persamaan diferensial non homogen

PERSAMAAN DIFERENSIALLINIER NON HOMOGEN

Ririn Yuni AstrianiK1309077

oleh

Bentuk umum persamaan PD Linier Non Homogen :

Dengan PD Linear Homogen yang berkorespondensi dengan :

Jika yp(x) adalah penyelesaian PD (4.1) dan yh(x)adalah penyelesaian PD (4.2) maka yp(x)+yh(x) adalah penyelesaian dari PD (4.1)

(4.1)

(4.2)

Teori yang mendasari PD Linear Non Homogen

Theorema 1 :

f(x), g(x) dan r(x) merupakan fungsi kontinyu pada interval I. y(x) merupakan solusi dari PD di atas yang berisikan konstanta yang tetap.y(x) dibentuk oleh dua konstanta. Konstanta pertama, berubah-ubah, terdapat pada solusi umum (homogen) yh(x). Konstanta kedua, tetap,terdapat pada fungsi y (x), yaitu sembarang solusi PD pada interval I.

Theorema 2 :

Solusi umum dari PD seperti di atas adalah penjumlahan solusi persamaan homogen yh(x) dengan solusi partikular yang tetap (tak ber-ubah-ubah) yP(x).

1. Metode Koefisien Tak Tentu

Bentuk Persamaan Umum :

(1.1)

• Fungsi r(x) yang merupakan bentuk solusipartikular yP(x) diperoleh dng caramenebak, seperti misalnya : fungsi cos,fungsi sin, fungsi exponensial atau jumlahdari beberapa fungsi.

• r(x) berisikan koefisien tak tentu.

• Turunkan yP sesuai persamaan umum (1.1)di atas.

• Substitusikan yP dan seluruh turunannya kedalam persamaan (1.1)

Bentuk r(x) Pilihan Yp

(n=0,1,…)

K cos qxK sin qx

K cos x + M sin x

Aturan pemilihan Yp :

• Bila r(x) merupakan salah satu fungsi seperti dalam tabel, maka pilih bentuk yPyang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konstanta tak tentu. Turunan r(x) harus bebas linier pula.• Bila r(x) merupakan penjumlahan, maka pilih yP yang merupakan penjumlahanfungsi yang sesuai.• Bila r(x) adalah solusi dari persamaan homogen, maka pilihan dapat dimodifikasiseperti berikut

Contoh soal menggunakan Metode Koefisien Tak Tentu PDL orde 2.

• Tentukan Penyelesaian umum dari

Pers. Yg berkorespondensi dengan PD diatas adalah :

m=1 dan m=3

Penyelesaian PD homogen :

Penyelesaian partikular: yP = k.e-2xyP’ = -2k.e-2x dan yP”= 4 k.e-2x

yp’ dan yp’’ disubstitusikan ke pers awal didapat :

……k=1

Sehingga y(x) = y(h) + y(p)

….penyelesaian umum PD non homogen

2. Metode Variasi Parameter (dijelaskan untuk PDL Non Homogen Orde 2)

f, g dan r kontinyu pada interval terbuka I. Sedangkan bentuk umum PD homogen :

maka solusi umumnya yh(x) pada interval terbuka I berbentuk :

Yh(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x)

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Prinsip kerja dari metode variasi parameter adalah mencari fungsi u(x) sedemikian Hingga y = u(x) y1 adalah penyelesaian partikular dari persamaan (2.1). Atau dengan Kata lain kita mengganti c1 dan c2 pada persamaan yang didapatkan dari PD homogen-nyaDengan u(x). Dan v(x)

Bila c1 dan c2 diganti dengan u(x) dan v(x) maka diperoleh solusi partikular pada interval terbuka I, sbb :

yP(x) = u(x) y1(x) + v(x) y2(x)Yp’(x)= u’(x) y1(x) + u(x) y’1(x) + v’(x) y2(x) + v(x) y2’(x) Dari persamaan tersebut dipilih untuk u(x) dan v(x) sedemikian hingga :u’(x) y1(x) +v’(x) y2(x) =0

Maka persamaan tersebut menjadi Yp’(x) = u(x) y1’(x) + v(x) y2’(x)Yp’’(x)=u’(x) y1’(x) + u(x) y1’’(x) + v’(x) y2’(x) + v(x) y2’’(x)

Kemudian yp(x), yp’(x), dan yp’’(x) disubstitusikan ke persamaan awal sehingga diperoleh :

u(y1”+ fy1’+ gy1) + v(y2”+ fy2’+ gy2) + u’y1’+v’y2’ = r

Bila y1 dan y2 merupakan solusi homogen dari pers tersebut sehingga terjadipenyederhanaan persamaan, menjadi ;

u’y1’+v’y2’ = r

u’y1 + v’y2 = 0

Sebuah sistem dari 2 persamaan aljabar linier dengan 2 fungsi u’ dan v’ yang takdiketahui.Penyelesaian selanjutnya dengan memakaiaturan Cramer, sehingga :

Contoh Soal menggunakan metode variasi parameter

Carilah penyelesaian PD

Jawab :

Persamaan karakteristik dari PDL Homogennya :m2+1=0m1=I, m2 = -ISehingga yh=c1 cos x +c2 sinxIni berarti bahwa y1 = cos x, y2= sin x

Dari PD linear homogen, S(x) = cos2 x

berarti

berarti

Sehingga

Jadi penyelesaian umum dari PD adalah :

3. METODE INVERS OPERATOR

Diberikan p.d. linier dengan koeffisien konstan tak homogen

Akan dicari p.k. dari p.d. tersebut dengan metode INVERS OPERATOR.

).()....()( 12

1 xQyPDPDPDyDF nnnn

)()(

1xQ

DFy

Penyelesaian PD tersebut berbentuk :

(3.1)

(3.2)

Mencari fungsi particular yp dengan menggunakan hubungan persamaan (3.2) ini disebut Dengan Metode Invers Operator sebab operator yang digunakan adalah kebalikan dari Operator F(D).

A. Q(x) dari bentuk axe

Bila axexQ )( , a adalah konstan, maka p.k. berbentuk

)()(

1xQ

DFy

B. Q(x) dari bentuk b)cos(ax atau b)sin(ax

Bila babaxxQ &),sin()( konstan, maka p.k.

berbentuk

.0)(),sin()(

1)sin(

)(

1 222

aFbaxaF

baxDF

y

Bila babaxxQ &),cos()( konstan, maka p.k.

berbentuk

.0)(),cos()(

1)cos(

)(

1 222

aFbaxaF

baxDF

y

Contoh Soal :

Selesaikan PD.

Persamaan karakteristik …m=-1 dan m= -4

Sehingga fungsi komplemennya

Sedangkan fungsi partikularnya adalah

Penyelesaian PD :

TERIMA KASIH