pengantar kontrol maju - erwin...
Post on 05-Feb-2018
261 Views
Preview:
TRANSCRIPT
1
PENGANTAR KONTROL MAJU
Program Studi Teknik Elektro
disusun oleh:
Erwin Susanto, Ph.D Ig. Prasetya Dwi Wibawa, M.T. Agung Surya Wibowo, M.T. Cahyantari Ekaputri, M.T.
FAKULTAS TEKNIK ELEKTRO UNIVERSITAS TELKOM
2015
2
REFERENSI 1) Optimal Control : Linear Quadratic Methods, Brian D.O. Anderson, Prentice-Hall, 1991
2) Robust Control Design with MATLAB, D.-W.Gu, Springer, 2005
3) Design Methods for Control Systems, Dutch Institute of Systems and Control, 2008
4) Advance Control Engineering, Roland S Burn, Butterworth Heinemann 5) Kemin Zhou, John C. Doyle, and Keith Glover. Robust and Optimal Control. Prentice Hall, 1996. 6) Open Course Ware-MIT. Optimal Control of Dynamics System.
3
Kata Pengantar
Bismillahirrohmaanirrohiim,
Segala puji hanya bagi Alloh subhanalloh wa ta’ala, karena berkat kemudahan dari-Nya,
sehingga kami dapat menyusun buku “Pengantar Kendali Maju” ini. Buku ini, terkhusus
ditujukan bagi para mahasiswa yang berkeinginan untuk mempelajari teori maupun
aplikasi kendali optimal dan kendali kokoh (robust). Tentu saja, pengetahuan dasar
matematika, fisika dan dasar-dasar teknik kendali diperlukan untuk memahami materi
pada buku ini. Buku pengantar kendali maju ini disusun berdasarkan pengalaman
mengajar tim penulis dalam mata kuliah Kontrol Lanjut di Prodi Teknik Elektro,
Universitas Telkom Bandung.
Secara garis besar, materi buku ini terdiri atas pengenalan sistem kendali, kendali kalang
terbuka (open-loop) dan kalang tertutup (closed-loop), kendali analog dan diskrit,
konvensional dan kendali modern. Pembahasan kendali modern difokuskan pada
kendali optimal dan kendali kokoh (robust) seperti permasalahan optimasi nonlinier
unconstrained dan constrained dengan pemrograman dinamik, variasi kalkulus dan
solusi numerik. Beberapa metode kendali optimal dan kokoh yang disajikan dalam buku
ini, diantaranya kendali LQR, LQE, LQG, H2, H~, dan gabungan H2/H~. Contoh aplikasi
kendali guaranteed cost juga disertakan pada bagian akhir buku ini.
Berikutnya, kami ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada semua
pihak, salah satunya Bagian Pembelajaran Universitas Telkom yang telah memfasilitasi
penyusunan buku ajar ini. Besar harapan kami, buku ini bermanfaat bari pembaca
sekalian terutama para mahasiswa yang belajar sistem kendali. Akhir kata, komentar
dan masukan yang membangun sangat diharapkan bagi penyempurnaan buku ini.
Bandung, 2015
Penyusun
1
DAFTAR ISI REFERENSI ...................................................................................................................... 2
Kata Pengantar ............................................................................................................... 3
DAFTAR ISI ...................................................................................................................... 1
BAB 1 Review Sistem Kendali .......................................................................................... 4
1.1. Pengenalan Sistem Kendali .............................................................................. 4
1.2. Perkembangan Sistem Kontrol ......................................................................... 5
1.3. Beberapa Istilah Penting dalam Sistem Kontrol ................................................ 8
1.4. Sistem Kontrol Lup Terbuka dan Lup Tertutup ................................................. 9
1.5. Aplikasi Sistem Kontrol lup terbuka dan lup tertutup ..................................... 10
1.6. Tahapan Perancangan Sistem Kendali ............................................................ 16
1.7. Kontrol Analog dan Diskrit ............................................................................. 16
1.8. Kontrol Konvensional (Klasik) dan Modern ..................................................... 21
1.9. Latihan Soal ................................................................................................... 30
BAB 2 Pemodelan Sistem .............................................................................................. 34
2.1. Sistem Dasar Elektrik ..................................................................................... 34
2.2. Sistem Mekanik ............................................................................................. 35
2.3. Sistem Thermal .............................................................................................. 36
2.4. Model Ruang Keadaan ................................................................................... 36
2.5. Latihan Soal ................................................................................................... 37
BAB 3 Kontrol Optimal Dasar......................................................................................... 39
3.1. Pengenalan .................................................................................................... 39
3.2. Formulasi Masalah Kontrol Optimal ............................................................... 43
3.3. Variasi Kalkulus dan Kontrol Optimal ............................................................. 50
3.3.1. Fungsi dan Fungsional ................................................................................ 50
3.4. Latihan Soal ................................................................................................... 58
BAB 4 Kontrol Optimal LQR (Linear Quadratic Regulator) .............................................. 60
4.1. Formulasi Masalah......................................................................................... 60
4.2. LQR untuk waktu-terbatas (finite-time) .......................................................... 61
4.3. Contoh LQR waktu-kontinyu .......................................................................... 65
4.4. Sistem Kontrol Optimal Waktu-Diskrit............................................................ 70
4.5. Sistem state-akhir fixed dan kontrol optimal lup-terbuka ............................... 72
2
4.6. Permasalahan tracking pada LQR ................................................................... 75
4.7. Latihan Soal ................................................................................................... 77
BAB 5 Kontrol Optimal LQE (Linear Quadratic Estimator)............................................... 80
5.1. Review: Proses Random ................................................................................. 80
5.2. Observer/ Estimator ...................................................................................... 82
5.3. Kalman Filter ................................................................................................. 83
5.4. Model LQE/kalman Filter ............................................................................... 87
5.5. Dualitas Kalman Filter dan LQR (Linear Quadratic Regulator) ......................... 88
5.6. Latihan Soal ................................................................................................... 89
BAB 6 Kontrol Optimal LQG (Linear Quadratic Gaussian) ............................................... 92
6.1. Desain LQG (Linear Quadratic Gaussian) ........................................................ 92
6.2. Dinamika Sistem Lup-Tertutup Plant dengan Pengendali LQG ........................ 93
6.3. Latihan Soal ................................................................................................... 98
BAB 7 Kontrol Robust .................................................................................................. 101
7.1. Pengenalan Kendali Kokoh ............................................................................... 101
7.2. Kontrol Optimal dan ............................................................................ 103
7.3 Konsep Kestabilan dan Performansi Robust ....................................................... 110
7.3.1.Ketidakpastian (uncertainty) ........................................................................... 110
7.3.2. Kestabilan Robust .......................................................................................... 114
7.3.3. Linear Transformation Fractional (LFT) .......................................................... 116
7.4. Contoh Kasus ................................................................................................... 117
BAB 8 CONTOH KASUS APLIKASI KENDALI OPTIMAL DAN KENDALI KOKOH .................. 123
8.1. Desain kendali LQR untuk motor DC ................................................................. 123
3
BAB 1
REVIEW SISTEM KENDALI
4
BAB 1 Review Sistem Kendali
Tujuan dari BAB 1 ini adalah untuk mengenalkan kepada mahasiswa tentang istilah-istilah
yang digunakan pada sistem kontrol dan mengenalkan kembali beberapa aplikasi sistem
kendali yang digunakan pada kehidupan nyata.
1.1. Pengenalan Sistem Kendali
Sejarah manusia tidak lepas dari upaya mengendalikan dan mengatur lingkungan dimana
mereka tinggal, dalam rangka memenuhi kebutuhan hidupnya secara nyaman. Pada
awalnya mereka menggunakan peralatan dari batu sebagai alat berburu, yang lambat
laun berkembang dan diganti dengan logam. Memanfaatkan kecerdasan dan pengalaman
yang diperoleh, maka berkembanglah teknologi berburu dan mencari sumber pangan.
Memanfaatkan hewan sebagai peralatan transportasi dan berburu telah berlangsung
lama sampai kemudian digantikan dengan mesin. Prinsip utama kerja mesin adalah
dengan memanfaatkan proses pengaturan. Suatu pengaturan sendiri merupakan
kemampuan mengukur keluaran dan mengkoreksinya jika tidak sesuai dengan masukan
yang diinginkan.
Sebuah sistem kontrol dapat diartikan sebagai susunan beberapa komponen yang
membentuk konfigurasi sistem untuk menghasilkan tanggapan yang diinginkan. Suatu
komponen atau proses yang dikendalikan dapat digambarkan sebagai kotak dengan
masukan dan keluaran (Gambar.1.1)
Proses yang dikendalikan Gambar 1.1.
Relasi masukan-keluaran menyajikan relasi sebab dan efek suatu proses yang lebih pada
pemrosesan sinyal masukan untuk mendapatkan peubah sinyal keluaran, yang seringkali
masih memerlukan penguatan daya. Sistem kontrollup terbuka (open loop) menggunakan
pengendali dan aktuator untuk menghasilkan tanggapan yang diinginkan (lihat Gambar
1.2)
Kontrol lup terbuka Gambar 1.2.
Berbeda dengan kontrollup terbuka, sistem kontrollup tertutup menggunakan tambahan
pengukuran keluaran untuk dibandingkan dengan tanggapan yang diinginkan. Selisih dari
Proses masukan keluaran
Proses Aktuator Pengendali
Tanggapan
yang diinginkan Keluaran
5
perbandingan kedua sinyal merupakan sinyal galat yang akan menentukan aksi control
(lihat Gambar 1.3). Pengukuran keluaran tersebut merupakan sinyal umpan balik
Kontrollup tertutup dengan umpan balik Gambar 1.3.
Kemampuan mengatasi gangguan terhadap sistem merupakan salah satu kelebihan
sistem kontrollup tertutup. Gangguan dan noise pengukuran biasanya muncul pada
aplikasi dinamika sistem kontrol seperti pada gambar 1.4 dibawah ini.
Kontrol lup tertutup dengan umpan balik dan gangguan Gambar 1.4.
1.2. Perkembangan Sistem Kontrol
Sebelum memasuki pembahasan tentang kontroloptimal dan kontrolkokoh, ada
baiknya kita mengetahui sejarah perkembangan sistem kontrolsecara garis besar.
Tahapan perkembangan teknologi manusia yang fenomenal adalah dikembangkannya
mesin uap yang menjadi tonggak kemunculan era revolusi industri. Persoalan yang
muncul, bagaimana mengendalikan kecepatan rotasi mesin tanpa intervensi manusia
secara berulang-ulang. Disinilah kemudian dikembangkan, salah satunya oleh James
Watt (1769), pendulum kanonik yang mempunyai sudut inklinasi sebagai fungsi
kecepatan anguler poros mesin. Pendulum ini diaplikasikan pada desain mesin generator
kecepatan sentrifugal, atau disebut juga dengan flyball. Pengembangan ini merupakan
langkah awal control otomatis pada mesin.
Proses Aktuator Pengenda
li
Tanggapan
yang diinginkan Keluaran
-
Sensor
Umpan balik
uaran
Sinyal galat
balik uaran
Proses Aktuator Pengendali
Tanggapan
yang diinginkan Keluaran
-
Sensor
Umpan balik
uaran
Sinyal galat
balik uaran
-
-
Gangguan
Noise
pengukuran
6
Secara ringkas sejarah perkembangan teknik kendali, berikut ini:
1769
• Mesin uap James Watt dan alat pengontrol yang dikembangkan. Mesin uap Watt dalam sejarahnya menandakan awal dari Revolusi industri di Inggris. Selama Revolusi Industri, lompatan besar dibuat dalam perkembangan mekanisasi, merupakan awal teknologi otomasi.
1800
• Konsep Eli Whitney tentang manufaktur per bagian yang dapat saling ditukar, yang diperlihatkan pada produksi senapan. Perkembangan ini sering disebut sebagai awal dari produksi massal.
1868 • J. C. Maxwell memformulasikan model matematis
untuk kontrol pengatur mesin uap.
1913 • Mesin perakitan mekanik Henry Ford diperkenalkan
untuk produksi otomobil.
1927 • H. W. Bode menganalisis penguatan umpan balik.
1932 • H. Nyquist mengembangkan metode untuk
menganalisis kestabilan sistem.
1952 • Kontrol Numerik dikembangkan di MIT untuk
kontrol sumbu alat-mesin.
1954 • George Devol mengembangkan "programmed
article transfer", dianggap sebagai desain robot industri yang pertama.
1960
• Robot Unimate pertama diperkenalkan, berbasis desain Devol. Unimate mulai dirakit pada tahun 1961 untuk mesin tending-die casting (pencetakan hasil peleburan metal)
1970 • Mulai dikembangkan model variabel keadaan dan
kendali optimal
1980 • Sistem kendali kokoh/robust mulai dipelajari secara
luas
1990 • Perusahaan manufaktur berorientasi-eskpor
menggunakan otomasi.
1994 • Kontrol umpan balik secara luas digunakan pada
otomobil. Karena keterandalannya, sistem robust banyak dipakai di manufaktur.
7
Ilustrasi Pengatur Mesin Uap “Watt Flyball”1 Gambar 1.5.
(a) (b)
(a) Lift pada awal mula dikontrol dengan tali dan operator Gambar 1.6.tangan. Di sana diperlihatkan inovasi safety brake (rem keamanan) saat tali dipotong. (b) Lift modern duo di Grande Arche Paris, digerakkan oleh satu motor, dengan tiap lift saling menyeimbangkan satu sama lain.
1 Gambar diambil dari Advanced Control Engineering, Roland S Burn
8
Sekarang, lift sudah otomatis secara penuh, menggunakan sistem kontrol untuk mengatur posisi dan kecepatan.
Ruang perakitan programmable robot yang dapat merakit 17 Gambar 1.7.bagian dari alternator otomobil (alternator = generator listrik yang mengubah energi mekanik menjadi energi listrik dalam bentuk arus bolak-balik/AC) dalam waktu 2 menit 42 detik.
