dokumen.tips makalah sistem partikel
Post on 07-Jul-2018
297 Views
Preview:
TRANSCRIPT
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 1/25
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 2/25
/
r1 m1
mn rn r2 m2
rk
mk
mk
DINAMIKA SISTEM PARTIKEL
A. S!te"P#rtke$ %#& P'!#t M#!!#
Pada hakekatnya hukum kekekalan energi mekanikberkaitandengan momentum linear,
momentum angular, dan energi terapan. Beberapa ahli berpendapat dalam sistem terdapat
suatu interaksi antara benda makro dengan mikro.
Jika sebuah sistem berisi sejumlah N partikel, symbol bilangannya 1,2,…n. Massa
partikel adalahm1 ,
m2 , … mn dan letaknya pada jarak
r1 , r2 ,…
rn . ntuk
beberapa sistem partikel, pusat massa terletak di !"#,$,%&. 'ehingga didapat hubungan.
" m1 ( m2 , …+mn & ! ) m1r1 ( m2r2 ( …( mnr n
atau
mk R=¿∑k=1
n
m k rk
∑k=1
n
¿oleh karena itu * !)
∑mk rk
∑ mk )
∑ mk rk
M
"1&
G#"b#r 1. S!te" (#rtke$ %e&)#& beber#(# "#!!# (#%# *#r#k +#&) berbe%# %#r ttk #!#$.
Dalam hal ini M ) ∑mk merupakan jumlah kesulurahan massa dan penjumlahan
∑ d ari k=1 ke k=N . Berdasarkan komponen maka dapat dituliskan *
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 3/25
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 4/25
'ebuah partikel bermassa m dengankeepatanv
dan dengan momentum linear ´ p
,
hukum 66 Ne+ton menyatakan *´ F )
d ´ p
dt
"7&
Dalam hal ini´ F adalah gaya luar yang bekerja pada m , dan ´ p ) m v "8&
Jika m konstan
´ F )d ´ pdt )
m v
d
dt ¿ & )
m d v
dt ) m a
"9&
'elanjutnya, jika ´ F ) :, ´ p adalah konstan, ini adalah konser0asi dari hukum
kekekalan momentum linear untuk partikel tungggal. Pada sistem N partikel, seperti pada
gambar "1&, gerak partikel ke k dari massamk , pada jarak
rk dari titik asal dan dengan
keepatanrk " )
vk & dan perepatan rk . ;aya total
F k bekerja pada partikel
k t h merupakan penjumlahan dua gaya *
1. Jumlah gaya eksternal F k yang diterapkan pada partikel
k t h .
2. Jumlah gaya internal F k pada partikel
k t h dengan n 1 partikel dalam sistem
Jadi persamaan gerak untuk partikelk t h sesuai dengan hukum Ne+ton adalah *
F k ) K k l ( K k i ) mk r k , k ) 1,2,…..n
"1:&
Dalam hal ini´ F k
i = ∑k =1k ≠l
n
´ F kl
i
"11&
´ F kli
adalah gaya partikel kek t h pada
lt h partikel, karena 0ektor alami dari
persamaan "1:&, dalam hal ini n untuk orde ke<2 seara persamaan di//erensial dapat
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 5/25
terpeahkan. Persamaan "1: &dapat diselesaikan dengan menggunakan pusat koordinat
massa.
Momentum untukpartikel k t h diberikanoleh *
´ pk )mk vk )
mk r k
"12&
Persamaan "1:& diambil dari *
d ´ pk
dt F k )
´ F k l
(´ F k
i
"1&
Jumlah kedua sisi meliputi semua N partikel,
∑k =l
N d ´ pk
dt =
d
dt ∑
l
N
´ pk =∑l
N
´ F k =∑l
N
´ F k
l +∑l
N
´ F k
i
Bilamana ´ p adalah jumlah momentum linier pada system partikel N partikel dan´ F
gaya luar total yang bekerja pada sistem, maka *
´ P=∑k =l
N d ´ pk
dt =∑
k =l
N
mk ´rk , "13&
´ F =∑k =l
N
´ F k
l
"14&
'elanjutnya jumlah gaya dalam yang bekerja pada semua system partikel sama
dengan nol ∑k =l
N
´ F k
i =0 "17&
-ombinasi Persamaan "13&, "14&, dan "17& dengan pers "1& didapatkan *d ´ pdt = ´ F
"18&
Teorema Momentum untuk sistem partikel :
=-ekekalan momentum linier * perubahan rata rata pada momentum liniear adalah
sama dengan gaya terapan luar total. Jadi bila jumlah semua gaya terapan luar sama dengan
nol, maka momentum liniear total ´ p dari sistem ini adalah konstan =.
