. Diketahui persamaan linear
x + 2y + 3z = 32x + 3y + 2z = 32x + y + 2z = 5Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
1 2 3 | 30 -1 -4 | -30 -3 -4 | -1 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris
ke-1
1 2 3∨¿2 3 2∨¿2 1 ¿
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
1 2 3 | 30 -1 -4 | -40 0 8 | 8 Baris ke-3 dikurangi 3 kali baris ke-2
1 2 3 | 30 1 4 | 30 0 1 | 1 Baris ke-3 dibagi 8 dan baris ke-2
dibagi -1
1 2 3 | 30 1 0 | -10 0 1 | 1 Baris ke-2 dikurangi 4 kali baris ke-3
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
1 2 0 | 00 1 0 | -10 0 1 | 1 Baris ke-1 dikurangi 3 kali baris
ke-3
1 0 0 20 1 0 -10 0 1 1 Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris
ke2
Maka didapatkan nilai dari x =2 , y = −1 ,dan z= 1
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Contoh soal:2. Diketahui persamaan linear
x + y + 2z = 10 2x + 3y + 3z = 4 2x + 4y + 6z = 4Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
1 1 2 | 100 1 -1 | -160 2 2 | -16 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris
ke-1
1 1 2∨¿2 3 3∨¿2 4 ¿
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
1 1 2 | 100 -1 -1 | -160 0 4 | 16 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris ke-2
1 1 2 | 100 1 1 | 160 0 1 | 4 Baris ke-3 dibagi 4 dan baris ke-2
dibagi -1
1 1 2 | 100 1 0 | 120 0 1 | 4 Baris ke-2 dikurangi 1 kali baris ke-3
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
1 1 0 | 20 1 0 | 120 0 1 | 1 Baris ke-1 dikurangi 2 kali baris
ke-3
1 0 0 | 30 1 0 |120 0 1 | 1 Baris ke 1 dikurangi 1 kali baris
ke 2
Maka didapatkan nilai dari x =3 , y = 12 ,dan z= 1
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Contoh soal:3. Diketahui persamaan linear
x + y + z = 2x + 3y + 2z = 42x + 2y + z = 4Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:Baris ke 2 dikurangi baris ke 1
1 1 1 | 20 2 1 | 20 -4 -3 | -8 Baris ke-3 dikurangi 2 kali baris
ke-1
1 1 1∨¿1 3 2∨¿2 2 ¿
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
1 1 1 | 20 2 1 | 20 4 3 | 8 Baris ke-3 dibagi -1
1 1 1 | 20 2 1 | 20 0 1 | 4 Baris ke-3 kurangi 2 kali baris ke-2
1 1 1 | 20 2 0 | -20 0 1 | 4 Baris ke-2 dikurangi 1 kali baris ke-3
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
1 1 0 | -20 1 0 | -10 0 1 | 4 Baris ke-1 dikurangi 1 kali baris
ke-3 dan Baris ke-2 dibagi 2
1 0 0 | -10 1 0 | -10 0 1 | 4 Baris ke 1 dikurangi 1 kali baris
ke 2
Maka didapatkan nilai dari x =-1 , y = −1 ,dan z= 4
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Subtitusi
Eliminasi
Gabunga
n Subtitusi
& Elimnasi
Grafik
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Adalah metode penyelesaian SPLDV
dengan cara menggantikan satu variabel
dengan variabel dari persamaan yang lain
Langkah-langkah
1. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana kemudian
nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x
2. Substitusikan x atau y pada langkah 1 ke persamaan yang
lainnya
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
1). Tentukan HP dari persamaan linear berikut dg metode substitusi !3x + 4y = 11 … pers.(1)x + 7y = 15 … pers.(2)Jawab :Dari pers.(2) didapat : x = 15 – 7y … pers.(3)Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(1) :3x + 4y = 11 Harga y = 2 kmd
⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11 substitusikan ke pers(3) :