1.3. Beberapa Istilah Penting dalam Sistem Kontrol
Untuk memudahkan pembaca dalam memahami buku ini, perlu dijelaskan beberapa
istilah yang sering dipakai, diantaranya:
o Sistem : merupakan kombinasi beberapa komponen yang bekerja secara bersama-
sama dan membentuk suatu tujuan tertentu.
o Proses (alamiah) : suatu urutan operasi yang kontinyu atau suatu perkembangan yang
dicirikan oleh urutan perubahan secara perlahan yang terjadi tahap demi tahap
dengan cara yang relatif tetap dan memberikan suatu hasil atau akhir.
o Proses (artifisial) : operasi yang dilakukan secara berkesinambungan yang terdiri dari
beberapa aksi yang dikendalikan atau pergerakan yang secara sistematik diarahkan
pada suatu hasil atau akhir.
o Operasi : proses yang dikendalikan: proses kimia, biologi, ekonomi.
9
o Plant : dapat berupa bagian suatu peralatan yang berfungsi secara bersama-sama
untuk membentuk suatu operasi tertentu. (Setiap obyek fisik harus dikendalikan:
reaktor kimia, heating furnace, spacecraft)
o Gangguan : suatu sinyal yang cenderung mempengaruhi (secara acak) nilai output
suatu sistem: gangguan internal dan eksternal.
o Kontrolumpan-balik: suatu operasi yang dengan munculnya gangguan akan cenderung
akan memperkecil perbedaan antara output suatu sistem dengan beberapa input dan
selanjutnya bertindak sesuai bertitik tolak dari perbedaan tsb.
SistemKontrol
Masukan: stimulus Keluaran: respons
Respon yang
diinginkanRespon aktual
Sistem Kontrol Sederhana Gambar 1.8.
1.4. Sistem Kontrol Lup Terbuka dan Lup Tertutup
Pada dasarnya, sistem kontroldikategorikan menjadi 2, yakni sistem kontrollup terbuka
dan sistem kontrollup tertutup. Masing-masing sistem kontroltersebut dijelaskan berikut
ini:
1. Sistem Kontrol Lup Terbuka
Sistem kontrol lup terbuka menggunakan actuating device (alat penggerak/ aktuator)
untuk mengontrol proses secara langsung tanpa menggunakan feedback/ umpan
balik.
SistemKontrol KeluaranSinyal aktuator
AktuatorRespon yang
diinginkan
Sistem Kontrol Lup Terbuka Gambar 1.9.
2. Sistem Kontrol Lup Tertutup
Berbeda dengan sistem kontrollup terbuka, sistem kontrol lup tertutup
menggunakan pengukuran dari sinyal keluaran dan mengumpan-balikkan sinyal
tersebut untuk dikomparasi/dibandingkan dengan masukan yang
diinginkan/masukan referensi/masukan perintah.
SistemKontrol
KeluaranPengendali
Pengukuran
Komparator
Respon yang
diinginkan
Sistem Kontrol Lup Tertutup Gambar 1.10.
10
SistemKontrol
KeluaranSinyal aktuator
Aktuator
Sinyal
kendali
Sensor
Respon yang
diinginkan
Sinyal
Umpan Balik
Sinyal output
Pengukuran
Pengendali+
-
Sinyal
galat/eror
Sistem Kontrol Lup Tertutup dengan Umpan Balik Negatif Gambar 1.11.
Plant/proses
Keluaran/variabel
yang dikendalikan
Sinyal Gangguan
Masukan
Masukan/
referensi
PengendaliTrandusermasukan
Sinyal Gangguan
keluaran
++
++
Sistem Kontrol Lup Terbuka dengan Gangguan Gambar 1.12.
Plant/proses
Keluaran/variabel
yang dikendalikan
Sinyal Gangguan
Masukan
Tranduser keluaran/Sensor
Masukan/
referensi
Sinyal
Umpan Balik
Sinyal output
Pengukuran
Pengendali+
-
Sinyal
galat/erorTrandusermasukan
Sinyal Gangguan
keluaran
++
++
Sistem Kontrol Lup Tertutup dengan Gangguan Gambar 1.13.
Proses
Variabel
keluaran
Pengukuran
Pengendali
Respon keluaran
yang diinginkan
Sistem Kontrol Multivariabel (Multi-Input Multi-Output/ MIMO) Gambar 1.14.
1.5. Aplikasi Sistem Kontrol lup terbuka dan lup tertutup
Beberapa aplikasi sistem kendali, diantaranya adalah kontrolposisi dan kecepatan
motor dc, kontrolgula darah otomatis, kontrollintasan kendaraan, kontrolposisi azimuth
antena dan sebagainya.
11
(a)
(b)
(a) Sistem lup terbuka pengaturan kecepatan meja putar. (b) Gambar 1.15.Model blok diagram
(a)
(b)
(c)
(a) Grafik kadar gula darah dan insulin setelah waktu makan. (b) Gambar 1.16.Sistem lup terbuka. (c) Sistem lup tertutup
12
(a)
(b)
(a) Pengemudi menggunakan selisih antara arah aktual dan arah Gambar 1.17.mobil yang diinginkan untuk untuk menghasilkan pengaturan setir. (b) Model diagram blok sistem kontrol setir otomobil.
(a)
13
(b)
(c)
(a) Sistem kontrol posisi azimuth antena. (b) Rangkaian Gambar 1.18.skematik. (c) Diagram blok fungsional
Sistem kontrol koordinasi pada boiler-generator Gambar 1.19.
14
Sistem kontrol temperatur pada ruang penumpang (mobil) Gambar 1.20.
Sistem kontrol posisi sumbu-tiga pada keping semikonduktor Gambar 1.21.dengan kamera super sensitif
15
Sistem kontrol lengan robot dengan proses rekognisi-pola Gambar 1.22.
Sistem kontrol dengan umpan balik pada model ekonomi Gambar 1.23.
16
1.6. Tahapan Perancangan Sistem Kendali
Perancangan suatu sistem kontrolsecara umum membutuhkan beberapa langkah
yang dapat digambarkan dalam diagram alir dibawah ini.
. Diagram alir perancangan suatu sistem kontrol Gambar 1.24.
1.7. Kontrol Analog dan Diskrit
Pemanfaatan teknologi digital pada banyak aplikasi dan rekayasa teknik ikut berpengaruh
pada perkembangan teknik kendali. Kemajuan teknologi komputer dan prosesor saat ini
sangat menguntungkan bagi desain sistem kendali. Dari sini, tren desain kontrol digital
perlahan menggantikan desain kontrol analog. Dapat dipahami bahwa umumnya plant
maupun proses yang ingin dikendalikan merupakan besaran analog yang kontinyu,
sedangkan pengendali (controller) yang digunakan dengan adanya teknologi prosesor
Mulai
Definisikan spesifikasi
kinerja sistem
Identifikasi komponen
sistem yang dibutuhkan
Pemodelan sistem dan
periksa tanggapan sistem
Sesuai kriteria
Tetapkan kendali yang
digunakan
Pilih komponen
yang lain
A
A
Simulasikan
tanggapan sistem
spesifikasi kinerja
Sesuai spesifikasi
kinerja?
Atur strategi kendali
yang digunakan
Aplikasikan pada
sistem fisik
Lakukan pengukuran
pada sistem fisik
Sesuai spesifikasi
kinerja?
Selesai
Atur strategi kendali
yang digunakan
17
adalah control digital sehingga diperlukan perancangan control diskrit. Untuk itu, perlu
adanya pengubahan besaran fisis analog-digital dan digital ke analog.
Sistem kontrol dengan mikroprosesor Gambar 1.25.
Untuk proses konversi analog- digital digunakan proses penyuplikan (sampling), dimana
sinyal analog yang dicuplik menghasilkan
∑ (1.4)
Penyuplik (sampler) Gambar 1.1.
Hasil proses sampling/pencuplikan Gambar 1.26.
Sementara metode paling umum dipakai untuk konversi digital-analog (D/A conversion)
adalah dengan zero-order-hold (ZOH), dimana mengkonversi sinyal-sinyal impuls menjadi
deretan pulsa dengan lebar . Fungsi alih ZOH adalah sebagai berikut:
[ ]
(1.6)
18
Zero Order Hold (ZOH) Gambar 1.27.
Transformasi-
Merupakan salah satu model representasi dari sistem SISO waktu diskrit.
Tabel 1.1. Transformasi- dan Transformasi Laplace
19
Contoh 1:
[ ] ∑
Diperoleh
NB: cara sederhana yaitu dengan deret geometri
_
Sehingga
Untuk diperoleh
Contoh 2:
Diberikan sistem data sampling orde-1 berikut
Cari fungsi alih dalam domain- , diketahui waktu sampling .
(
)
Dengan transformasi- diperoleh:
20
.
/
Dengan inversi transformasi- diperoleh:
NB: Bandingkan dengan sistem sama untuk waktu-kontinyu dengan masukan unit step
(tanpa ZOH) diperoleh . Jika diberikan masukan unit ramp (tanpa ZOH)
diperoleh .
Kaitan transformasi- dan transformasi Laplace:
Contoh 3:
Cari fungsi alih dari sistem lup tertutup berikut:
(a).
Jawab:
(b).
21
Jawab:
1.8. Kontrol Konvensional (Klasik) dan Modern
Teori kontrol yang sering digunakan saat ini adalah teori kontrolklasik atau disebut
teori kontrol konvensional, teori kontrol modern, dan teori kontrol robust (Ogata, 2014).
1. Kontrol klasik
Dimulai dari pengatur sentrifugal James Watt untuk kontrol kecepatan dari mesin uap
pada abad ke-18. Metode respons frekuensi dan metode root locus adalah inti dari teori
kontrol klasik, dimana mengacu kepada kestabilan sistem dan memenuhi beberapa
kriteria performa tertentu (dari respons transien dan tunak sistem). Sistem tersebut
dapat diterima secara umum, namun tidak optimal untuk suatu kriteria tertentu dari
desain sistem kontrol. Pada akhir tahun 1950, fokus masalah desain kontrol bergeser dari
konsep mendesain satu/banyak sistem kontrol (kuantitas) menjadi desain untuk satu
sistem kontrol yang optimal sesuai performa tertentu yang diinginkan (kualitas).
Adapun dalam perkembangan sistem kontrol, sistem kontrol klasik yang berkaitan
dengan sistem SISO (single-input single-output) menjadi kurang cocok dan powerful
untuk diterapkan pada sistem MIMO (multiple-input multiple-output). Pada tahun 1960,
dimulai era komputer digital, memungkinkan dilakukan analisis sistem kompleks dalam
domain waktu dan sintesis menggunakan variabel state. Hal tersebut mendorong
kompleksitas dari plant modern dan kriteria akurasi yang tinggi, bobot, dan cost yang
diimplementasikan di bidang militer, antariksa, dan aplikasi industri.
a. Analisis respons domain waktu
Analisis ini dapat dilakukan jika diketahui:
- Sifat alami/natural dari masukan/input, sebagai fungsi waktu
- Model matematis dari sistem
Respons domain waktu terdiri dari 2 komponen yaitu:
a) Respons transien: komponen ini biasanya berbentuk eksponensial,
perubahannya akan semakin kecil seiring waktu dan menuju nol pada sistem
stabil (BIBO). Respons transien merupakan respon natural dari sistem dinamik,
dan tidak bergantung pada masukan/input. Cara sederhana untuk
22
menentukan respon alamiah/natural yaitu dengan memberikan input impuls
pada sistem dan dilihat respons keluarannya.
Contoh 1 (MATLAB):
Sistem dengan masukan unit step dan plant dimodelkan dengan
persamaan dinamik berikut:
Dengan transformasi Laplace diperoleh keluarannya:
(
)(
)
Keluaran dalam domain-waktu yaitu:
, untuk
Syntax MATLAB:
Dengan Laplace:
Atau hasil yang sama dapat diperoleh dalam domain waktu, :
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Waktu (t) (seconds)
c(t
)
num = [0 1 5]; % Pembilang G den = [1 2 5]; % Penyebut G step(num,den) % Plot grafik xlabel('Waktu (t)');ylabel('c(t)');
t = linspace(0,5); C = 1 - exp(-t).*cos(2*t); plot(t,C); xlabel('Waktu (t)');ylabel('c(t)');
23
Spesifikasi respons transien orde-2:
Contoh respons unit step sistem orde-2, ( Gambar 1.2.
Waktu delay, : waktu yang diperlukan respons untuk mencapai setengah
dari nilai akhir saat kali pertama.
Waktu naik (rise time), : waktu yang diperlukan respons dari 10% ke 90%,
atau 5% ke 95%, atau 0% ke 100% dari nilai akhir.
Waktu puncak (peak time), : waktu yang diperlukan respons untuk
mencapai puncak pertama pada kondisi overshoot.
Overshoot maksimum ( ): persentase nilai puncak maksimum terhadap
respons keadaan tunaknya.
( )
(1.7)
Waktu menetap (settling time), : waktu yang diperlukan respons untuk
mencapai range nilai akhir mutlak (2% atau 5%).
0 1 2 3 4 50
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Waktu (t)
c(t
)
24
Contoh 2 MATLAB:
Mencari waktu naik, waktu puncak, overshoot maksimum, dan waktu menetap
dari sistem orde-dua dan sistem orde-tinggi:
Diperoleh hasil:
b) Respons steady state/keadaan tunak: merupakan respons dari sistem setelah
komponen transien.
% Contoh 2:
% 25 1
% G(s)= --------- ; R(s)= -
% s^2+6s+25 s num = [25]; % Asumsi zeta = 0.6 dan wn = 5 den = [1 6 25]; t = 0:0.005:5; [y,x,t] = step(num,den,t); r = 1; while y(r) < 1.0001; r = r + 1; end;
% Rise Time (tr) rise_time = (r - 1)*0.005
% Peak Time (tp) [ymax,tp] = max(y); peak_time = (tp - 1)*0.005
% Maximum Overshoot (%Mp) max_overshoot = ymax-1
% Settling Time (ts) s = 1001; while y(s) > 0.98 & y(s) < 1.02; s = s - 1; end; settling_time = (s - 1)*0.005
rise_time =
0.5550
peak_time =
0.7850
max_overshoot =
0.0948
settling_time =
1.1850
25
Klasifikasi sistem kontrol:
∏
∏
(1.8)
Dengan nilai
adalah jumlah pole pada titik origin tipe sistem (tipe- )
C(s)G(s)
R(s) +
-
E(s)
Fungsi alih lup tertutup:
(1.9)
Sinyal galat:
Dari kedua persamaan di atas dapat diperoleh:
(1.10)
Galat keadaan tunak (steady-state error):
(1.11)
Contoh galat keadaan tunak untuk masukan sinyal unit step, sinyal unit ramp,
dan sinyal parabolik/akselerasi:
Masukan
Sistem Input Step
Input Ramp
Input Parabolik
Tipe-
Tipe-
Tipe-
Dimana adalah penguatan proporsional sistem.
b. Analisis domain respons frekuensi
Penguatan proporsional
Magnitudo:
Fasa:
Faktor integral dan derivatif
o Integral
Magnitudo:
26
|
|
Slope/gradien garis: atau
Fasa:
o Derivatif
Magnitudo:
Slope/gradien garis: atau
Fasa:
Faktor orde-1
Magnitudo:
|
| √
Pendekatan dengan 2 garis asimtot:
27
- √
- √ , jadi ketika
(titik potong kedua asimtot) (frekuensi sudut/).