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 6/25
´ p ) konstan, jika ´ F ) :
"19&
Pusat koordinasi massa
´ p=∑k =l
N
mk ´rk = M
´ R "2:&
subtitusi pers (15)didapat :
´ F = M ´ R "21&
Se,&))# %#(#t %!"('$k#& =Pusat massa pada sistem partikel bergerak seperti
halnya partikel tunggal bermassa m bekerja pada gaya tunggal > sama dengan jumlah semua
gaya luar yang bekerja pada sistem?.
Dua buah pendekatan di//erensial *
1. 5ukum 66 Ne+ton
2. Prinsip dari kerja nyatanya, sesuai dengan persamaan "11& *´ F = ∑
k =l , k ± l
N
´ F kl
i
´ F kli
merupakan gaya dorong pada partikel k t h menuju partikel
lt h . 'esuai dengan
hukum 666 Ne+ton.
´ F k i =− F k
i
"22&
Dengan menggunakan persamaan "11& jumlah semua gaya internal adalah
∑k =l
N
´ F k
i =∑k =l
N
∑l=1, l ≠ 1
N
´ F kl
i
"2&
Pada pembuktian terdahulu, diasumsikan bah+a gaya internal datang seara
berpasangan. -erja yang dilakukan oleh gaya internal´ F k
i
pada suatu simpangan
sesungguhnya δ untuk partikel kek t h adalah * δ W k = ´ F k
i δ r
"2&
-erja total yang dilakukan oleh seluruh gaya internal adalah *
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 7/25
δW =∑k =l
N
δ W k =∑k =l
N
( ´ F k
i δ r )=δ r [∑
k =l
N
´ F k
i ] "23&
δ r sama untuk semua partikel, jika total kerja yang dilakukan oleh gaya internal sama
dengan nol untuk semua perpindahan maka * δ r [∑k =l
N
´ F k
i ]=0
-arena δ tidak nol maka* ∑k =l
N
´ F k
i=∑k =l
N
∑l=l , l ≠ 1
N
´ F k
i =0 "24&
-. KEKEKALAN MOMENTUM SUDUT
Momentum sudut dari partikel tunggal dide/inisikan pada bentuk perkalian silang yaitu*
´ !=r x ´ p=r x m v "27&
Pada system partikel N momentum sudut total´ ! dapat ditulis *
´ !=∑k =l
N
r k x ´ pk =∑k =l
N
rk x mk r=0 "28&
@urunan persamaan "28& terhadap +aktu menghasilkan
´r¿
(¿k ¿ x mk ´r k )+∑
k =l
N
( ´rk x mk ´rk )
¿d ´ !dt =∑
k =l
N
¿
"29&
'uku pertama bagian kanan diabaikan karena hasil perkalian silangnya sama dengan nol "
r Am r ):&, sedangkan m r , dari persamaan "1:& sama dengan gaya total yang
bekerja pada partikel k , diperoleh *
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 8/25
rk
[¿ x ( ´ F k
e+ ∑l=l , l ≠ k
N
´ F kl
i )]=∑k =l
N
rk x ´ F k
e+∑k =l
N
∑l=l , l ≠ k
N
rk x ´ F kl
i
d ´ !
