geometri transformasi

SRI REJEKIFKIP MATEMATIKA UMS

Pendahuluan◦ Penggolongan Geometri◦ Geometri Euclides

Transformasi◦ Fungsi dan Jenis-jenis Fungsi◦ Transformasi Sebagai Fungsi◦ Sifat Transformasi◦ Grup Transformasi

Transformasi Geseran◦ Pengertian Geseran◦ Menemukan Rumus Geseran◦ Sifat-sifat Geseran◦ Hasil Kali Geseran

Setengah Putaran◦ Pengertian Setengah putaran◦ Menemukan Rumus Setengah putaran◦ Sifat-sifat Setengah putaran◦ Hasil Kali Setengah putaran

Transformasi Pencerminan◦ Pengertian Pencerminan◦ Menemukan Rumus Pencerminan◦ Sifat-sifat Pencerminan◦ Hasil Kali Pencerminan

Transformasi Putaran◦ Pengertian Putaran◦ Menemukan Rumus Putaran◦ Sifat-sifat Putaran◦ Hasil Kali Putaran

Hasil Kali Isometri Group dan Similaritas

B. SusantaGeometri Transformasi, UGM

Gatut IswahyudiGeometri Transformasi, UNS

I.M YaglomGeometric Transformations I, Yale University

(15%)Tugas(45%)UAS(35%)UTS(5%)esensiPr

NA

1. Presensi minimal 75%2. …3. …4. …5. …

A, B, … : titik-titikg, h, … : garis-garistitik (g,h) : titik potong garis g dan hgaris (A,B)= : garis melalui A dan B

: sinar garis AB dengan pangkal A: ruas garis AB

AB : panjang ruas garis

AB

AB

AB

AB

: ruas garis berarah dari A ke B: vektor dengan pangkal A ujung B

A-B-C : B terletak diantara A dan C : sudut ABC

: besar sudut ABC (dalam derajat): kongruen: sebangun (similar)

ABC

AB

ABCm

Berdasar ruang lingkup1. Geometri bidang (dimensi 2)2. Geometri ruang (dimensi 3)3. Geometri dimensi n4. Geometri bola5. dsb

Berdasar bahasa1. Geometri murni (dengan geometri/gambar)2. Geometri analitik (dengan bahasa aljabar)3. Geometri differensial (dengan bahasa derivatif)4. dsb

Berdasar sistem aksioma1. Geometri euclides2. Geometri non euclides3. Geometri proyektif4. dsb

Berdasar transformasi Berdasar metode pendekatannya dst.

1. Dalam bidang diketahui lingkaran pusat A(0,0) dengan jari-jari 5

2. Diketahui persamaan:x+2y=4z-y =4

TRANSFORMASI

BA

BA

BA

BA

BA

BA

BA

BA

Unsur tetap Kolineasi Identitas Isometri Involusi

KOLINEASI

ISOMETRI

ISOMETRI? KOLINEASI? INVOLUSI?

1. Diketahui )1,12()),(( yxyxT

a. Selidiki apakah T suatu kolineasi

b. Selidiki apakah T suatu involusi a. )1,12()),(( yxyxT

112

''

dengan )','(),(yx

yx

yxyxT

ambil persamaan garis 0 cbyaxg

diperoleh 1'1'

21'12'

yyyy

xxxx

sehingga ')( ggT

0)2

('2

'

0)1'2

1''

cbabyax

cybxag

Karena g’ adalah garis maka T merupakan kolineasi.

a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)

T T

TT=T2

112

''

dengan )','(),(yx

yx

yxyxT

1'1'2

''''

dengan )'',''()','(yx

yx

yxyxT

234

1)1(1)12(2

1'1'2

''''

dengan )'',''(),(2

yx

yx

yx

yx

yxyxT

Jadi )2,34()),((2 yxyxT

Isometri adalah kolineasi atau bila U isometri dan g garis maka U(g) = g’

Isometri mempertahankan kesejajaran

Isometri mempertahankan besar sudut

Jika V transformasi dan W transformasi, berkenaan sifat V dan W sebagai fungsi,

maka dapat didefinisikan komposisi atau hasil kali dari V dan W. Seperti halnya

menyusun komposisi dua fungsi maka komposisi WV , W dikerjakan dahulu

baru V. Jadi ))(()( AWVAWV .

Kemudian untuk menyingkat, seringkali ditulis 2, VVVVWWV

Hasil kali dua transformasi akan merupakan transformasi.

Bukti :

Ambil V dan W adalah transformasi dari bidang ke bidang semula, maka V•W

merupakan transformasi bila dapat dibuktikan bahwa V•W adalah pemetaan

bidang kepada bidang dan bahwa V•W satu-satu.