Selanjutnya dibuat garis dengan gradien .
Fasa: pada , sudut fasanya . Pada
frekuensi sudut , sudut fasanya . Pada , sudut
fasanya .
Faktor kuadratik/orde-2
. (
) (
)
/
Magnitudo:
|
(
) (
) |
(√ .
/
(
)
)
Pendekatan dengan 2 garis asimtot:
-
- , jadi ketika
(titik potong kedua asimtot) (frekuensi sudut/).
Selanjutnya dibuat garis dengan gradien .
- Koefisien redaman , pengaruhnya terhadap magnitudo dan sudut
fasa yaitu sbb:
28
Fasa:
[
(
) ]
Pada , sudut fasanya . Pada frekuensi sudut , sudut
fasanya . Pada , sudut fasanya .
2. Kontrol modern
Pada kurun waktu dari tahun 1960 sampai 1980, mulai dipelajari kontrol optimal, baik
sistem deterministik maupun stokastik, begitu juga kontrol adaptif dan kontrol learning
dari sistem kompleks. Sementara pada tahun 1980 sampai 1990 perkembangan teori
kontrol modern dipusatkan pada kontrol robust/kokoh dan aplikasinya. Teori kontrol
modern untuk sistem persamaan diferensial berbasis pada analisis domain waktu.
Dengan teori kontrol modern membuat desain sistem kontrol menjadi lebih simpel
karena teori berbasis pada sistem kontrol aktual dan model. Akan tetapi, kestabilan
sistem akan sangat sensitif terhadap perubahan eror antara sistem aktual dan model,
sehingga didesain sistem kontrol dengan pertama menentukan setting awal dari range
eror tertentu yang diperbolehkan dan lalu mendesain kontroler sedemikian sehingga jika
eror dari sistem berada pada range eror yang telah dirancang, maka sistem kontrol yang
didesain akan tetap stabil. Metode desain demikian merupakan prinsip dari teori kontrol
robust/kokoh. Teori tersebut menggabungkan antara pendekatan respons frekuensi dan
pendekatan domain-waktu. Secara matematis, relatif cukup rumit/kompleks.
29
C
P
Masukan referensi
Output
y(t)
r(t)
x(t)
u(t)
Sinyal masukan kontrol
Pengendali
State
Konfigurasi Kontrol Modern Gambar 1.28.
Sistem Kontrol Modern
Fungsi H Pontraygin
(1956)
Fungsi V Lyapunov
(1892)
Sistem Dinamik (pemodelan)
Sistem Analisis (performa)
Sistem Sintesis (desain)
Fungsi state Lagrange
(1788)
Taksonomi Sistem Kontrol Modern Gambar 1.29.
Tahap pertama dari teori sistem kontrol yaitu mencari/memformulasikan dinamika
atau pemodelan dalam bentuk persamaan dinamik, sebagai contoh persamaan
diferensial. Dinamika sistem pada umumnya berdasarkan pada fungsi Lagrangian.
Selanjutnya sistem dianalisis sesuai kinerjanya untuk mencari kestabilan sistem, adapun
teori kestabilan yang cukup terkenal yaitu kestabilan Lyapunov. Terakhir, jika kinerja
sistem tidak sesuai dengan spesifikasi yang diinginkan, maka dilakukan
perancangan/desain. Fungsi Lagrangian dan fungsi Lyapunov sudah lama
30
diperkenalkan, namun konsep tersebut baru digunakan pada kontrol modern. Istilah
“modern” sendiri adalah relatif terhadap waktu, jadi apa yang dianggap modern saat ini,
dalam beberapa tahun lagi dapat dianggap kuno. Jadi yang lebih cocok digunakan dalam
memberi label teori kontrol yaitu sesuai klasifikasi tertentu (sesuai sistem/fungsinya),
misalkan kontrol optimal, kontrol nonlinier, kontrol adaptif, kontrol robust, dst.
1.9. Latihan Soal
1. Cari aplikasi sistem kontrol SISO dan MIMO pada kehidupan nyata ?
2. Bagaimana cara memodelkan sistem pada sistem SISO dan MIMO ?
3. Berikan contoh sistem kontrol SISO dan MIMO menggunakan software MATLAB !
31
32
33
BAB 2
REVIEW SISTEM KONTROL
34
BAB 2 Pemodelan Sistem
Seringkali, perilaku dinamik suatu sistem fisik ditampilkan dalam bentuk model
persamaan matematik. Model ini diperoleh dari karakteristik komponen sistem, seperti
masa suatu sistem mekanik, resitansi sistem elektrik dan sebagainya. Atau juga bisa
diperoleh dari pengukuran dan eksperimen untuk mengetahui relasi masukan dan
tanggapan sebuah sistem misalnya. Di sini disebutkan beberapa model matematik dari
sistem elektrik, mekanik, termal sebagai berikut:
2.1. Sistem Dasar Elektrik
Model matematik dari rangkaian RLC, berdasarkan hukum Ohm dan Kirchoff arus dan
tegangan digambarkan berikut ini:
Gambar 2.1. Rangkaian RLC, hukum Kirchoff
35
Sebagai contoh, rangkaian RLC yang akan dikontrolkan dengan kontrol umpan balik
tertutup berikut ini:
Gambar 2.2. Rangkaian RLC
Pada plant/rangkaian, dari hukum tegangan Kirchhoff:
(2.1)
Untuk komponen kapasitor:
(2.2)
Maka model dinamik rangkaian menjadi:
(2.3)
Gambar 2.3. Contoh Sistem Closed Loop
2.2. Sistem Mekanik
Suatu elemen elastis diasumsikan menghasilkan regangan yang proporsional dengan gaya
yang bekerja padanya. Untuk pegas translasi, berlaku:
,
dimana
Sedangkan pegas rotasi,
(2.4
36
Kemudian, redaman pada sistem mekanik juga dikategorikan menjadi peredam translasi
dan rotasi, dimana gaya dan torsi yang dihasilkan proporsi dengan kecepatan translasi
dan rotasi, masing-masing berikut ini
(2.5
(2.6)
Selanjutnya, massa pada sistem mekanik berkaitan dengan gaya dan percepatan, baik
translasi maupun rotasi masing-masing berikut ini:
(2.7)
(2.8)
2.3. Sistem Thermal
Sistem thermal dapat dianalogikan dengan sistem elektrik, disini diperkenalkan resistansi
thermal dan kapasitansi thermal.
Aliran panas pada konduksi dituliskan dalam hukum Fourier
(2.9)
dimana
,
Persamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk yang sama dengan hukum Ohm
(2.10)
Dengan resistansi thermal
(2.11)
Adapun kapasitansi thermal, berkaitan dengan panas yang tersimpan pada suatu benda
yang dirumuskan
(2.12)
Jika persamaan ini dibandingkan dengan elektrostatis , maka kapasitansi
thermalnya (2.13)
2.4. Model Ruang Keadaan
Pendekatan ruang keadaan (state space) merupakan metode domain waktu yang
digunakan pada pemodelan, analisa dan berbagai desain sistem kontrol secara luas.
37
Keadaan (state) dari suatu sistem didefinisikan sebagai sekumpulan peubah (state
variable) pada beberapa waktu inisial , bersama peubah masukan menentukan perilaku
sistem pada . Peubah keadaan ini merupakan jumlah terkecil state yang diperlukan
untuk mendeskripsikan dinamika sistem. Pertimbangkan sekumpulan persamaan
differensial yang menggambarkan dinamika sistem berikut:
(2.13)
(2.14)
(2.15)
Persamaan diatas, dapat digabungkan dalam bentuk matrik persamaan keadaan:
(2.16)
Dimana vektor keadaan berukuran [
], vektor masukan berdimensi [
],
matrik sistem ukuran dan matrik kontrol ukuran
[
], [
] (2.17)
Umumnya, keluaran sistem linier dapat direlasikan dengan peubah
keadaan dan peubah masukan:
(2.18)
2.5. Latihan Soal
1. Buatlah pemodelan sistem untuk motor DC dalam bentuk fungsi alih dan state
space!
2. Simulasikan lah kedua model yang diperoleh dari soal no.1 !menggunakan
software MATLAB!
38
BAB 3
KONTROL OPTIMAL DASAR
39
BAB 3 Kontrol Optimal Dasar
Tujuan dari penjelasan pada bab 3 ini adalah untuk memberi pengenalan awal kepada
mahasiswa tentang teori dasar kontrol optimal. Bagaimana prosedur yang dilakukan
dalam melakukan perancangan sistem kontrol yang optimal.
3.1. Pengenalan
Optimasi sudah menjadi istilah yang lazim digunakan saat ini. Kita ingin bekerja dan
memanfaatkan waktu secara optimal dengan menggunakan sumber daya yang optimal,
dst. Batasan sasaran teori kontrol optimal dapat dilihat pada diagram berikut:
OPTIMASI
Pendekatan Geometri Pendekatan Aljabar
Pengali Lagrange dan Kalkulus
AnalisisFungsional
Variasi Kalkulus/Hitungan
Pemrograman Dinamik
Satu Tahap Multi Tahap
Deterministik Stokastik
PemrogramanLinier dan Nonlinier
Teori Game
Satu Peminatan/Tujuan Multi Tujuan
Gambar 3.1. Batasan teori kontrol optimal
40
Beberapa teori kontrol, pendekatan desain kontrol dengan umpan balik
keadaan/state feedback dan estimator/observer merupakan dasar fundamental untuk
kontrol untuk sistem yang dibangun dari persamaan keadaan/state. Namun, belum
tentu berarti metode fundamental ini menghasilkan solusi yang terbaik/optimal.
Metode tersebut memiliki beberapa kesulitan untuk kasus berikut:
1. Implementasi dari spesifikasi desain (overshoot maksimum, settling time, dsb)
dimana pole yang diinginkan tidak selalu diperoleh secara langsung, khususnya
untuk sistem kompleks. Konfigurasi pole seperti apa yang paling baik sesuai
dengan spesifikasi yang ada?
2. Untuk sistem MIMO, penguatan umpan balik keadaan untuk memperoleh
konfigurasi pole tertentu tidaklah unik. Jadi penguatan seperti apakah yang
paling baik untuk konfigurasi pole yang ada?
3. Nilai eigen dari observer sebaiknya dipilih lebih cepat daripada nilai eigen dari
sistem lup tertutupnya. Adakah kriteria lain untuk menentukan konfigurasi
manakah yang tepat?
Metode kontrol optimal yang akan dibahas pada bab ini dapat menjawab masalah-
masalah di atas. Kita lihat nanti bagaimana state feedback dan gain observer dapat
diperoleh sehingga solusinya optimal. Tujuan dari teori kontrol optimal yaitu untuk
menentukan sinyal kontrol yang akan menghasilkan proses sesuai dengan batasan
spesifikasi fisik sistem dan pada saat yang bersamaan akan
meminimumkan/memaksimumkan beberapa kriteria performansi.
Prinsip utama dari teori kontrol berbasis prinsip optimalitas yaitu: Jika solusi
optimal untuk masalah kontrol melewati suatu titik transisi , maka solusi optimal
untuk masalah kontrol yang sama yang berasal dari titik awal menuju titik akhir
adalah merupakan kelanjutan jalur yang sama melewati titik transisi.
41
Gambar 3.2. Ilustrasi trayektori lintasan solusi masalah kontrol optimal dengan prinsip optimalitas
Trayektori keadaan dimana dapat memenuhi batasan variabel keadaan selama
selang [ ] merupakan trayektori yang dapat diterima/admissible trajectory.
Prosedur solusi numerik untuk penyelesaian masalah pengambilan
keputusan/decision making multi-tahapan disebut dynamic programming. Hasil teoretis
yang dibangun secara sistematis dalam pemecahan masalah tsb akan menghasilkan
aturan kontrol/control law.
Contoh 1: (masalah rute dengan waktu tempuh terpendek)
• Tujuan utama yaitu mencari rute dengan waktu terpendek dari ke
• Waktu tempuh setiap jalur ditunjukkan pada gambar
• Dengan mengambil arah maju, ada 20 alternatif dari ke , namun akan sangat
membosankan. Dengan mengambil arah maju, ada 20 alternatif dari ke
(dicoba satu per satu), memakan waktu yg lama.
• Total alternatif rute = 1 + 3 + 6 + 10 = 20 rute,
• Dari melewati ada 1 jalur
• Dari melewati ada 3 jalur
• Dari melewati ada 6 jalur
• Dari melewati ada 10 jalur
dimana adalah jumlah segmen.
42
Perbandingan jika menggunakan dynamic programming (DP):
• Bandingkan dengan alternatif pendekatan arah mundur/backward.
• Dimulai dari titik bekerja dgn arah mundur, dengan menerapkan prinsip
optimalitas di sepanjang jalur.
• Tentukan titik , dari titik dihitung total waktu dari ke . Ada 2 rute yaitu
10 + 6 dan 11 + 7, pilih yang waktu tempuh paling kecil = 10 + 6 = 16.
• Beri tanda panah di 6 untuk menandakan jalur yang dipilih.
• Ulangi seluruh proses di semua titik, dari titik hingga titik .
• Dari gambar di kanan terlihat bahwa jumlah komputasi/perhitungan hanya
15 kali.