⇔ 45 – 21y + 4y = 11 x = 15 – 7y⇔ - 21y + 4y = 11 – 45 x = 15 – 7(2)⇔ - 17y = - 34 ⇔ x = 15 – 14
x = 1
Jd, HP = { 1, 2 }
217
34
y
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
2). Selesaikan sistem persamaan linier berikut:
3x – 2y =7 (1)2x + 4y =10 (2)
Misalkan variabel x yang dipilih pada persamaan (2), maka akan menjadi
2x + 4y = 10 2x = 10 – 4y x = 5 – 2y
Kemudian substitusikan x ke dalam persamaan yang lain yaitu (1)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
x = 5 – 2y3(5 – 2y) – 2y =7 15 – 6y – 2y = 7– 8y = – 8y = 1
Substitusikan y = 1 ke dalam salah satu persamaan awal misal persamaan (2)
x = 5 – 2(1) = 3Jadi himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan adalah (3,1)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
3. Tentukan HP dari SPL berikut ini dg menggunakan metode substitusi
2x – y = 2 … pers.(1)
3x – 2y = 1 … pers.(2)
Dari pers.(1) didapat : Harga x = 3 kmd disubstitusikan
- y = 2 – 2x ⇔ y = - 2 + 2x … pers.(3) ke pers.(1) :
Kmd substitusikan pers.(3) ke pers.(2) : 2x – y = 2
⇔ 3x – 2y = 1 ⇔ 2(3) – y = 2
⇔ 3x – 2(-2 + 2x) = 1 ⇔ 6 – y = 2
⇔ 3x + 4 – 4x = 1 ⇔ - y = 2 – 6
⇔ 3x – 4x = 1 – 4 ⇔ - y = - 4
⇔ - x = - 3 ⇔ y = 4
⇔ x = 3
Jd, HP = { 3, 4}
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Adalah metode penyelesaian SPLDV dengan cara menghilangkan salah satu variabel atau pada kedua persamaan untuk mendapatkan suatu penyelesaian.
Langkah-langkah1. Perhatikan koefisien ( x atau y )
a) Jika koefisiennya sama:i. Lakukan operasi pengurangan untuk tanda yang sama
ii. Lakukan operasi penjumlahan untuk tanda yang berbeda
b) Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisiennya dengan cara mengalikan persamaan-persamaan dengan konstanta yang sesuai, lalu lakukan seperti langkah a)
2. Lakukan kembali langkah 1 untuk mengeliminasi variabel lainnya.
x y
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
1) Carilah nilai – nilai dari variabel X dan Y yang dapat memenuhi kedua persamaan berikut:
3x – 2y = 7 (3)2x + 4y = 10 (4)PenyelesaianMisal variabel yang akan dieliminasi adalah y,
maka pers (3) dikalikan 2 dan pers (4) dikalikan 1.3x – 2y = 7 dikalikan 2 6x – 4y = 142x + 4y = 10 dikalikan 1 2x + 4y = 10 +
8x + 0 = 24
x = 3
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Substitusikan variabel x = 3 ke dalam salah satu persamaan awal, misal pers (3)
3x – 2y = 73(3) – 2y = 7 – 2y = 7 – 9 = – 2y = 1
Jadi himpunan penyelesaian dari sistem persamaan tersebut adalah (3,1)
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
2)Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan dan dengan menggunakan metode eliminasi.Penyelesaian :
Jika kita ingin mencari nilai terlebih dahulu, maka hilangkanlah nilai pada kedua persamaanBagaimana caranya menghilangkan nilai pada kedua persamaan?
623 yx632 yx
xy
y
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Samakan koefisien pada kedua persamaan dengan cara mengalikannya dengan suatu konstanta
Cara menghilangkan nilai pada kedua persamaan
y
y
632 yx623 yx
X ...X ...
.......... = ...
.......... = ...-
.... = ... = ...x
23
6
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Dengan cara yang sama, kita hilangkan nilai pada kedua persamaan untuk mendapatkan nilai
x
y
632 yx
623 yx
X ...X ...
.......... = ...
.......... = ...- .... = ...