dt
=∑k =l
N
¿
":&
Dalam hal ini´ F k
l
merupakan gaya luar total yang bekerja pada partikel k, dan
´ F kli
sebagai gaya dalam yang bekerja pada partikelk t h menuju
lt h . 'uku kedua pada
ruas kanan sama dengan nol, dalam hal ini,
(r k x ´ F kl
i )+(rl x ´ F kl
i ) "1&
lehkarena´ F kl
i =¿ <´ F lk
i
, maka persamaan dapat dinyatakan seperti gambar "2&
( rk −rl ) x ´ F kli =r kl x ´ F kl
i
"2&
Penerapan ini sama dengan nol jika gaya dalam adalah pusat. -arena kedua partikel ini
saling tarik menarik atau tolak menolak sehingga suku bagian kanan persamaan ":&
dihilangkan dan persamaannya menjadi *
d ´ !dt =∑
l=l
N
´ F k
lrk "&
Jika " k merupakan torka pada partikel
k t h , maka torka totalnya adalah
d ´ !dt =∑
l=l
N
" k =∑l=l
N
´ F k
lrk "&
Dand ´ !dt =" k "3&
-ekekalan momentum sudut, untuk sistem yang tertutup , satu sama lain tidak bekerja gaya
luar, torka total"
menjadi nol, dalam hal ini momentum sudutnya konstan dalam besar dan
arah yakni
" =0,d ´ !dt =0dan ´ !=∑
l=l
N
rk # mk vk =k$nstant "4&
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 9/25
D. KEKEKALAN ENERGI
Pada beberapa situasi, gaya total yang bekerja pada partikel dalam sistem adalah suatu
/ungsi posisi partikel pada sistem. ;aya ´ F k pada partikel k th adalah *
´ F k )
´ F k
e (´ F
k i )´ F
k " r1,
r2......,
rn& dalam hal ini k=1,2,....,N
"7&
;aya luar´ F
k e dapat tergantung pada posisi r
k dari partikel k , sedangkan gaya dalam
´ F k i tergantung pada posisi relati/ dari partikel<partikel relati/ lain terhadap partikel k,
yakni rk1 ) r
k − r1 dan sebagainya. Jika gaya F
k1 memenuhi kondisi,
∇ x F k =%url F k =0
"8&
Dan, /ungsi potensial *& =& (r1 , r2 , … , r n)
"9&
'ehingga
F kx=−' &
' xk
, F ky=−'&
' yk
, F kz=−'&
' zk
, dimana k=1,2,...N ":&
;erak partikel k th dinyatakan sebagai * mk r k =mk vk = F k "1&
Dengan menggunakan persamaan ":& didapat
mk −d vkx
dt =
−'&
' xk
, mk −d vky
dt =
−' &
' yk
, mk −d vkz
dt =
−' &
' zk
, "2&
Mengalikan persamaan pertama dengan vk1 )
dx
dt k , persamaan kedua dengan v
k1 )
dy
dt k , dan persamaan ketiga
vkl )
dz
dt k , dan menambahkannya sehingga diperoleh,
d
dt (12 mk vk
2)+ ' &
' xk
d xk
dt +
' &
' yk
d yk
dt +
' &
' zk
d zk
dt =0 dengan k = 1, 2, .......N "a&
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 10/25
Jumlah meliputi semua nilai k, maka
1
2
(¿mk
vk
2
)+
∑k =l
N
( ' &
' xk
d xk
dt +
' &
' yk
d y k
dt +
'&
' zk
d zk
dt
)=0
d
dt ∑k =l
N
¿
"b&
Dalam hal ini
1
2
(¿mk vk
2)= K
∑k =l
N
¿
dengan -) Cnergi -inetik "&
Dan
' &
' xk
(¿d xk
dt +
' &
' yk
d yk
dt +
'&
' zk
d zk
dt )=
d&
dt
∑k =l
N
¿
"3&
leh karena itu persamaan "b& dapat dinyatakan
d
dt ( K +& )=0
atau - ( ) C ) konstan "4&
$ang merupakan “Hukum Kekekalan Energi”.
Jika gaya luar tidak gayut pada posisi dan potensial i gayut pada posisi relati/ pasangan
partikel, maka
& kli =& kl
i (rkl)=& kli (r2−r1) "8&
'elama *
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 11/25 m
rkl
& kl
i (¿¿)
∑l−1
k −1
¿
& i=∑k =l
N
¿
"9&
Dapat diperoleh bah+a *
F k
i =−i '&
' xk
− ( ' &
' yk
−k ' &
' zk "3:&
'istem ini merupakan gaya pergesaran dalam, seperti gaya pergeseran ini gayut pada
keepatan relati/ dari partikel dan bukan gaya pusat, sehingga hukum kekekalan energi,
persamaan "4& tidak dapat diapai sebagai sistem.
E. Ger#k S!te" %e&)#& V#r#be$ M#!!#
Roket
@eknologi roket berdasarkan pada prinsip sederhana kekekalan momentum linear.
'ebuah roket terdorong kedepan dengan penyemburan massa yang arahnya terbalik
"kebelakang& dalam bentuk gas sebagai hasil pembakaran bahan bakar.