• Jumlah komputasi DP =
A0 B
1
3
6
10A1
A2
A3
A
43
• Manakah yang lebih baik? Jika semakin besar, selisih jumlah komputasi
akan semakin besar pula.
• Jadi, DP lebih baik dibandingkan dengan mencoba setiap kemungkinan/brute
force, waktu komputasi lebih cepat, memori yang diperlukan lebih kecil.
Contoh 2: Routing problem (dengan batasan/constraint arah ditentukan di awal)
Cari rute terpendek dari ke !
• Mulai dari dan bekerja ke arah mundur/backward.
• Dari ke hanya ada 1 jalur dan dari ke
• Dari ke ada 2 jalur yaitu dan :
• Rute optimal: { } {[
] }
{ }
• Diperoleh rute optimal ke yaitu
• Dari ke
(karena rute optimal dari ke sudah
diketahui, kita tidak perlu lagi mencari opsi dari saat mulai dari gunakan
solusi terbaik sebelumnya.
• Dari ke { } {[
] [ ]}
{[ ] [ ]}
• Diperoleh rute optimal ke yaitu
3.2. Formulasi Masalah Kontrol Optimal
Untuk masalah kontrol optimal, pada umumnya kita ingin mencari sinyal kontrol
optimal , dimana lambang menyatakan kondisi optimal, yang akan menggerakkan
plant dari kondisi awal menuju kondisi akhir dengan beberapa batasan kontrol dan
44
keadaan/state, dimana pada waktu yang bersamaan akan mengoptimalkan indeks
performa . Formulasi masalah kontrol optimal terdiri dari:
1. Deskripsi/model matematis dari sistem yang akan dikontrolkan (secara umum
dalam bentuk variabel keadaan)
2. Deskripsi dari tugas/proses yang harus dikerjakan
3. Spesifikasi dari indeks performa, dan
4. Persyaratan dari kondisi batas (boundary condition) dan batasan spesifikasi fisik
dari state dan/atau kontrol.
Indeks performa/kinerja
Teknik desain kontrol klasik telah berhasil diterapkan pada sistem SISO linier
invarian-waktu. Kriteria performa tersebut antara lain respons waktu sistem (untuk
masukan tangga, masukan landai, dsb.) yang ditentukan oleh waktu naik, waktu
menetap, waktu overshoot, dan akurasi keadaan tunak; dan juga respons frekuensi
sistem yang ditentukan oleh margin penguatan dan margin fasa, dan juga bandwidth.
Sementara untuk teori kontrol modern, masalah kontrol optimal yaitu mencari
sinyal kontrol yang akan menghasilkan sistem dinamik mencapai sasaran atau mengikuti
suatu trayektori variabel keadaan tertentu, pada waktu yang sama mengoptimalkan
indek performa. Optimal berarti melakukan proses (pekerjaan) dengan cara/solusi yang
terbaik.
Selama kriteria/batasan/constraints tersebut belum jelas dan konsisten, kita tidak
dapat mengklaim bahwa sistem kita sudah optimal. Secara kasar, kita dapat klaim untuk
sistem yang tidak akurat pun dapat dikatakan optimal dengan constraints misal biaya
produksi murah (cost), mudah dirancang-bangun (design), performanya cukup baik
sesuai yang diinginkan (performance), dsb. Namun sebaliknya, suatu sistem yang presisi
dan elegan bisa dibilang tidak optimal karena terlalu mahal biaya produksinya dan
pengembangannya memakan waktu sangat lama (time).
Dinamika sistem yang dikontrol dideskripsikan dalam bentuk variabel
keadaan/state, misal dalam waktu-kontinyu sebagai berikut:
(3.1)
atau dalam waktu-diskrit menjadi :
45
(3.2)
Berikutnya, sistem kita asumsikan semua state-nya ada, misal pada pengukuran.
Atau selain itu, sistem diasumsikan dapat diamati/observable, sehingga observer dapat
dikonstruksi/dibangun sedemikian sehingga dapat di estimasi state-nya.
Kriteria kinerja/performa, dilambangkan , adalah ukuran kualitas dari perilaku
sistem. Biasanya, kita mencoba meminimumkan atau memaksimumkan kriteria kinerja
dengan mengatur sinyal kontrol masukannya.
Untuk setiap sinyal kontrol dalam range yang bisa dihasilkan/feasible (yaitu,
untuk setiap masukan yang mungkin), sistem dapat bekerja sesuai fungsinya dimana
batasan/constraints sistem terpenuhi dan bersesuaian dengan trayektori sistem .
Masukan menghasilkan trayektori . Variasi pada menghasilkan
trayektori yang berbeda,
Batasan/constraints
Vektor kontrol atau vektor keadaan dapat memiliki batasan (constrained)
atau tidak memiliki batasan (unconstrained) tergantung kondisi spesifikasi fisiknya.
Untuk masalah unconstrained, pada sistem di real life jarang digunakan, walaupun
menghasilkan solusi yang elegan/bagus. Untuk batasan sistem fisik (constrained), dapat
dijumpai misalkan arus dan tegangan pada rangkaian elektrik, kecepatan motor, bahan
bakar dorong roket, yang dimodelkan:
, dan ,
46
dimana + dan – menyatakan nilai maksimum dan minimum yang dapat dicapai oleh
variabel (kontrol dan keadaan) yang bersesuaian.
(1). Masalah Kontrol Optimal 1: (sistem kontrol untuk fuel-optimal)
Batasan/constraints sistem terkadang ada dengan nilai yang dibolehkan oleh
variabel keadaan, atau sinyal kontrol masukan (control input). Sebagai contoh,
himpunan dari sinyal kontrol yang bisa dihasilkan dapat berupa set/kumpulan dari
potongan vektor kontinyu/piecewise, ( )∈ , sedemikian sehingga:
{ ‖ ‖ }
Batasan/constraints model ini sangat umum digunakan, serta dapat
merepresentasikan keadaan saturasi pada aktuator, untuk batas sinyal inputan.
‖
‖
+
Contoh: Misalkan pada masalah pesawat ruang angkasa (spacecraft), penggerak
pesawat adalah mesin dorong (thrust) roket dengan besar besarnya proporsional
dengan laju pemakaian bahan bakar/fuel. Untuk meminimumkan total pemakaian bahan
bakar tersebut, indeks performa dimodelkan:
∫
(3.3)
Untuk beberapa sistem kontrol, dapat dituliskan:
∫ ∑
(3.4)
dimana adalah matriks definit positif (PD).
(2). Masalah Kontrol Optimal 2: (sistem kontrol untuk waktu-optimal)
Tugas/proses yang akan dikerjakan biasanya dalam bentuk persamaan tambahan
dengan kondisi batas/boundary tertentu dari sistem persamaan keadaan. Sebagai
47
contoh, kita mau memindahkan/transfer dari keadaan ( ) dari kondisi keadaan awal
menuju keadaan akhir tertentu di pada waktu tertentu , atau
pada kemungkinan minimum .
NB: Seringkali, tugas/proses yang dikerjakan secara implisit/tak langsung dapat diukur
berdasarkan kriteria kinerjanya.
Pemodelan matematis indeks performa waktu minimum untuk selang dari waktu
awal dan waktu akhir dapat dituliskan:
∫
(3.5)
Contoh:
Kriteria kinerja lain yang lazim digunakan yaitu waktu minimum, dimana kita
mencari sinyal kontrol yang menghasilkan trayektori tercepat untuk mencapai
keadaan/state akhir yang diinginkan:
Untuk kasus ini, kriteria kinerjanya yang akan meminimumkan dapat diekpresikan
secara sederhana dalam bentuk matematis yakni:
(3.6)
(3). Masalah Kontrol Optimal 3: (sistem kontrol kondisi akhir/terminal)
Untuk masalah sasaran kondisi akhir, kita tertarik untuk meminimumkan error
antara posisi target yang diinginkan dengan target aktual,
48
Kriteria kinerja lainnya adalah final error (selisih akhir) pencapaian keadaan/ state
akhir yang diinginkan dalam waktu yang telah ditentukan atau yaitu :
( ) (3.7)
merupakan fungsi cost terminal, dimana adalah matrik semi-definit positif (PSD).
(4). Masalah Kontrol Optimal 4: (sistem kontrol untuk energi minimum)
(a). Kriteria kinerja lainnya yaitu meminimumkan luasan/area di bawah ‖ ‖
sebagai cara menentukan sinyal-sinyal kontrol yang akan menghasilkan transien
keseluruhan yang kecil dalam trayektori yang dihasilkan mulai dari state awal,
hingga mencapai state akhir, .
Contoh:
Untuk meminimumkan error kuadratik pada sistem tracking, indeks performa
dapat dimodelkan:
∫
(3.8)
atau
∫ ∑
(3.9)
Dimana adalah matriks bobot, dengan nilai semi-definit positif.
49
(b). Bisa juga kemungkinan kriteria kinerjanya yaitu untuk meminimumkan luasan di
bawah ‖ ‖ , sebagai cara memilih sinyal kontrol dengan usaha
pengendalian/control effort yang minimum. Untuk kasus ini sama dengan
sistem kontrol fuel-optimal.
(5). Masalah Kontrol Optimal 5: (bentuk umum sistem kontrol optimal)
Dengan mengkombinasikan formulasi di atas, bentuk general/umum dari indeks
performa untuk sistem linier dapat dimodelkan berikut:
( ) ( ) ∫ [ ]
(3.10)
atau secara umum untuk sistem nonlinier dan linier, , indeks
performanya menjadi:
( ( ) ) ∫
(3.11)
dimana matriks definit positif, dan adalah matriks semi-definit positif.
Bentuk indeks performa tersebut disebut bentuk kuadratik (dinyatakan dalam variabel
keadaan dan sinyal kontrol).
50
Plant/proses Batasan/constraints
Sistem Kontrol Optimal
Fungsi cost/indeks perfoma
(a) Minimum (b) Maksimum
Gambar 2.1. Masalah Kontrol Optimal
3.3. Variasi Kalkulus dan Kontrol Optimal
Variasi kalkulus berkaitan dengan mencari nilai optimum (maksimum/ minimum)
dari suatu fungsional. Teori ini diawali tahun 1696, setelah penemuan fundamental oleh
L. Euler (1709-1783) dikenal dengan bapak penemu variasi kalkulus, teori ini digunakan
umum di bidang disiplin ilmu matematika.
3.3.1. Fungsi dan Fungsional
Fungsi: Variabel terikat merupakan suatu fungsi dari variabel bebas , ditulis
, jika setiap nilai pada selang tertentu mempengaruhi nilai .
Contoh: ;
Fungsional: Suatu variabel merupakan suatu fungsional yang tergantung pada
fungsi , ditulis ( ), jika setiap fungsi , berkaitan dengan nilai .
Dengan kata lain, fungsional terdiri dari beberapa fungsi terkait, yaitu “fungsi
dari suatu fungsi”.
Contoh: Diberikan fungsi . Lalu
( ) ∫
∫
]
adalah luasan di bawah kurva . Jika adalah kecepatan suatu kendaraan,
lalu
( ) ∫
51
adalah jalur yang dilewati oleh kendaraan tsb. Jadi, disini dan fungsi
dari , dan adalah fungsional dari dan .
Perubahan naik/increment fungsi:
Contoh: Misalkan cari perubahan naik dari fungsi tsb.
Perubahan naik fungsional: ( ) ( ) ( )
Dimana adalah variasi dari fungsi .
Contoh: Misalkan diberikan suatu fungsional
∫ [ ]
cari perubahan naik dari fungsi tsb.
( ) ( )
∫ * ( ) +
∫ [ ]
∫ * ( ) +
Kondisi Optimum dari Fungsi:
Suatu fungsi dikatakan memiliki nilai optimum relatif di titik jika ada
parameter dengan nilai positif sehingga untuk seluruh titik pada domain yang
memenuhi , penambahan nilai memiliki tanda yang sama (positif atau
negatif).
(a) dimana adalah lokal minimum relatif
(b) dimana adalah lokal maksimum relatif
52
Gambar 2.2. (a) Kondisi Minimum Fungsi (b) Kondisi Maksimum Fungsi
Syarat kondisi perlu di titik optimum relatif:
Syarat kondisi cukup di titik optimum relatif:
1. Untuk minimum, turunan kedua dari fungsi
2. Untuk maksimum, turunan kedua dari fungsi
3. Jika , disebut titik stasioner
Kondisi Optimum dari Fungsional:
Suatu fungsional dikatakan memiliki nilai optimum relatif di titik jika ada
parameter dengan nilai positif sehingga untuk seluruh fungsi pada domain dimana
memenuhi , penambahan nilai memiliki tanda yang sama (positif atau
negatif).
53
(a) dimana adalah lokal minimum relatif
(b) dimana adalah lokal maksimum relatif
Untuk , nilai adalah nilai optimum absolut global.