Ambil sebarang titik Q’’

Karena V transformasi )'(''' QVQQ

Karena W transformasi )(' QWQQ

Sehingga )'('' QVQ

)(

))((QWVQWV

Berarti setiap titik pasti merupakan hasil fungsi V•W terhadap salah satu titik

dalam bidang. Kemudian karena V dan W fungsi satu-satu, maka V•W juga akan

merupakan fungsi satu-satu.

Terbukti bahwa V•W adalah transformasi.

1. Diketahui 1,3)),((dan 2,)),(( 21 yxyxTyxyxT

a. Carilah 21TT

b. Kenakan 21TT pada persamaan garis yang melalui (-4,-6) dan sejajar dengan

0532 yxg Jawab: a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)

T2 T1

T1T2

13

''

dengan )','(),(2 yx

yx

yxyxT

'2'

''''

dengan )'',''()','(1 yx

yx

yxyxT

223

)1(23

'2'

''''

dengan )'',''(),(21 yx

yx

yx

yx

yxyxTT

Jadi )22,3()),((21 yxyxTT

a. Persamaan garis melalui (-2,-3) dan sejajar dengan 0532 yxg

Karena sejajar maka 21 mm

352523

0532

xy

xyyx

Jadi 32,

32

21 mm

05324293

)2(32)3(

)()( 11

yxxy

xy

xxmyyh

223

''

dengan )','(),(21 yx

yx

yxyxTT

12122'

3'3'

yyyy

xxxx

Jadi h'(h)21 TT

028'3'4

053'236'2

051'2133'2

yx

yx

yx

1. Diketahui )1,12()),(( yxyxT

a. Selidiki apakah T suatu involusi

b. Kenakan T pada 2xy

a. (x,y) (x’,y’) (x’’,y’’)

T T

TT=T2

112

''

dengan )','(),(yx

yx

yxyxT

1'1'2

''''

dengan )'',''()','(yx

yx

yxyxT

234

1)1(1)12(2

1'1'2

''''

dengan )'',''(),(2

yx

yx

yx

yx

yxyxT

Jadi )2,34()),((2 yxyxT

a. T pada 2xy

22'2)'('

2'2)'('2

4'2)'(2'2

)1'()1'(22

)1'(1')(

2

2

2

2

2

xxy

xxy

xxy

xy

xyhT

S merupakan geseran apabila terdapat suatu ruas garis berarah AB sedemikian sehingga untuk setiap titik P pada bidang V berlaku S(P)=P’ dengan PQ=AB. Selanjutnya geseran dengan vektor geser AB dinyatakan sebagai SAB

A B

P’ P

CDABSS CDAB

Misalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,

genjangjajar CABDSS CDAB

Geseran adalah suatu isometri

CDABSS CDAB Bukti :

1) CDABSS CDAB

Ambil titik P dan kenakan S dengan vektor geser AB.

Berarti ')( PPSAB berarti 'PPAB .

Karena CDAB SS maka ' berarti ')( PPCDPPSCD .

Karena 'PPAB

'PPCD

Maka akibatnya CDAB

2) CDAB SSCDAB

Ambil P dan kenakan ABS berarti '')( PPABPPSAB .

Karena ' maka PPCDCDAB .

Sehingga ')( PPSCD

')( PPSAB

Maka akibatnya CDAB SS

Dari (1) dan (2) terbukti bahwa CDABSS CDAB

Misalkan tiga titik A, B dan C tidak segaris,

genjangjajar CABDSS CDAB

Bukti : 1) genjangjajar CABDSS CDAB

Dengan dalil 2.1 diperoleh bahwa jika

CDABSS CDAB

Karena CDABSS CDAB berakibat BDAC

Jadi CABD jajar genjang.

2) CDAB SSCABD genjangjajar

CABD jajar genjang, berarti terdapat 2 pasang sisi yang sejajar dan

sama panjang, yaitu CDAB

BDAC

Karena CDAB dengan dalil 2.1 (jika CDAB SSCDAB )

Jadi CDAB SS

Dari (1) dan (2) terbukti bahwa genjang.jajar CABDSS CDAB

Geseran adalah suatu isometri Bukti :

1)

=

'')( PPABPPSAB

'')( QQABQQS AB

Akibatnya '' QQPP

Akan dibuktikan PQQP ''

'PP dan Q tidak segaris, dengan dalil 2.2 PQQ’P’ jajar genjang

Berakibat PQQPPQQP ''''

2)

'PP dan Q segaris

PQQP

PQQP

QQPPPPQQPQ

PPPQQP

''akibat

'' maka

'' karena ''

''''

Jadi S isometri

A B

P P’

Q Q’

P Q’ Q P’

Y

XO

B(a,b)

P(x,y)

P’(x’,y’)

b

a

a

b

ba

OB

byax

ba

yx

SOB

vektor

ba

OB

koordinattitik ),( baB

Q(c,d)

P(a,b)

bdac

PQ

Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)1) Carilah rumus SAB dan SBA?2) Kena Apakah SBA kolineasi? 3) kan SBA pada garis h di mana h melalui

titik A dan tegak lurus dengan garis g : 8x-3y+10=9.

