luas kurva dengan poligon luar dan riemann

A. Luas menurut poligon-poligon luar

Untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dapat dilakukan dengan

membagi kurva tersebut menjadi beberapa persegi panjang (seperti pada gambar

dibawah) luas persegi panjang dapat dicari dengan menggunakan rumus

𝐴𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖) ∆𝑥

Dimana

∆𝑥 =panjang selang bagian (lebar persegi panjang)

𝑥𝑖 = panjang persegi panjang

Untuk mencari luas dibawah kurva 𝐴(𝑆𝑛) dapat dihitung dengan 𝐴(𝑅𝑛).

𝐴𝑆𝑛 = 𝑓(𝑥1) ∆𝑥 + 𝑓(𝑥2) ∆𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛) ∆𝑥

B. Jumlah Riemann

Tinjaulah suatu partisi P dari selang [a,b] menjadi n selang bagian (tidak

perlu sama panjang) menggunakan titik 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 . . . . < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏

dan andaikan ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 . kemudian ambillah titk sembarang �̅�𝑖= titik

sampel (mungkin berada di ujung, tengah) pada bagian ke-i. Contoh lihat pada

gambar.

Jumla Rienmann (𝑅𝑝) dapat dicari dengan menggunakan jumlah luas

persegi panjang yaitu:

𝐴 = 𝑓(�̅�𝑖) ∆𝑥�̅�

𝐴 = ∑ 𝐴𝑖

𝑛

𝑖−1

= 𝑅𝑝 = ∑ 𝑓(

𝑛

𝑖−1

�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖

Cntoh soal:

1. Hitung jumlah Riemann ∑ 𝑓(𝑛𝑖−1 �̅�𝑖) ∆𝑥𝑖 untuk data berikut: 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1; 𝑃; 3 <

3,75 < 4,25 < 5,5 < 6 < 7 ; �̅�1 = 3, �̅�2 = 4, �̅�3 = 4,75, �̅�4 = 6, �̅�5 = 6,5

Penyelesaian:

𝑅𝑝 = ∑ 𝑓(

𝑛

𝑖−1

�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖

𝑅𝑝 = 𝑓(𝑥1) ∆𝑥 + 𝑓(𝑥2) ∆𝑥 + 𝑓(𝑥3) + ∆𝑥𝑓(𝑥4) ∆𝑥 + 𝑓(𝑥5) ∆𝑥

𝑅𝑝 = 𝑓(3)(3.7 − 5 3) + (4)(4.25 − 3.75) + (4.75)(5.5 − 4.25) + (6)(6 − 5.5)

+ (6.5)(7 − 6)

𝑅𝑝 = 2(0.75) + 3(0.5) + 3.75(1.25) + 5(0.5) + 5.5(1)

𝑅𝑝 = 15.6875

2. Gunakan nilai-nilai a dan b yang diberikan dan nyatakan limit yang diberikan sebagai

sebuah integral tentu.

lim|𝑃|→0

∑ 𝑓(

𝑛

𝑖−1

�̅�𝑖 + 1)3 ∆𝑥𝑖 ; 𝑎 = 0, 𝑏 = 2

Catatan:

Apabila persegi panjang berada

di bawah sumbu x maka luas

(A) pasti akan bernilai negatif

Penyelesaian:

lim|𝑃|→0

∑ 𝑓(

𝑛

𝑖−1

�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖 = ∫ 𝑓(�̅�𝑖)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= ∫ 𝑓(�̅�𝑖 + 1)3𝑑𝑥2

0

Definisi integral tentu

1. f terintegrasikan pada selang [a,b]

2. Apabila luas kurva berada di atas sumbu x maka bernilai positf (+)

sedangkan luas yang berada dibawah sumbu x berniai negatif (-)

3. Apabila a<b (batas atas lebih kecil dari batas bawah) maka

rumusnya dapat diubah dengan menukar batas atas dengan batas

bawah dan menambahkan minus (-) di depan. Apabila batas atas

sama dengan batas bawah maka nilainya = 0.