Teorema: Jika merupakan kandidat nilai optimum, variasi pertama akan bernilai
nol pada , yaitu ( ) untuk semua nilai yang memenuhi
Syarat kondisi perlu. Syarat kondisi cukup di titik optimum:
1. Untuk minimum, variasi kedua dari fungsional
2. Untuk maksimum, variasi kedua dari fungsional
Contoh soal:
1. Cari nilai minimum dari indeks performansi berikut:
∫ [ ]
Dengan kondisi batas
;
Dengan subjek kondisi (persamaan dinamika sistem/plant):
Solusi:
Tujuan utama yaitu mengeliminasi antara indeks performansi dan plant untuk
memperoleh fungsional
∫ * ( ) +
∫ [ ]
Dengan menggunakan metode Euler-Lagrange:
(
)
(
)
Dimana
Diperoleh
( )
Dengan menyederhanakan persamaan di atas
Solusi persamaan diferensial orde-2 di atas adalah
√ √ dimana konstanta dan diperoleh dari kondisi batas
pada soal, diperoleh √ ; √ , diperoleh:
√ √ √ √ √ √
54
Syntax Matlab:
2. Cari nilai optimum dari
∫ [ ]
Yang memenuhi kondisi batas dan
Solusi:
Misalkan , dengan Euler-Lagrange diperoleh persamaan
(
)
(
)
( )
Dengan memecahkan persamaan diferensial di atas diperoleh:
Dimana dan merupakan konstanta integrasi. Dengan kondisi batas pada soal
didapatkan
Solusi akhir:
Syntax Matlab:
x = dsolve('D2x-2*x=0','x(0)=1,x(1)=0')
x =
exp(2*2^(1/2))/(exp(2^(1/2)*t)*(exp(2*2^(1/2)) - 1)) -
exp(2^(1/2)*t)/(exp(2*2^(1/2)) - 1)
u = diff(x) + x
u = simplify(u)
-(exp(2^(1/2)*t) - exp(2*2^(1/2) - 2^(1/2)*t) +
2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t) + 2^(1/2)*exp(2*2^(1/2) -
2^(1/2)*t))/(exp(2*2^(1/2)) - 1)
x = dsolve('D2x-t=0','x(0)=1,x(2)=5')
x =
t^3/6 + (4*t)/3 + 1
55
Ringkasan prosedur Prinsip Pontryagin:
56
Gambar 2.3. Jenis sistem: (a). Fixed-Final Time and Fixed-Final State System; (b). Free-Final Time and Fixed-Final State; (c). Fixed-Final Time and Free-Final State System; (d). Free-Final Time and Free-Final State System
Contoh 3:
Diberikan sistem orde-dua (dengan double integrator) seperti berikut:
Dengan indeks performansi berikut:
∫
Cari kontrol optimal dan keadaan/state optimal, diberikan kondisi batas (awal dan akhir)
sebagai berikut:
[ ] [ ]
(diasumsikan kontrol dan state-nya unconstrained)
Solusi:
Misalkan
57
( )
[ ]
Langkah 1: Fungsi hamiltonian
( ) ( ) ( )
Langkah 2: Cari bentuk sinyal kontrol
Langkah 3: Dengan hasil langkah 1 dan 2, cari nilai optimal dari
(
)
Langkah 4: Cari persamaan state dan costate
(
)
(
)
(
)
(
)
Dari persamaan sebelumnya, diperoleh state optimal dan costate optimal sbb.
Dari kondisi awal diperoleh konstanta sehingga:
58
Langkah 5: Cari kontrol optimal
Gambar 2.4. Diagram Blok State Kontroler Optimal
3.4. Latihan Soal
1. Cari contoh permasalahan kontrol yang menggunakan metoda kontrol optimal!
2. SImulasikan permasalahan kontrol pada soal no 1 menggunakan software
MATLAB!
59
BAB 4
KONTROL OPTIMAL LQR (Linear Quadratic
Regulator)
60
BAB 4 Kontrol Optimal LQR (Linear Quadratic Regulator)
Tujuan dari penjelasan pada bab 4 ini adalah untuk memberi pengenalan awal kepada
mahasiswa tentang teori dasar kontrol optimal. Bagaimana prosedur yang dilakukan
dalam melakukan perancangan sistem kontrol yang optimal.
4.1. Formulasi Masalah
Untuk sistem linier varian-waktu/linear time-varying (LTV):
(4.1)
Dimana fungsional cost atau indeks performansi dinyatakan sebagai berikut:
(4.2)
Keterangan:
: vektor state/keadaan
: vektor output/keluaran
: vektor referensi input atau output yang diinginkan
: vektor sinyal kontrol
: matriks bobot error
: matriks bobot kontrol
: matriks bobot cost akhir
Kategori sistem:
a. Jika tujuan pengendalian yaitu agar state, mendekati nol, (saat
dan ), disebut sistem regulator state dengan memberikan sinyal kontrol
dimana akan membawa plant dari nonzero state /tidak nol menuju zero
state.
b. Jika tujuan pengendalian yaitu agar output, mendekati nol, (saat ),
disebut sistem regulator output.
c. Jika tujuan pengendalian yaitu agar output atau state mendekati output atau
state yang diinginkan, disebut sistem tracking. Baik sistem regulator output
61
maupun state, referensi state adalah nol dan pada sistem tracking, error dibuat
nol.
4.2. LQR untuk waktu-terbatas (finite-time)
Cost fungsional:
(4.3)
Misal untuk sistem regulator state, .
Asumsi dari indeks performansi di atas:
a. Sinyal kontrol adalah unconstrained/tidak ada batasan berapapun nilainya
(tetapi untuk sistem fisik kondisi nyata, ada limit sinyal kontrol).
b. Diberikan kondisi awal . Waktu akhir spesifik.
c. Matriks bobot dan adalah matriks semidefinit positif ( ,
, sementara matriks bobot adalah matriks definit positif
( .
d. Nilai pecahan pada indeks performansi untuk menghilangkan faktor 2 dari
bentuk kuadratik.
Solusi: (prosedur Pontryagin)
STEP 1: Hamiltonian
Hamiltonian formula:
62
(4.4)
dimana adalah vektor costate.
STEP 2: Kontrol optimal
Mencari sinyal kontrol optimal, .
(4.5)
dimana
Sehingga diperoleh:
(4.6)
STEP 3: Sistem State dan Costate
State:
Costate:
(4.7)
Sistem kanonik (terdiri dari state dan costate)/sistem Hamiltonian:
(4.8)
Dimana .
STEP 4: Kontrol optimal lup tertutup
Sinyal kontrol:
(4.9)
STEP 5: Matriks Persamaan Diferensial Riccati
Bentuk persamaan diferensial Riccati:
(4.10)
63
Bentuk umum:
(4.11)
dimana
Gambar 4.1. Sistem State dan Costate
Ringkasan prosedur Sistem LQR untuk sistem linier varian-waktu:
64
Gambar 4.2. Implementasi Kontrol Optimal Lup Tertutup (simulasi off-line )
Ringkasan prosedur Sistem LQR untuk sistem tracking:
65
Gambar 4.3. Implementasi sistem tracking optimal
4.3. Contoh LQR waktu-kontinyu Contoh 1: LQR untuk sistem tracking
Sistem plant orde-dua:
Sistem dinamik di atas akan dikontrol untuk meminimumkan indeks performansi
berikut:
Diketahui waktu akhir adalah 20, state akhir ( ) bebas dan sinyal kontrol dan state-
nya tidak ada batasan. Tujuan dari kontrol yaitu untuk menjaga state mendekati
nilai 1.
Cari sinyal kontrol umpan baliknya. Gambar grafik dari koefisien Riccati tiap waktu,
komponen vektor , dan kontrol dan state optimalnya.
Solusi:
66
Tujuan dari pengendalian sesuai indeks performansi yaitu untuk menjaga state
mendekati nilai referensi input , sementara kondisi state tidak diketahui,
kita tentukan .
Sekarang, untuk kasus ini, , dimana
Matriks yang bersesuaian:
Solusi Riccati:
Dari persamaan di atas diperoleh:
Dengan menyederhanakan persamaan di atas:
Diperoleh solusi matriks Riccati:
Selanjutnya menentukan , yaitu solusi persamaan diferensial nonhomogen:
67
Dengan menyederhanakan persamaan di atas diperoleh:
NB: untuk tuning sistem tracking, dapat dilakukan dengan mengubah matriks sehingga
diperoleh tracking state yang lebih baik.
Gambar 4.4. Koefisien Riccati
68
Gambar 4.5. Koefisien dan
Gambar 4.6. State Optimal (kondisi awal [ ], [ ], dan
.
69
Gambar 4.7. Sinyal kontrol optimal
Contoh 2:
Diberikan persamaan dinamik sistem sebagai berikut:
Dan indeks performansi sebagai berikut
Tentukan sinyal kontrol umpan baliknya.
Solusi:
Dari persamaan di atas dapat dibangun matriks:
matriks solusi persamaan Riccati adalah berukuran 2x2 matriks simetrik:
70
Sehingga bentuk matriks sinyal kontrol optimal yaitu:
Selanjutnya mencari solusi Riccati, :
Dengan ruas kiri , diperoleh:
Sehingga didapatkan solusi Riccati sebagai berikut:
4.4. Sistem Kontrol Optimal Waktu-Diskrit Untuk sistem waktu-diskrit, hampir sama dengan waktu-kontinyu, menggunakan variasi
kalkulus untuk sistem waktu-diskrit.
Diberikan sistem kontrol waktu-diskrit linier varian-waktu
(4.12)
Dan indeks performansi sebagai berikut:
(4.13)
Misalkan diberikan kondisi awal sebagai berikut:
71
Langkah 1: Indeks performansi augmented, , (tambahan Lagrange multiplier)
(4.14)
Langkah 2: Lagrangian
(4.15)
Langkah 3: Persamaan Euler-Lagrange (dari variabel , , dan )
(4.16)
Dimasukkan untuk kondisi akhir sehingga menjadi:
(4.17)
dimana
Langkah 4: Hamiltonian
72
(4.18)
Kondisi ekstremum Hamiltonian:
(4.19)
Bentuk persamaan state, costate, dan sinyal kontrol optimum sebagai berikut:
(4.20)
Langkah 5: Kontrol Optimal Lup-Terbuka
Sinyal kontrol optimal:
(4.21)
Sinyal kontrol tersebut disubstitusi ke dalam persamaan state (langkah 4) menghasilkan:
(4.22)
dimana
Langkah 6: Sistem state dan costate
Bentuk kanonik sistem (state dan costate):
(4.23)
4.5. Sistem state-akhir fixed dan kontrol optimal lup-terbuka
Diberikan state akhir:
73
Prosedur ringkasan sistem kontrol optimal waktu-diskrit (kondisi titik akhir fixed)
Gambar 4.8. Sistem State dan Costate Sistem state-akhir fixed dan kontrol optimal lup-
terbuka
74
Contoh:
Cari nilai minimum indeks performansi:
Dengan subjek kondisi batas
Untuk sistem skalar dengan persamaan dinamik berikut:
Solusi:
Bangun matriks yang bersesuaian:
Langkah 1: Bangun fungsi Pontryagin
Langkah 2: Cari nilai minimum dari fungsi
Langkah 3: Dari hasil sebelumnya, bengun fungsi optimal
Langkah 4: Cari persamaan diferensial state dan costate
Persamaan diferensial state:
Persamaan diferensial costate:
Diperoleh solusi optimal:
Langkah 5: Cari sinyal kontrol optimal
75
4.6. Permasalahan tracking pada LQR
Permasalahan tracking dengan kontrol LQR bertujuan untuk membangkitkan aksi
kontrol yang mengendalikan plant/sistem sehingga vektor keadaan mengikuti
trayektori keadaan yang diinginkan, sekaligus meminimalkan indeks performansi
kuadratik :
∫ [ ]
(4.24)
Aljabar Riccati yang digunakan untuk desain kontrol LQR dikombinasikan dengan
persamaan tracking keadaan waktu reverse sebagai berikut:
(4.25)
dimana adalah vektor tracking dengan batasan ( ) , dan aksi kontrol:
(4.26)
Jika dan maka dan sistem
tracking optimal tersebut dapat dilihat pada Gambar 3.9.
Adapun untuk permasalahan tracking waktu diskrit pada kontrol LQR, indeks
performansinya sebagai berikut:
∑ [ ] (4.27)
Gambar 4.9. Sistem tracking optimal
Minimasi indeks performansi tersebut menghasilkan persamaan Riccati rekursif
( ) [ ] dan
( ) [ ] [
] [ ] ,
yang dijalankan secara reverse time bersamaan dengan persamaan tracking keadaan
time-reverse pada sistem diskrit
76
( ) (4.28)
Vektor commmand dan kontrol optimal saat jika dioperasikan secara maju
(forward time), adalah
(4.29)
dan nilai dari (4.30)
(4.31)
Contoh :
Suatu sistem kontrol LQR pada permasalahan tracking, mengacu pada gambar 3.9
diatas, sebagai berikut
[
] *
+ *
+ *
+
*
+ *
+
Indeks perfomansi diskritnya,
∑ [( )( ) *
+ [
]
]
Sistem diinginkan mengikut vektor keadaan:
[
] [
] selama periode 0-20 detik dengan waktu cuplik
detik
Solusi:
Pada perhitungan waktu mundur (reverse-time), dengan dan ,
kalkulasi dan menggunakan Riccati rekursi. Juga hitung
menggunakan dengan kondisi
Pada perhitungan waktu maju (forward-time), kalkulasi dan trayektori keadaan
menggunakan dan
77
4.7. Latihan Soal
1. Buatlah Desain kontrol LQR dengan menggunakan simulasi MATLAB
Menggunakan persamaan state space berikut:
[
] *
+ *
+ *
+
[ ] *
+
Tentukan persamaan indeks performansi yang anda gunakan !
78
79
BAB 5
KONTROL OPTIMAL LQE (Kalman Filter)
80
BAB 5 Kontrol Optimal LQE (Linear Quadratic Estimator)
Desain kontrol menggunakan metoda LQR ternyata sulit untuk direalisasikan. Hal ini
dikarenakan, metoda LQR memerlukan semua varibel state harus terukur untuk
digunankan sebagai state feedbacknya. Instalasi untuk sensor dan instrument untuk
mengukur semua state pada sistem tentulah membuat biaya menjadi lebih mahal,
bahkan terkadang ada beberapa state yang tidak mungkin untuk diukur.
Dalam Bab ini akan dipelajari bagaimana menentukan kontroler atau matriks penguatan
K tanpa harus mengukur semua variable state-nya. Feedback yang digunakan dalam
sistem nantinya berasal hanya dari output yang dapat terukur saja, sedangkan sisa
variable yang tidak terukur perlu untuk direkonstruksi dengan cara antara lain dengan
menggunakan observer atau estimator. Estimator yang optimal dikenal dengan nama
Kalman Filter.
5.1. Review: Proses Random
Diberikan variabel akan dipetakan dalam selang ruang sampel dan merupakan
bilangan riil. Proses acak (proses stokastik) merupakan pemetaan dari ruang sampel ke
fungsi waktu yang bersesuaian (fungsi sampel). Untuk setiap anggota dari ruang sampel,
ada nilai dari fungsi waktu sampel yang bersesuaian.
Gambar 4.1. Pemetaan ruang sampel ke fungsi waktu sampel
Misalkan adalah fungsi kerapatan probabitas untuk proses random . Jika
fungsi kerapatan probabitas tersebut bebas waktu, , maka proses random
yang bersesuaian dikatakan stasioner.
Mean (atau harapan rata-rata):
81
(5.1)
Varian
(5.2) Kovarian
(5.3)
Momen
(5.4) Jika dan merupakan dua proses random yang saling bebas/independen maka:
(5.5)
adalah gabungan fungsi kerapatan probabilitas dan .