4) Apakah SBA involusi?5) Apakah SBA isometri?6) Apakah hasil kali SAB dan SBA?

Diketahui titik-titik A(4, -6) dan B(3, 1)◦ Apakah SBA kolineasi?

◦ Kenakan SBA pada garis h di mana h melalui titik A dan tegak lurus dengan garis g : 8x-3y+10=0.

◦ Apakah SBA involusi?

◦ Apakah SBA isometri?

◦ Apakah hasil kali SAB dan SBA ?

Dari soal-soal di atas buatlah kesimpulan tentang sifat-sifat geseran,◦ Apakah geseran merupakan suatu kolineasi?◦ Apakah geseran merupakan involusi?◦ Apakah geseran merupakan isometri?◦ Apakah hasil kali geseran dengan vektor

geser yang berlawanan arah?

TeoremaHasil kali dua geseran SAB dan SCD akan

merupakan geseran lagi dengan

T T’

T’’

A B

CDABPQ

C

D

P

Q

A

B

C

D

Y

P(x1,y1)

O X

Q(x2,y2)

Setengah putaran terhadap titik P

(dengan pusat P) dilambangkan

dengan Hp, adalah pemetaan yang

memenuhi untuk sebarang titik A

di bidang V :

1.Jika A ≠ P maka titik P titik

tengah AA’

Hp(A)=A’

2.Jika A = P maka Hp(A)=P=A

A

A’

P

Bukti :Akan ditunjukkan Hp2=IAmbil A, kenakan Hp sehingga Hp(A)=A’Kenakan A’ dengan Hp, maka

Hp(A’)=AHp(Hp(A))=A’=AHp2(A)=AHp2=I

Jadi Hp involusiA P A’

Hp

Hp

TEOREMASetengah putaran adalah isometri

Bukti :Ambil titik P, A dan B yang tidak segaris.P sebagai pusat putar.

A

B

P

B’

A’

Kenakan A dengan Hp,

sehingga Hp(A)=A’ dengan

AP=PA’.Kenakan B dengan Hp,

sehingga Hp(B)=B’ dengan

BP=PB’.

Lanjutan

Perhatikan ∆APB dan ∆A’PB’Karena AP=PA’

BP=PB’Maka ∆APB dan ∆A’PB’ kongruen (s, sd, s)Akibat : AB=A’B’Jadi setengah putaran adalah isometri

belakang)(bertolak ''PBAAPB

XO

Y

A(x,y)

A’(x’,y’)

P(a,b)

Ambil P(a,b) sebagai

pusat putar.

Hp memetakan

A(x,y) ke A’(x’,y’).

Diperoleh hubungan bahwa :

Jadi jika P(a,b) maka :Hp = (x,y)→(x’,y’) dengan

ybyyybyyb

xaxxxaxxa

2''22

'

2''22

'

ybxa

yx

22

''

LATIHANDiketahui A(-3,-5) dan B(-2,3)1.Carilah HA•HB

2.Apakah HA•HB involusi?

3.HB memetakan ∆KLM ke∆K’L’M’ dengan K(3,5), L(-5,-4) dan M(5,6). Carilah koordinat K’, L’ dan M’

4.Carilah Q s.d.s HA•HB(Q)=P dengan P(-4,7)

PR1. Diketahui A(4,4), B(2,-5) dan P(6,4), tentukan

HA•HB(P) dan HB•HA(P).

2. Diketahui P(3,2). Tentukan Hp((1,3)) dan Hp-1 ((2,4)).

3. Misalkan L={(x,y)│x2+y2=25}.Tentukan L’=HB•HA(L) jika A(2,1) dan B(-3,5).

4. Misalkan g={(x,y)│y=5x+3} dan A(2,3), B(-1,-2) dan

C(3,5). Tentukan SAB•Hc(g).

