catatan kuliah - fisika matematika i
Post on 13-Dec-2015
404 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
Catatan Kuliah :
Fisika Matematika I
Muhammad Fauzi Mustamin
๐
\๐๐๐๐๐ press
2015
Muhammad Fauzi Mustamin
Catatan Kuliah: Fisika Matematika 1
Edisi Pertama
\๐๐๐๐ก๐ฆ press ยฉ2015
KATA PENGANTAR
Ilmu Fisika merupakan ilmu mendasar dengan tujuan mendeskripsikan bagaimana alam semesta
bekerja. Berbagai fenomena alam kemudian diformulasikan ke dalam Matematika untuk mencari
tahu deskripsi tersebut secara terperinci. Hasil perincian ini kemudian dikembangkan menjadi
berbagai bidang keteknikan yang memfokuskan pada salah satu cabang ilmu Fisika. Bahkan
penjabaran ilmu Fisika tidak jarang diterapkan dalam pemecahan masalah-masalah sosial-politik.
Buku ini merupakan kumpulan catatan kuliah saat mengikuti mata kuliah Fisika Matematika I di
program studi Fisika, Universitas Hasanuddin. Terinspirasi dari hadits Rasulullah, โIkatlah ilmu
dengan menuliskannyaโ, saya memulai sedikit demi sedikit menuliskan bahan perkuliahan.
Setelah satu tahun berlalu, buku ini akhirnya bisa saya rampungkan meskipun masih jauh dari
kata sempurna untuk menjelaskan luasnya samudera Fisika Matematika.
Kepada dosen-dosen pengajar; Prof. Wira Bahari Nurdin dan Dr. Tasrief Surungan, serta teman-
teman sekelas pada mata kuliah Fisika Matematika semester ganjil 2014, saya mengucapkan
banyak terimakasih atas berbagai inspirasi saat perkuliahan.
Bagi teman-teman, para pembaca sekalian, saran dan feedback selalu dinanti di
muhammadfauzim@gmail.com.
Makassar, September 2015
Muhammad Fauzi Mustamin
DAFTAR ISI
1. Kalkulus Vektor .........................................................................................................................1
1.1 Diferensial Vektor ..................................................................................................................1
1.2 Integral Vektor .......................................................................................................................2
1.3 Kurva Ruang ..........................................................................................................................3
1.4 Operasi Vektor .......................................................................................................................5
1.5 Kordinat Silinder dan Kordinat Bola .....................................................................................8
1.6 Integral Kalkulus ..................................................................................................................11
2. Deret ..........................................................................................................................................15
2.1 Deret Konvergen dan Deret Divergen ..................................................................................15
2.2 Uji Konvergen Suatu Deret ..................................................................................................15
2.3 Deret Selang Seling ..............................................................................................................17
2.4 Deret Pangkat .......................................................................................................................18
2.5 Deret Taylor .........................................................................................................................18
3. Bilangan Kompleks ..................................................................................................................21
3.1 Dasar Bilangan Kompleks ....................................................................................................21
3.2 Manipulasi Bilangan Kompleks ...........................................................................................22
3.3 Representasi Polar ................................................................................................................25
3.4 Teorema de Moivre ..............................................................................................................26
3.5 Fungsi Hiperbolik .................................................................................................................28
4. Deret Fourier ............................................................................................................................30
4.1 Kondisi Dirichlet ..................................................................................................................30
4.2 Koefisien Fourier ..................................................................................................................31
4.3 Fungsi Diskontinu ................................................................................................................32
4.4 Fungsi Non-Periodik ............................................................................................................32
4.5 Deret Fourier Kompleks .......................................................................................................33
4.6 Teorema Parseval .................................................................................................................34
5. Transformasi Fourier ..............................................................................................................35
5.1 Pengantar Transformasi Fourier ...........................................................................................35
5.2 Fungsi Delta Dirac (๐ฟ) .........................................................................................................36
5.3 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap ..........................................................................................38
6. Persamaan Diferensial Biasa ..................................................................................................39
6.1 Persamaan Diferensial Orde I...............................................................................................39
6.2 Persamaan Diferensial Orde II .............................................................................................42
7. Transformasi Laplace ..............................................................................................................48
7.1 Definisi .................................................................................................................................48
7.2 Fungsi Elementer ..................................................................................................................48
7.3 Hubungan Fungsi Tertentu dengan Transformasi Laplace ..................................................50
7.4 Penerapan Transformasi Laplace pada Diferensial ..............................................................51
Daftar Pustaka .............................................................................................................................54
1
1. KALKULUS VEKTOR
Sebagaimana diketahui bersama, kalkulus merupakan alat yang sangat penting dalam
pendeskripsian berbagai kuantitas fisis. Pada tingkatan sekolah menengah tentu telah
diperkenalkan dasar dari kalkulus; diferensial, integral, dan berbagai materi berkaitan dengan hal
tersebut. Perbedaan mendasar dari kalkulus pada kuantitas skalar, kalkulus vektor, sesuai
namanya, mengolah berbagai vektor dengan menggunakan prinsip kalkulus. Hal ini mengingat
banyaknya kuantitas fisis berupa vektor, misalnya sebaran medan magnet pada sebuah muatan
listrik, kecepatan alir fluida, dan masih banyak lagi fenomena alam lain yang dalam
pendeskripsiannya menggunakan kalkulus vektor.
1.1 Diferensial Vektor
Misalkan sebuah vektor ๐ yang terdiri dari fungsi skalar dengan variabel ๐ข. Kita dapat
menuliskan vektor tersebut sebagai ๐(๐ข). Misalnya pada kordinat kartesian, ๐(๐ข) = ๐๐ฅ(๐ข)๐ข +
๐๐ฆ(๐ข)๐ฃ + ๐๐ง(๐ข)๐ค.
Perubahan kecil pada vektor ๐(๐ข) menghasilkan perubahan โ๐ข sehingga โ๐ = ๐(๐ข + โ๐ข) โ
๐(๐ข). Diferensial dari ๐(๐ข) terhadap ๐ข didefinisikan :
๐๐
๐๐ข= ๐๐๐
โ๐ขโ0
๐(๐ข + โ๐ข) โ ๐(๐ข)
โ๐ข (๐. ๐)
Gambar 1.1 Skema diferensial vektor.
2
Pada kordinat kartesian, diferensial vektor (๐ข) = ๐๐ฅ(๐ข)๐ข + ๐๐ฆ(๐ข)๐ฃ + ๐๐ง(๐ข)๐ค :
๐๐
๐๐ข=
๐๐๐ฅ
๐๐ข๏ฟฝฬ๏ฟฝ +
๐๐ฆ
๐๐ข๏ฟฝฬ๏ฟฝ +
๐๐ง
๐๐ข๏ฟฝฬ๏ฟฝ (๐. ๐)
Pada vektor komposit, setiap vektor atau skalar dapat berupa fungsi dari variabel ๐ข. Dengan
mengasumsikan ๐ dan ๐ adalah vektor terdiferensiasi terhadap skalar ๐ข dan bahwa ๐ adalah
fungsi skalar terdiferensiasi terhadap ๐ข :
๐
๐๐ข(๐๐) = ๐
๐๐
๐๐ข+
๐๐
๐๐ข๐ (๐. ๐๐)
๐
๐๐ข(๐ โ ๐) = ๐ โ
๐๐
๐๐ข+
๐๐
๐๐ขโ ๐ (๐. ๐๐)
๐
๐๐ข(๐ ร ๐) = ๐ ร
๐๐
๐๐ข+
๐๐
๐๐ขร ๐ (๐. ๐๐)
Dari persamaan (1.1), dapat dilihat saat โ๐ข โ 0, perubahannya terhadap ๐ akan sangat kecil.
Sehingga diperoleh persamaan :
๐๐ =๐๐
๐๐ข๐๐ข (๐. ๐)
Sebagai pemisalan adalah perubahan yang sangat kecil dari vektor posisi sebuah partikel pada
selang waktu :
๐๐ซ =๐๐ซ
๐๐ก๐๐ก = ๐ฏ๐๐ก
Dengan ๐ฏ adalah kecepatan partikel.
1.2 Integral Vektor
Kita ketahui bahwa intgerasi merupakan invers dari diferensiasi. Beberapa poin penting dalam
integrasi :
(i) Integral dari vektor atau skalar memiliki perlakuan yang sama dengan integral biasa.
(ii) Tetapan dari integrasi haruslah sama dengan sifat alami integral.
3
Misalnya, jika ๐(๐ข) = ๐ [๐(๐ข)] ๐๐ขโ menghasilkan integral (๐ข) :
โซ ๐(๐ข)๐๐ข = ๐(๐ข) + ๐ (๐. ๐)
Dimana ๐ adalah konstanta vektor. Jika ditetapkan batas dari ๐ข = ๐ข1 sampai = ๐ข2 :
โซ ๐(๐ข)๐๐ข = ๐(๐ข2) + ๐(๐ข1)๐ข1
๐ข2
(๐. ๐)
1.3 Kurva Ruang
Sebuah kurva ๐ถ pada ruang dapat dideskripsikan dengan vektor ๐ซ(๐ข) terhubung dengan titik
awal ๐ dari sebuah sistem kordinat menuju sebuah titik pada kurva. Karena variasi ๐ข, vektor
tersebut akan terus bergerak sepanjang kurva. Pada kordinat kartesian :
๐ซ(๐ข) = ๐ฅ(๐ข)๐ข + ๐ฆ(๐ข)๐ฃ + ๐ง(๐ข)๐ค (๐. ๐)
Dengan ๐ฅ = ๐ฅ(๐ข), ๐ฆ = ๐ฆ(๐ข),dan ๐ง = ๐ง(๐ข) merupakan persamaan parameter dari kurva tersebut.
Gambar 1.2 Tangen satuan ๏ฟฝฬ๏ฟฝ, normal ๏ฟฝฬ๏ฟฝ dan binormal ๏ฟฝฬ๏ฟฝ terhadap kurva ๐ถ pada titik ๐.
Kurva ruang juga dapat direpresentasikan dengan ๐ฆ = ๐(๐ฅ), ๐ง = ๐(๐ฅ), yang dapat dikonversei
seperti persamaan parameter :
๐ซ(๐ข) = ๐ข๐ข + ๐(๐ข)๐ฃ + ๐(๐ข)๐ค (๐. ๐)
4
Sebuah kurva terkadang dideskripsikan dengan formasi parametrik dengan vektor ๐ซ(๐ ), dimana
parameter ๐ adalah panjang garis sepanjang kurva diukur dari titik tetap. Untuk kurva yang
dideskripsikan dengan ๐ซ(๐ข), perubahan vektor yang sangat kecil :
๐๐ซ = ๐๐ฅ๐ข + ๐๐ฆ๐ฃ + ๐๐ง๐ค (๐. ๐)
Hasil kuadratnya memberikan :
(๐๐ )2 = ๐๐ซ. ๐๐ซ = (๐๐ฅ)2 + (๐๐ฆ)2 + (๐๐ง)2
Sehingga didapatkan :
(๐๐
๐๐ข)
2
=๐๐ซ
๐๐ข.๐๐ซ
๐๐ข
yang dapat diformasi ulang menjadi jarak antara dua titik pada kurva ๐ซ(๐ข), dengan ๐ข = ๐ข1 dan
๐ข = ๐ข2 :
๐ = โซ โ๐๐ซ
๐๐ข.๐๐ซ
๐๐ข
๐ข1
๐ข2
๐๐ข (๐. ๐๐)
Jika kurva ๐ถ dideskrippsikan dengan ๐ซ(๐ข), pada setiap titik di kurva terebut, ๐ ๐ซ ๐๐ขโ merupakan
seuah tangen vektor dari ๐ถ pada titik tersebut, dengan arah ๐ข meningkat. Pada kasus khusus
dimana parameter ๐ข adalah panjang ๐ sepanjang kurva, ๐ ๐ซ ๐๐ โ adalah satuan vektor tangen dari
๐ถ dan dinotasikan ๏ฟฝฬ๏ฟฝ.