;aya dorong roket merupakan reaksi menuju gaya dorong ke belakang dari gas yang
keluar dari tempat pembakaran bahan bakar. ntuk menentukan keepatan roket pada +aktu
meninggalkan bumi seperti ditunjukkan gambar dala hal ini t sebagai +aktu, massa roket
"m& yang bergerak dengan keepatan 0 relai/ dengan beberapa system koordinat tertentu
"bumi&. -eepatan gas merupakan u terhadap roket, sedang keepatan u ( 0 terhadap system
koordinat tertentu. Pada inter0al +aktu antara t dan t(dt, sejumlah pembuangan gas adalah
dm) <dm, sedangkan massa roket adalah m+dm dan keepatan v+dv
Momentum system pada saat t yakni ´ p(t )=m v "31&
Dan momentum system pada saat t(dt adalah
´ p (t +dt )=proket (t+dt)+ pgas(t+dt)=(m+dm)( v+ dv ¿ (−dm )( v+ dv) "32&
Perubahan momentum selama selang +aktu dt adalah*
dp ´ p (t +dt ) ´ p ( t )=m dv u dm "3&
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 12/25
Dalam hal ini dm d0 ditiadakan, sedangkan persamaan "3& dapat dinyatakan
sebagai ,
d ´ Pdt = ´ F =m
dv
dt −u
dm
dt "3&
Eatatan bah+au
adalah keepatan dari gas yang keluar. Persamaan "3&
dapat ditulis sebagai* mdv
dt =u
dm
dt + ´ F
"33&
Dalam hal ini F sebagai gaya gra0itasi, gaya gesek udara, atau beberapa
gaya luar lainnya, sedangkanm
dv
dt sebagai gaya daya dorong mesin roket.
leh karena dmFdt bernilai negati0e, daya dorong berla+anan dengan
keepatan u dari gas yang dikeluarkan. ;aya F : diperlukan untuk menjaga
keadaan setimbang.
´ F 0=−u dmdt
"34&
untuk F ) : persamaan "33& sebagai,m
d vdt = u
dm
dt
"37&
perkalian kedua sisi dengan dtFm dan diintegrasikan,
∫v
0
v
dv=u∫m
0
mdm
m atau
m
v=v0−u ln ¿¿ mm0
, karena m0>m maka,
v=v0−u0 lnm0
m "38&
-eepatan akhir v tergantung pada dua /aktor,
1& Besar nilaiu
, keepatan dari gas yang dikeluarkan dan
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 13/25
2& Besar nilai m:Fm, dalam hal ini m: merupakan massa a+al roket dan bahan bakar,
sedangkan m sebagai massa akhir saat semua bakar telah digunakan. Besar nilai m :Fm
digunakan untuk satelit pesa+atF roket. Penambahan nilai m:Fm digunakan untuk satelit
dan pesa+at luar angkasa meninggalkan bumi.
ntuk posisi roket dekat permukaan bumi , maka gaya gra0itasi tak dapat diabaikan
sehingga disubstitusi F =m ) dalam persamaan "33& dan didapat*
m dv
dt =u
dm
dt +m )
"39&
Dan hasil integrasinya,
∫0
v
dv=u∫m
0
m
1m
dm+ )∫0
1
dt
H#!$&+#, v=v0−u ln (m0
m )+ ) t "4:&
Pada saat t): dan besar keepatanv0=0
danu
berla+anan dengan v , maka
persamaan "4:& menjadi "bentuk salar& * & =u ln(m0
m )−) t
"41&
Pada keadaan a+al, daya dorong roket harus ukup besar untuk mengatasi gaya gra0itasi m:g.