= ...y
3
2
6
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Dari perhitungan tadi, diperoleh dan
Jadi himpunan penyelesaian persamaan dan adalah
{( , )}
6x 6y
632 yx 623 yx
6 6
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
3) Tentukan HP dari SPL berikut dg menggunakan metode eliminasi !1) 2x – y = 2
3x – 2y = 1
* Mengeliminasi variabel y
2x – y = 2 x 2 4x – 2y = 4
3x – 2y = 1 x 1 3x – 2y = 1 -
x = 3
* Mengeliminasi variabel x
2x – y = 2 x 3 6x – 3y = 6
3x – 2y = 1 x 2 6x – 4y = 2 -
y = 4
Jd, HP = { 3, 4}
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Pada metode ini, merupakan gabungan dari cara eliminasi dan substitusi.Contoh :1). Tentukan HP dari persamaan linear berikut dg metode campuran !
3x + 4y = 11 … pers.(1)x + 7y = 15 … pers.(2)
Jawab :3x + 4y = 11 x 1 3x + 4y = 11x + 7y = 15 x 3 3x + 21y = 45 -
- 17y = - 34 ⇔ y = 2
Harga y = 2 kmd substitusikan ke pers(2) :
x + 7y = 15⇔ x + 7(2) = 15⇔ x + 14 = 15⇔ x = 15 – 14 ⇔ x = 1 Jd, HP = { 1, 2 }
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
2).Tentukan HP Dari Persamaan Linear Berikut Dg Metode Campuran!
2x + 3y = 1 … pers.(1)4x – 3y = 11 … pers.(2)
Jawab :2x + 3y = 14x – 3y = 11 +⇔ 6x = 12⇔ x = 2
Harga x = 2 kmd substitusikan ke pers.(1) :2x + 3y = 1⇔ 2(2) + 3y = 1⇔ 4 + 3y = 1⇔ 3y = 1 – 4⇔ 3y = - 3⇔ y = - 1 Jd, HP = { 2, -1 }
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
3). Dari SPL Berikut Ini dg Metode Campuran2p – 3q = 4 … pers.(1)7p + 2q = 39 … pers(2)
2p – 3q = 4 x 7 14p – 21q = 287p + 2q = 39 x 2 14p + 4q = 78 -
- 25q = - 50
2p – 3q = 4⇔ 2p – 3(2) = 4⇔ 2p – 6 = 4⇔ 2p = 4 + 6⇔ 2p = 10⇔ p = 5
Jd, HP = { 5, 2 }
225
50
q
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
• Adalah metode penyelesaian SPLDV yang dilakukan dengan cara menggambar grafik dari kedua persamaan tersebut yang kemudian menentukan titik potongnya.
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Perhatikan dua sistem persamaan dua variabel
Solusi dari sistem ini adalah himpunan pasangan terurut yang merupakan solusi dari kedua persamaan.
Grafik garis menunjukkan himpunan penyelesaian dari masing-masing persamaan dalam sistem. Oleh karena itu, perpotongan kedua garis adalah gambar dari penyelesaian sistem.
Solusi dari sistem adalah
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Grafik mungkin sejajar atau mungkin berimpit.
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Hubungan yang mungkin diantara sebuah sistem, kemiringan dari masing masing grafik, dan penyelesaian persamaan ditunjukkan pada table berikut.
Sistem Kemiringan
Grafik Penyelesaian
Konsisten dan bebas Berbeda Garis berpotongan di
satu titik
Satu
Inkonsistent dan bebas atau berlawanan
Sama Garis sejajar Tidak ada
Konsisten dan bergantungan
Sama Garis berimpit Tak terhingga
Dengan a,b,c,d,p,q, R dan a,b,c,d ≠0
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Tim MGMP Matematika SMA/SMKBontang-Kalimantan Timuremail: mgmpmat_btg@yahoo.com
Langkah – langkah untuk menetukan himpunan penyelesaian sistem persamaan dua peubah dengan memakai metode grafik adalah sebagai berikut
Langkah IGambarkan grafik masing – masing persamaan pada bidang Cartesius.