Vektor satuan ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ ร ๏ฟฝฬ๏ฟฝ, tegak lurus terhadap permukaan datar ๏ฟฝฬ๏ฟฝ dan ๏ฟฝฬ๏ฟฝ disebut sebagai binormal
terhadap ๐ถ. Vektor ๏ฟฝฬ๏ฟฝ, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ, dan ๏ฟฝฬ๏ฟฝ membentuk sistem kordinat kartesian tangan-kanan pada setiap
titik di ๐ถ.
Secara ringkas, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ, tฬ, dan ๏ฟฝฬ๏ฟฝ serta diferensiasinya terhadap ๐ saling berhubungan, hubungan ini
disebut juga dengan formula Frenet-Serret :
๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐ = ๐ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ,
๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐ = ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๐ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ,
๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ
๐๐ = โ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ (๐. ๐๐)
5
1.4 Operator Vektor
Proses diferensiasi dapat dilakukan pada medan skalar dan medan vektor yang memiliki aplikasi
sangat luas dalam dunia fisika. Medan skalar secara sederhana dapat diperhatikan pada tekanan
dalam fluida dan potensial elektrostatis akibat adanya sebuah muatan listrik. Adapun medan
vektor berhubungan dengan hal tersebut adalah kecepatan vektor dalam fluida serta medan
listrik.
Dalam penjabaran tersebut diperlukan operator vektor. Operator terpenting penerapannya adalah
mencari gradien dari medan skalar serta mencari divergen dan curl dari medan vektor. Operator
ini menggunakan konsep diferensiasi. Operator vektor ๐ atau sering disebut del atau nabla
memiliki peran sentral pada pembahasan ketiga operator vektor tersebut. Pada kordinat kartesian
didefinisikan :
๐ โก ๐ข๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐
๐๐ง (๐. ๐๐)
Penjabaran selanjutnya memfokuskan pada sifat matematis dari operator vektor tersebut.
1.4.1 Gradien sebuah Medan Skalar
Gradien dari medan skalar ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) didefinisikan :
grad ๐ = ๐๐ = ๐ข๐๐
๐๐ฅ+ ๐ฃ
๐๐
๐๐ฆ+ ๐ค
๐๐
๐๐ง (๐. ๐๐)
Secara matematis, grad ๐ merupakan medan vektor yang setiap komponennya diturunkan satu
kali secara parsial terhadap ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง).
Secara umum, perubahan ๐ terhadap jarak ๐ pada arah :
๐๐
๐๐ = ๐๐. ๏ฟฝฬ๏ฟฝ (๐. ๐๐)
yang disebut sebagai turunan berarah.
Dapat dilihat bahwa
๐๐
๐๐ = |๐๐|๐๐๐ ๐
6
dengan ๐ merupakan sudut antara vektor ๏ฟฝฬ๏ฟฝ dan ๐๐ yang ditunjukkan pada gambar 1.3.
Gambar 1.3 Sifat geometri ๐๐, ๐๐ merupakan nilai ๐๐/๐๐ pada arah ๏ฟฝฬ๏ฟฝ.
Sifat menarik lain, ๐๐ merupakan vektor normal pada permukaan ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) = ๐ pada setiap
titik, seperti ditunjukkan pada gambar 1.3. Jika ๏ฟฝฬ๏ฟฝ normal satuan permukaan dengan arah
๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) meningkat, maka gradien juga sering dituliskan
๐๐ โก๐๐
๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ (๐. ๐๐)
dimana ๐๐
๐๐โก |๐๐| adalah perubahan ๐ pada arah ๏ฟฝฬ๏ฟฝ dan disebut sebagai turunan normal.
1.4.2 Divergen
Secara sederhana, divergen dapat dianggap sebagai kuantitas pengukuran dari seberapa banyak
medan vektor menyebar (divergen) atau menyusut (konvergen) pada sebuah titik.
Divergen dari medan vektor ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) didefinisikan :
div ๐ = ๐. ๐ =๐๐๐ฅ
๐๐ฅ+
๐๐๐ฆ
๐๐ฆ+
๐๐๐ง
๐๐ง (๐. ๐๐)
dimana ๐๐ฅ, ๐๐ฆ dan ๐๐ง merupakan komponen dari vektor ๐. Jelas terlihat bahwa ๐. ๐
menghasilkan sebuah medan skalar.
7
Selanjutnya, jika suatu medan vektor ๐ merupakan diferensiasi dari medan skalar, ๐ = ๐๐, maka
๐. ๐ akan membentuk ๐. ๐๐ atau ๐2๐, dimana
๐2 โก๐2
๐๐ฅ2+
๐2
๐๐ฆ2+
๐2
๐๐ง2 (๐. ๐๐)
yang disebut Laplacian dan muncul pada persamaan diferensial parsial.
1.4.3 Curl
Curl dari sebuah medan vektor ๐(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) didefinisikan :
curl ๐ = ๐ ร ๐ = (๐๐๐ง
๐๐ฆโ
๐๐๐ฆ
๐๐ง) ๐ข + (
๐๐๐ฅ
๐๐งโ
๐๐๐ง
๐๐ฅ) ๐ฃ + (
๐๐๐ฆ
๐๐ฅโ
๐๐๐ฅ
๐๐ฆ) ๐ณ (๐. ๐๐)
dimana ๐๐ฅ, ๐๐ฆ dan ๐๐ง merupakan komponen dari vektor ๐. Hasil dari sisi sebelah kanan
persamaan tersebut didapatkan dari proses determinan :
๐ ร ๐ = ||
๐ข ๐ฃ ๐ค๐
๐๐ฅ
๐
๐๐ฆ
๐
๐๐ง๐๐ฅ ๐๐ฆ ๐๐ง
|| (๐. ๐๐)
Untuk medan vektor ๐ฏ(๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง) yang mendeskripsikan kecepatan lokal pada setiap titik di dalam
sebuah fluida, ๐ ร ๐ฏ adalah pengukuran kecepatan sudut dari fuida pada daerah sekitar titik
tersebut. Jika sebuah kincir air kecil ditempatkan di dalam fluida tersebut, maka kincirnya akan
berotasi pada daerah ๐ ร ๐ฏ โ ๐, sementara kincirnya tidak akan berotasi pada daerah ๐ ร ๐ฏ = ๐.
Sebagai rangkuman hasil kombinasi dari ketiga operator vektor, tabel 1.1 menyajikan hal
tersebut.
Tabel 1.1 Rangkuman kombinasi operator vektor
8
1.5 Kordinat Silinder dan Kordinat Bola
Pendeskripsian fenomena fisis tidak hanya diekspresikan dalam kordinat kartesian. Dalam
berbagai situasi, kordinat sistem lain lebih mendasar, seperti kordinat silinder dan kordinat bola.
Seperti fluida dalam pipa pendeskripsiannya lebih alami menggunakan kordinat silinder, ataupun
muatan listrik dalam ruang pendeskripsiannya lebih alami dengan kordinat bola.
1.5.1 Kordinat Silinder
Posisi titik ๐ pada kordinat kartesian ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง dapat diekspresikan dalam kordinat silinder ๐, ๐, ๐ง
seperti terlihat pada gambar 1.5, dimana :
๐ฅ = ๐ cos ๐ , ๐ฆ = ๐ sin ๐ , ๐ง = ๐ง (๐. ๐๐)
Gambar 1.4 Kordinat silinder ๐, ๐, ๐ง
dan ๐ โฅ 0, 0 โค ๐ < 2๐ dan โ โ < ๐ง < โ. Posisi vektor dari titik ๐ kemudian dapat ditulis
๐ซ = ๐ cos ๐ ๐ข + ๐ sin ๐ ๐ฃ + ๐ง ๐ค (๐. ๐๐)
dimana, dengan melakukan diferensial parsial ๐ซ terhadap ๐, ๐ dan ๐ง lalu membagi dengan setiap
modulusnya didapatkan vektor pada kordinat silinder
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = ๐๐ = cos ๐ ๐ข + sin ๐ ๐ฃ (๐. ๐๐๐)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ =1
๐๐๐ = โ sin ๐ ๐ข + cos ๐ ๐ฃ (๐. ๐๐๐)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ง = ๐๐ง = ๐ค (๐. ๐๐๐)
9
Perpindahan sangat kecil ๐๐ซ dari titik ๐ memenuhi
๐๐ซ =๐๐ซ
๐๐๐๐ +
๐๐ซ
๐๐๐๐ +
๐๐ซ
๐๐ง๐๐ง
= ๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ + ๐๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ + ๐๐ง๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ง (๐. ๐๐)
Elemen volume dari kodinat silinder diperoeh dengan mengkalkulasi bidang paralelipiped sangat
kecil, didefinisikan oleh vektor ๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐, ๐๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ dan ๐๐ง๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ง:
๐๐ = |๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ โ (๐๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ ร ๐๐ง๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ง)| = ๐๐๐๐๐๐๐ง (๐. ๐๐)
Gambar 1.5 Elemen volume kordinat silinder
Perubahan kordinat ini juga memengaruhi operator vektor. Tabel 1.2 merangkum operator vektor
dalam kordinat silinder.