Bukti :

TEOREMAHasil kali dua setengah putaran merupakan geseran

P

BA C

P’

P’’

Ambil titik P, A dan B tidak segaris, kenakan P dengan HA sehingga :HA(P)=P’ berlaku PA=AP’HB(P)=P’ berlaku P’B=BP’’Berarti :HB(P’)=P’’HB(HA(P))=P’’HB•HA(P)=P’’

Karena PA=AP’ dan P’B=BP’’Maka AB merupakan garis tengah sejajar alas PP’ dalam ∆PP’P’’ sehingga PP’’=2ABBerarti HA•HB merupakan geseran atau HA•HB=SAC dengan AC=2AB

Hasil kali geseran dan setengah putaran ???

Diketahui koordinat P(-2,8) dan R(0,10) serta ∆A’B’C’ dengan A’(5,1) B’(-3,-4) dan C’(1,-5). Carilah ∆ABC sehingga :HR•HP(A)=A’

HR•HP(B)=B’

HR•HP(C)=C’

Jawab :A(1,-3) B(-7,-8) C(-3,-9)

Diketahui koordinat E(-5,-1) F(1,4) G(-2,-8)1. Apakah hasil dari HF•HG

Jawab : (6-x, 22-y)2. Jika HF•HG=SED carilah koordinat D

Jawab : (1, 21)3. Kenakan HE•HF pada garis g di mana g melalui E dan

tegak lurus garis yang melalui F dan G4. Apakah hasil dari HF•HE•HG

5. Selidiki apakah HG•SEF involusi

Find the answers by yourself, pasti bisa!!!

Transformasi pencerminan /refleksi menghasilkan bayangan yang tergantung pada acuannya.

Refleksi terhadap sumbu xRefleksi titik A (a, c) terhadap sumbu x menghasilkan bayangan yaitu A’(a’, c’), demikian juga untuk titik B dan titik C.Diperoleh persamaan bahwa :

a’ = a, b’ = b, c’= -c dan seterusnya sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :

1 00 -1xT

Dengan notasi matrik :

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(a, -c) sumbu x

1 00 -1x

x x xT

y y y

Sama seperti refleksi terhadap sumbu x menghasilkan persamaan a’= - a, b’ = - b dan c’ = c dan seterusnya. sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(-a, c) sumbu y

Dengan notasi matrik :

-1 0 0 1y

x x xT

y y y

-1 0 0 1yT

Refleksi terhadap titik asal (0,0)

Menghasilkan persamaan :a’= - a, dan c’ = -c,b’= - b, dan c’ = -c,d’= - d, dan c’ = -c,sehingga persamaan matrik transformasinya adalah :

(0,0)

-1 0 0 -1

T

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(-a,-c) titik(0,0)

(0,0)

-1 0 0 -1

x x xT

y y y

Dengan notasi matrik :

Refleksi terhadap garis y = xMenghasilkan persamaan :a’= c, dan c’ = a,b’= c, dan c’’ = b,d’= e, dan e’ = d dan seterusnyasehingga persamaan matrik transformasinya adalah :

0 11 0y xT

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(c,a) y = x

0 11 0y x

x x xT

y y y

Dengan notasi matrik :

Refleksi terhadap garis y = - x Menghasilkan persamaan :a’= -c, dan c’ = -a,b’= -c, dan c’’ = -b,d’= -e, dan e’ = -d dan seterusnya, sehingga persamaan matrik transformasinya adalah : 0 -1

-1 0y xT

Refleksi ditulis dengan notasI :

A(a,c) A’(-c,-a) y =- x

0 -1-1 0y x

x x xT

y y y

Dengan notasi matrik :

Refleksi terhadap garis y = hSumbu x digeser sejauh h, menghasilkan persamaan :a’= a, dan c’ = 2h-c,b’= b, dan c’ = 2h-c,d’= d, dan e’ = 2h-e, sehingga notasi persamaan matrik transformasinya adalah :

1 0 00 -1 2

x xy y h

Bukti :Sumbu-x dipindahkan sejauh h sehingga sumbu-x

yang baru adalah y = h. Maka koefisien setiap titik berubah menjadi (x’, y’) dengan :

Kemudian titik tersebut direfleksikan pada sumbu-x yang baru menjadi :

Tahap terakhir, menggeser sumbu-x yang baru ke sumbu-x semula dengan memakai translasi diperoleh:

0 x x xy y h y h

1 0 0 -1

x x xy y h y h

0 2

0 1 0 0

- 2 0 -1 2

x x xy y h h y h

x xy h y h

Refleksi terhadap garis x = kSekarang yang digeser adalah sumbu y sejauh k, menghasilkan persamaan :a’= 2k-a, dan c’ = c,b’= 2k-b, dan c’ = c,d’= 2k-d, dan e’ = e, sehingga notasinya adalah :

A(a,c) A’(2k-a,c)

x=k

-1 0 20 1 0

x x ky y

Dengan notasi matrik :

Contoh Soal :Tentukan bayangan jajaran-genjang ABCD dengan

titik sudut A(-2,4), B(0,-5) C(3,2) dan D(1,11) jika direfleksikan terhadap sumbu-x, kemudian dilanjutkan dengan refleksi terhadap sumbu-y.