Langkah 2a. Jika kedua garis berpotongan pada satu titik maka
himpunan penyelesaiannya tepat memiliki satu anggotab. Jika kedua garis sejajar, maka himpunan
penyelesaiaannya tidak memilki anggota. Dikatakan himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong
c. Jika kedua garis berimpit maka himpunan penyelesaiaannya memiliki anggota yang tak hingga banyaknya
Exit Home
* Sistem Persamaan Linear * Aljabar Linear
Tim MGMP Matematika SMA/SMKBontang-Kalimantan Timuremail: mgmpmat_btg@yahoo.com
Contoh
x + y = 1x – y = 3
1
0 1 3
– 1
– 3
P (2, -1)
x – y = 3
x + y = 1
x + y = 1x 0
y 1
x – y = 3
x 0
y 3
y 0
x 1
y 0
x 3
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Determinan
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
3 1
4 2
1 2
2 4
2 1 3
3 1 2
3 2 2
1 2 3
4 4 5
1 5 0
2 4 1
20 40 10
Det(A) = (3 . (-2) – (1.4) ( =-10
Det(B) = (1.4) – (2.2) = 0
Det(C) = tidak didefinisikan
Det(D) = (3.2.5)+(2.3.4)+(2.1.4)-(2.2.4)-(2.1.5)-(3.3.4)
= 0
Det(E) = (1.4.-10)+(5.-1.20)+(0.2.40)- (0.4.20)-(5.2.-10)-(1.-1.40)
= 0
A =
B =
C =
D =
E =
Hitunglah determinan matriks berikut ini:
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
A1 =
Det(A1) = (a11.a22) – (a12.a21)
• A2 =
Det(A2) = a11.a22.a33 + a12.a23.a31 + a13.a21.a32 –
(a13.a22.a31 + a11.a23.a32 + a12.a21.a33)
2221
1211
aa
aa
Aturan Sarrus
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
2221
1211
aa
aa
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
a11 a12
a21 a22
a31 a32
+-
+++- - -
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
1. B =
2. S =
3. L
- - - + ++
3 12 35 6
3 1 72 3 45 6 2
Contoh Aturan Sarrus (lanjt)Det(B) = 3.8 – (5.4) = 4
Det(S) = (3.3.2+1.4.5+7.2.6)-(1.2.2+ 3.4.6 + 7.3.5) = 18 + 20 +84 – (4+72+105)
= 122 – 181 = -59
Det(L) = (1.1.3 + 4.4.1 + 9.3.2)-(4.3.3 + 1.4.2 + 9.1.1) = (3 + 16 + 54) – (36 + 8 + 9)
= 73 – 53 = 20
3 54 8
- - - + ++
1 43 11 2
1 4 93 1 41 2 3
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i
kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij
A =
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n : : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :an1 an2……anj……. ann
Mij= det
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n : : : :ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :an1 an2……anj……. ann
Cij =(-1)i+j Mij
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Minor Mij adalah determinan matriks A dihapus baris ke i kolom ke j. Kofaktor C13 adalah (-1)i+j Mij
A = M13 = det
C13 = (-1)1+3M13
a21 a22
a31 a32
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
B = M11 = det
C11 = (-1)1+1M11
a22 a23
a32 a33
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
C = M33 = det
C33 = (-1)3+3M33
a11 a12
a21 a22
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
• Permutasi n bilangan 1, 2, 3, …, n adalah susunan terdiri dari n bilangan tersebut tanpa pengulangan
Contoh:
Permutasi dari 1, 2, 3 adalah
1, 2, 3
1, 3, 2
2, 1, 3
2, 3, 1
3, 1, 2
3, 2, 1
Permutasi dari 1,2 adalah