Tabel 1.2 Opertor vektor dalam kordinat silinder
10
1.5.2 Kordinat Bola
Posisi titik ๐ dalam kordinat bola ๐, ๐, ๐ dapat diamati pada gamba 1.6, dimana
๐ฅ = ๐ sin ๐ cos ๐ , ๐ฆ = ๐ sin ๐ sin ๐ , ๐ง = ๐ cos ๐ (๐. ๐๐)
Gambar 1.6 Kordinat bola ๐, ๐, ๐
dengan ๐ โฅ 0, 0 โค ๐ โค ๐ dan 0 โค ๐ < 2๐. Posisi vektor ๐ dapat dituliskan sebagai
๐ซ = ๐ sin ๐ ๐๐๐ ๐๐ข + ๐ sin ๐ sin ๐ ๐ฃ + ๐ cos ๐ ๐ค (๐. ๐๐)
Vektor satuannya, kembali dapat ditelusuri dengan melakukan diferensial parsial terhadap
๐, ๐, dan ๐, lalu membaginya dengan modulus tiap vektor
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = sin ๐ cos ๐ ๐ข + sin ๐ sin ๐ ๐ฃ + cos ๐ ๐ค (๐. ๐๐๐)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = cos ๐ cos ๐ ๐ข + cos ๐ sin ๐ ๐ฃ โ sin ๐ ๐ค (๐. ๐๐๐)
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = โ sin ๐ ๐ข + cos ๐ ๐ฃ (๐. ๐๐๐)
Perpindahan sangat kecil vektor tersebut pada kordinat bola
๐๐ซ = ๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ + ๐๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ + ๐ sin ๐ ๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ (๐. ๐๐)
Elemen volume pada kordinat bola merupakan volume dari paralelipiped sangat kecil yang
memenuhi
๐๐ = |๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ โ (๐๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ ร ๐ sin ๐ ๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐)| = ๐2 sin ๐ ๐๐๐๐๐๐ (๐. ๐๐)
11
Gambar 1.7 Elemen volume kordinat bola ๐, ๐, ๐
Perubahan kordinat ini tentu juga memengaruhi perubahan operator vektor. Tabel 1.3
merangkum perubahan operator vektor untuk kordinat bola.
Tabel 1.3 Operator vektor pada kordinat bola, dengan ฮฆ medan skalar dan ๐ medan vektor.
1.6 Integral Kalkulus
1.6.1 Integral Garis
Integral garis secara umum memiliki persamaan
โซ ๐ โ ๐๐ซ๐
๐
(๐. ๐๐)
12
Gambar 1.8 Visualisasi integral garis
dimana ๐ merepresentasikan fungsi vektor dan ๐๐ซ adalah vektor perpindahan untuk elemen kecil,
dengan integralnya dilakukan sepanjang titik ๐ sampai titik ๐. Saat integrasinya dilakukan untuk
lintasan tertutup, ๐ = ๐, maka bentuk integrasinya dapat dituliskan sebagai integral tertutup
โฎ ๐. ๐๐ซ (๐. ๐๐)
Esensi dari integral garis ini, kita melakukan perkalian skalar vektor dari ๐ dengan vektor
perpindahan elemen kecil ๐๐ซ sepanjang lintasan. Bagi fisikawan, bentuk paling sering dijumpai
adalah integral garis persamaan kerja oleh sebuah gaya, ๐ = โซ ๐ . ๐๐ซ.
Integral garis untuk beberapa kasus memiliki keunikan, dimana integral garis antara dua titik
tidak bergantung pada lintasan yang dilalui. Medan vektor dengan karakteristik tersebut disebut
konservatif. Sebuah vektor ๐ dengan diferensial parsial berhubungan pada daerah ๐ dikatakan
konservatif jika dan hanya jika memenuhi beberapa syarat berikut.
(i) Integral โซ ๐ โ ๐๐ซ๐ต
๐ด, dengan ๐ด dan ๐ต berada pada daerah ๐ , tidak bergantung pada
lintasan ๐ด ke ๐ต. Dapat dikatakan bahwa โฎ ๐ โ ๐๐ซ pada lintasan tertutup adalah nol.
(ii) Terdapat fungsi nilai tunggal ๐ dari posisi, dimana ๐ = ๐๐.
(iii) ๐ ร ๐ = 0.
(iv) ๐ โ ๐๐ซ merupakan diferensial eksak.
Kasus lain terjadi untuk menghubungkan integral garis dan integral bidang. Integral garisnya
dapat dihubungkan dengan luas daerah cakupan dengan menggunakan teorema Green untuk
bidang memenuhi
13
โฎ (๐๐๐ฅ + ๐๐๐ฆ)
๐ถ
= โฌ (๐๐
๐๐ฅโ
๐๐
๐๐ฆ)
๐
๐๐ฅ๐๐ฆ (๐. ๐๐)
terlihat hubungan integral garis sepanjang lintasan ๐ถ terhadap integral lipat dua dengan luas ๐ .
1.6.2 Integral Permukaan
Integral permukaan secara umum memiliki persamaan
โซ ๐. ๐๐
๐
(๐. ๐๐)
Gambar 1.9 Visualisasi integral permukaan
dimana ๐ merupakan fungsi vektor dan ๐๐ merupakan elemen kecil luas, dengan arah tegak lurus
dengan permukaan. Saat permukaannya tertutup, maka persamaannya dapat dituliskan sebagai
integral tertutup
โฎ ๐. ๐๐ (๐. ๐๐)
Jika ๐ mendeskripsikan aliran fluida (massa persatuan luas persatuan waktu), maka โซ ๐ โ ๐๐
merepresentasikan massa total persatuan waktu yang melewati permukaan atau lebih sering
disebut sebagai flux.
Lebih detail, elemen luas dapat dituliskan
๐๐ = ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐ (๐. ๐๐)
dimana ๏ฟฝฬ๏ฟฝ merupakan normal satuan permukaan.
14
1.6.3 Integral Volume
Integral volume memiliki persamaan umum
โซ ๐ ๐๐
๐
(๐. ๐๐)
dengan ๐ fungsi skalar dan ๐๐ elemen volume kecil, dimana untuk kordinat kartesian ๐๐ =
๐๐ฅ๐๐ฆ๐๐ง.
Misalnya ๐ adalah densitas suatu bahan, maka โซ ๐๐๐ merepresentasikan massa total.
1.6.4 Teorema Divergence
Teorema divergence menghubungkan flux total dari medan vektor yang menyebar dari
permukaan tertutup ๐ menuju integrasi divergence dari medan vektor volume tertutup ๐.
Ungkapan matematis dari teorema divergence memenuhi
โซ ๐ โ ๐ ๐๐
๐
= โฎ ๐.
๐
๐๐บ (๐. ๐๐)
1.6.5 Teorema Stokes
Teorema Stokes menghubungkan integral dari curl dari medan vektor sepanjang sebuah
permukaan terbuka ๐ dengan integral garis dari medan vektor sekitar lintasan ๐ถ yang
menghubungkan permukaan. Ungkapan matematis teorema Stokes memenuhi
โซ (๐ ร ๐)
๐
โ ๐๐ = โฎ ๐ โ ๐๐ซ
๐ช
(๐. ๐๐)
15
2. DERET
Banyak situasi fisika yang kita sajikan dalam bentuk deret. Sebuah deret dapat berupa
penjumlahan berhingga ataupun penjumlahan tak hingga dari sekumpulan angka. Secara umum,
penjumlahan dari ๐ bagian dari sebuah deret dapat ditulis :
๐๐ = โ ๐ข๐
๐
๐=1
= ๐ข1 + ๐ข2 + ๐ข3 + โฏ + ๐ข๐ (๐. ๐)
Jenis deret berhingga, berarti nilai ๐ mencapai angka tertentu. Sedangkan untuk deret tak hingga
nilai ๐ = โ. Dalam dunia fisika, banyak kejadian alam yang memenuhi konsep deret tak
berhingga. Atas dasar ini, pembahasan selanjutnya akan fokus pada deret tak hingga.
2.1 Deret Konvergen dan Deret Divergen
Dalam pembahasan deret untuk menganalisa keadaan fisis, perlu diperhatikan bahwa kita akan
menjumlahkan sekian banyak angka yang jumlahnya tak berhingga. Sesuai dengan persamaan
(2.1), karena deretnya tidak berhingga :
๐โ = โ ๐ข๐
โ
๐=1
= ๐ข1 + ๐ข2 + ๐ข3 + โฏ + ๐ขโ (๐. ๐)
Atau juga dapat dicari engan menggunakan konsep limit :
๐ = ๐๐๐๐โโ
๐๐ (๐. ๐)
Jika nilai ๐ menuju sebuah angka tertentu deretnya dikatakan deret konvergen. Sementara jika ๐
menuju ยฑโ, deretnya dikatakan sebagai deret divergen.
2.2 Uji Konvergen Suatu Deret
2.2.1 Nilai Mutlan dan Konvergensi Deret
Secara umum, deret tak hingga โ ๐ข๐ dapat memiliki bagian kompleks dan pada kasus khusus
terdiri dari nilai positif dan negatif. Untuk sebuah deret, kita dapat mengasumsikan deret lain
16
โ|๐ข๐| yang setiap bagiannya merupakan nilai absolut dari deret awal โ ๐ข๐ yang hendak dicari.
Setiap bagian dari deret mutak tersebut akan menghasilkan nilai positif.
Jika deret โ|๐ข๐| konvergen, maka deret โ ๐ข๐ juga konvergen, dan โ ๐ข๐ dapat dikatakan sebagai
deret konvergen mutlak. Untuk deret konvergen mutlak, setiap bagiannya dapat disusun ulang
tanpa mempengaruhi konvergensi dari deret tersebut.
Jika deret โ|๐ข๐| divergen namun deret โ ๐ข๐ konvergen, deretnya dikatakan konvergen
kondisional. Untuk deret konvergen kondisional, jika urutan bagiannya diubah, maka akan
berpengaruh pada deret semula, sehingga tidak jelas, apakah deretnya konvergen atau divergen.
2.2.2 Konvergensi Deret Positif
Deret positif merupakan deret yang semua bagiannya terdiri dari bilangan konstan positif. Untuk
meguji konvergensitas suatu deret positif, ada beberapa cara yang dapat dilakukan :
1. Uji Awal
Uji awal digunakan untuk mendeteksi apakah deret tersebut sudah pasti divergen. Untuk deret
โ ๐ข๐ dikatakan konvergen jika hasilnya menuju nol saat ๐ menuju tak hingga.
๐๐๐๐โโ
๐ข๐ = 0
Jika kondisi tersebut tidak terpenuhi, maka deretnya sudah pasti divergen. Namun, meski telah
terpenuhi, deretnya juga bisa berupa deret divergen, sehingga membutuhkan pengujian yang lain
untuk membuktikan.
2. Uji Banding
Uji banding merupakan pengujian paling mendasar dalam menguji konvergensi suatu deret.
Misalkan kita memiliki dua deret, โ ๐ข๐ dan โ ๐ฃ๐ dan kita mengetahui bahwa salah satunya deret
konvergen. Sehingga jika setiap bagian ๐ข๐ pada deret awal kurang dari atau sama dengan bagian
dari deret ๐ฃ๐, untuk setiap ๐ yang lebih besar dari nilai tetap ๐ yang bisa bervariasi setiap deret,
deret awal โ ๐ข๐ juga merupakan deret konvergen.
Dengan kata lain, jika โ ๐ฃ๐ konvergen dan
๐ข๐ โค ๐ฃ๐, untuk ๐ > ๐
17
Maka deret โ ๐ข๐ juga konvergen.
Namun jika โ ๐ฃ๐ divergen dan ๐ข๐ โฅ ๐ฃ๐ untuk setiap ๐ yang lebih besar untuk nilai tetap, maka
โ ๐ข๐ merupakan deret divergen.
3. Uji Perbandingan dโAlembert
Jika sebuah deret โ ๐ข๐ dan didefinisikan :
๐ = ๐๐๐๐โโ
(๐ข๐+1
๐ข๐) (๐. ๐)
Berlaku hubungan, jika ๐ < 1 deretnya konvergen; jika ๐ > 1 deretnya divergen; jika ๐ = 1
maka deretnya bisa konvergen mapun divergen.