S#b'k -o&e+er
Ditinjau sabuk<berjalan untuk menghitung gaya
F , diperlukan sabuk berjalan
bergerak horiGontal dengan keepatan v sedangkan massa pasir "barang& yang diberikan
pada sabuk tersebut dmFdt. Missal M sebagai massa sabuk dan m sebagai massa pasir pada
sabuk tersebut. Momentum total pada system,sabuk dan pasir pada sabuk yaitu,
´ p=(m+ M ) v "42&
-arena M dan v konstan, sedangkan m berubah maka
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 14/25
´ F =d ´ pdt = v
dm
dt "4&
Dalam hal ini F merupakan gaya yang digunkan pada sabuk<berjalan. Daya yang
disuplai oleh gaya agar sabuk<berjalan dapat melaju 0 yakni,
*aya= P= F v=v2 dm
dt =
1
2m v
2=2 d
dt (12 (m+ M )v2)=2
dk
dt "4&
Dalam hal ini besar daya dua kali laju perubahan energy kinetiknya, dan hokum
kekekalan energy mekanik tidak dapat diterapkan disini. Daya yang lepas digunakan untuk
bekerja berla+anan dengan gaya gesek. -etika pasir mengenai sabuk<berjalan maka harus
diperepat dari kelajuan nol sampai kelajuan sabuk<berjalan menempuh jaraj tertentu. Pada pengamat yang berada pada sabuk, pasir yang jatuh ke ba+ah harus bergerak horiGontal
dengan kelajuan 0 pada arah berla+anan dengan sabuk. 'abuk<berjalan menggerakkan pasir
bermassa dm dengan gaya horiGontal d ´ F + yakni,
d ´ F + = (dm) ) "43&
Dalam hal ini H merupakan koe/isien gesekan kineti antara sabuk dan pasir. Jadi
perepatan pasir adalah a=´ F /m ,sehingga
a=d ´ F +
dm / )
"44&
Jarak A yang ditempuh oleh pasir yang mengalami perubahan kelajuan dari 0 ke : yakni,
- =
v2
2a=
v2
2m)
"47&
Dan kerja yang dilakukan oleh gaya gesekan adalah
d W + =d ´ F + ´ x= (dm ) ) v
2
2 m)
1
2 (dm) v
2
"48&
Daya yang hilang digunakan oleh gaya gesek yakni,
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 15/25
y
m33
3
m1m2
1i4
Sebelum tumbukanSetelah tumbukan
4
Pm=d W +
dt =
1
2
dm
dt v
2= d
d+ ( 12 m v2)=1
2 P "49&
G. T'"b'k#& T#k Le&t&)
Pada tumbukan antar partikel, ada kemungkinan energi kinetik akhir lebih keil dari
pada energi kinetik a+al, maka pada kondisi ini sistem menyerap energi, dan dinamakan
endoergenic atau tumbukan jenis pertama, sedangkan tumbukan yang menghasilkan energi
kinetik akhir lebih besar daripada energi energi kinetik a+al, maka sistem melepas energi,
dan dinamakan exoergenic atau tumbukan jenis kedua. Jika energi kinetik a+al K i dan energi
kinetik adalah K f , maka energi disintegrasi "I& dapat dinyatakan sebagai * I ) K f - K i"94&
jika I : eAoergik, tumbukan tak lenting jenis kedua "97a&
I K : endoergik, tumbukan tak lenting jenis pertama "97b&
I ) : eAoergik, tumbukan tak lenting jenis kedua "97&
'eperti tampak pada gambar 8, tumbukan tak lenting antara dua partikel bermassa m1
yang bergerak dengan keepatan v1i terhadap sebuah partikel bermassa m2 yang diam, dan
menghasilkan dua partikel baru dengan massa m dan m yang bergerak dengan keepatan
v/ dan v
/ yang membentuk sudut L dan L terhadap sumbu<A. 'edangkan K 1, K 2, K ,
dan K merupakan energi kinetik partikel m1 , m2, m3, m4, dan energi disintegrasinya .
Berdasarkan hukum kekekalan momentum dan energi kinetik, dapat ditulis
m1v
1i ) mv
/.osL ( mv
/.osL "98&
: ) mv
/.sinL < mv
/.sinL "99&
Dan - 1 ( ) - ( - "1::&
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 16/25
G#"b#r /. T'"b'k#& t#k e$#!t! #&t#r# %'# (#rtke$
Dengan demikian akan diperoleh,
"mv
/ &2 ) "m1
v1i&
2 ( "mv
/ &2 2m1m
v1i.
v/ .osL "1:1&
Dan mengkombinasi persamaan "1::& dan "1:1& dan menggunakan relasi energi kinetik K 1,
K , dan K , akan diperoleh energi disintegrasinya yakni,
"1:2&
Ditinjau sebuah objek bermassa m1 bergerak dengan keepatanv
1 menabrak sebuah objek
lain yang diam bermassa m2 , dan kemudian kedua objek menempel setelah tumbukan dan
keepatannya v2. Menurut hukum konser0asi momentum maka,
v2 )
m1 v 1
m1+m2 "1:&
Dalam hal ini energi kinetik tidak kekal, sehingga
) - / - i )1
2 "m1 ( m2& 022 <
1
2 m1 012
subtitusikan persamaan "1:& untuk didapatkan,
) - 1
. m2
m1+m2 "1:&
$ang bernilai negatip dan tumbukannya bersi/at endoergik.
