geometri eliptik
Post on 03-Aug-2015
818 Views
Preview:
TRANSCRIPT
GEOMETRI ELIPTIK (RIEMANN)GEOMETRI ELIPTIK (RIEMANN)
Disajikan oleh: Kelompok 1Disajikan oleh: Kelompok 1
PRESENTASI SISTEM GEOMETRIPRESENTASI SISTEM GEOMETRI
OA
B
C
Teori Riemann kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euklid dengan mengasumsikan
prinsip berikut ini:
Tidak ada garis-garis yang sejajar dengan garis lain.
Postulat Kesejajaran Riemann
Jadi, dua garis selalu berpotongan dan
tidak ada dua garis sejajar.
• Sifat penting dari Teorema 2 Corollary 3 Postulat Kesejajaran Euclid, yaitu :
Dua garis yang tegak lurus dengan garis yang sama akan
sejajar.
Diketahui : o Dua garis yang
berbeda l dan m
yang tegak lurus
dengan garis n.
No Pernyataan Alasan
1Andaikan l dan m tidak sejajar
Asumsi
2Maka l dan m berpotongan di titik C
Akibat 1, dibuat
3Misal l dan m masing-masing
berpotongan dengan n di A dan B.
Dibuat
4 Perpanjang melalui A ke C’ dengan CA = AC’
Dibuat
o Akan dibuktikan : l ||
m
l
n
mC
A B
C’
ll
ll
Diketahui : o Dua garis yang
berbeda l dan m
yang tegak lurus
dengan garis n.
No Pernyataan Alasan
5 Lukis C’B Dari 2 titik dapat dibuat sebuah garis
6 ABC ABC’ S-sd-s
7 ABC = ABC’ Akibat kekongruenan
8 Jadi, ABC’ = ABC = 90o (merupakan sudut siku-siku)
Akibat langkah 7 dan premis
9 BC dan BC’ tegak lurus dengan AB. Akibat langkah 8
o Akan dibuktikan : l ||
m
l
n
mC
A B
C’
ll
ll
Diketahui:o Dua garis yang
berbeda l dan m
yang tegak lurus
dengan garis n.
No Pernyataan Alasan
10 BC dan BC’ serupa Akibat langkah 9
11Jadi, AC dan BC, atau l dan m memiliki titik C dan C’ secara bersama-sama.
12Jadi l dan m serupa (Berimpit)
13Hal ini kontradiksi dengan hipotesis kita bahwa l dan m adalah garis yang berbeda. Jadi, pengandaian kita salah
dan teorema berlaku benar untuk l || m
o Akan dibuktikan : l ||
m
l
n
mC
A B
C’
Analisa Riemann :• Sifat penting dari Teorema 2 Corollary
3 Postulat Kesejajaran Euclid ada pada :
“ l dan m serupa ”
• Dalam bukti tersebut, Euclides menggunakan prinsip pemisahan (separation principle).
• Bahwa C dan C’ berlainan
• Jika prinsip pemisahan tidak digunakan, maka C dan C’ dapat berimpit dan bukti teorema Euclides kurang benar
• Jika prinsip pemisahan tetap digunakan, C dan C’ harus berlainan
• Jika mengabaikan prinsip yang menyatakan bahwa “dua titik menentukan satu garis”, artinya memungkinkan dua garis berpotongan pada dua titik.
O
A’
A
1. GEOMETRI SINGLE ELIPTIC
Sebarang garis yang berpotongan dalam tepat satu titik, tetapi tidak ada garis yang memisahkan bidang tersebut.