1, 2
2, 1
Ada 2 permutasi
Ada 6 (= 3 x 2 x 1) permutasi
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
PermutasiContoh:Permutasi dari 1, 2, 3, 4 adalah
Ada 24 (= 4x3 x 2 x 1) permutasi
1, 2, 3, 4
1, 3, 2, 4
2, 1, 3, 4
2, 3, 1, 4
3, 1, 2, 4
3, 2, 1, 4
1, 2, 4, 3
1, 3, 4, 2
2, 1, 4, 3
2, 3, 4, 1
3, 1, 4, 2
3, 2, 4, 1
1, 4, 2, 3
1, 4, 3, 2
2, 4, 1, 3
2, 4, 3, 1
3, 4, 1, 2
3, 4, 2, 1
4, 1, 2, 3
4, 1, 3, 2
4, 2, 1, 3
4, 2, 3, 1
4, 3, 1, 2
4, 3, 2, 1
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Contoh lainnya:
2). Permutasi dari 5, 6, 7 adalah5, 6, 7
5, 7, 6
6, 5, 7
6, 7, 5
7, 5, 6
7, 6, 5
1). Permutasi dari 5,8 adalah5, 8
8, 5
Ada 2 permutasi
Ada 6 (= 3 x 2 x 1) permutasi
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
3). Permutasi dari 4, 5, 6, 7 adalah
Ada 24 (= 4x3 x 2 x 1) permutasi
4, 5, 6, 7
4, 6, 5, 7
5, 4, 6, 7
5, 6, 4, 7
6, 4, 5, 7
6, 5, 4, 7
4, 5, 7, 6
4, 6, 7, 5
5, 4, 7, 6
5, 6, 7, 4
6, 4, 7, 5
6, 5, 7, 4
4, 7, 5, 6
4, 7, 6, 5
5, 7, 4, 6
5, 7, 6, 4
6, 7, 4, 5
6, 7, 5, 4
7, 4, 5, 6
7, 4, 6, 5
7, 5, 4, 6
7, 5, 6, 4
7, 6, 4, 5
7, 6, 5, 4
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Genap atau ganjilnya permutasi didefinisikan dengan genap atau ganjilnya jumlah inversi
2 3 1
1 inversi(2 mendahului 1)
1 inversi(3 mendahului 1)
0 inversi
Jumlah inversi: 1 + 1+0 = 2
Jenis permutasi: genap
Permutasi
Inversi terjadi jika bilangan lebih besar mendahului lebih kecil
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Pemutasi 4 3 1
Pemutasi 8 4 5 1
Pemutasi 2 5 3 6 1
Jumlah inversi: 1 + 1+ 1 +0 = 3 Jenis permutasi: ganjil
Jumlah inversi: 1 + 1+0 = 2
Jenis permutasi: genap
Jumlah inversi: 1 + 1+ 1+ 1+ 0 = 4
Jenis permutasi: genap
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
• Matriks Diagonal
• Matriks Segitiga
• Matriks Dengan Baris Nol
• Matriks Dengan Kolom Nol
• Matriks Dengan Dua Baris Sama
500
420
321
S
000
279
761
B
190
410
320
K
4 1 4
4 1 4
0 9 1
M
9 0 0
0 7 0
0 0 8
D
det(D) = -518
det(S) = 10
det(B) = 0
det(K) = 0
det(M) = 0
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
1 3A'
2 4
Pengaruh tukar baris pada nilai determinan
3 3 6
B' 2 0 1
1 4 2
1 4 2
B 2 0 1
3 3 6
1 3A
2 4
Det(B) = 45
Det(A) = -2
R1 R2
Det(A’) = 2
Det(B’) = -45
R1 R3
menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali elementer
bertanda berubah determinannya (-1) kali determinan
semula.
det(X’) = -det(X)X X’ dengan tukar baris
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Contoh Lain
Det(S) = 13
R1 R2
Det(S’) = -13
Det(D) = -1 Det(D’) = 1
R1 R3
Det(D) = -14 Det(D’) = 14
R1 R3
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
1 3A'
20 40
Pengaruh perkalian baris dengan skalar pada nilai determinan
1 4 2
B' 2 0 1
1 1 2
1 4 2
B 2 0 1
3 3 6
1 3A
2 4
Det(B) = 45
Det(A) = -2
R2 10 R2
Det(A’) = -20
Det(B’) = 15 = 1/3 det(B)
R3 1/3 R3
satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil kali
elementer bertandanya dikalikan k determinannya adalah k
kali determinan matriks semula.
