distribusi probabilitas

Dr Adi Setiawan

Distribusi Probabilitas

Variabel acak (random variable) : variabel yang memiliki sebuah nilai numerik tunggal untuk setiap keluaran dari sebuah eksperimen probabilitas

Variabel acak diskrit : variabel acak yang memiliki nilai yang dapat dicacah (countable)

Variabel acak kontinu : variabel acak yang memiliki nilai yang tak terhingga banyaknya sepanjang sebuah interval yang tidak terputus

Distribusi Probabilitas

Jika sebuah eksperimen probabilitas mempunyai keluaran yang mungkin dari variabel acak diskrit x1, x2, , xn dan didaftarkan nilai probabilitas yang berkaitan yaitu

P(X = x1) = p(x1), , P(X = xn) = p(xn)

maka akan terbentuk distribusi probabilitas diskrit dari variabel acak X

Aturan suatu fungsi merupakan suatu fungsi probabilitas :1 Nilai-nilai dari suatu fungsi probabilitas adalah angka-angka yang berada dalam interval antara 0 dan 1 sehingga 0 p(x) 12 Jumlah seluruh nilai fungsi probabilitas adalah 1 sehingga

n

iixp

1

1)(

Contoh 1 :Percobaan melantunkan satu mata uang tiga kali.

Ruang sampel S = {MMM, MMB, MBM , BMM , BMB, BBM, MBB, BBB }.

Apabila diinginkan untuk meneliti banyak ' muka ' yang muncul pada tiap titik sampel maka hasil numerik 0, 1, 2 atau 3 akan dikaitkan dengan titik sampel.

Misalkan X(s) = banyak muka dalam s dengan sS.

Fungsi X : S R

dengan X(s) = x . Bilangan 0, 1, 2 dan 3 merupakan pengamatan yang mungkin.

Tabel berikut ini menyatakan probabilitas mendapatkan X "muka”.

Tabel tersebut juga dinamakan fungsi probabilitas dari variabel acak X

Kejadian Sederha

na

X

MMMMMBMBMBMMBBMMBBBMBBBB

32221110

Tabel fungsi probabilitasX 0 1 2

3P(X=x) 1/8 3/8 3/8

1/8

Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function /distribution function) didefinisikan sebagai

Hal itu berarti bahwa fungsi distribusi kumulatif adalah jumlah dari seluruh nilai fungsi probabilitas untuk nilai X sama atau kurang dari x

Fungsi distribusi dari Contoh 1 dapat dinyatakan sebagai :

x

pxXPxF

)()()(

Ukuran-ukuran statistik deskriptif untuk suatu distribusi probabilitas diskrit dapat ditentukan dengan prinsip-prinsip yang telah dijelaskan pada bab 2

Ukuran yang merupakan ukuran pemusatan dan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan :

Mean dari distribusi :

Variansi dari distribusi :

n

iiix xpx

1

)(

n

iixix xpx

1

22 )()(

Berdasarkan contoh 1 diperoleh mean dari distribusi adalah

n

iiix xpx

1

)(

8

13

8

32

8

31

8

10

8

12

2

3

dan variansi dari distribusi adalah

n

iixix xpx

1

22 )()(

8

1

2

33

8

3

2

32

8

3

2

31

8

1

2

30

2222

32

9

32

3

32

3

32

9

32

24

4

3

Secara teoritis, kurva distribusi probabilitas populasi diwakili oleh polygon frekuensi relatif yang dimuluskan fungsi kepadatan probabilitas (probability density function – pdf) f(x)

Luas daerah di bawah kurva yang dibatasi oleh sumbu-x antara garis x = a dan x = b menyatakan bahwa probabilitas bahwa X terletak antara x = a dan x = b yaitu

b

adxxfbXaP )()(

Agar sebuah fungsi dapat menjadi sebuah fungsi kepadatan probabilitas dari suatu variabel acak kontinu :1 Fungsi kepadatan probabilitas f(x) 0 2 Luas total daerah di bawah kurva f(x) adalah 1 yaitu

Jika X variabel acak kontinu maka berlaku

1)( dxxf

0)()()( c

cdxxfcpcXP

Contoh 2 : Dalam suatu proses produksi obat-obatan,

suatu bahan kimia harus dipanaskan dalam oven terlebih dahulu sebelum dapat diproses selanjutnya