4. Uji Integral
Misalkan terdapat sebuah fungsi ๐(๐ฅ) yang secara monoton menurun sepanjang ๐ฅ lebih besar
dari niali tetap ๐ฅ0 dan untuk ๐(๐) = ๐ข๐. Deret โ ๐ข๐ konvergen jika integral pembandingnya
berhingga :
โซ ๐(๐ฅ)โ
1
๐๐ฅ (๐. ๐)
Namun jika integralnya tak hingga, maka deretnya dikatakan deret divergen.
2.3 Deret Selang Seling
Deret selang seling dapat ditulis sebagai :
โ(โ1)๐+1๐ข๐
โ
๐=1
= ๐ข1 โ ๐ข2 + ๐ข3 โ ๐ข4 + ๐ข5 โ โฏ (๐. ๐)
Syarat deret selang-seling konvergen adalah
1. Limit dari harga mutlak suku ๐ข๐ adalah 0.
๐๐๐๐โโ
|๐ข๐| = 0
2. Deret selang-seling haruslah deret yang monoton turun untuk setiap suku mutlaknya.
18
|๐๐+1| < |๐๐|
Jika setiap suku dalam deret diambil harga mutlaknya, kita peroleh deret baru yang sema
bagiannya positif. Deret ini disebut deret mutlak, yang bisa bersifat konvergen ataupun divergen.
2.4 Deret Pangkat
Formasi umum dari deret pngkat adalah :
๐(๐ฅ) = ๐0 + ๐1๐ฅ + ๐2๐ฅ2 + ๐3๐ฅ3 + โฏ (๐. ๐)
Dimana ๐0, ๐1, ๐2, ๐3, โฆ. Meruakan konstanta. Deret tersebut secara umum sering muncul dalam
fisika dan sangat berguna, untuk |๐ฅ| < 1, bagian seanjutnya deret tersebt dapat menjadi sangat
kecil dan diabaikan.
Dengan menggunakan uji perbandingan dโAlembert, kita dapat melihat bahwa ๐(๐ฅ) konvergen
mutlak jika :
๐0 = ๐๐๐๐โโ
|๐๐+1
๐๐๐ฅ| = |๐ฅ| ๐๐๐
๐โโ|๐๐+1
๐๐| < 1
Atau dapat ditulis :
|๐ฅ| <1
๐ (๐. ๐)
Konvergensi dari ๐(๐ฅ) bergantung pada nilai ๐ฅ, dimana daerah ๐ฅ bergantung pada nilai ๐.
1. Jika ๐ = 0, deretya konvergen untuk semua nilai ๐ฅ.
2. Jika ๐ = โ, deretnya konvergen hanya untuk nilai ๐ฅ = 0.
3. Jika โ1 ๐โ < ๐ฅ < +1 ๐โ , deretnya konvergen untuk daerah ๐ฅ antara โ1 ๐โ sampai +1 ๐โ .
2.5 Deret Taylor
Ekspansi Taylor merupakan alat yang sangat berguna untuk menjabarkan deret pangkat dari
sebuah fungsi. Dengan mengasumsikan fungsi ๐(๐ฅ) memiliki sebuah turunan ke-๐ yang kontinu
pada selang ๐ โค ๐ฅ โค ๐, kemudan mengintegralkanya sebanyak ๐ :
19
โซ ๐(๐)(๐ฅ1)๐ฅ
๐
๐๐ฅ1 = ๐(๐โ1)(๐ฅ1)|๐ฅ๐
= ๐(๐โ1)(๐ฅ) โ ๐(๐โ1)(๐)
โซ ๐๐ฅ2
๐ฅ
๐
โซ ๐(๐)(๐ฅ1)๐ฅ2
๐
๐๐ฅ1 = โซ ๐๐ฅ2
๐ฅ
๐
[๐(๐โ1)(๐ฅ2) โ ๐(๐โ1)(๐)]
= ๐(๐โ2)(๐ฅ) โ ๐(๐โ2)(๐) โ (๐ฅ โ ๐)๐(๐โ1)(๐)
โซ ๐๐ฅ3
๐ฅ
๐
โซ ๐๐ฅ2
๐ฅ3
๐
โซ ๐(๐)(๐ฅ1)๐ฅ2
๐
๐๐ฅ1 = โซ ๐๐ฅ3
๐ฅ
๐
[๐(๐โ2)(๐ฅ3) โ ๐(๐โ2)(๐) โ (๐ฅ โ ๐)๐(๐โ1)(๐)]
= ๐(๐โ3)(๐ฅ) โ ๐(๐โ3)(๐) โ (๐ฅ โ ๐)๐(๐โ2)(๐) โ(๐ฅ โ ๐)2
2!๐(๐โ1)(๐)
Dengan mengintegralkan sebanyak ๐ kali, didapatkan formasi :
โซ ๐๐ฅ๐
๐ฅ
๐
โฆ โซ ๐(๐)(๐ฅ1)๐ฅ2
๐
๐๐ฅ1
= ๐(๐ฅ) โ ๐(๐) โ (๐ฅ โ ๐)๐โฒ(๐) โ(๐ฅ โ ๐)2
2!๐โฒโฒ(๐) โ โฏ โ
(๐ฅ โ ๐)๐โ1
(๐ โ 1)!๐๐โ1(๐)
Dengan melakukan pengurutan ulang, didapatkan nilai (๐ฅ) :
๐(๐ฅ) = ๐(๐) + (๐ฅ โ ๐)๐โฒ(๐) +(๐ฅ โ ๐)2
2!๐โฒโฒ(๐) + โฏ +
(๐ฅ โ ๐)๐โ1
(๐ โ 1)!๐๐โ1(๐) + ๐ ๐ (๐. ๐)
Dimana ๐ ๐ merupakan pengintegralan ๐ kali :
๐ ๐ = โซ ๐๐ฅ๐
๐ฅ
๐
โฆ โซ ๐(๐)(๐ฅ1)๐ฅ2
๐
๐๐ฅ1 (๐. ๐๐)
๐ ๐ dapat ditulis dengan menggunakan konsep integral kalkulus :
โซ ๐(๐ฅ)๐ฅ
๐
๐๐ฅ = (๐ฅ โ ๐)๐(๐) (๐. ๐๐)
Dengan ๐ โค ๐ โค ๐ฅ. Dengan mengintegralkan ๐ kali, didapatkan suku sisa :
๐ ๐ =(๐ฅ โ ๐)๐
๐!๐(๐)(๐) (๐. ๐๐)
Saat fungsi ๐๐๐๐โโ
๐ ๐ = 0, nilai ๐(๐ฅ) kemudian menjadi deret Taylor :
20
๐(๐ฅ) = ๐(๐) + (๐ฅ โ ๐)๐โฒ(๐) +(๐ฅ โ ๐)2
(๐ โ ๐)!๐โฒโฒ(๐) + โฏ +
(๐ฅ โ ๐)๐โ1
(๐ โ 1)!๐๐โ1(๐) (๐. ๐๐)
Atau disederhanakan menjadi :
๐(๐ฅ) = โ(๐ฅ โ ๐)๐
๐!
โ
๐=0
๐(๐)(๐) (๐. ๐๐)
Deret Taylor yang didapatkan mendefinisikan nilai fungsi pada titik ๐ฅ, yang merupakan bagian
dari nilai fungsi dan turunannya pada titik ๐. Ini merupaan ekspansi pangkat dari perubahan
variable, atau ๐ฅ โ ๐. Definisi ini dapat memperjelas deret Taylor dengan menggunakan formasi
alternative, menggantikan ๐ฅ dengan ๐ฅ + โ dan ๐ dengan :
๐(๐ฅ + โ) = โโ๐
๐!
โ
๐=0
๐(๐)(๐ฅ) (๐. ๐๐)
Jika dipilih ๐ = 0, ekspansi Taylor di atas berubah menjadi ekspansi Mclaurin :
๐(๐ฅ) = โ(๐ฅ)๐
๐!
โ
๐=0
๐(๐)(0) (๐. ๐๐)
21
3. BILANGAN KOMPLEKS
3.1 Dasar Bilangan Kompleks
Perhatikan persamaan kuadrat berikut :
๐ง2 โ 4๐ง + 5 = 0 (3.1)
Solusinya dapat dicari dengan menggunakan persamaan akar persamaan kuadrat :
๐ง1,2 = 2 ยฑโโ4
2 (3.2)
Setiap persamaan kuadrat selalu memiliki dua solusi dan tentunya juga berlaku untuk persamaan
(3.2). Bagian kedua dari persamaan sebelah kanan disebut bagian ๐๐๐๐๐๐๐๐ karena memilii akar
dari sebuah bilangan negative, sementara bagian pertamanya disebut bagian ๐๐๐. Solusi totalnya
merupakan jumlah antara bagian ril dan bagian imajiner yang disebut dengan bilangan kompleks.
Fungsinya dapat dilihat dari gambar di bawah.
Gambar 3.1 Grafik persamaan kuadrat ๐ง2 โ 4๐ง + 5 = 0
Persamaan umum dari bilangan kompleks disimbolkan sebagai ๐ง, yang merupakan gabungan
dari bagian ril ๐ฅ dan ๐ dikalikan bagian imajiner ๐ฆ :
๐ง = ๐ฅ + ๐๐ (3.3)
22
Dengan ๐ digunakan sebagai symbol dari akar -1. Bagian ril ๐ฅ dinotasikan dengan โ๐ง sementara
bagian imajiner ๐ฆ dinotasikan sebagai โ๐ง.
Pada contoh di atas, โโ4 = 2โโ1 = 2๐, sehingga solusi yang kita dapatka adalah :
๐ง1,2 = 2 ยฑ2๐
2= 2 ยฑ ๐
Dengan ๐ฅ = 2 dan ๐ฆ = ยฑ1.
Persamaan bilangan kompleks biasa ditulis dengan bentuk :
๐ง = (๐ฅ, ๐ฆ)
Dimana komponen dari ๐ง bisa umpamakan berada pada koordinat kartesian. Plot fungsi tersebut
disebut diagram Argand.
Gambar 3.2 Diagram Argand
3.2 Manipulasi Bilangan Kompleks
3.2.1 Modulus, Argumen dan Konjugat Kompleks
Modulus dari bilangan kompleks ๐ง dinotasikan sebagai |๐ง| dan didefinisikan :
|๐ง| = โ๐ฅ2 + ๐ฆ2 (3.4)
Sehingga modulus dapat diartikan sebagai jarak sebuah titik dar titik pada diagram Argand.
Argumen dari bilangan kompleks ๐ง dinotasikan dengan arg ๐ง dan didefinisikan :
23
arg ๐ง = ๐ก๐๐โ1 (๐ฆ
๐ฅ) (3.5)
Dapat pula dilihat bahwa arg ๐ง adalah sudut yang menghubungan titik asal sampai ๐ง pada
diagram Argand dengan sumbu-๐ฅ positif. Menurut hasil konvensi, arah berlawanan jarum jam
adalah positif.