det(X’) = kdet(X)X X’ dengan mengalikan baris dengan k
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Det(G) = -2048 Det(G’) = -38 = ¼ Det (G)
R3 1/4 R3
Contoh Lain
Det(A) = 10
R1 20 R1
Det(A’) = 4000
𝐴=3 21 4
𝐴 ′ =60 4020 80
Det(P) = 42
R2 2 R2
Det(P’) = 168
𝑃=6 34 9
𝑃 ′=12 68 18
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
1 3A'
4 10
Pengaruh jumlahan baris dengan kelipatan baris lain pada nilai determinan
1 4 2
B' 3 1 3
3 3 6
1 4 2
B 2 0 1
3 3 6
1 3A
2 4
Det(B) = 45
Det(A) = -2
R2 R2 + 2R1
Det(A’) = -2
Det(B’) = 45 = det(B)
R2 R2 +1/3 R3
Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain tidak
mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi nilai
determinannya tidak berubah.det(X’) =
det(X)X X’ dengan menjumlahkan brs dengan kelipatan baris lain:
Exit Home
* Determinan * Aljabar Linear
Kesimpulan:
– menukar dua baris tanda dari setiap hasil kali
elementer bertanda berubah determinannya (-1)
kali determinan semula.
– satu baris dikalikan dengan konstanta k setiap hasil
kali elementer bertandanya dikalikan k
determinannya adlah k kali determinan matriks
semula.
– Penjumlahan baris dengan kelipatan baris yang lain
tidak mengubah hasil kali elementer bertanda, jadi
nilai determinannya tidak berubah.
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
Apa beda vektor dengan skalar ?
Vektor :besaran yang dinyatakan dalam dua bilangan tunggal, yang pertama menyatakan nilai dan yang kedua menyatakan arahex: gaya=10N ke arah kanan, kecepatan=5 m/s arah barat
Skalar : besaran yang dinyatakan dengan bilangan tunggal dan hanya memiliki nilaiex: panjang meja=20cm , luas, volume dsb
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
Simbol vektor:- huruf kecil- huruf kecil,tebal,ada tanda diatasnya
Gambar vektor:vektor digambarkan sebagai garis dengan anak panah sebagai arah.
Vektor a; simbol:a atau a atau a
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
Komponen vektor :vektor 2 dimensi : a (3,2)
3 ‘n 2 merupakan komponen vektora merupakan nama vektor3 merepresentasikan nilai pada sumbu
x(horisontal)2 merepresentasikan nilai pada sumbu y
(vertikal)vektor 3 dimensi : a (2,3,4)
Panjang vektor :suatu vektor memiliki panjang vektor yang disimbolkan dengan |a|
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
2 vektor dikatakan sama,jika panjang dan arahnya sama
Vektor a dan b dikatakan sama, sebab1. Arah kedua vektor sama
2. |a| = |b|
Vektor a dan b dikatakan tidak sama, Sebab1. Arah kedua vektor tidak sama
2. Meskipun, |a| = |b|
Vektor a dan b dikatakan tidak sama, Sebab1. Meskipun, Arah kedua vektor sama
2. |a| != |b|
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
Vektor dalam sistem koordinat kartesian diantaranya:
1. Koordinat kartesian dua dimensia=(a1, a2)dalam vektor a terdapat dua komponen vektor,
2. Koordinat kartesian tiga dimensib=(b1,b2,b3)dalam vektor b terdapat tiga komponen vektor
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
1. Gambar vektor k (6,3) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0,0) !!
y
x6
3
k (6,3)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
2. Gambar vektor s (4,-3) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0,0) !!
y
x4
-3
s (4,-3)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
3. Gambar vektor m (-4,2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (0,0) !!
y
x-4
2
m (-4,2)