Maka, ada dua teori yang mengasumsikan postulat kesejajaran Riemann :
A = A’
2 garis berpotongan pada 1 titik garis tidak memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang;
2 titik yang diametral dianggap sebagai 1 titik
O
A’ B’
B A
2. GEOMETRI DOUBLE ELIPTIC
Dua garis berpotongan dalam tepat dua titik, dan setiap garis memisahkan bidang
2 garis berpotongan pada titik; setiap garis memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang
Diameter AA’
Garis busur AA’
A ≠ A’
B ≠ B’
Representasi Geometri Double Eliptik Pada Bola Euclides
Geometri Double Eliptik
o Titiko Gariso Bidango Segmen
o Jarak antara 2 titik
o Sudut antara 2 garis besar
Representasi Euclideso Titik pada bolao Lingkaran besar bolao Bolao Busur dari suatu
lingkaran besaro Panjang busur
terpendek dari lingkaran besar yang melalui kedua titik itu
o Sudut pada bola antara 2 lingkaran
Sifat Kutub• Misalkan l suatu garis
• Maka ada suatu titik k, yang disebut kutub dari l sedemikian hingga :
– Setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada l, tegaklurus pada l
– K berjarak sama dari setiap titik pada l
• Jarak K sampai sebarang titik pada l disebut “jarak polar”
• Jarak polar suatu kutub sampai garisnya adalah konstan
O
K
l
(Gambarannya seperti semua meridian melalui kutub tegaklurus
pada ekuator)
Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis
bertemu pada suatu titik
Teorema 8.2
OA
B
C
No Pernyataan Alasan
1 Misalkan l suatu garis pada bola Euclides
Dibuat
2 Maka ada suatu titik B, yang disebut
kutub dari l sedemikian hingga :o Setiap segmen yang
menghubungkan B dengan suatu
titik pada l, tegaklurus pada lo B berjarak sama dari setiap titik
pada l
Sifat Kutub
3 Misal A dan C titik pada l dengan A C Dibuat
4 Lukis CB dan AB Dibuat
Diketahui : o Bola seperti pada gambar di samping:
Pembahasan Teorema 8.2
l
OA
B
C
No Pernyataan Alasan
5CB l dan AB l
Akibat 2 dan 4 (Sifat Kutub)
6 CB dan AB yang tegak lurus l berpotongan (bertemu) pada titik B
Dua garis yang tegak lurus pada suatu garis bertemu pada suatu titik
Diketahui : o Bola seperti pada gambar di samping:
Pembahasan Teorema 8.2
l
Semua garis yang tegak lurus pada suatu garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu dan sebaliknya
setiap garis melalui kutub suatu garis tegak lurus
pada garis itu.
Teorema 8.3
No Pernyataan Alasan
1 Misalkan l suatu garis pada bola Euclids Dibuat
2 Maka ada suatu titik K, yang disebut kutub
dari l sedemikian hingga :o Setiap segmen yang menghubungkan K
dengan suatu titik pada l, tegaklurus
pada lo K berjarak sama dari setiap titik pada l
Sifat Kutub
3 Misal A, B, C, D, E, .... Himpunan titik-titik
pada l dengan A B C D E .....
Dibuat
4 Lukis AK, BK, CK, DK, EK, ....... Dibuat
Diketahui : o Bola Euclides seperti pada gambar di samping.Akan dibuktikan:o Semua garis yang tegak lurus pada suatu
garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu
Pembahasan Teorema 8.3 #a
O
K
lA
BCDE
No Pernyataan Alasan
5AK l,BK l, CK l, DK l, EK l, dan seterusnya berlaku untuk setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik
pada l, tegaklurus pada l
Akibat 4 dan
Sifat Kutub
6 Karena setiap segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada
l melalui titik K, akibatnya semua garis yang memuat segmen tersebut berpotongan di titik K.
Akibat 5
Semua garis yang tegak lurus pada suatu garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu
Diketahui : o Bola Euclides seperti pada gambar di samping.Akan dibuktikan:o Semua garis yang tegak lurus pada suatu
garis, berpotongan pada titik yang disebut kutub dari garis itu
Pembahasan Teorema 8.3#a
O
K
lA
BCDE
No Pernyataan Alasan
1 Terdapat garis l dan kutub K diketahui
2 Konstruksi garis-garis yang melalui K
dikonstruksi
3 Garis-garis yang dikonstruksi pd (2) pasti memuat segmen yang menghubungkan K dengan suatu titik pada l
Akibat 2
4 Segmen-segmen pada (3) tegak lurus l
Sifat kutub
5 Jadi, setiap garis melalui K akan tegak lurus l
Akibat 4
Diketahui : o Bola Euclides seperti pada gambar di samping.Akan dibuktikan:o Setiap garis melalui kutub suatu garis tegak
lurus pada garis itu.
Pembahasan Teorema 8.3#b
O
K
lA
BCDE
Dalam sebarang segitiga ABC dengan C = 900, A kurang
dari, sama dengan atau lebih besar dari 900, tergantung dari segmen BC kurang dari, sama dengan atau lebih besar dari
jarak polar q.