Jawab :Penyelesaian soal tersebut dilakukan dengan dua

tahap yaitu mencari bayangan jajaran-genjang ABCD dari refleksi terhadap sumbu-x, kemudian bayangan yang terjadi direfleksikan terhadap sumbu-y.

Refleksi terhadap sumbu-x adalah sebagai berikut :

Selanjutnya titik A’, B’, C’ dan D’ direfleksikan pada sb-y

Hasil akhir diperoleh jajaran-genjang A’’B’’C’’D’’ dengan

titik sudut A’’(2,-4), B’’(0,5), C’’(-3,-2) dan D’’(-1,-11).

Coba pikirkan : Bagaimana cara mendapatkan matrik transformasi

pada suatu sistem yang mengalami refleksi lebih dari satu kali tetapi penyelesaiannya hanya dengan mengunakan satu tahap saja ?

Telah dibahas bahwa :◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu

sejajar adalah berupa geseran.◦ Hasil kali 2 pencerminan dengan kedua sumbu

yang saling tegak lurus adalah berupa setengah putaran.

Apakah hasil kali 2 pencerminan jika kedua sumbu sebarang???

Ambil sebarang sumbu s dan t yang berpotongan di P.Sebuah titik A sebarang dikenai Ms dan Mt , berarti :Ms(A) = A’Mt(A’) = A’’Jadi, Mt(A’) = A’’

Mt(Ms(A)) = A’’ (Mt•Ms)(A) =A’’

Ambil Q titik tengah AA’ Ambil R titik tengah A’A’’

Akibat pencerminan :

1. QPA'mAPQm

PRA'm2 QPA'2m 'APA'mmaka t)s,(mJika

'RPA' mPRA'm

PR)A'mQPA'm(2

2. PA = PA’

PA’ = PA’’

Jadi PA = PA’’

Sehingga Mt•Ms menghasilkan :

1. PA = PA’’

2. t)titik(s,Pdan t)(s,mdengan 2 'APA'm

Putaran terhadap P dengan sudut θ sebagai sudut putar dilambangkan dengan RP,θ adalah pemetaan yang memenuhi :◦ RP,θ (P) = P

◦ Rp,θ (A) =A’ di mana PA=PA’ dan

P = pusat putarθ = sudut putar

Jika θ = 0o maka RP,θ = I Jika θ = 180o maka RP,θ = HP

Jika α = β maka α = β + k•360o, dengan k anggota B+

Sudut θ positif jika arah berlawanan jarum jam

Sebarang putaran RP,θ selalu dapat dianggap sebagai hasil kali 2 pencerminan, satu terhadap sumbu s dan satu terhadap sumbu t.

P = titik (s,t) Jadi, hasil kali 2 pencerminan Mt•Ms :

◦ Jika s//t maka Mt•Ms = SAB dengan AB = 2 jarak (s,t)◦ Jika s tidak sejajar t maka Mt•Ms = Rp,θ dengan P = titik

(s,t) dan ◦ Jika s tegak lurus t maka Mt•Ms = RP,θ = HP

Dengan pusat putar (0,0)

Ambil sumbu cermin s dan t di mana s berimpit dengan sumbu x dan t garis melalui (0,0)

dengan 2cos2sin

m

RP,θ dinyatakan sebagai hasil kali pencerminan :

Sumbu s, y = 0

Ms : (x,y) → (x’,y’) dengan

yx

yy

yx

yx

1)(1.2

1)(0.2

''

yx

1001

Sumbu t, xy2cos2sin

, maka 2sin2cos xy

0)290sin()290cos(

)290cos()290sin(

yx

xy

Mt : (x’,y’) → (x’’,y’’) dengan

cossin

2''

2cos2sin2sin2cos

''''

pyx

yx

''

cossinsincos

0''

)180(cos)180(sin)180(sin)180(cos

yx

yx

Mt•Ms : (x,y) → (x’,y’) dengan

''

cossinsincos

''''

yx

yx

yx

yx

cossinsincos

1001

cossinsincos

Jadi, jika P(0,0) maka :

RP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengan

yx

yx

cossinsincos

''

Dengan pusat putar P(a,b)

Ambil suatu koordinat dengan pangkal P(a,b) dari suatu sumbu yyxx //dan // .