Jadi energi minimumnya "energi ambang& dinyatakan dengan persamaan
"1:3&
ntuk reaksi endoergi K 1 harus menjadi " K 1 ) amang.
5ukum kekekalan momentum dan energi yang diperlukan pada tumbukan satu dimensi
antara dua buah objek seperti pada gambar 9, yakni
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 17/25
m1m2m1m2
- 1i 2i 12 X
1i 2i (rea%)i 1i 2i (rea%)
m1v
1i ( m2v
2i ) m1v
1/ ( m2v
2/ "1:4&
1
2 m1v
1i2(
1
2 m2v
2i2 )
1
2 m1v
1/ 2(
1
2 m2v
2/ 2 "1:7&
Dalam hal ini dihasilkan,
v1i ( v
2i )v
2/ < v1/ "1:8a&
Otau " vrelati/ &/ ) < " v
relati/ &i "1:8b&
Koefisien restitusi (e& ) <( v relati+ ) +
(v relati+ ) i "1:9&
Dalam hal ini, e)1 untuk tumbukan lenting dan e): untuk tumbukan tak lenting
sempurna, untuk tumbukan tak elastis e berada diantara : dan 1.
G#"b#r . T'"b'k#& $e&t&) !#t' %"e&! #&t#r# %'# "#!!# m1 %#& m2
H. S!te" Koor%&#t P'!#t M#!!# D'# Be&%#
'uatu sistem berisi dua objek bermassa m1 dan m2 pada jarak r 1dan r 2 dari titik asal ,
seperti gambar 1:., F 1e dan F 2e merupakan gaya luar yang bekerja pada m1 dan m2 ,
sedangkan F
12i adalah gaya dalam yang bekerja antara m1 dan m2 , dan >21
isebagai gaya
dalam yang bekerja antara m1 dan m2, sesuai dengan hukum 666 Ne+ton,
F 12
i ) < >21i) / "11:&
'edangkan gaya luar total yang bekerja pada suatu sitem
> )
F 1
e
( F
2
e
"111&
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 18/25
m2
CM
r2
&m1
r1
-
Mengikuti hukum 66 Ne+ton, gerak dua benda dalam sistem lab dapat ditulis sebagai *
"112&
"11&
-oordinat pusat massa R dapat dinyatakan dengan persamaan,
"11&
Dan koordinat relati/ "r& diberikan oleh
r=r1 <
r2 "113&
'edangkan reverse transformasi diberikan dengan persamaan
r1 ) ! (
m2
m1+m2 r
"114&
G#"b#r 10. P'!#t "#!!# %#& )er#k rekt '&t'k !!te" tet#( (#%# %'# (#rtke$
Dan r2) ! <
m2
m1+m2 r
"117&
Penjumlah persamaan "112& dan "11& akan diperoleh,
Dengan menggunakan persamaan "11:&, "111&, dan "11&, didapatkan persamaan,
"m1 ( m2&´ R ) >
Otau M ´ R ) > "118&
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 19/25
´ R sebagai perepatan pusat massa sistem M "m1 ( m2& karena gaya luar F
'elanjutnya dengan mengalikan persamaan "112& dengan m2 dan persamaan "11& dengan m1
dan kemudian menguranginya, didapatkan persamaan *
m1m2 " r
1 <r
2& ) m2 F
1e m1>2
e 5 m2>12i 5 m1>21
i
dari persamaan "11:&, didapat
"119&
!nt"k khas"s kh"s"s, F
1e)>2
e ) : "12:&
Otau F 1
e
m1
< F 2
e
m2
"121&
;aya luar yang bekerja pada objek tersebut proposional dengan massanya, sehingga
persamaan "119& menjadi
m1 m2
r¿ 1 <
r2& ) "m1 ( m2& /
"122&
leh karena massa reduksi dide/inisikan sebagai
H )m 1m 2
m1+m2 "12&
dan r=r1 <
r2, maka persamaan "122&
Hr ) / "12&
Merupakan persamaan gerak benda bermassa H yang diberi/ gaya iternal / ) >21i
sehingga menghasilkan perepatan "r& seperti pada persamaan "118&.