Gambar 3.3 Representasi modulus dan arg bilangan kompleks ๐ง
Sementara konjugat kompleks, didenotasikan sebagai ๐งโ, dimana jika ๐ง = ๐ฅ + ๐๐ฆ, maka ๐งโ =
๐ฅ โ ๐๐ฆ. Secara umum, konjugat kompleks ๐ง adalah nilai yang sama dengan besar ๐ง yang jika
dikalikan dengan ๐ง menghasilkan hasil ril.
Gambar 3.4 Hubungan geometri konjugat bilangan kompleks
Hal ini dapat diuktikan, misalkan ๐ง = ๐ฅ + ๐๐ฆ, maka jika dikalikan dengan konjugat kompleksnya
akan menghasilkan :
๐ง๐งโ = (๐ฅ + ๐๐ฆ)(๐ฅ โ ๐๐ฆ) = ๐ฅ2 โ ๐๐ฅ๐ฆ + ๐๐ฅ๐ฆ โ ๐2๐ฆ2 = ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = |๐ง|2
Kompleks konjugat juga dapat dipandang sebagai refleksi dari ๐ง.
24
3.2.2 Operasi Matematika
Penjumlahan dalam bilangan kompleks pada kordinat kartesian sama persis dengan penjumlahan
biasa :
๐ง1 + ๐ง2 = (๐ฅ1 + ๐๐ฆ1) + (๐ฅ2 + ๐๐ฆ2) = (๐ฅ1 + ๐ฅ2) + ๐(๐ฆ1 + ๐ฆ2) (3.6)
Untuk perkalian :
๐ง1๐ง2 = (๐ฅ1 + ๐๐ฆ1)(๐ฅ2 + ๐๐ฆ2) = (๐ฅ1๐ฅ2 โ ๐ฆ1๐ฆ2) + ๐(๐ฅ1๐ฆ2 + ๐ฆ1๐ฅ2) (3.7)
Perkalian dari suatu bilangan kompleks memenuhi aturan komutatif dan asosiatif :
๐ง1๐ง2 = ๐ง2๐ง1 (3.8)
(๐ง1๐ง2)๐ง3 = ๐ง1(๐ง2๐ง3) (3.9)
Produk dari perkalian bilangan kompleks juga menghasilkan hubungan :
|๐ง1๐ง2| = |๐ง1||๐ง2| (3.10)
๐๐๐(๐ง1๐ง2) = ๐๐๐๐ง1 + ๐๐๐๐ง2 (3.11)
Untuk bilangan kompleks ๐ง yang dikalikan dengan ยฑ1 dan ยฑ๐, menghasilkan suatu pola yang
menarik. Ketika mengalikan ๐ง dengan kesatuan (yang memiliki argument nol) memberikan ๐ง
yang tetap dikedua modulus dan argument.
Adapun dengan mengalikan โ1 (argumennya ๐) mengakibatkan rotasi, sepanjang sudut ๐, dari
garis yang menghubungkan titik asal dengan ๐ง pada diagram Argand. Sama halnya dengan
mengalikan ๐ atau โ๐ yang menghasilkan putaran ๐ 2โ atau โ๐ 2โ .
Gambar 3.5 Pola menarik saat menglikan bilangan kompleks dengan ยฑ1 dan ยฑ๐
25
Sementara untuk operasi pembagian, misalkan diketahui bilangan kompleks ๐ง1 dan ๐ง2, jika
keduanya dibagi akan membentuk formasi :
๐ง1
๐ง2=
๐ฅ1 + ๐๐ฆ1
๐ฅ2 + ๐๐ฆ2 (๐. ๐๐)
Untuk mendapatkan hasil yang terpisah antara bagian ril dan kompleksnya, kita kalikan dengan
rasio kompleks konjugat dari pembagi atau dalam persamaan (3.12) adalah ๐ง2 :
๐ง1
๐ง2=
(๐ฅ1 + ๐๐ฆ1)(๐ฅ2 โ ๐๐ฆ2)
(๐ฅ2 + ๐๐ฆ2)(๐ฅ2 โ ๐๐ฆ2)=
๐ฅ1๐ฅ2 + ๐ฆ1๐ฆ2
๐ฅ22 + ๐ฆ2
2+ ๐
๐ฅ2๐ฆ1 โ ๐ฅ1๐ฆ2
๐ฅ22 + ๐ฆ2
2 (๐. ๐๐)
Sama halnya dengan perkalian, pembagian bilangan kompleks juga menghasilkan beberapa
persamaan yang sesuai dengan persamaan (3.10) dan (3.11) :
|๐ง1
๐ง2| =
|๐ง1|
|๐ง2| (๐. ๐๐)
arg (๐ง1
๐ง2) = arg ๐ง1 โ arg ๐ง2 (๐. ๐๐)
3.3 Representasi Polar
Sebuah alternative untuk memetakan bilangan kompleks adalah dengan menggunakan kordinat
polar (๐, ๐), yang memenuhi persamaan :
๐ฅ = ๐ cos ๐ , ๐ฆ = ๐ sin ๐ , atau ๐ = โ๐ฅ2 + ๐ฆ2, ๐ = tan (๐ฆ
๐ฅ) (๐. ๐๐)
Dengan melakukan subtitusi pada persamaan umum bilangan kompleks pada kordinat kartesian,
๐ง = ๐ฅ + ๐๐ฆ, diperoleh persamaan :
๐ง = ๐ cos ๐ + ๐ ๐ sin ๐ = ๐๐๐๐ (๐. ๐๐)
Dimana ๐๐๐ merupakan persamaan euler yang sesuai definisi :
๐๐๐๐ = cos ๐๐ + ๐ sin ๐๐ (๐. ๐๐)
26
Gambar 3.6 Representasi polar bilangan kompleks ๐ง
Penyederhanaan representasi dari modulus dan argument merupakan salah satu alas an
menggunakan kordinat polar. Sudut ๐ secara konvensional terletak pada โ๐ < 0 โค ๐, namun
karena rotasi ๐ adalah sama dengan rotasi 2๐๐ + ๐, dengan ๐ adalah bilangan bulat, didapatkan
persamaan umum bilangan kompleks :
๐ง = ๐๐๐๐ โก ๐๐๐(๐+2๐๐) (๐. ๐๐)
Jika kita memiliki dua buah bilangan kompleks dengan formasi polar, ๐ง1 = ๐1๐๐๐1 dan ๐ง2 =
๐2๐๐๐2, jika dikalikan :
๐ง1๐ง2 = ๐1๐2๐๐(๐1+๐2) (๐. ๐๐)
Sementara untuk pembagian :
๐ง1
๐ง2==
๐1
๐2๐๐(๐1โ๐2) (๐. ๐๐)
3.4 Teorema de Moivre
Kita tahu bahwa (๐๐๐)๐
= ๐๐๐๐, sehingga sesuai dengan persamaan euler didapatkan :
(๐๐๐ ๐ + ๐๐ ๐๐๐)๐ = cos ๐๐ + sin ๐๐ (๐. ๐๐)
Hasil ini disebut teorema de Moivre dan sering digunakan dalam maniulasi bilangan kompleks.
Manipulasinya anatara lain; mencari identitas trigonometri, mencari akar ke-๐ suatu besaran.
27
3.4.1 Mencari Identitas Trigonometri
Misalkan kita ingin mencari bentuk pangkat dari cos ๐ dan sin ๐,
cos 3๐ + ๐ sin 3๐ = (cos ๐ + ๐ sin ๐)3 = (cos3 ๐ โ 3 cos ๐ sin2 ๐) + ๐(3 sin ๐ cos2 ๐ โ sin3 ๐)
Metode ini juga dapat digunakan untuk mencari ekspansi pangkat dari cos ๐๐ dan sin ๐๐ untuk
setiap ๐ bilangan bulat.
๐ง๐ +1
๐ง๐= (cos ๐ + ๐ sin ๐)๐ + (cos ๐ + ๐ sin ๐)โ๐
๐ง๐ +1
๐ง๐= cos ๐๐ + ๐ sin ๐๐ + cos(โ๐๐) + ๐ sin(โ๐๐) = 2 cos ๐๐ (๐. ๐๐)
Dan
๐ง๐ โ1
๐ง๐= (cos ๐ + ๐ sin ๐)๐ โ (cos ๐ + ๐ sin ๐)โ๐
๐ง๐ +1
๐ง๐= cos ๐๐ + ๐ sin ๐๐ โ cos(โ๐๐) + ๐ sin(โ๐๐) = 2๐ sin ๐๐ (๐. ๐๐)
3.4.2 Mencari Akar ke-๐
Persamaan ๐ง2 = 1 memiliki solusi ๐ง = ยฑ1. Dengan menggunakan konsep bilangan kompleks,
kita dapat menyelesaikan persamaa umum dari ๐ง๐ = 1. Ingat bahwa persamaan tersebut
memiliki ๐ buah solusi. Persamaan ๐ง๐ dapat ditulis ulang :
๐ง๐ = ๐ง2๐๐๐
Dengan ๐ adalah bilangan bulat sembarang dan dengan melakukan penyederhanaan kita
dapatkan :
๐ง = ๐ง2๐๐๐ ๐โ (๐. ๐๐)
Sehingga, solusi untuk ๐ง๐ = 1 adalah :
๐ง1,2,โฆ.,๐ = 1, ๐2๐๐ ๐โ , โฆ , ๐2๐(๐โ1)๐ ๐โ
Dengan ๐ nilainya mulai dari 0,1,2, โฆ , ๐ โ 1.Nilai ๐ yang semakin besar tidak memberi solusi
baru karena akarnya telah berulang untuk ๐ = ๐, ๐ + 1, ๐ + 2, dan seterusnya.
28
Misalna mencari solusi dari ๐ง3 = 1, sesuai persamaan (4.25) kita dapatkan :
๐ง = ๐2๐๐๐ 3โ
Selanjutnya, solusinya didapatkan dengan memasukkan nilai ๐, ๐ง1 = ๐0๐ , ๐ง2 = ๐2๐๐ 3โ , ๐ง3 =
๐4๐๐ 3โ . Ketika memasukkan nilai ๐ yang lebih besar, misalya 3, ๐ง4 = ๐6๐๐ 3โ = 1 = ๐ง1. Sehingga
terbukti hanya terdapat tiga buah solusi untuk ๐ = 3.
Gambar 3.7 Representase geometri solusi ๐ง๐ = 1
3.5 Fungsi Hiperbolik
Fungsi hiperbolik merupakan analogi kompleks dari fungsi trigonometri. Memiliki hubungan
yang mirip dengan fungsi trgonometri, baik dari identitas maupun kalkulusnya.