Terhadap sumbu yPx koordinat C(x,y) dan C’(x,y).

RP,θ : (x,y) →(x’,y’) dengan

yx

yx

cossinsincos

''

Bila terhadap sumbu XOY, koordinat C(x,y) dan C’(x’,y’)

ba

yx

OPOCPCyx

ba

yx

OPOCPCyx

''

''''

Jadi

yx

yx

cossinsincos

''

bbaaba

yx

ba

ba

yx

yx

ba

yx

ba

yx

cossinsincos

cossinsincos

cossinsincos

cossinsincos

''

cossinsincos

''

Jadi jika pusat putar P(a,b) maka

RP,θ : (x,y) → (x’,y’) dengan

qp

yx

yx

cossinsincos

''

dengan

cossinsincos

babqbaap

Suatu transformasi yang dipenuhi 1sincos 22 merupakan putaran.

1. Diketahui A(-1,-2) dan B(10,0)

a. tentukan RA,45o dan RA,45

o(B)

b. tentukan RA,-90o • RA,90

o

2. Selidiki apakah transformasi tersebut merupakan rotasi dan tentukan pusat putarnya.

a.

1

13443

51

''

yx

yx

b.

105

5/35/45/45/3

''

yx

yx

c.

42

13/1213/513/513/12

''

yx

yx

HASILKALI YANG DIBICARAKAN1. REFLEKSI GESER2. GESERAN DAN ROTASI3. ROTASI DAN ROTASI

Definisi Misalkan s suatu garis dan AB suatu

garis berarah dengan AB // s. Suatu refleksi geser G adalah pemetaan yang memenuhi G=MsSAB..

Teorema Misal s garis dan AB garis berarah. Jika

s//AB , maka MsSAB = SABMs

Teorema Suatu refleksi geser tidak

mempunyai titik tetap. Satu-satunya garis tetap adalah sumbunya

sendiri.   Teorema Misal t suatu garis dan CD suatu garis

berarah sedemikian sehingga CD tida tegak lurus t. Terdapat suatu refleksi geser G sedemikian sehingga G = SCDMt.

.

C

D

Et

r

Misalkan p suatu garis dengan p // t dan jarak (p,t) = ½ |CE|

Maka : SCDMt = SEDSCE Mt = SED (Mp Mt ) Mt = SED Mp (Mt Mt ) = SED Mp I = SED Mp = G ( = suatu refleksi geser karena p//ED )

Misal s suatu garis dan A titik di luar s . Misalkan diketahui suatu sudut dengan besar . Terdapat suatu refleksi geser G1 dan G2 sedemikian sehingga G1 = Ms RA, dan G2 = RA, Ms.

( Dengan kata lain teorema ini ,mengatakan bahwa suatu putaran terhadap A dan diikuti oleh suatu refleksi terhadap garis s atau sebaliknya merupakan suatu refleksi geser )

.

A

r

s

D

C

t

/2

Misalkan r garis yang melalui A dan r // s. Misalkan t garis yang melalui A dengan

m(<(t,r)) = ½ . Diperoleh Ms RA, = Ms (Mr Mt) = (Ms Mr) Mt = SCD Mt = G1.

Misalkan s suatu garis, P titik yang tidak terletak pada s. Misal r garis yang melalui P tegak lurus s. Maka berlaku:

a. HPMs merupakan suatu refleksi geser yang sama dengan MrSAB

b. MsHP merupakan suatu refleksi geser yang sama dengan SCDMr.

Misal t adalah garis yang melalui P dengan t // s dan r garis yang melalui P dengan r tegak lurus s.

Misal AB garis berarah dengan AB//r , |AB| = 2 kali jarak (s,t) dan CD garis berarah dengan CD//r , |CD| = 2 kali jarak ( t,s).

Sehingga HP Ms = ( Mr Mt ) Ms = Mr ( Mt Ms ) = Mr SAB

Kemudian Ms HP = Ms ( Mt Mr ) = (Ms Mt ) Mr = SCD Mr

bukti

Teorema

Untuk sebarang titik A, B, P dan suatu sudut dengan besar , selalu dapat ditemukan titik C dan D sedemikian sehingga :a.      SAB RP, = RC,

b.      RP, SAB = RD,

.

rP

C

A B

p q

/2

. Dari yang diketahui titik-titik A, B, dan P serta suatu sudut dengan besar , tarik garis p melalui P dengan p tegak lurus AB dan tarik garis q dengan q // p , (p,q) = ½ |AB|. Kemudian buat garis r melalui P dengan m(<(r,p)) = ½ .