ntuk menentukan momentum linier "P&, anguler "&, dan total energi kinetik K dalam
koordinat pusat massa "EM& maka ditinjau kembali keepatan pusat massa yakni,
"123&
Dan keepatan relati/ "0&
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 20/25
0 ) r ) r1 <
r2
"124&
'edangkan invers tranformasin#a dinyatakan sebagai,
"127&
"128&
Dengan demikian total momentum linier sistem yakni,
P ) m1r
1 ( m2r
2 ) M ´ R "129&
Dan total momentum sudut sistem yakni,
) m1"r 1 A r1& ( m2"r 2 A r
2&
"1:&
'ubtitusi untuk r1 dan r
2 dari persamaan "127& dan "123&, didapatkan
) M "! A´ R & A H "rA
r2&
"11&
'edangkan untuk energi kinetiknya diberikan oleh persamaan
K )1
2 m1 r 12 (
1
2 m2 r 22
"12&
Dengan mensubtitusikan r1 dan r
2 didapat
K )
1
2 M
´ R 2
(
1
2 H
r 2
"1&
Otau K )1
2 M & 2 (1
2 H v 2
I. T'"b'k#& %#$#" S!te" Koor%&#t P'!#t M#!!#
'ebelumnya telah dibahas tumbukan elastik dan tak elastik antar dua benda dari sudut
pandang pengamat yang diam dalam sistem koordinat laboratorium "'-&. Pada banyak
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 21/25
m1CMm2
61i62i 0
kasus, akan memudahkan apabila pengamatan dilakukan dalam dalam sistem koordinat yang
bergerak terhadap '-. mumnya sistem koordinat yang digunakan adalah sistem koordinat
pusat massa "'-PM&, di mana tumbukan diamati oleh pengamat yang ada di pusat massa
yang tentunya ikut bergerak dengan keepatan yang sama dengan pusat massa.
Misalkan sebuah partikel bermassa m1 di A1 bergerak dengan keepatan 01i, sementara
sebuah partikel bermassa m2 di A2 diam seperti ditunjukkan gambar 11 pusat massa A
diberikan oleh
"m1 ( m2&A ) m1A1 ( m2A2 "13&
'ementara keepatan pusat massa diperoleh dari di//erensiasi persamaan 13 yaitu
"m1 ( m2&0 ) m1A1 ( m2A2 "14&
Dimana 0 ) dAFdt, untuk situasi seperti yang ditunjukkan gambar 11, A 1)01 dan A2):,
sehingga keepatan pusat massa 0 terhadap '- diberikan oleh
0¿
m1v 1i
m1+m2 )/
m 01i , dimana H adalah massa tereduksi.
"17&
;ambar 11. -eepatan m1 dan m2 dan pusat massanya dalam sistem koordinat lab "'-&.
Misalkan tumbukan antara m1 dan m2 diamati oleh pengamat yang berada dalam
'-PM yang bergerak dengan keepatan 0. -eepatan m1 dan m2 terhadap '-PM adalah
0Q1i dan 0Q2i "tanda aksen menunjukkan bah+a besaran digambarkan dalam '-PM&.
G#"b#r 12. Ger#k (#rtke$ "1 %#& "2 (#%# !!te" koor%&#t ('!#t "#!!# SKPM3.
m1 EM m2
- A
0Q1i ) 01i< 0 02i ) < 0
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 22/25
m161617
-m1m2 7
m2 +2
m16"1 61i 6
m1 6"2im2X
- 6"1i 61i 6m2
6"2 6
SEBELUMSESUDAH
;ambar 12 menunjukkan gerak kedua partikel terhadap '-PM. Momentum tiap partikel
sebelum tumbukan dalam '-PM adalah
Jadi momentum linier total dari sistem dalam '-PM sebelum tumbukan adalah
Bah+a momentum linier total sebelum tumbukan sama dengan nol merupakan salah satu si/at
penting dari '-PM. 5al ini berakibat agar momentum liniear kekal, momentum linier total
setelah tumbukan harus nol juga. Dipandang dari '-PM dua partikel bermassa m1 dan m2
saling mendekat dalam garis lurus dan setelah tumbukan saling menjauh dalam garis lurus
juga dengan keepatan a+al yang sama, seperti ditunjukkan dalam gambar 1"a&. ;aris yang
menghubungkan kedua partikel yang saling menjauh dapat juga membentuk sudut L "dalam
'-PM&. 'ebagai perbandingan, gambar 1"b& menunjukkan tumbukan yang diapandang dari
'-.