Terdapat dua fungsi fundamental, cosh ๐ฅ dan sinh ๐ฅ, yang masing-masing merupakan mirip
dengan ๐๐๐ ๐ฅ dan ๐ ๐๐๐ฅ. Fungsi tersebut didefinisikan dengan relasi :
cosh ๐ฅ =1
2(๐๐ฅ + ๐โ๐ฅ) (๐. ๐๐)
sinh ๐ฅ =1
2(๐๐ฅ โ ๐โ๐ฅ) (๐. ๐๐)
Dengan fungsi tersebut, leih jauh dapat dicari hubungan dari fungsi hiperbolik lain untuk tanh ๐ฅ,
sech ๐ฅ, csch ๐ฅ, dan coth ๐ฅ.
29
Sesuai dengan persamaan euler, kita mendapatkan :
cos ๐๐ฅ =1
2(๐๐ฅ + ๐โ๐ฅ)
sin ๐๐ฅ =1
2(๐๐ฅ โ ๐โ๐ฅ)
Sehingga didapat hubungan yang sangat jelas antara fungsi hiperbolik dengan fungsi
trigonometri :
cosh ๐ฅ = cos ๐๐ฅ (๐. ๐๐)
๐ sinh ๐ฅ = sin ๐๐ฅ (๐. ๐๐)
cos ๐ฅ = cosh ๐๐ฅ (๐. ๐๐)
๐ sin ๐ฅ = sinh ๐๐ฅ (๐. ๐๐)
30
4. DERET FOURIER
Fenomena periodik seperti gelombang, gerak harmonis, atau gaya-gaya berulang lain
dideskripsikan dengan fungsi berulang. Deret dan transformasi Fourier merupakan media yang
menjadi dasar untuk memecahkan berbagai fenomena berulang tersebut.
4.1 Kondisi Dirichlet
Deret Fourier dapat digunakan untuk merepresentasikan suatu fungsi yang tidak dapat dilakukan
dengan ekspansi Taylor. Agar fungsi ๐(๐ฅ) memenuhi kriteria deret Fourier, maka deret tersebut
harus memenuhi kondisi Dirichlet :
(i) Fungsinya harus periodic
(ii) Bernilai tunggal dan kontinu, kecuali mungkin pada nilai berhingga tertentu.
(iii) Memiliki hanya satu titik maksimum dan minimum pada satu periode.
(iv) Integral sepanjang periode |๐(๐ฅ)| harus konvergen.
Gambar 4.1 Sebuah contoh fungsi yang dapat direpresentasikan dengan deret Fourier
Deret Fourier terdiri dari fungsi sinus dan kosinus. Esensi dari hal ini adalah sinus merupakan
fungsi ganjil sementara kosinus merupakan fungsi genap, dimana keduanya merupakan fungsi
periodik.
31
Setiap bagian pada deret Fourier saling ortogonal, setiap satu periode. Setiap bagiannya
memenuhi sifat matematis berikut :
โซ sin (2๐๐๐ฅ
๐ฟ)
๐ฅ0+๐ฟ
๐ฅ0
cos (2๐๐๐ฅ
๐ฟ) ๐๐ฅ = 0 untuk semua ๐ dan ๐ (๐. ๐)
โซ cos (2๐๐๐ฅ
๐ฟ)
๐ฅ0+๐ฟ
๐ฅ0
cos (2๐๐๐ฅ
๐ฟ) ๐๐ฅ = {
๐ฟ untuk ๐ = ๐ = 01
2๐ฟ untuk ๐ = ๐ > 0
0 untuk ๐ โ ๐
(๐. ๐)
โซ sin (2๐๐๐ฅ
๐ฟ)
๐ฅ0+๐ฟ
๐ฅ0
sin (2๐๐๐ฅ
๐ฟ) ๐๐ฅ = {
0 untuk ๐ = ๐ = 01
2๐ฟ untuk ๐ = ๐ > 0
0 untuk ๐ โ ๐
(๐. ๐)
dengan ๐ dan ๐ merupakan bilangan bulat lebih besar atau sama dengan nol.
Ekspansi Fourier dari fungsi ๐(๐ฅ) memiliki bentuk umum :
๐(๐ฅ) =๐0
2+ โ [๐๐ cos (
2๐๐๐ฅ
๐ฟ) + ๐๐ sin (
2๐๐๐ฅ
๐ฟ)]
โ
๐=1
(๐. ๐)
dimana ๐0, ๐๐ , dan ๐๐ merupakan koefisien Fourier.
4.2 Koefisien Fourier
Untuk fungsi periodik ๐(๐ฅ) dengan periode ๐ฟ, koefisien Fourier memenuhi persamaan :
๐๐ =2
๐ฟโซ ๐(๐ฅ)
๐ฅ0+๐ฟ
๐ฅ0
cos (2๐๐๐ฅ
๐ฟ) ๐๐ฅ (๐. ๐)
๐๐ =2
๐ฟโซ ๐(๐ฅ)
๐ฅ0+๐ฟ
๐ฅ0
sin (2๐๐๐ฅ
๐ฟ) ๐๐ฅ (๐. ๐)
dimana ๐ฅ0 adalah nilai sembarang namun sering diambil sebagai 0 atau โ๐ฟ/2. Penjabaran
formula ini dapat dilakukan dengan mengalikan ๐(๐ฅ) pada persamaan (๐. ๐), dengan cos(2๐๐๐ฅ/
๐ฟ), lalu mengintegralkan sepanjang satu periode penuh terhadap ๐ฅ. Hasil dari tahap tersebut,
kemudian diselesaikan dengan menggunakan persamaan (๐. ๐), (๐. ๐), dan (๐. ๐).
Fungsi yang simetri atau asimetri pada titik awal dapat mempermudah perhitungan dari koefisien
Fourier. Fungsi dengan ๐ฅ ganjil tidak memiliki bagian kosinus dan semua koefisien ๐ bernilai
32
nol. Sebaliknya, fungsi dengan ๐ฅ genap tidak memiliki bagian sinus dan semua koefisien ๐
bernilai nol. Karena deret Fourier dengan fungsi ganjil atau genap hanya menyisakan setengah
koefisien untuk menjabarkan perilaku keseluruhan periode, perhitungan deret Fourier akan
menjadi lebih mudah.
4.3 Fungsi Diskontinu
Ekspansi deret Fourier juga dapat diimplementasikan untunk fungsi diskontinu pada selang
tertentu. Hasil ekspansinya sendiri tidak lah diskontinu dan nilain dari fungsi ๐(๐ฅ) hasil ekspansi
akan bernilai setengah antara nilai batas atas dan nilai batas bawahnya.
Pada titik diskontinu, representasi deret Fourier akan meampaui nilainya. Lebih banyak bagian
digabungkan, posisi nilai lampauannya menyebabkan fungsi ekspansi bergerak mendekati
diskontinu, tidak akan pernah hilang meskipun terdapat takberhingga bagian. Hal ini dikenal
sebagai fenomena Gibbs.
Gambar 4.2 Konvergensi deret Fourier fungsi setengah gelombang, dengan (a) satu bagian, (b)
dua bagian (c) tiga bagian, dan (d) 20 bagian dengan ๐ฟ menunjukkan lampauan fungsi.
4.4 Fungsi Non-Periodik
Deret Fourier dapat pula digunakan untuk mengekspansi suatu fungsi non-periodik pada selang
tertentu. Hasil dari selang tersebut kemudan diterapkan kepada selang lain sehingga membentuk
suatu fungsi ekspansi periodik.
33
Misalnya mencari deret Fourier ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 pada selang โ2 โค ๐ฅ โค 2. Dari gambar 4.3 terlihat
periodenya 4. Catat juga bahwa fungsinya merupakan fungsi genap, mengakibatkan bagian ๐๐
bernilai nol dan menyisakan bagian kosinus.
Gaambar 4.3 Fungsi ๐ฅ2 dengan selang โ2 โค ๐ฅ โค 2.
Dengan persamaan (๐. ๐), dimana ๐ฟ = 4 didapatkan
๐๐ =2
4โซ ๐ฅ2
2
โ2
cos (2๐๐๐ฅ
4) ๐๐ฅ = โซ ๐ฅ2
2
0
cos (๐๐๐ฅ
2) ๐๐ฅ
= [2
๐๐๐ฅ2 sin (
๐๐๐ฅ
2)]
2
0โ
4
๐๐โซ ๐ฅ
2
0
sin (๐๐๐ฅ
2) ๐๐ฅ
=16
๐2๐2(โ1)๐
adapun untuk ๐0,
๐0 =2
4โซ ๐ฅ2๐๐ฅ
2
โ2
= โซ ๐ฅ2๐๐ฅ2
0
= [1
3๐ฅ3]
2
0=
8
3
Hasil akhir untuk ๐(๐ฅ), sesuai persamaan (๐. ๐), didapatkan
๐(๐ฅ) =4
3+
16
๐2โ
(โ1)๐
๐2
โ
๐=1
cos (๐๐๐ฅ
2) untuk โ 2 โค ๐ฅ โค 2
4.5 Deret Fourier Kompleks
Dari pelajaran bilangan kompleks, bentuk ๐๐๐๐ฅ = cos ๐๐ฅ + ๐ sin ๐๐ฅ. Secara sepintas, terlihat
bagian kosinus dan sinus muncul sekaligus. Hal ini membuat penyederhanaan deret Fourier.
Deret Fourier dalam bentuk kompleks memiliki persamaan:
34
๐(๐ฅ) = โ ๐๐
โ
๐=0
exp (2๐๐๐๐ฅ
๐ฟ) (๐. ๐)
dengan koefisien Fourier:
๐๐ =1
๐ฟโซ ๐(๐ฅ) exp (โ
2๐๐๐๐ฅ
๐ฟ)
๐ฅ0+๐ฟ
๐ฅ0
๐๐ฅ (๐. ๐)
yang dapat diturunkan dengan mengalikan ๐(๐ฅ) pada (๐. ๐) dengan exp (โ2๐๐๐๐ฅ
๐ฟ) dan
mengintegralkannya, serta dengan memperhatikan relasi ortogonal:
โซ exp (2๐๐๐๐ฅ
๐ฟ) exp (โ
2๐๐๐๐ฅ
๐ฟ)
๐ฅ0+๐ฟ
๐ฅ0
๐๐ฅ = {๐ฟ , ๐ = ๐0 , ๐ โ ๐
(๐. ๐)
Koefisien kompleks dari deret Fourier memiliki hubungan:
๐๐ =1
2(๐๐ โ ๐๐๐)
๐โ๐ =1
2(๐๐ + ๐๐๐)
Untuk ๐(๐ฅ) real, maka ๐โ๐ = ๐๐โ, atau biasa disebut sebagai kompleks konjugat dari ๐๐.
4.6 Teorema Parseval
Teoream Parseval beguna dalam menghubungkan koefisien Fourier dengan fungsi yang
dideskripsikannya. Bentuk umumnya:
1
๐ฟโซ |๐(๐ฅ)|2
๐ฅ0+๐ฟ
๐ฅ0
๐๐ฅ = โ |๐๐|2
โ
๐=โโ
= (1
2๐0)
2
+1
2โ(๐๐
2 + ๐๐2)
โ
๐=1
(๐. ๐๐)
Persamaan tersebut menyatakan penjumlahan dari modulus kuadrat dari koefisien deref Fourier
kompleks memiliki nilai yang sama dengan |๐(๐ฅ)|2 dalam satu periode. Teorema Parseval biasa
digunakan dalam penjumlahan deret.
