luas kurva dengan poligon luar dan riemann
DESCRIPTION
berisi mengenai bagaimana cara menghitung luas sebuah kurva dengan poligon luar.TRANSCRIPT
A. Luas menurut poligon-poligon luar
Untuk menghitung luas daerah di bawah kurva dapat dilakukan dengan
membagi kurva tersebut menjadi beberapa persegi panjang (seperti pada gambar
dibawah) luas persegi panjang dapat dicari dengan menggunakan rumus
𝐴𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖) ∆𝑥
Dimana
∆𝑥 =panjang selang bagian (lebar persegi panjang)
𝑥𝑖 = panjang persegi panjang
Untuk mencari luas dibawah kurva 𝐴(𝑆𝑛) dapat dihitung dengan 𝐴(𝑅𝑛).
𝐴𝑆𝑛 = 𝑓(𝑥1) ∆𝑥 + 𝑓(𝑥2) ∆𝑥 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛) ∆𝑥
B. Jumlah Riemann
Tinjaulah suatu partisi P dari selang [a,b] menjadi n selang bagian (tidak
perlu sama panjang) menggunakan titik 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 . . . . < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏
dan andaikan ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 . kemudian ambillah titk sembarang �̅�𝑖= titik
sampel (mungkin berada di ujung, tengah) pada bagian ke-i. Contoh lihat pada
gambar.
Jumla Rienmann (𝑅𝑝) dapat dicari dengan menggunakan jumlah luas
persegi panjang yaitu:
𝐴 = 𝑓(�̅�𝑖) ∆𝑥�̅�
𝐴 = ∑ 𝐴𝑖
𝑛
𝑖−1
= 𝑅𝑝 = ∑ 𝑓(
𝑛
𝑖−1
�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖
Cntoh soal:
1. Hitung jumlah Riemann ∑ 𝑓(𝑛𝑖−1 �̅�𝑖) ∆𝑥𝑖 untuk data berikut: 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1; 𝑃; 3 <
3,75 < 4,25 < 5,5 < 6 < 7 ; �̅�1 = 3, �̅�2 = 4, �̅�3 = 4,75, �̅�4 = 6, �̅�5 = 6,5
Penyelesaian:
𝑅𝑝 = ∑ 𝑓(
𝑛
𝑖−1
�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖
𝑅𝑝 = 𝑓(𝑥1) ∆𝑥 + 𝑓(𝑥2) ∆𝑥 + 𝑓(𝑥3) + ∆𝑥𝑓(𝑥4) ∆𝑥 + 𝑓(𝑥5) ∆𝑥
𝑅𝑝 = 𝑓(3)(3.7 − 5 3) + (4)(4.25 − 3.75) + (4.75)(5.5 − 4.25) + (6)(6 − 5.5)
+ (6.5)(7 − 6)
𝑅𝑝 = 2(0.75) + 3(0.5) + 3.75(1.25) + 5(0.5) + 5.5(1)
𝑅𝑝 = 15.6875
2. Gunakan nilai-nilai a dan b yang diberikan dan nyatakan limit yang diberikan sebagai
sebuah integral tentu.
lim|𝑃|→0
∑ 𝑓(
𝑛
𝑖−1
�̅�𝑖 + 1)3 ∆𝑥𝑖 ; 𝑎 = 0, 𝑏 = 2
Catatan:
Apabila persegi panjang berada
di bawah sumbu x maka luas
(A) pasti akan bernilai negatif
Penyelesaian:
lim|𝑃|→0
∑ 𝑓(
𝑛
𝑖−1
�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖 = ∫ 𝑓(�̅�𝑖)𝑑𝑥𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(�̅�𝑖 + 1)3𝑑𝑥2
0
Definisi integral tentu
1. f terintegrasikan pada selang [a,b]
2. Apabila luas kurva berada di atas sumbu x maka bernilai positf (+)
sedangkan luas yang berada dibawah sumbu x berniai negatif (-)
3. Apabila a<b (batas atas lebih kecil dari batas bawah) maka
rumusnya dapat diubah dengan menukar batas atas dengan batas
bawah dan menambahkan minus (-) di depan. Apabila batas atas
sama dengan batas bawah maka nilainya = 0.