Sehingga : SAB RP, = (Mq Mp )(Mp Mr )

= Mq ( Mp Mp ) Mr

= Mq I Mr = Mq Mr = RC,

.r

P

A B

q

p

/2 /2

b.      Dari yang diketahui titik-titik A, B, dan P serta suatu sudut dengan besar , tarik garis p melalui P dengan p tegak lurus AB dan tarik garis q dengan q // p , (p,q) = ½ |AB|. Kemudian buat garis r melalui P dengan m(<(p,r)) = ½ .

RP, SAB = ( Mr Mp ) (Mp Mq )

= Mr( Mp Mp ) Mq = Mr I Mq = Mr Mq = RD,

Pada saat membahas tentang putaran telah diketahui bahwa hasil kali dua putaran yang pusatnya sama , akan menghasilkan suatu putaran baru dengan pusat semula dan besar sudut putar adalah jumlah dari kedua sudut putar semula, atau dalam lambang putaran .

Berikut ini akan dibahas tentang hasil kali putaran dengan putaran tetapi pusat kedua putaran tidak sama.

Teorema Hasil kali dua putaran , A B akan berupa putaran lagi dengan

sudut putar + atau berupa geseran jika + = 360.

. r

C (+)/2

/2 /2

s

tB

A

Dalam segitiga ABC di atas, m(<ABC) = m(<(t,r)) = ½ . dan m(<CAB) = m(<(s,t) = ½ , maka m(<ACD =(<(s,r)) = ½ + ½ = (+)/2 , sehingga putaran yang dihasilkan oleh MrMs mempunyai sudut putaran sebesar + .

Hal tersebut tidak akan terjadi jika C tidak ada( yaitu dalam kondisi r // s). Jadi apabila m(<(r,t)) = m(<(s,t)) = ½ , tetapi m(<(t,r)) = -m(<(r,t)) = ½ . Jadi

– ½ = ½ sehingga + = 0. Dalam hal ini RB,RA, = MrMs = SCD ( dengan |CD| = 2 kali jarak ( s,r)

Untuk tiga garis sebarang r,s,t yang tidak bertemu di satu titik dan tidak saling sejajar, maka hasil kali MtMsMr tanpa memandang urutan merupakan suatu refleksi geser.

B A

/2 /2

r

s

Pandang MtMsMr = Mt (MsMr ) = Mt RA, = G ( misal m(<(r,s)) =

Apa yang terjadi jika r,s,t melalui satu titik yang sama ?

Bagaimana pula jika r//t//s

Diketahui dua segitiga ABC dan segitiga A’B’C’ yang konkruen seperti pada gambar berikut. Tentukan suatu refleksi geser G yang membawa segitiga ABC menjadi A’B’C’.

A

B

CA’

B’

C’

Andaikan G sudah didapat, berarti terdapat ruas garis berarah PQ dan garis s sedemikian sehingga G = SPQMs yang berarti G(ABC) = A’B’C’.

Misalkan A”B”C” = Ms(ABC) dan A’B’C’= SPQ(A”B”C”), diperoleh A’C’//A”C” dan m(<(s,AC)) = m(<(s,A”C”)). Jadi m(<(A’C’, s )) = m(<(s,AC)) . Sehingga dapat disimpulkan bahwa s sejajar dengan garis bagi (A’C’ , AC ) .

a.  Lukis P = ( A’C’ , AC ) b.  Lukis garis bagi <(A’C’ , AC ), yaitu garis t. c. Lukis garis m, dengan m//t , m melalui A dan garis l,

dengan l t, l melalui A. Misal A”=( m, l ) . d. Lukis garis s , dengan s//t dan s melalui titik tengah

AA”. e.  Lukis titik-titik B” dan C” , dengan B”=Ms(B) dan

C”=Ms(C). f. Lukis titik P, Q di t sedemikian sehingga PQ=A’A” g. Diperoleh G= SPQMs sedemikian sehingga (A’B’C’) =

SPQMs (ABC) = G(ABC)

Definisi Suatu transformasi L disebut suatu similatitas, jika terdapat

bilangan positif k sedemikian hingga untuk sebarang titik P, Q dipenuhi | P’Q’| = k | PQ| , dengan P’=L(P) dan Q’=L(Q).

Similaritas (kesebangunan)

similaritas dengan faktor k tersebut dilambangkan dengan LK dan k disebut faktor similaritas.

Dari definisi diatas, tampak bahwa jika k=1 suatu similaritas adalah suatu isometri atau dengan kata lain, suatu isometri adalah kejadian khusus dari similaritas.

Teorema Similaritas adalah suatu kolineasi.

Teorema Similaritas mempertahankan besar sudut. Teorema Similaritas mempertahankan ketegaklurusan. Teorema Similaritas mempertahankan kesejajaran.