35
5. TRANSFORMASI FOURIER
5.1 Pengantar Transformasi Fourier
Transformasi Fourier merepresentasikan fungsi terdefinisi pada interval takberhingga dan tidak
periodik. Dengan kata lain, transformasi Fourier merupakan generalisasi dari deret Fourier yang
merepresentasikan fungsi periodik. Misalkan untuk sebuah fungsi dengan periode ๐ dapat
direpresentasikan sebagai deret Fourier kompleks
๐(๐ก) = โ ๐๐๐2๐๐๐๐ก/๐
โ
๐=โโ
= โ ๐๐๐๐๐๐๐ก
โ
๐=โโ
(๐. ๐)
Saat periode ๐ menuju tak terhingga, frekuensi quantum, โ๐ = 2๐/๐ menjadi sangat kecil dan
spektrum frekuensi yang diizinkan ๐๐ menjadi kontinu. Penjumlahan tak terhingga berbentuk
deret Fourier menjadi sebuah integral, dan koefisien ๐๐ menjadi fungsi kontinu dengan variabel
๐, dimana persamaannya
๐๐ =1
๐โซ ๐(๐ก)๐โ2๐๐๐ก๐ข/๐
๐/2
โ๐/2
๐๐ก =โ๐
2๐โซ ๐(๐ก)๐โ๐๐๐๐ก
๐/2
โ๐/2
๐๐ก (๐. ๐)
Substitusi ke persamaan (๐. ๐), didapatkan bentuk
๐(๐ก) = โโ๐
2๐โซ ๐(๐ก)๐โ๐๐๐๐ก
๐/2
โ๐/2
๐๐ก ๐๐๐๐๐ก
โ
๐=โโ
(๐. ๐)
sampai disini, ๐๐ masih merupakan fungsi diskrit ๐ yang nilainya 2๐๐/๐.
Untuk memudahkan imajinasi, perhatikan gambar 5.1. Setiap titik pada kurva merupakan alur
dari ๐๐ ๐๐๐๐๐ก sebagai fungsi dari ๐ dan jelas bahwa (2๐/๐)๐๐ ๐๐๐๐๐ก memberikan luas dari persegi
panjang (garis putus-putus) ke-๐. Saat ๐ menuju โ, maka โ๐ (= 2๐/๐) menjadi sangat kecil,
lebar dari persegi panjang akan menuju nol dan, dari definisi matematis dari integral,
โโ๐
2๐๐(๐๐)๐๐๐๐๐ก
โ
๐=โโ
โ 1
2๐โซ ๐(๐๐) ๐๐๐๐ก๐๐
36
Gambar 5.1 Hubungan bagian Fourier untuk fungsi periode ๐ dan integral Fourier dari suatu
fungsi
dimana
๐(๐๐) = โซ ๐(๐ก)๐โ๐๐๐๐ก๐/2
โ๐/2
๐๐ก
Sehingga persamaan (๐. ๐) menjadi
๐(๐ก) =1
2๐โซ ๐๐
โ
โโ
๐๐๐๐ก โซ ๐๐กโ
โโ
๐(๐ก) ๐โ๐๐๐ก (๐. ๐)
Hasil ini dikenal dengan teorema inversi Fourier.
Transformasi Fourier dari ๐(๐ก) kemudian didefinisikan
๐(๐) =1
โ2๐ โซ ๐(๐ก) ๐โ๐๐๐ก๐๐ก
โ
โโ
(๐. ๐)
dengan inversnya
๐(๐ก) =1
โ2๐โซ ๐(๐) ๐๐๐๐ก๐๐
โ
โโ
(๐. ๐)
5.2 Fungsi Delta Dirac (๐น)
Fungi delta Dirac dapat divisualisasikan sebagai pulsa sangat tajam (waktu, ruang, densitas, dsb)
yang memproduksi sebuah efek dengan magnitude tertentu.
Fungsi ๐ฟ-Dirac memiliki sifat
๐ฟ(๐ก) = 0 untuk ๐ก โ 0 (๐. ๐)
37
namun secara fundamental sifatnya memenuhi
โซ ๐(๐ก)๐ฟ(๐ก โ ๐) ๐๐ก = ๐(๐) (๐. ๐)
menghasilkan selang integasi pada titik ๐ก = ๐; selain itu integralnya sama dengan nol. Hal ini
mengarahkan pada dua hasil lebih lanjut
โซ ๐ฟ(๐ก)๐
โ๐
๐๐ก = 1 untuk setiap ๐, ๐ > 0 (๐. ๐)
dan
โซ ๐ฟ(๐ก โ ๐)๐๐ก = 1 (๐. ๐๐)
memberikan selang integasi ๐ก = ๐.
Sifat lain dari fungsi delta Dirac antara lain
๐ฟ(๐ก) = ๐ฟ(โ๐ก), ๐ฟ(๐๐ก) =1
|๐|๐ฟ(๐ก), ๐ก๐ฟ(๐ก) = 0 (๐. ๐๐)
Fungsi yang mirip dengan delta Dirac adalah fungsi Heaviside
๐ป(๐ก) = {1 untuk ๐ก > 00 untuk ๐ก < 0
(๐. ๐๐)
namun fungsi ini diskontinu pada ๐ก = 0. Hubungannya dengan fungsi delta Dirac
๐ปโฒ(๐ก) = ๐ฟ(๐ก) (๐. ๐๐)
Dari teorema inversi Fourier, persamaan (๐. ๐), dapat dilihat hubungannya dengan fungsi delta
Dirac
๐ฟ(๐ก โ ๐ข) =1
2๐โซ ๐๐๐(๐กโ๐ข)๐๐
โ
โโ
(๐. ๐๐)
Adapun transformasi Fourier dari fungsi ๐ฟ secara sederhana
๐ฟ(๐) =1
โ2๐โซ ๐ฟ(๐ก) ๐โ๐๐๐ก
โ
โโ
๐๐ก =1
โ2๐ (๐. ๐๐)
38
5.3 Fungsi Ganjil dan Fungsi Genap
Jika ๐(๐ก) ganjil atau genap, teorema inversi Fourier dapat disajikan dalam bentuk berbeda.
Untuk fungsi ganjil, didapatkan teorema inversi Fourier
๐(๐ก) =2
๐โซ ๐๐
โ
0
sin ๐๐ก {โซ ๐(๐ข)โ
0
sin ๐๐ข ๐๐ข}
menghasilkan transformasi Fourier sinus untuk fungsi ganjil
๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) = โ2
๐โซ ๐(๐ก)
โ
0
sin ๐๐ก ๐๐ก (๐. ๐๐)
๐(๐ก) = โ2
๐โซ ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)
โ
0
sin ๐๐ก ๐๐ (๐. ๐๐)
Untuk fungsi genap, didapatkan teorema inversi Fourier
๐(๐ก) =2
๐โซ ๐๐
โ
0
cos ๐๐ก {โซ ๐(๐ข)โ
0
cos ๐๐ข ๐๐ข}
menghasilkan transformasi Fourier sinus untuk fungsi ganjil
๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) = โ2
๐โซ ๐(๐ก)
โ
0
cos ๐๐ก ๐๐ก (๐. ๐๐)
๐(๐ก) = โ2
๐โซ ๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)
โ
0
cos ๐๐ก ๐๐ (๐. ๐๐)
39
6. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
6.1 Persamaan Diferensial Orde I
Persamaan diferensial merupakan kelompok dari persamaan yang mengandung derivatives.
Sesuai dengan namanya, persamaan diferensial biasa (PDB) hanya mengandung turunan biasa
(tidak mengandung turunan parsial) dan mendeskripsikan hubungan antara variable tidak
bebasnya, dengan variable bebasnya. Orde dari PDB secara sederhana mengacu pada orde
tertinggi dari turunannya (derivatives). Persamaan yang hanya mengandung ๐๐ฆ ๐๐ฅโ disebut PDB
orde satu. Untuk persamaan yang mengandung ๐2 ๐ฆ ๐๐ฅ2โ disebut PDB orde 2, dan seterusnya.
6.1.1 Bentuk Umum
Persamaan diferensial biasa dengan derajat satu hanya mengandung komponen ๐๐ฆ ๐๐ฅโ untuk
suatu fungsi x dan y. dan dapat ditulis dalam dua bentuk umum :
๐๐ฆ
๐๐ฅ= ๐น(๐ฅ, ๐ฆ), ๐ด(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ + ๐ต(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ = 0 (๐. ๐)
dimana ๐น(๐ฅ, ๐ฆ) = โ๐ด (๐ฅ, ๐ฆ) ๐ตโ (๐ฅ, ๐ฆ), dan ๐น(๐ฅ, ๐ฆ), ๐ด(๐ฅ, ๐ฆ), ๐ต(๐ฅ, ๐ฆ), secara umum dapat berupa
fungsi x dan y.
6.1.2 Persamaan Variabel Pisah
Persamaan variable pisah merupakan persamaan yang dapat dengan sederhana dituliskan dalam
bentuk :
๐๐ฆ
๐๐ฅ= ๐(๐ฅ)๐(๐ฆ) (๐. ๐)
Dimana ๐(๐ฅ) dan ๐(๐ฆ) adalah fungsi dari x dan y, termasuk juga dalam kasus ๐(๐ฅ) atau ๐(๐ฆ)
adalah sebuah konstanta. Dengan melakukan pengaturan ulang, persamaan tersebut dapat ditulis
kedalam bentuk integral
โซ๐๐ฆ
๐(๐ฆ)= โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ (๐. ๐)
yang solusinya didapat dengan menyelesaikan persamaan tersebut.
40
6.1.3 Persamaan Eksak
Persamaan diferensial eksak memenuhi bentuk umum
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ + ๐ต(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ = 0, dimana ๐๐ด
๐๐ฆ=
๐๐ต
๐๐ฅ (๐. ๐)
Persamaan ๐ด(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ + ๐ต(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ dapat dituliskan dalam variable ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ), atau dengan kata
lain
๐๐ =๐๐
๐๐ฅ๐๐ฅ +
๐๐
๐๐ฆ๐๐ฆ = ๐ด๐๐ฅ + ๐ต๐๐ฆ
sehingga terlihat hubungan
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) =๐๐
๐๐ฅ (๐. ๐)
๐ต(๐ฅ, ๐ฆ) =๐๐
๐๐ฆ (๐. ๐)
Dengan merujuk pada persamaan diferensial eksak, ๐๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 0, sehingga memiliki solusi
๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐. Dimana ๐ disini dapat dicari dengan menyelesaikan salah satu dari dua persmaan
diatas, dimana hasilnya adalah solusi dari persamaan diferensial eksak.
๐(๐ฅ, ๐ฆ) = โซ ๐ด(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฅ + ๐น(๐ฆ) (๐. ๐)
Dimana untuk ๐น(๐ฆ) dapat ditemukan dengan menurnkan persamaan ๐(๐ฅ, ๐ฆ) diatas terhadap ๐ฆ,
kemudian melakukan penyamaan dengan persamaan ๐ต =๐๐
๐๐ฆ.