Fungsi Autokorelasi
Digunakan untuk mendeskripsikan domain waktu pada proses random.
(5.6)
Jika adalah proses stasioner, maka:
(5.7)
Untuk merupakan waktu rata-rata energi/daya pada proses random.
Spektrum Daya
Merupakan deret Transformasi Fourier dari fungsi autokorelasi, dalam domain
frekuensi, untuk proses random.
(5.8)
White Noise (merupakan proses random dengan spektrum daya konstan, dan memiliki
fungsi autokorelasi , dimana implikasi white noise mempunyai daya tak
hingga dan tidak ada (exist) di kondisi riil. Namun white noise dapat dimodelkan sebagai
output dari sistem linier dengan injeksi white noise pada masukannya, menghasilkan
color noise.
82
Proses Gaussian
Normalisasi fungsi dalam gaussian dengan fungsi kerapatan probabilitas:
(5.9)
5.2. Observer/ Estimator
Misalkan suatu sistem mempunyai model state space sebagai berikut:
(5-10)
(5-12)
Beberapa variable state x pada model di persamaan (5-1) dan (5-2) ada yang tidak dapat
diakses. Kita hanya mempunyai sensor output saja. Namun dari output yang diukur
ternyata kita masih dapat merekonstruksi variable stae yang tidak dapat diakses
tersebut, yaitu dengan cara menhubungkan estimator ke sistem tersebut.
Sistem estimator mempunyai persamaan sebagai berikut:
{ } (5-13)
Gambar 4.2. Estimator
Persamaan (5-3) menyatakan sistem dari estimator dengan input dari estimator adalah
sinyal y (hasil pengukuran) dan sinyal u. Nilai dari { } didefinisikan sebagai
error pengukuran. Error pengukuran akan memberikan koreksi secara aktif dan
secepatnya ketiaka nilainya tidak sama dengan nol. Selanjutnya didefinisikan error
estimasi sebagai berikut:
(5-14)
Diferensial dari persamaan (5-4) kemudian disubstitusi dari persamaan (5-3) akan
menghasilkan persamaan (5-5) berikut:
{ } (5-15)
K pada persamaan (5-4) dan persamaan (5-3) adalah matriks penguatan yang mana jika
sistemnya diketahui terdeteksi (Detectable) maka akan selalu ada nilai K yang membuat
error estimasi saat atau dengan kata lain (konvergen)
saat .
83
5.3. Kalman Filter
Misalkan kita tambahkan estimator pada persamaan (5-3)
{ }
ke sistem yang mempunyai derau dan gangguan (Noise and Disturbance) sebagai
berikut:
5-16)
(5-17)
Diferensial dari akan menghasilkan persamaan diferensial error
sebagai berikut:
{ } (5-18)
Dengan adanya suku (noise) pada persamaan (5-8) menyebabkan
error esitimasi tidak lagi menuju nol bahkan jika sistem dari error stabil. Misalkan sistem
error nya stabil maka akan ada nilai error covariance matrix sebagai berikut
[ ] (5-19)
Nilai error covariance matrix tersebut akan bernilai konstan saat kondisi steady state
dan akan bernilai minimum jika mengikuti persaaman linear matriks berikut ini pada
persamaan (5-10)
(5-20)
Persamaan (5-10) disebut juga dengan persamaan Lyapunov. Solusi dari persamaan (5-
10) yang membuat error covariance matriks minimum adalah sebagai berikut:
(5-21)
Substitusi persaaman (5-11) ke persamaan (5-10) akan menghasilkan persamaan yang
dikenal dengan persamaan Riccati bentuk lain yang ditunjukkan pada persamaan (5-12)
berikut ini:
( 5-22)
Sekali lagi nilai K yang digunakan untuk membuat agar [ ] error covariance
matriks nya minimum (optimal) yang digunakan pada estimator
{ } dikenal dengan nama Kalman Filter.
Contoh Simulasi dengan MATLAB :
%% Kalman Filter Design % This demo demonstrates MATLAB(R) ability to perform Kalman filtering. % Both a steady state filter and a time varying filter are designed % and simulated below. % Copyright 1986-2011 The MathWorks, Inc. % $Revision: 1.15.4.5 $ $Date: 2011/08/17 20:25:06 $
84
%% Problem Description % Given the following discrete plant % % $$ x(n+1) = Ax(n) + Bu(n) $$ % % $$ y(n) = Cx(n) + Du(n) $$ % where A = [1.1269 -0.4940 0.1129, 1.0000 0 0, 0 1.0000 0]; B = [-0.3832 0.5919 0.5191]; C = [1 0 0]; D = 0; % design a Kalman filter to estimate the output y based on the % noisy measurements yv[n] = C x[n] + v[n] % %% Steady-State Kalman Filter Design % You can use the function KALMAN to design a steady-state Kalman filter. % This function determines the optimal % steady-state filter gain M based on the process noise % covariance Q and the sensor noise covariance R. % % First specify the plant + noise model. % CAUTION: set the sample time to -1 to mark the plant as discrete. Plant = ss(A,[B B],C,0,-1,'inputname',{'u' 'w'},'outputname','y'); %% % Specify the process noise covariance (Q): Q = 2.3; % A number greater than zero %% % Specify the sensor noise covariance (R): R = 1; % A number greater than zero %% % Now design the steady-state Kalman filter with the equations % % Time update: x[n+1|n] = Ax[n|n-1] + Bu[n] % % Measurement update: x[n|n] = x[n|n-1] + M (yv[n] - Cx[n|n-1])
85
% % where M = optimal innovation gain % using the KALMAN command: [kalmf,L,~,M,Z] = kalman(Plant,Q,R); %% % The first output of the Kalman filter KALMF is the plant % output estimate y_e = Cx[n|n], and the remaining outputs % are the state estimates. Keep only the first output y_e: kalmf = kalmf(1,:); M, % innovation gain %% % To see how this filter works, generate some data and % compare the filtered response with the true plant response: %% % To simulate the system above, you can generate the response of % each part separately or generate both together. To % simulate each separately, first use LSIM with the plant % and then with the filter. The following example simulates both together. % First, build a complete plant model with u,w,v as inputs and % y and yv as outputs: a = A; b = [B B 0*B]; c = [C;C]; d = [0 0 0;0 0 1]; P = ss(a,b,c,d,-1,'inputname',{'u' 'w' 'v'},'outputname',{'y' 'yv'}); %% % Next, connect the plant model and the Kalman filter in parallel % by specifying u as a shared input: sys = parallel(P,kalmf,1,1,[],[]); %% % Finally, connect the plant output yv to the filter input yv. % Note: yv is the 4th input of SYS and also its 2nd output: SimModel = feedback(sys,1,4,2,1); SimModel = SimModel([1 3],[1 2 3]); % Delete yv form I/O %% % The resulting simulation model has w,v,u as inputs and y,y_e as % outputs: SimModel.inputname
86
%% SimModel.outputname %% % You are now ready to simulate the filter behavior. % Generate a sinusoidal input vector (known): t = (0:100)'; u = sin(t/5); % Generate process noise and sensor noise vectors: rng(10,'twister'); w = sqrt(Q)*randn(length(t),1); v = sqrt(R)*randn(length(t),1); %% % Now simulate the response using LSIM: clf; out = lsim(SimModel,[w,v,u]); y = out(:,1); % true response ye = out(:,2); % filtered response yv = y + v; % measured response %% % Compare the true response with the filtered response: clf subplot(211), plot(t,y,'b',t,ye,'r--'), xlabel('No. of samples'), ylabel('Output') title('Kalman filter response') subplot(212), plot(t,y-yv,'g',t,y-ye,'r--'), xlabel('No. of samples'), ylabel('Error') MeasErr = y-yv; MeasErrCov = sum(MeasErr.*MeasErr)/length(MeasErr); EstErr = y-ye; EstErrCov = sum(EstErr.*EstErr)/length(EstErr); % Covariance of error before filtering (measurement error): MeasErrCov % Covariance of error after filtering (estimation error): EstErrCov
87
Gambar 4.3. Hasil Plot Keluaran Kalman Filter (merah hasil estimasi
kalman filter, biru y output pengukuran ) Plot error (merah
error estimasi pengukuran y-ye, hijau error tanpa kalman
filter y-yv)
5.4. Model LQE/kalman Filter
Untuk sistem linier invarian-waktu (LTI) sebagai berikut:
(5-23)
Dengan asumsi:
1) ( ) adalah matriks observable/keteramatan.
2) dan adalah white noise bebas dengan bentuk fungsi
3) (
) adalah matriks stabilizable (untuk menjamin kestabilan lup-tertutup)
Tujuan pengendalian dengan Filter Kalman yaitu mendesain estimator dari state
sehingga estimasi error kovarian-nya akan minimum.
Indeks performansi estimator dimodelkan sebagai berikut:
(5-24)
Rekonstruksi/perancangan Filter Kalman untuk kondisi tunak/steady-state
Diberikan persamaan dinamik estimator, dengan penguatan (gain) observer/Penguatan
Filter Kalman, :
88
(5-22)
Solusi penguatan Filter Kalman optimal yaitu:
(5-23)
dimana adalah solusi dari persamaan Riccati berikut:
(5-24)
Misalkan error state dan estimator , , untuk keadaan tunak berlaku:
(5-25)
5.5. Dualitas Kalman Filter dan LQR (Linear Quadratic Regulator)
Diberikan masalah kontrol optimal dengan LQR sebagai berikut:
(5-26)
Masalah kontrol LQR yaitu mencari sinyal kontrol umpan balik optimal:
(5-27)
Sehingga indeks performasi minimum.
Solusi LQR untuk sistem di atas yaitu:
(5-28)
Dan nilai cost optimal .
(Kasus khusus) jika adalah vektor random dimana
(5-29)
sehingga diperoleh
(5.30)
Berlaku dualitas Filter Kalman vs LQR
89
Kedua masalah kontrol di atas ekivalen (dual) jika:
5.6. Latihan Soal
1. Jelaskan prosedur dan cara kerja dari hasil simulasi pada contoh !
2. Diketahui matriks A, B, C, D sebagai berikut:
A = [1.1269 -0.4940 0.1129,
1.0000 0 0,
0 1.0000 0];
B = [-0.3832
0.5919
0.5191];
C = [1 0 0]; D = 0;
Dengan Intensitas matriks Q dan R adalah sebagai berikut
%Specify the process noise covariance (Q):
Q = 2.3; % A number greater than zero
%Specify the sensor noise covariance (R):
R = 1; % A number greater than zero
Simulasikan sistem ini menggunakan kalman filter !
90
91
BAB 6
KONTROL OPTIMAL LQG
92
BAB 6 Kontrol Optimal LQG (Linear Quadratic Gaussian)
Sebelumnya telah dipelajari bagaimana merekonstruksi variable state yang tidak terukur
dengan cara menggunakan metoda estimator optimal atau kalman filter. Selanjutnya
akan dibahas mengenai motode untuk mencari kontroler berbasis LQR namun sebagai
pengganti full state feedbacknya digunakanlah kalman filter untuk merekonstruksi
sebagian variable state yang tidak terukur secara optimal. Metoda gabungan antara LQR
dan LQE atau Kalman filter ini dikenal dengan nama LQG (Linear Quadratic Gaussian).
Masalah desain kontrol dalam dunia riil seringkali kita tidak dapat mengukur seluruh
variabel state dari plant yang diberikan. Maka dari itu, LQR, meskipun mempunyain
margin penguatan dan margin fasa yang sangat bagus ( dan ), namun
sulit direalisasikan karena menggunakan semua variabel state sebagai umpan balik,
. Untuk situasi praktis, hanya informasi parsial dari state pada plant yang
diberikan dapat diakses/diukur untuk umpan balik. Muncul pertanyaan:
“Dapatkah kita mengestimasi variabel state dari plant melalui informasi pengukuran
parsial?” Jawaban: ya, dengan Filter Kalman. Lalu selanjutnya “Apakah kita dapat
mengganti state pada sinyal kontrol optimal, , diganti dengan state estimasi
untuk membangun/mendesain sistem kontrol yang optimal?” Jawaban: ya, dengan LQG.
“Apakah masih ada metode impresif lainnya terkait dengan LQG? Jawaban: tidak. Solusi
pendekatan lain yaitu dengan loop transfer recovery (LTR), tidak tercakup di dalam bab ini
6.1. Desain LQG (Linear Quadratic Gaussian)
Diberikan karakteristik plant;
(6-1)
Dimana mean/rata-rata dari dan adalah nol (white signal), dan diasumsikan
, , dan saling bebas/independen, sehingga berlaku
Indeks performansi dimodelkan sebagai berikut;
(6.2)
Tujuan pengendalian LQG yaitu untuk mendesain sinyal kontrol dengan hanya berasal
dari informasi yang dapat diukur sehingga ketika dimasukkan ke plant sebagai input,
sistem keseluruhan akan stabil dan indeks performansi akan minimum.
Solusi Masalah LQG (dengan Prinsip Separasi/Pemisahan):
Langkah 1: Desain sinyal kontrol LQR,
Diberikan sistem sebagai berikut;
(6.4)
Lakukan komputasi/perhitungan untuk mencari solusi persamaan Riccati;
93
(6.5)
Langkah 2: Desain Filter Kalman sesuai dengan plant yang diberikan
(6.6)
Dimana
(6.7)
Langkah 3: Cari sinyal kontrol LQG,
(6.8)
Representasi dalam diagram blok:
Gambar 5.1. Diagram blok implementasi sinyal kontrol LQG
Gambar 5.2. Diagram blok implementasi sinyal kontrol LQG (detil)
6.2. Dinamika Sistem Lup-Tertutup Plant dengan Pengendali LQG
Diberikan persamaan dinamik plant:
(6.9)
Persamaan dinamik kontroler/pengendali:
(6.10)
Misal didefinisikan variabel baru, error state dan estimator, sehingga:
94
(6.11)
Dan persamaan plant dengan tambahan variabel :
(6.12)
Persamaan sistem lup-tertutup yang baru menjadi:
(6.13)
Akar-akar persamaan karakteristik lup tertutup diberikan dari nilai eigen:
(6.14)
dimana menentukan kestabilan sistem.