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
= lim|𝑃|→0
∑ 𝑓(
𝑛
𝑖−1
�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
= 𝐴𝑎𝑡𝑎𝑠 − 𝐴𝑏𝑎𝑤𝑎ℎ
Contoh soal:
1. Hitunglah integral tentu dengan menggunakan definisi.
∫ 𝑓(�̅�𝑖 + 1)𝑑𝑥2
0
∆𝑥 =2
𝑛, �̅�𝑖 =
2𝑖
𝑛
𝑓(�̅�𝑖) = �̅�𝑖 + 1 =2𝑖
𝑛+ 1
∑ 𝑓(
𝑛
𝑖−1
�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖 = ∑ [1 + 𝑖 (2
𝑛)]
𝑛
𝑖−1
2
𝑛
=2
𝑛∑ 1 +
4
𝑛2
𝑛
𝑖−1
∑ 𝑖
𝑛
𝑖−1
=2
𝑛(𝑛) +
4
2[𝑛(𝑛 − 1)
2]
= 2 + 2 (1 +1
𝑛)
∫ (�̅�𝑖 + 1)𝑑𝑥2
0
= lim|𝑃|→0
[2 + 2 (1 +1
𝑛)] = 4
C. Teorema Dasar Kalkulus Pertama
1. Teorema A Teorema Dasar Kalkulus Pertama
Anggaplah f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan anggaplah x sebagai
sebuah titik (peubah) pada (a,b). Maka
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
= − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎
𝑏
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎
𝑎
= 0
2. Teorema B Sifat Perbandingan
Jika f dan g terintegrasikan pada [a,b] dan jika 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) untuk semua
x dalam [a,b], maka
Bukti:
𝑓(�̅�𝑖) ≤ 𝑔(�̅�𝑖)
𝑓(�̅�𝑖) ∆𝑥�̅� ≤ 𝑔(�̅�𝑖) ∆𝑥�̅�
∑ 𝑓(
𝑛
𝑖−1
�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖 ≤ ∑ 𝑔(
𝑛
𝑖−1
�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖
lim|𝑃|→0
∑ 𝑓(
𝑛
𝑖−1
�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖 ≤ 𝑔(�̅�𝑖)𝑔(�̅�𝑖)
∫ 𝑓(�̅�𝑖)𝑑𝑥𝑏
𝑎
≤ ∫ 𝑔(�̅�𝑖)𝑑𝑥𝑏
𝑎
3. Teorema C Sifat Keterbatasan
Jika f terintegrasikan pada selang [a,b] dan 𝑚 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑀 untuk semua x
dalam [a,b], maka
Bukti
Anggaplah 𝑔(�̅�𝑖) =M, untuk semua x dalam [a,b]. Maka
∫ 𝑓(�̅�𝑖)𝑑𝑥𝑏
𝑎
≤ ∫ 𝑔(�̅�𝑖)𝑑𝑥𝑏
𝑎
𝑑𝑦
𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 𝐺 ,
𝑥
𝑎
(𝑥)
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≤ ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑏
𝑎
𝑏
𝑎
𝑚(𝑏 − 𝑎) ≤ ∫ 𝑓(𝑥)𝑏
𝑎
≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
Bagaimanapun, ∫ 𝑔(�̅�𝑖)𝑑𝑥𝑏
𝑎 sama dengan luas persegipanjang dengan
lebar b-a dan tinggi M, jadi:
∫ 𝑓(�̅�𝑖)𝑑𝑥𝑏
𝑎
≤ 𝑀(𝑏 − 𝑎)
Ketaksamaan ruas kiri ditangani secara serupa
4. Teorema D Kelinieran Integral tentu
Andaikan bahwa f dan g teritegerasi ada [a,b] dan bahwa k konstanta.
Maka kf dan f + g terintegrasikan dan
bukti
∫ 𝑓(�̅�𝑖 + 𝑔(�̅�𝑖))𝑑𝑥 =𝑏
𝑎
lim|𝑃|→0
∑ 𝑓
𝑛
𝑖−1
(�̅�𝑖) + 𝑔(�̅�𝑖)) ∆𝑥𝑖
= lim|𝑃|→0
∑ 𝑓
𝑛
𝑖−1
[�̅�𝑖)∆𝑥𝑖 + ∑ 𝑓
𝑛
𝑖−1
𝑔(�̅�𝑖)∆𝑥𝑖]
= lim|𝑃|→0
∑ 𝑓
𝑛
𝑖−1
(�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖 + lim|𝑃|→0
∑ 𝑔
𝑛
𝑖−1
(�̅�𝑖) ∆𝑥𝑖
= ∫ 𝑓(�̅�𝑖)𝑑𝑥 =𝑏
𝑎
∫ 𝑔(�̅�𝑖)𝑑𝑥𝑏
𝑎
(𝑖) ∫ 𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥)𝑏
𝑎
𝑑𝑥𝑏
𝑎
(𝑖𝑖) ∫ [𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑏
𝑎
𝑑𝑥𝑏
𝑎
+ ∫ 𝑔(𝑥)𝑏
𝑎
𝑑𝑥
(𝑖𝑖𝑖) ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑏
𝑎
𝑑𝑥𝑏
𝑎
− ∫ 𝑔(𝑥)𝑏
𝑎
𝑑𝑥