Oven dapat dipergunakan setiap selang waktu 5 menit Karena variasi waktu dalam persiapannya, bahan kimia tersebut tidak selalu tersedia pada saat yang bersamaan dengan saat oven siap pakai

Jadi jika terlambat bahan kimia tersebut harus menunggu sampai waktu oven siap kembali digunakan Jika X variabel acak kontinu yang menyatakan waktu tunggu bahan kimia sampai bisa dipanaskan dalam oven maka himpunan nilai X yang mungkin adalah

{ 0 x 5 }

Salah satu fungsi kepadatan probabilitas bagi X adalah

Probabilitas waktu tunggu bahan kimia selama 1 sampai 3 menit adalah

Probabilitas waktu tunggu bahan kimia tersebut lebih dari 3,5 menit adalah

lainyang

xxf0

505

1)(

5

2

55

1)()31(

3

1

3

1

3

1

x

dxdxxfXP

10

3

5

5,1

55

1)()5,3(

5

5,3

5

5,35,3

xdxdxxfXP

Jika variabel acak X mempunyai fungsi kepadatan probabilitas f(x) maka fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak X dapat dinyatakan sebagai

Hubungan antara fungsi kepadatan probabilitas dan fungsi distribusi dapat dinyatakan sebagai :

xdttfxXPxF )()()(

)()()()()( bFcFdttfdttfcXbPc b

Mean distribusi :

Variansi distribusi :

Contoh 2 (lanjutan) Fungsi distribusi :

untuk 0 x 5

dxxfxx )(

dxxfx xx )()( 22

xx xdtdttfxXPxF

0 55

1)()()(

Mean distribusi adalah

dan variansi distribusinya adalah

5,210

25

105)(

5

0

25

0

x

dxx

dxxfxx

dxxdxxfx xx

5

0

222

5

1)5,2()()(

5

0

2 25,655

1dxxx

5

0

23

25,62

5

35

1

xx

x

25,31

2

125

3

125

5

1

6

5,187

6

375

6

250

5

1

6

5,62

5

1

12

25

Nilai harapan (expected value) atau nilai harapan matematik dari variabel acak X dinyatakan sebagai E(X) didefinisikan sebagai

jika X variabel acak diskrit dan nilai tersebut ada

Jika X variabel acak kontinu maka nilai harapan

didefinisikan sebagai

Nilai Harapan (Nilai Harapan Matematik)

n

iii xpxXE

1

)()(

dxxfxXE )()(

Di samping itu juga berlaku sifat :

222 ])([)( XEXEx

Contoh 4Pemakaian mesin produksi tertentu yang

berjalan lancar (tanpa kerusakan) memberikan keuntungan Rp 5 juta, sedangkan jika terdapat gangguan ringan memberikan keuntungan hanya Rp 1 juta

Namun jika gangguannya berat, terjadi kerugian Rp 2 juta

Pengalaman menunjukkan probabilitas mesin berjalan normal adalah 0,6, berjalan dengan gangguan ringan 0,3 sedangkan gangguan berat hanya 0,1

Harapan keuntungan yang diperoleh dari pemakaian mesin produksi tersebut dapat dihitung sebagai berikut :

Variabel acak diskrit X adalah keuntungan (dalam juta) dengan nilai x1 = 5, x2 = 1 dan x3 = -2 dengan probabilitas masing-masing p(x1) = 0,6, p(x2) = 0,3 dan p(x3) = 0,1

Harapan keuntungannya adalah

= 5 (0,6) + 1 (0,3) + (-2) (0,1) = 3,1Jadi harapan keuntungan pemakaian mesin

produksi tersebut adalah Rp 3,1 juta

)()()()()( 332211

3

1

xpxxpxxpxxpxXEi

ii

Di samping itu variansi dari keuntungan tersebut adalah :

= 25 (0,6) + 1 (0,3) + 4 (0,1) = 15,7, sehingga

dan simpangan bakunya adalah

09,6)1,3(7,15])([)( 2222 XEXEx

)()()()()()()()( 32

322

212

1

3

1

22 xpxxpxxpxxpxXEi

ii

47,209,6 x