Sistem yang dikendalikan dengan metoda LQG selalu dianggap linear dan modelnya
diketahui. Model pada sistem ini selalu mengikutsertakan noise pengukuran dan
gangguan atau process noise (disturbance) . Sinyal noise dan disturbance inipun perlu
diketahui karakteristik stokastiknya.
Misal diberikan model kendalian sebagai berikut:
(6-1)
(6-2)
Dari persamaan (6-1) dan persamaan (6-2) , v adalah gangguan atau process noise
(distubances) sedangkan w adalah noise pengukuran. Biasanya v dan w seringkali
diasumsikan tidak berkorelasi dan masing masing mempunyai zero mean Gaussian
stochastic dengan power spectral densitynya konstan. Nilai v dan w disebut juga sebagai
white noise dengan covariances
[ ] (6-3)
[ ] (6-4)
Dan persamaan (6-5) dan persamaan(6-6) menunjukan asumsi bahwa v dan w tidak
berkorelasi.
[ ] (6-5)
[ ] (6-6)
95
Permasalahan control pada LQG adalah sama dengan LQR yaitu mencari nilai K yang
membuat fungsi biaya atau index performansinya optimal.
Index performansi ditunjukkan pada persamaan (6-7 ) berikut:
,
∫ [ ]
- (6-7)
Mencari solusi dari masalah LQG, dikenal dengan menggunakan teorema pemisahan
(separation theorem).
Gambar 5.3. Separation Teorema
Langkah 1
Teorema ini cukup sederhana, pertama- tama kita tentukan control optimal dengan
menggunakan persamaan yang sama pada permasalahan di metoda LQR tanpa
memperhitungkan variable noise v dan w. Fungsi biaya dari metoda LQR adalah sebagai
berikut:
∫ [ ]
(6-8)
Dari persamaan (6-8) dapat diperoleh solusi yang membuat persamaan (6-
8) optimal. Sinyal control dapat ditentukan setelah diperoleh solusi dan sinyal
kontrolnya akan memiliki persamaan sebagai berikut:
(6-9)
Langkah 2
Setelah diperoleh nilai maka selanjutnya kita tentukan matriks penguatan yang
merupakan faktor koreksi pada kalman filter untuk proses rekonstruksi variable state .
Penentuan ditentukan dengan cara seperti pada Bab 5. Fungsi biayanya adalah
sebagai berikut:
[ ] (6-10)
96
Dari optimalisasi persamaan (6-10) diperoleh nilai yang membuat fungsi
biaya optimal.
Langkah 3
Hasil optimalisasi dari kedua fungsi biaya, kemudian digabungkan. Struktur kontrol dari
keseluruhan menjadi persamaan sistem sebagai berikut:
*
+ [
] (6-11)
Persamaan (6-11) akan memiliki pole yang sama dengan sistem kendalian , persamaan ini
diturunkan dari sistem keseluruhan dengan inputnya adalah y dan u dan keluarannya
adalah u.
Gambar 5.4. Diagram blok lengkap sistem dengan LQG kontroler.
Penurunan kontroler LQG lengkap diturunkan dari diagram blok pada gambar 6.4.
97
Contoh Simulasi dengan MATLAB :
Diketahui diagram blok sistem regulator LQG sebagai berikut:
Intensitas Noise diberikan sebagai berikut:
[ ]
Fungsi biaya yang digunakan adalah sebagai berikut:
∫
Persamaan state space-nya adalah sebagai berikut
Matriks A, B, C, ditentukan dari fungsi alih sistem melalui koding berikut:
sys = ss(tf(100,[1 1 100])) % State-space plant model
% Design LQ-optimal gain K
K = lqry(sys,10,1) % u = -Kx minimizes J(u)
% Separate control input u and disturbance input d
P = sys(:,[1 1]);
% input [u;d], output y
% Design Kalman state estimator Kest.
Kest = kalman(P,1,0.01)
% Form LQG regulator = LQ gain + Kalman filter.
F = lqgreg(Kest,K) % Klq
% Close loop
98
clsys = feedback(sys,F,+1)
% Note positive feedback.
% Create the lowpass filter and add it in series with clsys.
s = tf('s');
lpf= 10/(s+10) ;
clsys_fin = lpf*clsys;
% Open- vs. closed-loop impulse responses
impulse(sys,'r--',clsys_fin,'b-')
Gambar 6.3 Hasil Plot antara sistem open loop dengan closed loop.
6.3. Latihan Soal
1. Tunjukan bahwa persamaan dinamika pada sistem closed loop sistem dengan
LQG kontroler pada gambar 6.2 adalah sebagai berikut:
* + [
] *
+ [
] * +
2. Tunjukkan pula bahwa:
[ ]
[ ] [ ]
0 2 4 6 8 10 12-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Impulse Response
Time (seconds)
Am
plitu
de
99
100
BAB 7
KONTROL ROBUST
101
BAB 7 Kontrol Robust
7.1. Pengenalan Kendali Kokoh
Masalah kontrol secara umum:
Tujuan Pengendalian yaitu untuk menghasilkan respon keluaran sistem sesuai dengan
referensi yang diinginkan.
Representasi dari dinamika plant tak tentu (uncertain)
Keterangan:
Nominal plant adalah sistem linier invarian waktu dalam domain frekuensi.
Perturbasi adalah set/kumpulan dari anggota gangguan-gangguan yang mungkin.
Tujuan analisis:
Performansi nominal (Kontrol optimal dengan ): apakah respons lup-tertutup
dapat diterima/sesuai dengan desain kontrol untuk kondisi melibatkan
disturbance, sensor noise, dan command?
Kestabilan Robust (Kontrol optimal dengan ): apakah sistem lup-tertutup stabil
untuk plant nominal? Dan juga untuk semua perturbasi pada sistem?
102
Performansi Robust (Kombinasi kontrol optimal ): apakah respons lup
tertutup dapat diterima untuk semua perturbasi yang mungkin dan semua input
eksternal? Secara simultan (berbarengan)?
Gambar 7.1 Desain masalah kontrol robust secara umum
Representasi diagam blok kontrol klasik dengan umpan balik dalam struktur interkoneksi
umum dalam blok kontrol robust:
Gambar 7.2 Blok diagram kontrol klasik
Gambar 7.3 Desain masalah kontrol robust (keluaran yaitu sinyal galat dan
masukan sistem adalah sinyal referensi input)
103
7.2. Kontrol Optimal dan
Masalah kontrol untuk sistem linier invarian-waktu, , dengan pengendali, (asumsi
sistem stabilizable dan detectable):
Gambar 7.4 Diagram umum masalah kontrol robust
Sistem dinamik plant:
(6.1)
Sistem dinamik pengendali/kontroler:
(6.2)
Keterangan:
Masalah kontrol optimal dan adalah untuk mendesain sinyal kontrol yang
tepat/proper sehingga ketika dimasukkan ke plant (dengan gangguan), diperoleh:
Sistem lup-tertutup stabil secara internal (kondisi perlu/necesarry untuk sembarang
desain sistem kontrol)
Fungsi alih lup-tertutup, dari gangguan terhadap controlled output , , dapat
sekecil mungkin, dengan kata lain pengaruh ganggunan terhadap keluaran yang
dikontrol akan minimum.
- Kontrol optimal : dari minimum.
- Kontrol optimal : dari minimum.
NB: fungsi alih memiliki frekuensi berkisar dari sampai . Cukup sulit mengatakan
pengaruh tersebut besar/kecil. Metode praktis adalah dengan mengukur nilai -nya,
yaitu dan .
Pertimbangkan suatu ruang keadaan sistem
104
{
(6.3)
dan kontrol
{
(6.4)
Maka dapat kita tuliskan
(6.5)
selanjutnya
(6.6)
dan
(6.7)
lebih lanjut
(6.8)
dan
(6.9)
Sehingga
(6.10)
Kemudian, fungsi alih closed loop w-z dituliskan:
(6.11)
Sistem closed loop akan stabil secara internal jika dan hanya jika nilai eigen dari
[
] (6.12)
Terletak di sebelah kiri bidang kompleks
Catatan Penting 1:
105
Pada kasus umpan balik keadaan (state feedback), C1=I dan D=0, yakni semua semua
state system terukur, dapat direduksi menjadi dan fungsi alih closed loop
dapat direduksi:
(6.13)
dan memiliki nilai eigen yang stabil
Norm-H2 suatu fungsi alih
Definisi: Untuk fungsi alih yang stabil dan sesuai, maka norm H2-nya didefinisikan:
(6.14)
Secara grafis
Gambar 7.5 Ilustrasi grafik luasan
Norm H2 merupakan energi keseluruhan berkaitan dengan tanggapan impuls dari ,
sehingga meminimalkan norm H2 suatu fungsi alih berarti meminimalkan energi
dari gangguan menuju output terkontrol .
Norm-H∞ suatu fungsi alih
Definisi: Untuk fungsi alih yang stabil dan sesuai, maka norm H∞-nya didefinisikan:
‖ ‖ (6.15)
Secara grafis
Gambar 7.6 Ilustrasi grafik luasan
106
Norm H∞ merupakan penguatan untuk kondisi terburuk dalam , sehingga
meminimalkan norm H∞ suatu fungsi alih berarti meminimalkan situasi
(penguatan) terburuk, dari gangguan menuju output terkontrol .
Infima dan Kontrol Optimal
Infimum norm-H2 suatu matriks alih closed loop yang secara keseluruhan
menstabilkan kontrol yang tepat, dituliskan:
(6.16)
Kontrol dikatakan sebagai kontrol optimal H2 jika secara internal menstabilkan dan
‖ ‖
Infimum norm-H∞ suatu matriks alih closed loop yang secara keseluruhan
menstabilkan kontrol yang tepat, dituliskan:
(6.17)
Kontrol dikatakan sebagai kontrol sub optimal- H∞ jika secara internal menstabilkan
dan ‖ ‖ .
Asumsi kritis: kasus regular dan kasus singular
Kebanyakan hasil kontrol H2 dan H∞ merupakan permasalahan regular karena sederhana.
Dikatakan regular jika memiliki kriteria sebagai berikut:
1. merupakan rank kolom maksimal, matrik yang tinggi dan rank penuh
2. Sub system (A,B,C2,D2) tidak memiliki zeros invariant pada sumbu imajiner
3. merupakan rank baris maksimal, matrik yang lebar dan rank penuh
4. Sub system (A,E,C1,D1) tidak memiliki zeros invariant pada sumbu imajiner
Dikatakan singular jika tidak memenuhi kriteria diatas, atau paling tidak satu kondisi
diatas dipenuhi
Contoh 1: Problem umpan balik keadaan (state feedback)
Pada kasus ini, semua state system diketahui
(A,B) dapat distabilkan, merupakan rank kolom maksimal, matrik yang tinggi dan rank
penuh
107
Aksi kontrol statis
Selesaikan aljabar riccati
Untuk , matrik semi definit positif
Maka
‖ ‖
Dan dapat juga dituliskan
[ ]
Jika sistem
Maka aljabar riccati dan kontrol nya:
*
+, [ ]
Tanggapan magnitude closed loop output terkontrol terhadap disturbance, digambarkan:
Kinerja optimal atau nilai infinum:
10-2
10-1
100
101
102
103
104
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Frekuensi (rad/s)
Magnitudo
Tzw
108
Syntax MATLAB:
Diperoleh hasil:
Untuk kasus umpan balik keluaran (output feedback) maka:
s = tf('s'); % variabel s, Laplace A = [5 2;3 4]; % matriks A B = [0;1]; % matriks B E = [1;2]; % matriks E C1 = 1; % matriks C1 C2 = [1 1]; % matriks C2 D2 = 1; % matriks D2 Ab = A-B*inv(D2'*D2)*D2'*C2; % matriks A augmented Bb = B*inv(D2'*D2)*B'; % matriks B augmented Cb = C2'*C2-C2'*D2*inv(D2'*D2)*D2'*C2; % matriks C augmented P = are(Ab,Bb,Cb) % solusi ricatti F = -inv(D2'*D2)*(D2'*C2+B'*P) % state feedback gamma2star = sqrt(trace(E'*P*E))% nilai H2 infimum Tzw = (C2+D2*F)*inv(s*eye(size(A))-A-B*F)*E; % Fungsi alih
closed-loop w ke z x = logspace(-2,4);semilogx(x,sigma(Tzw,x)); % plot grafik xlabel('Frekuensi (rad/s)');ylabel('Magnitudo');title('Tzw')
P =
144.0000 40.0000
40.0000 16.0000
F =
-41.0000 -17.0000
gamma2star =
19.1833
109
Diperoleh hasil sbb:
s = tf('s'); % variabel s, Laplace A = [5 2;3 4]; % matriks A B = [0;1]; % matriks B E = [1;2]; % matriks E C1 = [0 1]; % matriks C1 D1=1;%matriks D1 C2 = [1 1]; % matriks C2 D2 = 1; % matriks D2
Ab = A-B*inv(D2'*D2)*D2'*C2; % matriks A augmented Bb = B*inv(D2'*D2)*B'; % matriks B augmented Cb = C2'*C2-C2'*D2*inv(D2'*D2)*D2'*C2; % matriks C augmented P = are(Ab,Bb,Cb) % solusi ricatti untuk mencari P F = -inv(D2'*D2)*(D2'*C2+B'*P) % state feedback Ab1=A-E*D1'*inv(D2'*D2)*C1; Bb1=C1'*inv(D2'*D2)*C1 Cb1=E*E'-E*D1'*inv(D2'*D2)*D1*E';
Q=are(Ab1',Bb1,Cb1); %solusi ricati untuk mencari Q K=-(Q*C1'+E*D1')*inv(D1*D1')
gamma2star = sqrt(trace(E'*P*E)+trace((A'*P+P*A+C2'*C2)*Q))%
nilai H2 infimum %Tzw = (C2+D2*F)*inv(s*eye(size(A))-A-B*F)*E; % Fungsi alih
closed-loop w ke z Tzw = (C2+D2*F)*inv(s*eye(size(A))-A-B*F)*E; x = logspace(-2,4);semilogx(x,sigma(Tzw,x)); % plot grafik xlabel('Frekuensi (rad/s)');ylabel('Magnitudo');title('Tzw')
110
7.3 Konsep Kestabilan dan Performansi Robust
Masalah utama dari kontrol robust dapat dibagi menjadi tiga pokok bahasan:
pemodelan ketidakpastian (uncertainty), yaitu membangun model matematis dari
ketidakpastian dari plant dan sinyal gangguan (disturbance). Selanjutnya kedua adalah
analisis robust, jika diberikan sistem lup terbuka dan tertutup, lalu menentukan
kestabilan robust dan atau performansi robust. Ketiga adalah masalah desain kontroler
robust, yaitu merancang kontroler yang menjamin kestabilan robust dan atau
performansi robust.