Bukti Similaritas adalah suatu kolineasi

Ambil sebarang garis t, dan dua titik A , B di t yang berbeda dan A’=T(A) , B’=T(B). Misal h garis yang melalui A’ dan B’. Misalkan pula T suatu transformasi kesebangunan. Akan dibuktikan bahwa T(t) = h. Untuk itu akan dibuktikan T(t) h dan h T(t) a. Bukti T(t) h Ambil sebarang titik P di t dengan P berbeda dengan A dan B. Misalkan P terletak antara A dan B , maka berlaku | AP| +| PB| =| AB| . Kemudian misalkan P’ = T(P) dan faktor kesebangunan T adalah k, maka berlaku | A’P’| + | P’B’| = k| AP| + k| PB| = k | AP + PB | = k | AB| Oleh karena | A’B’| = k| AB| maka | A’P’ | +| P’B’| = | A’B’| .

Oleh karena | A’B’| = k| AB| maka | A’P’ | +| P’B’| = | A’B’| . Jadi P’ terletak antara A’ dan B’ yang berarti bahwa A’, P’, dan B’ segaris. Dengan cara serupa, dapat ditunjukkan bahwa hal ini berlaku pula untuk A antara P dan B maupun B antara A dan P. Jadi P anggota h atau T(P) h

a. Bukti h T(t). Ambil sebarang titik Q’ pada h. Karena T suatu transformasi, jadi surjektif maka ada Q pada bidang V sedemikian sehingga Q’ = T(Q). Misalkan Q’ terletak antara A’ dan B’. Sehingga berlaku | A’Q’| +| Q’B’| =| A’B’| . Misalkan Q tidak berada di t maka berlaku | AQ| +| QB| >| AB| , akibatnya k| AQ| +k| QB| > k| AB| . Sehingga | A’Q’| +| Q’B’| >| A’B’| . Ini bertentangan dengan | A’Q’| +| Q’B’| =| A’B’| . Jadi haruslah Q terletak pada t. Bukti serupa untuk A’ antara Q’ dan B’ dan juga B’ antara A’ dan Q’. Diperoleh h T(t). Dari bukti a. dan b. dapat disimpulkan bahwa T(t) = h.

1. Kesebangunan mempertahankan besar sudut Misalkan diberikan sebarang sudut < ABC dan T(<ABC) = <A’B’C’. Diperoleh | A’B’| = k| AB| , | B’C’| = k| BC| , dan | A’C’| = k| A’C’| . Sehingga segitiga A’B’C’ sebangun dengan segitiga ABC. Diperoleh besar sudut A’B’C’ sama dengan besar sudut ABC. Jadi terbukti bahwa kesebangunan mempertahankan besar sudut. Akibat langsung dari bukti ini adalah kesebangunan juga mempertahankan ketegaklurusan.

Teorema Hasil kali similaritas Lk dan Lm adalah similaritas Lkm, yaitu suatu

similaritas dengan faktor km.

Definisi Misal P suatu titik tertentu dan k 0. Transformasi DP,k disebut suatu dilatasi terhadap P dengan faktor k jika a. DP,k (P)=P. b. Untuk sebarang titik QP, DP,k(Q) = Q’ dengan PQ’=kPQ dan

Q’ pada PQ untuk k>0 kemudian Q’ pada P/ Q untuk k<0. Teorema

Untuk sebarang garis g dan g’=DP,k(g) berlaku : a. g’=g jika P terletak pada g. b. g’/ / g jika P tidak terletak pada g.

Teorema Hasil kali suatu dilatasi dan suatu isometri adalah suatu similaritas. Sebaliknya, suatu similaritas selalu dapat dinyatakan sebagai hasilkali suatu dilatasi dan suatu isometri. Teorema

Untuk sepasang segitiga yang sebangun ABC dan A’B’C’ terdapat tepat satu similaritas L yang membawa A ke A’, B ke B’ , dan C ke C’

1. Rumus Dilatasi Misalkan titik P(x,y) suatu titik tertentu. T(a,b) sebarang titik dengan T’(a’,b’) sedemikian hingga T’=DP,k(T). Kemudian p adalah vektor posisi dari P(x,y), t’ vektor posisi dari T’(a’,b’) dan t vektor posisi dari T(a,b) T’(a’,b’) P(x,y) t’ x T(a,b) t

Sehingga dengan menggunakan aturan vektor dan matriks diperoleh: PT’ = k(PT) t’-x = k(t-x)

atau

y-bx-a

kyb'xa'

sehingga

yx

k)(1ba

kb'a'