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
1. Gambar vektor r (-4,2) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (3,-4) !
y
x3
-4
r (-4,2)
2
-4
pangkal
Langkah:1. Cari titik pangkal
2. Cari titik ujung
3. Tarik garis vektor antara
pangkal dan ujung
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
2. Gambar vektor d (2,3) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (1,-4) !
y
x1
-4
d (2,3)
3
2
pangkal
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
3. Gambar vektor t (1,3) dalam sumbu koordinat dengan pangkal vektor di (-2,-2) !
y
x-2
-2
s (3,-2)
3
1
pangkal
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
- mx adalah panjang vektor terhadap sumbu x = 3
- my adalah panjang vektor terhadap sumbu y = 2
Dari contoh diperoleh :
y
x3
-2
m (3,-2)
mx = 3
my = 2
1323||
||
22
22
m
mymxm
Sehingga untuk mencari panjang vektor m, digunakan rumus pytagoras
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
• Panjang vektor a yang berpangkal pada (0,0) didefinisikan sebagai
• Disebut sebagai vektor nol, jika |a|=0 yang berarti a1=a2=0
• Contoh : 1. Cari panjang vektor a (6,2) !
1024043626|| 22 a
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
2. Cari panjang vektor b (12,-9) !
3. Cari panjang vektor c (10,1) !
1522581144)9(12|| 22 b
522041624|| 22 c
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
• Panjang vektor a (x1,y1,z1) yang berpangkal pada (x2,y2,z2) didefinisikan sebagai
• Contoh : 1. Cari panjang vektor a (5,3,6) dengan titik pangkal (1,1,1) !
534525416)16()13()15(|| 222 a
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
2. Cari panjang vektor k (8,3,4) dengan titik pangkal (2,1,3) !
3. Cari panjang vektor m (6,8,9) dengan titik pangkal (4,2,5) !
411436)34()13()28(|| 222 k
5616364)59()28()46(|| 222 m
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
ALJABAR VEKTOR :
Penjumlahan dan Pengurangan Vektor
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
1. Cara SegitigaJumlahan 2 vektor a dan b adalah suatu vektor c yang berawal dari titik pangkal vektor a menuju ujung vektor b, setelah ujung vektor a ditempelkan dengan pangkal vektor b
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
a = 5
b = 2c = ?
C= a + bMaka besar vektor c|c| =
= = =
a = 8
b =5c = ?
a = 4
b = 2c = ?
C= (-a )+ bMaka besar vektor c|c| =
= = =
C= a - bMaka besar vektor c |c| =
= = =
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
2. Cara Jajaran Genjang
Untuk memperoleh hasil vektor penjumlahan dari vektor a dan b, maka vektor a dan b harus diposisikan pada 1 titik dan masing-masing vektor diproyeksikan sehingga menghasilkan 1 titik potong antar kedua vektor. Vektor hasil dihubungkan dari titik awal dan titik potong akhir.
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
Jajaran Genjang
R = A + B+ =A
B
B
-B
R = A+B
S = A
-B
A
Besarnya vektor R = | R | = cos222 ABBA
Besarnya vektor A+B = R = |R| = θcos22 ABBA ++Besarnya vektor A-B = S = |S| = θcos2 ABBA -+
2
22
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
Hasil dari aljabar tersebut dengan menggunakan 2 metode hasilnya sama, yaitu :
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
22 )()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
auJika
nPenjumlaha
Beda Penjumlahan & Pengurangan Vektor
22 )()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
avu
d
cvdan
b
auJika
nPenguranga
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
a). a+ b = b + a Komutatif
b). ( u + v ) + w = u + ( v + w ) Asosiatif
c). a + 0 = 0 + a = a Elemen Netral
d). a + (-a) = 0 Elemen Invers
Exit Home
* Vektor * Aljabar Linear
Arah vektor dilihat dari tanda negatif didepan nama vektor, sehingga:
v + (-v) = 0 Elemen-elemen vektor merupakan
panjang vektor untuk basis koordinat tertentu
Metode yang digunakan untuk penjumlahan dan pengurangan vektor adalah sama
Pangkal vektor tidak selalu diawali dari pusat koordinat (0,0,0)
Exit Home
top related