7.3.1.Ketidakpastian (uncertainty)
Di kuliah ini hanya dibahas tentang ketidakpastian tak terstruktur (unstructured
uncertainty). Gangguan dinamik yang terjadi pada sistem berbeda dapat dibangun
menjadi satu blok gangguan, . Untuk kasus sistem linier invarian waktu, blok dapat
direpresentasikan ke dalam matriks fungsi alih tak tentu. Diberikan sistem aktual (sistem
dengan gangguan), dan model nominal dari sistem fisik, .
1. Gangguan dalam bentuk penambahan
P =
144.0000 40.0000
40.0000 16.0000
F =
-41.0000 -17.0000
Q =
49.7778 23.3333
23.3333 14.0000
K =
-24.3333
-16.0000
gamma2star =
347.2997
111
Gambar 7.7 Konfigurasi gangguan dalam bentuk penambahan (additive).
Fungsi alih gangguan dalam bentuk penambahan dapat dimodelkan sebagai berikut:
(6.18)
2. Gangguan dalam bentuk perkalian input
Gambar 7.8 Konfigurasi gangguan dalam bentuk perkalian input (input
multiplicative).
Fungsi alih gangguan dalam bentuk perkalian input dapat dimodelkan sebagai
berikut:
[ ] (6.19)
3. Gangguan dalam bentuk perkalian output
Gambar 7.9 Konfigurasi gangguan dalam bentuk perkalian input (input
multiplicative).
Fungsi alih gangguan dalam bentuk perkalian output dapat dimodelkan sebagai
berikut:
[ ] (6.20)
Contoh 1: Ketidakpastian waktu konstan
Diberikan fungsi alih plant sebagai berikut:
112
Plot grafik sistem dengan perturbasi dari .
Syntax MATLAB:
Contoh 2: Ketidakpastian frekuensi alami
Diberikan fungsi alih plant sebagai berikut:
Plot grafik sistem dengan perturbasi dari .
Syntax MATLAB:
0 1 2 3 4 5 6 70
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (seconds)
Am
plit
ude
clear all; T = ureal('T',1,'percentage',10); sys = tf(1,[T,1]); step(sys)
clear all; w = ureal('w',1,'range',[0.9,1.1]); sys = tf(w^2,[1 2*0.5*w w^2]); bode(sys)
113
Contoh 3: Ketidakpastian model ruang keadaan (state-space)
Diberikan fungsi alih plant sebagai berikut:
{ 0
1 * +
*
+
∈ [ ]
∈ [ ]
∈ [ ]
Plot grafik sistem dengan perturbasi dari .
Syntax MATLAB:
-80
-60
-40
-20
0
20
Magnitude (
dB
)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0P
hase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
clear all;
m = ureal('m',1,'perc',10);
b = ureal('b',1,'perc',5);
k = ureal('k',1,'perc',20);
A = [0 1;-k/m -b/m];
B = [0;1];
C = [1/m 0];
D = 0; sys = ss(A,B,C,D); bode(usample(sys,30))
% B = usample(A,N) picks N random samples of the uncertainty
in A and eturns these samples in an array B of size [SIZE(A)
N]. A can be an uncertain element, matrix, or system (see
UMAT, USS, UFRD,...).
114
7.3.2. Kestabilan Robust
Diberikan plant tak tentu dengan gangguan tak terstruktur seperti gambar berikut:
Gambar 7.10 Transformasi bentuk umum sistem kontrol robust ke dalam bentuk
interkoneksi dan blok uncertainty, .
Small gain theory:
Jika stabil dan ‖ ‖ ‖ ‖ , maka sistem yang terhubung akan stabil.
Diasumsikan ‖ ‖ . Sistem dengan ketidakpastian tak struktur jika
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
-80
-60
-40
-20
0
20
Magnitu
de (
dB
)
10-2
10-1
100
101
102
-180
-135
-90
-45
0
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/s)
115
Kestabilan Robust dengan gangguan bentuk penambahan:
dimana:
dengan fungsi alih
adalah gangguan tak tentu
dan memiliki jumlah pole tak stabil yang sama
Diberikan , masalah kestabilan robust untuk gangguan bentuk penambahan pada
plant yaitu mencari kontroler yang sesuai sehingga ketika kontroler tersebut
diimplementasikan ke plant tak tentu, akan menghasilkan lup tertutup sistem yang stabil
untuk seluruh gangguan yang mungkin dengan . (Definisi
sama dengan terkecuali untuk , sistem tidak harus selalu stabil).
Masalah tersebut ekivalen dengan mencari aksi kontrol suboptimal (dengan
) untuk sistem:
{
(6.21)
Kestabilan Robust dengan gangguan bentuk perkalian input:
dimana:
dengan fungsi alih
adalah gangguan tak tentu
dan memiliki jumlah pole tak stabil yang sama
Diberikan , masalah kestabilan robust untuk gangguan bentuk perkalian pada
plant yaitu mencari kontroler yang sesuai sehingga ketika kontroler tersebut
diimplementasikan ke plant tak tentu, akan menghasilkan lup tertutup sistem yang stabil
untuk seluruh gangguan yang mungkin dengan . Masalah tersebut
ekivalen dengan mencari aksi kontrol suboptimal (dengan ) untuk sistem
berikut:
116
{
(6.22)
7.3.3. Linear Transformation Fractional (LFT)
(a) (b)
Gambar 7.11 (a) Diagram blok lower LFT (b) Diagram blok upper LFT
Lower LFT
Persamaan ruang keadaan sistem lower LFT:
* + [
] *
+
(6.23)
Sistem di atas dapat direpresentasikan dengan:
(6.24)
dimana adalah fungsi alih ke untuk lower LFT, diperoleh:
(6.25)
Upper LFT
Persamaan ruang keadaan sistem upper LFT:
* + [
] *
+
(6.26)
Sistem di atas dapat direpresentasikan dengan:
(6.27)
dimana adalah fungsi alih ke upper LFT, diperoleh:
(6.2
117
7.4. Contoh Kasus
Sistem Mass-Damper-Spring
Suatu sistem massa-peredam-pegas yang memiliki 1 derajat kebebasan (1DOF / 1 Degree-of-Freedom)
digambarkan sebagai berikut.
Gambar 7.12 Sistem Massa-Peredam-Pegas
Persamaan dinamik sistem ini didefinisikan sebagai persamaan turunan orde 2 berdasarkan hukum
kedua Newton.
Keterangan: = jarak perpindahan posisi massa terhadap posisi ekuilibrium
= besar gaya yang menggerakkan massa
= massa
= konstanta peredam
= konstanta pegas
Gambar 7.13 Blok Diagram Sistem Massa-Peredam-Pegas
Asumsi nilai dari parameter fisik sistem adalah sebagai berikut.
; ;
Dimana , , disebut sebagai nilai nominal, sedangkan , ,
, disebut gangguan relatif yang mungkin dari ketiga parameter.
Linear Fractional Transformation (LFT) dari parameter di atas didefinisikan sebagai berikut.
118
[
]
[
]
[
]
Gambar 7.14 Diagram Representasi LFT dari Parameter Ketidakpastian
Gambar 7.15 Blok Diagram Sistem Massa-Peredam-Pegas dengan Parameter Ketidakpastian
Dengan substitusi seperti di atas, bentuk persamaan dari semua input terhadap output sesuai dengan
parameter pertubansinya menjadi sebagai berikut.
*
+ [
] *
+
*
+ [
] *
+
*
+ [
] *
+
Asumsi :
, , ,
119
Sehingga didapat persamaan-persamaan sistem sebagai berikut.
Dengan mengeliminasi variabel dan , persamaan sistem dinamiknya menjadi sebagai berikut.
Asumsikan adalah dinamika input/output dari sistem massa-peredam-pegas yang meliputi
parameter ketidakpastian seperti digambarkan pada gambar 7.5. memiliki 4 buah input ( , ,
, ), 4 buah output ( , , , ) dan 2 buah state ( , ).
Gambar 7.16 Blok Diagram Input/Output Sistem Massa-Peredam-Pegas
Representasi dalam bentuk state space
*
+
dengan
0
1 , 0
1 , 0
1
*
+ , *
+ , *
+
120
[ ] , [ ] ,
Berdasarkan penurunan di atas, bergantung pada , , , , , dan persamaan
differensial dari terhadap . Sehingga adalah fungsi yang sudah diketahui dan tidak
mengandung parameter ketidakpastian.
Syntax MATLAB:
Setelah dibuat fungsi yang dapat mewakili system massa-peredam-pegas, langkah berikutnya adalah
merancang kontrol robust. Kontrol robust dirancang dengan menggunakan H∞.
Syntax MATLAB:
Didapat kontrol optimal K_hin:
Sehingga didapat nilai:
‖ ‖ ‖ ‖
Menurut Small Gain Theorem, kestabilan robust tercapai saat:
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Dari hasil didapat bahwa:
clear all;
%parameter sistem m = 3; c = 1; k = 2; pm = 0.4; pc = 0.2; pk = 0.3;
%matriks sistem A = [0 1; -k/m -c/m]; B1 = [0 0 0; -pm -pc/m -pk/m]; B2 = [0; 1/m]; C1 = [-k/m -c/m; 0 c; k 0]; C2 = [1 0]; D11 = [-pm -pc/m -pk/m; 0 0 0; 0 0 0]; D12 = [1/m; 0; 0]; D21 = [0 0 0]; D22 = 0;
G = ss(A,[B1 B2],[C1; C2],[D11 D12; D21 D22]);
Gp = pck(A,[B1 B2],[C1; C2],[D11 D12; D21 D22]);
%Kontrol Robust Hinfinity nmeas = 1; %number of measurements
ncon = 1; %number of controls
gmin = 0.1; %lower bound of bisection
gmax = 10; %upper bound of bisection
tol = 0.001; %absolute tolerance for the bisection method
[K_hin,clp] = hinfsyn(Gp,nmeas,ncon,gmin,gmax,tol);
% K_hin : the (sub)optimal controller
% clp : the closed-loop system
121
‖ ‖ ‖ ‖
Sehingga system massa-peredam-pegas dengan kontrol H∞ di atas terbukti kestabilan robustnya.
122
BAB 8
CONTOH KASUS APLIKASI KENDALI OPTIMAL DAN
KENDALI KOKOH
123
BAB 8 CONTOH KASUS APLIKASI KENDALI OPTIMAL DAN KENDALI KOKOH
8.1. Desain kendali LQR untuk motor DC
Pada contoh kasus ini, sebuah motor DC yang digunakan sebagai aktuator reaction wheel pada aplikasi satelit [ ], seperti pada gambar dibawah
Roll Axis
Pitch Axis
Yaw Axis
Reaction Wheel (Pitch)
Reaction Wheel (Roll)
Gambar 8.1. Nano-satellite with reaction wheel construction
Adapun rangkaian skematik motor DC nya, dapat ditunjukkan berikut ini: .
Gambar 8.2. Rangkaian skematik motor DC
Persamaan dinamis elektrik motor DC diatas dapat diturunkan menggunakan hukum Kirchoff tentang tegangan berikut ini:
∑ (8.1)
(8.2)
(8.3)
Kemudian, persamaan dinamik putaran mekaniknya:
∑
(8.4)
(8.5)
Laju anguler dari reaction wheel akan proporsional dengan putaran motor DC, sehingga
persamaannya menjadi:
124
(8.6)
Penjelasan masing-masing parameter, sebagai berikut:
Parameter Deskripsi
J Inersia (termasuk roda)
Kb Konstanta EMF balik
Kt Konstanta Trosi
B Rasio redaman
L Induktansi motor
R Resistansi motor
Kita bisa menyusun ruang keadaan (state space) sistem berdasarkan persamaan dinamik diatas,
berikut ini:
(8.7) (8.8)
Dengan aksi kendali untuk sistem umpan balik keadaan, (8.9)
maka persamaan (8.7) diatas menjadi (8.10)
Lebih lengkapnya, sebagai berikut:
*
+ *
+ [
] [ ] [
] (8.11)
[ ] [ ]
Permasalahan yang akan diselesaikan disini adalah mendesain aksi kendali sekaligus
meminimalkan indeks performansi berikut ini:
∫
(8.12)
Indeks performansi (8.12) diatas merupakan bentuk lain dari persamaan umum fungsi biaya
quadratik yang dipakai dalam desain kendali optimal LQR berikut:
∫
(8.13)
Gain umpan balik yang akan dicari:
(8.14) Dengan diperoleh dari persamaan aljabar Riccati
(8.15)
Hasil simulasi
Motor DC yang digunakan, produksi Faulhaber, memiliki parameter sebagai berikut:
Jika diberikan rasio kecepatan angular satelit nano dan motor DC sama dengan 0.002, maka kita peroleh sistem keadaan berikut ini:
*
+ [
] [
] [
]
[ ] [ ]
125
Menggunakan penyelesaian persamaan Riccati, maka gain umpan baliknya sebagai berikut: [ ]
Selanjutnya, nilai matriks A menjadi :
[
]
Kemudian, nilai eigen yang diperoleh adalah -26133.3 , -0.33+0.33i, -0.33 - 0.33 i. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa sistem dapat stabil.
Tanggapan attitude satelit nano, dengan dan tanpa kendali LQR dapat dilihat dibawah ini: .
Gambar 8.3 Tanggapan keluaran
8.1. Desain kendali guaranteed cost untuk motor DC pada reaction wheel
Silakan merujuk ke Erwin Susanto, A DC Motor-Reaction Wheel Control Design via Guaranteed Cost
Output Feedback Controller of Uncertain Neutral Systems, ICIC-EL, Vol 9, No 10, October 2015, pp
2717-2722
top related