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= lim|𝑃|→0

∑ 𝑓(

𝑛

𝑖−1

�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= 𝐴𝑎𝑡𝑎𝑠 − 𝐴𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ

Contoh soal:

1. Hitunglah integral tentu dengan menggunakan definisi.

∫ 𝑓(�̅�𝑖 + 1)𝑑𝑥2

0

∆𝑥 =2

𝑛, �̅�𝑖 =

2𝑖

𝑛

𝑓(�̅�𝑖) = �̅�𝑖 + 1 =2𝑖

𝑛+ 1

∑ 𝑓(

𝑛

𝑖−1

�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖 = ∑ [1 + 𝑖 (2

𝑛)]

𝑛

𝑖−1

2

𝑛

=2

𝑛∑ 1 +

4

𝑛2

𝑛

𝑖−1

∑ 𝑖

𝑛

𝑖−1

=2

𝑛(𝑛) +

4

2[𝑛(𝑛 − 1)

2]

= 2 + 2 (1 +1

𝑛)

∫ (�̅�𝑖 + 1)𝑑𝑥2

0

= lim|𝑃|→0

[2 + 2 (1 +1

𝑛)] = 4

C. Teorema Dasar Kalkulus Pertama

1. Teorema A Teorema Dasar Kalkulus Pertama

Anggaplah f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan anggaplah x sebagai

sebuah titik (peubah) pada (a,b). Maka

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎

𝑏

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎

𝑎

= 0

2. Teorema B Sifat Perbandingan

Jika f dan g terintegrasikan pada [a,b] dan jika 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) untuk semua

x dalam [a,b], maka

Bukti:

𝑓(�̅�𝑖) ≤ 𝑔(�̅�𝑖)

𝑓(�̅�𝑖) ∆𝑥�̅� ≤ 𝑔(�̅�𝑖) ∆𝑥�̅�

∑ 𝑓(

𝑛

𝑖−1

�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖 ≤ ∑ 𝑔(

𝑛

𝑖−1

�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖

lim|𝑃|→0

∑ 𝑓(

𝑛

𝑖−1

�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖 ≤ 𝑔(�̅�𝑖)𝑔(�̅�𝑖)

∫ 𝑓(�̅�𝑖)𝑑𝑥𝑏

𝑎

≤ ∫ 𝑔(�̅�𝑖)𝑑𝑥𝑏

𝑎

3. Teorema C Sifat Keterbatasan

Jika f terintegrasikan pada selang [a,b] dan 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 untuk semua x

dalam [a,b], maka

Bukti

Anggaplah 𝑔(�̅�𝑖) =M, untuk semua x dalam [a,b]. Maka

∫ 𝑓(�̅�𝑖)𝑑𝑥𝑏

𝑎

≤ ∫ 𝑔(�̅�𝑖)𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑑𝑦

𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐺 ,

𝑥

𝑎

(𝑥)

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑏

𝑎

𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)

Bagaimanapun, ∫ 𝑔(�̅�𝑖)𝑑𝑥𝑏

𝑎 sama dengan luas persegipanjang dengan

lebar b-a dan tinggi M, jadi:

∫ 𝑓(�̅�𝑖)𝑑𝑥𝑏

𝑎

≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)

Ketaksamaan ruas kiri ditangani secara serupa

4. Teorema D Kelinieran Integral tentu

Andaikan bahwa f dan g teritegerasi ada [a,b] dan bahwa k konstanta.

Maka kf dan f + g terintegrasikan dan

bukti

∫ 𝑓(�̅�𝑖 + 𝑔(�̅�𝑖))𝑑𝑥 =𝑏

𝑎

lim|𝑃|→0

∑ 𝑓

𝑛

𝑖−1

(�̅�𝑖) + 𝑔(�̅�𝑖)) ∆𝑥𝑖

= lim|𝑃|→0

∑ 𝑓

𝑛

𝑖−1

[�̅�𝑖)∆𝑥𝑖 + ∑ 𝑓

𝑛

𝑖−1

𝑔(�̅�𝑖)∆𝑥𝑖]

= lim|𝑃|→0

∑ 𝑓

𝑛

𝑖−1

(�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖 + lim|𝑃|→0

∑ 𝑔

𝑛

𝑖−1

(�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖

= ∫ 𝑓(�̅�𝑖)𝑑𝑥 =𝑏

𝑎

∫ 𝑔(�̅�𝑖)𝑑𝑥𝑏

𝑎

(𝑖) ∫ 𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥𝑏

𝑎

(𝑖𝑖) ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥𝑏

𝑎

+ ∫ 𝑔(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥

(𝑖𝑖𝑖) ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥𝑏

𝑎

− ∫ 𝑔(𝑥)𝑏

𝑎

𝑑𝑥