Teorema 8.4
O
A
A’
C
B
Teorema 8.4: Dalam sebarang segitiga ABC dengan C = 90o, A kurang dari, sama dengan, atau lebih besar dari 90o, tergantung dari segmen BC kurang dari, sama dengan atau lebih besar dari jarak polar
1. Ditunjukkan A < 90o, bila segmen BC < jarak polar
O
A
B
C
2. Ditunjukkan A = 90o, bila segmen BC = jarak polar
AC
O
B
3. Ditunjukkan A > 90o, bila segmen BC > jarak polar
Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari 180o
Teorema 8.5
Teorema 8.5
OA
B
C
No Pernyataan Alasan
1 Misalkan l suatu garis pada bola Euclides Dibuat
2 Maka ada suatu titik B, yang disebut kutub
dari l sedemikian hingga :o Setiap segmen yang menghubungkan B
dengan suatu titik pada l, tegaklurus pada lo B berjarak sama dari setiap titik pada l
Sifat Kutub
3 Misal A dan C titik pada l dengan A C Dibuat
4 Lukis CB dan AB Dibuat
Diketahui : o Bola Euclides seperti pada gambar di
samping.Akan dibuktikan:o Jumlah besar sudut-sudut suatu
segitiga lebih besar dari 180o
l
Teorema 8.5
OA
B
C
No Pernyataan Alasan
5 BAC = 90o dan BCA = 90o Sifat kutub dan akibat 4
6 B > 0o (B positif) Diketahui
7 Pandang ABC ! Jadi, A + B + C > 90o + B + 90o > 180o
Akibat 5 dan 6
Jumlah besar sudut-sudut suatu segitiga lebih besar dari 180o
Diketahui : o Bola Euclides seperti pada gambar di
samping.Akan dibuktikan:o Jumlah besar sudut-sudut suatu
segitiga lebih besar dari 180o
l
Jumlah besar sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 3600.
Teorema 8.6
Pembahasan Teorema 8.6
Diketahui : o Bola Euclides.Akan dibuktikan:o Jumlah besar sudut-sudut suatu
segiempat lebih besar dari 360o
No Pernyataan Alasan
1 buat garis l Dibuat
2 Maka ada suatu titik B dan Z, yang disebut
kutub dari l sedemikian hingga :o Setiap segmen yang menghubungkan B
dan Z dengan suatu titik pada l, tegaklurus
pada l
Sifat Kutub
3 Misal M dan K titik pada l dengan M K Dibuat
4 Lukis UM, UK, ZM, dan ZK Dibuat
U
M K
l O
z
Pembahasan Teorema 8.6
Diketahui : o Bola EuclidesAkan dibuktikan:o Jumlah besar sudut-sudut suatu
segiempat lebih besar dari 360o
No Pernyataan Alasan
5 UMZK adalah segiempat Dari langkah 4
6 UMK = 90o , UKM = 90o ZMK = 90o , ZKM = 90o
Sifat Kutub
7 U > 0o (B positif) Z > 0o (B positif)
diketahui
8 Pandang segiempat UMZKU + M + Z +K = U + 180o + Z + 180o > 360o
Dibuat
Jadi jumlah sudut-sudut suatu segiempat lebih besar dari 360o
U
M K
l O
z
Sudut-sudut puncak dari segiempat Saccheri sama dan tumpul.
Teorema 8.7
Pembahasan Teorema 8.7
Diketahui :segiempat saccheri ABCD (lihat definisi segiempat saccheri)
Buktikan : sudut-sudut puncak segiempat saccheri ABCD sama dan Tumpul (
A
CD
BE
F
Misal = x90 + 90 + x + x 3602x 180x 90
Dalam segiempat Lambert ABCD dengan A = B = C
= 90o, maka sudut keempat D tumpul
Teorema 8.8
Pembahasan Teorema 8.8
Diketahui : segiempat lambert ABCD dengan mA = mB = mC = 90
Buktikan : mD > 90Bukti :Berdasar teorema jumlah sudut segiempat > 360 maka90 + 90 + 90 + mD > 360mD > 360 – 90 - 90 – 90mD > 90
Tidak ada persegi dalam Geometri Elliptic.
Teorema 8.9
Pembahasan Teorema 8.9
Andaikan ada persegi dalam geometri elliptikDengan mengacu pada definisi persegi Persegi adalah segiempat dengan keempat sudutnya siku-siku (= 90),Dan setiap sisinya kongruen (sama panjang)Maka jumlah sudut dalam persegi = 360Hal ini kontradiksi dengan teorema yang menyatakan bahwa Jumlah sudut dalam segiempat > 360Jadi, dalam geometri elliptik persegi tidak ada
Dua segitiga yang sebangun adalah kongruen
Teorema 8.10
Pembahasan Teorema 8.10
No Pernyataan Alasan
1 diketahui dua segitiga sebangun yaitu ABC
dan AB’C’ dengan B,B’,C,C’ pada garis l Diketahui
2 Maka suatu titik A , yang disebut kutub dari l sedemikian hingga :o Setiap segmen yang menghubungkan A
dengan suatu titik pada l, berjarak sama. Maka AB=AB’, AC=AC’
Sifat Kutub
3 Karena sisi-sisi yang sebanding pada 2 segitiga sebangun adalah sama maka kesebangunan itu adalah kekongruenan
Akibat 2 dan sifat
kekongruenan
TERIMA KASIHdan
Semoga Bermanfaat
。。 がんばって 。。 ^_^
top related