(a)
"b&
G#"b#r 14. T'"b'k#& #&t#r# %'# (#rtke$ ber"#!!# m1 dan m2 +#&) %$,#t%#r #3
SKPM b3 SKL
'elanjutnya akan dibahas masalah bagaimana ara kembali dari '-PM ke '- dan
hubungan antara sudut yang dibuat oleh partikel setelah tumbukan dengan arah mula<mula
baik dalam '- maupun '-PM. Dalam '-PM, keepatan akhir dan arah partikel setelah
tumbukan ditunjukkan pada gambar 1"a&. ntuk menentukan keepatan akhir partikel dalam'-, maka prosedur untuk berubah dari '- ke '-PM dapat dibalik. 5al ini dapat
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 23/25
6
6"1 7 61
-
:7
6"2 62 6
dilakukan dengan menambahkan ke keepatan akhir v$ 1f = %v1i & vc ) dan v$ 2f = vc, keepatan
pusat massa 0 seperti ditunjukkan oleh gambar 1, dapat ditentukan hubungan L dan R
dalam '- dan Ldalam '-PM. Dengan menguraikan ke dalam komponennya, persamaan
"1& dapat dituliskan
01/ os L ) 0 ( 0Q1/ osLE "13&
01/ sin L ) 0Q1/ sinLE "14&
Dengan saling membagi akan diperoleh
tan 0)
& 1 1 +sin0%
&%+& 1 1 + cos0 % )
sin0%
&%
& 1 1 +
+cos0%
"17&
atau tan L )sin0%
2 +cos0%
"18&
Dimana S )&%
& 1 1 + ) Ke%epatanpusatmassadalam3K!
Ke%epatanm1 setelahtumbukandalam3KPM
"19&
Nilai dari 0 dan 0Q1/ diberikan oleh persamaan "17& dan "13&. Dari persamaan "17&
0 )m1
m1+m2 01i )/
m2 01i
"13:&
Dimana H adalah massa tereduksi dan 01i adalah keepatan relati/ a'a( %= v1i & v2i = v1i & 0
=v1i ). -eepatan relati/ akhir, v$ 1f %= v$ 1i ), dari persamaan "18& sama dengan
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 24/25
0Q1/ )m2
m1+m2 01/ )/
m1 01/
"131&
;abungan tiga persamaan tersebut "dan dengan memperhatikan bah+a keepatan akhir
sama dengan keepatan a+al dalam '-PM&, diperoleh
S )&%
& 1 1 + )m1& 1 i
m2& 1 +
"132&
ntuk t"m"kan tak (enting v1i v1f sehingga persamaan "13& menjadi
tan L )
sin0%
m1v1 i /m2v 1 + +cos0%
"13&
ntuk t"m"kan (enting, v1i = v1f sehingga persamaan "13& menjadi
tan L )sin0%
(m1 /m 2)+cos 0%
"13&
*itin+a" eeraa kas"s kh"s"s dari ersamaan %14) "nt"k t"m"kan (enting
Kasus (a) * Jika m1 ) m2, seperti dalam khusus tumbukan antara neutron dan proton,
persamaan "13& dapat dituliskan sebagai
tan L )sin0%
1+cos0% )
2sin( 0%
2 )cos (0%
2)
2cos2(
0 %
2)
) tan0%
2
"133&
sehingga L )0%
2 "134&
-arena dalam '-PM /c dapat memiliki nilai antara : dan T, maka L dapat memiliki
nilai maksimum5
2 .
K#!'! b3 * Jika m2 m1, persamaan "13& dapat dituliskan sebagai
8/19/2019 Dokumen.tips Makalah Sistem Partikel
http://slidepdf.com/reader/full/dokumentips-makalah-sistem-partikel 25/25
tan L Usin0%
cos0% ) tan0
"137&
sehingga L U L E "138&
K#!'! 53 * Jika m1 m2, partikel yang menumbuk lebih berat dibandingkan partikel sasaran.
Dalam kasus ini, L harus sangat keil, tidak peduli berapa nilai L .5al ini bersesuaian dengan
persamaan "9:& yang menyatakan bah+a L tidak dapat lebih besar nilainya dibandingkan
dengan nilai maksimum Lmaks.
top related