6.1.4 Persamaan Linear
Persamaan diferensial linear dapat ditulis dalam bentuk sederhana :
๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐(๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ) (๐. ๐)
Persamaan tersebut dapat dirubah menjadi persamaan eksak dengan mengalikan factor
pengintegralan. Faktor pengintegralan disini hanya berupa fungsi x semata.
41
Dengan memisalkan faktor pengintegralan ๐(๐ฅ, ๐ฆ), persamaan umum PDB linear menjadi
๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐(๐ฅ)๐ฆ =
๐
๐๐ฅ[๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐ฆ] = ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐(๐ฅ)
yang dengan melakukan pengintegralan,
๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐ฆ = โซ ๐(๐ฅ, ๐ฆ)๐(๐ฅ)
faktor pengintegralan ๐(๐ฅ, ๐ฆ) dapat ditemukan dengan melihat bahwa :
๐
๐๐ฅ(๐๐ฆ) = ๐
๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐ฆ
๐๐
๐๐ฅ= ๐
๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐๐๐ฆ,
yang memberikan hubungan sederhana :
๐๐
๐๐ฅ= ๐(๐ฅ)๐(๐ฅ)
๐(๐ฅ) = ๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ
Sehingga penyelesaian umumnya memenuhi persamaan
๐ฆ = ๐โโซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ โซ ๐(๐ฅ)๐โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅ๐๐ฅ (๐. ๐)
6.1.5 Persamaan Bernoulli
Bentuk umum persamaan Bernouli adalah :
๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐(๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ)๐ฆ๐, dengan ๐ โ 0 atau 1 (๐. ๐๐)
PDB Bernoulli merupakan kasus khusus dari PDB linear, tapi PDB Bernoulli ini tidaklah linear.
Hal ini disebabkan karena adanya ๐ฆ๐ . Namun, PDB Bernoulli dapat diubah menjadi PDB linear
dengan melakukan pemisalan sebuah variable baru ๐ฃ = ๐ฆ1โ๐ yang mengakibatkan ๐๐ฃ =
(1 โ ๐)๐ฆโ๐๐๐ฆ.
๐๐ฆ =๐ฆ๐
(1 โ ๐)๐๐ฃ
42
dimana dengan menggantikan dy pada persamaan sebelumnya didapatkan :
๐๐ฃ
๐๐ฅ+ (1 โ ๐)๐(๐ฅ)๐ฃ = (1 โ ๐)๐(๐ฅ) (๐. ๐๐)
yang merupakan bentuk PDB linear. Tentu saja, solusinya dicari dengan metoda PDB linear.
6.1.6 Persamaan Homogen
Persamaan diferensial homogen merupakan PDB yang dapat ditulis :
๐๐ฆ
๐๐ฅ=
๐ด(๐ฅ, ๐ฆ)
๐ต(๐ฅ, ๐ฆ)= ๐น (
๐ฆ
๐ฅ) (๐. ๐๐)
dimana ๐ด(๐ฅ, ๐ฆ) dan ๐ต(๐ฅ, ๐ฆ) merupakan fungsi homogen dengan derajat yang sama. Sebuah
fungsi ๐(๐ฅ, ๐ฆ) homogen dengan derajat n jika, untuk setiap ๐, memenuhi
๐(๐๐ฅ, ๐๐ฆ) = ๐๐๐(๐ฅ, ๐ฆ)
Misalnya, jika ๐ด = ๐ฅ2๐ฆ โ ๐ฅ๐ฆ2 dan ๐ต = ๐ฅ3 โ ๐ฆ3, kita lihat bahwa A dan B merupakan fungsi
homogen dengan derajat 3. Secara umum, untuk fungsi dengan bentuk A dan B, keduanya
merupakan fungsi homogen, dan dengan derajat yang sama. Kita menjumlahkan setiap pangkat
dari x dan y pada bagian A dan B untuk menjadi sama. Sisi kanan dari PDB homogen dapat
ditulis sebagai fungsi y/x. Persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan melakukan substitusi
๐ฆ = ๐ฃ๐ฅ, sehingga
๐๐ฆ
๐๐ฅ= ๐ฃ + ๐ฅ
๐๐ฃ
๐๐ฅ= ๐น(๐ฃ)
Ini kemudian merupakan PDB variabel pisah dan dapat langsung diintegralkan
โซ๐๐ฃ
๐น(๐ฃ) โ ๐ฃ= โซ
๐๐ฅ
๐ฅ (๐. ๐๐)
6.2 Persamaan Diferensial Orde II
6.2.1 Persamaan Diferensial Linear Secara Umum
Bentuk umumnya :
๐๐(๐ฅ)๐๐๐ฆ
๐๐ฅ๐+ ๐(๐โ1)(๐ฅ)
๐(๐โ1)๐ฆ
๐๐ฅ(๐โ1)+ โฏ + ๐1(๐ฅ)
๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐0(๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ)
43
Saat ๐(๐ฅ) = 0, persamaannya disebut homogen, sebaliknya, persamaannya disebut tidak
homogen. Solusi umum untuk persamaan diferensial linear, mengacu pada persamaan diatas,
akan mengandung n buah konstan.
Kasus paling umum yang sering dijumpai dalam masalah fisika adalah persamaan diferensial
linear orde dua. Karena itu, buku ini memfokuskan untuk kasus PD Linear orde dua :
๐ด(๐ฅ)๐2๐ฆ
๐๐ฅ2+ ๐ต(๐ฅ)
๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐ถ(๐ฅ)๐ฆ = ๐(๐ฅ)
Dimana ๐ด(๐ฅ), ๐ต(๐ฅ) dan ๐ถ(๐ฅ) adalah sebuah fungsi yang kontinu. Persamaan ini biasa digunakan
untuk mempelajari gerak dari sebuah pegas.
6.2.2 PD Linear Homogen Orde Dua dengan Koefisien Konstan
Seperti di awal pembahasan, saat ๐(๐ฅ) = 0, persamaannya menjadi homogen. Bentuk umunya :
๐ด(๐ฅ)๐2๐ฆ
๐๐ฅ2+ ๐ต(๐ฅ)
๐๐ฆ
๐๐ฅ+ ๐ถ(๐ฅ)๐ฆ = 0
Dua fakta dasar membantu kita untuk dapat memecahkan solusi untuk persamaan di atas.
Pertama adalah jika kita mengatahui dua solusi ๐ฆ1(๐ฅ) dan ๐ฆ2(๐ฅ) untuk persamaan tersebut,
kombinasi linearnya juga merupakan solusi :
๐ฆ(๐ฅ) = ๐1๐ฆ1(๐ฅ) + ๐2๐ฆ2(๐ฅ)
Dengan ๐1 dan ๐2 adalah suatu konstanta tertentu. Hal ini dapat dibuktikan dengan melakukan
subtitusi ๐ฆ1(๐ฅ) dan ๐ฆ2(๐ฅ) pada persamaan yang menghasilkan nilai 0 dan menurunkan ๐ฆ(๐ฅ) dua
kali lalu melakukan subtitusi pada persamaan awal.
Fakta lain yang membuat kita mampu memecahkan solusi persamaan ini adalah, solusi
umumnya berupa kombinasi linear dari dua solusi linear yang independen ๐ฆ1(๐ฅ) dan ๐ฆ2(๐ฅ). Ini
berarti antara ๐ฆ1(๐ฅ) dan ๐ฆ2(๐ฅ) bukanlah merupakan kelipatan antara satu sama lain. Lebih
jelasnya, fungsi ๐(๐ฅ) = ๐ฅ2 dan ๐(๐ฅ) = 2๐ฅ2 merupakan fungsi tidak bebas secara linear, tapi
๐(๐ฅ) = ๐๐ฅ dan ๐(๐ฅ) = ๐ฅ๐๐ฅ merupakan fungsi bebas secara linear.
Secara umum tidak mudah mencari solusi khusus untuk PD linear orde dua. Namun saat
koefisiennya, ๐ด(๐ฅ), ๐ต(๐ฅ) dan ๐ถ(๐ฅ) adalah sebuah konstanta, hal tersebut dapat dengan mudah
44
dilakukan. PD linear homogen orde dua dengan koefisien konstan akan memiliki formula
sebagai berikut :
๐ด๐ฆโฒโฒ + ๐ต๐ฆโฒ + ๐ถ๐ฆ = 0 (๐. ๐๐)
Dengan ๐ด, ๐ต dan ๐ถ adalah konstanta dan ๐ด โ 0.
Solusi persamaan di atas adalah sebuah fungsi y, teerdiri dari sebuah konstanta dikalikan dengan
turnuan keduanaya (๐ฆโโ) ditambah dengan kontastanta lain yang dikalikan dengan turunan
pertamanya (๐ฆโ) yang ditambah lagi dengan konstanta kemudian dikalikan dengan (๐ฆ)
menghasilkan 0. Kita mengatahui bahwa fungsi eksponensial ๐ฆ = ๐๐๐ฅ (dengan ๐ adalah
konstanta) memiliki turunan sebuah konstanta yang dikalikan dengan dirinya sendiri ๐ฆโฒ = ๐๐๐๐ฅ.
Adapun turunan keduanya ๐ฆโฒโฒ = ๐2๐๐๐ฅ. Dengan melakukan substitusi dengan persamaan diatas :
๐ด(๐2๐๐๐ฅ) + ๐ต(๐๐๐๐ฅ) + ๐ถ(๐๐๐ฅ) = 0
atau :
(๐ด๐2 + ๐ต๐ + ๐ถ)๐๐๐ฅ = 0
Tapi ๐๐๐ฅ tidak pernah 0, sehingga ๐ฆ = ๐๐๐ฅ adalah solusi untuk PD linear homogen orde dua
dengan koefisien konstan, dengan r adalah akar-akar dari persamaan :
๐ด๐2 + ๐ต๐ + ๐ถ = 0 (๐. ๐๐)
Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik dari persamaan ๐ด๐ฆโฒโฒ + ๐ต๐ฆโฒ + ๐ถ๐ฆ = 0.
Nilai ๐ bisa didapatkan dengan cara pemfaktoran, namun tidak jarang juga menggunakan rumus
akar persamaan kuadrat :
๐1,2 =โ๐ต ยฑ โ๐ต2 โ 4๐ด๐ถ
2๐ด
Dimana kita dapatkan tiga kasus yang bergantung pada diskriminan ๐ต2 โ 4๐ด๐ถ.
Kasus pertama, saat ๐ต2 โ 4๐ด๐ถ > 0. Kasus ini, akar-akar ๐1 dan ๐2 merupakan persamaan yang
berbeda. Sehingga ๐ฆ1 = ๐๐1๐ฅ dan ๐ฆ2 = ๐๐2๐ฅ adalah dua solusi linear yang bebas dari persamaan
๐ด๐ฆโฒโฒ + ๐ต๐ฆโฒ + ๐ถ๐ฆ = 0. Sehingga solusi umumnya dapat ditulis :
45
๐ฆ = ๐1๐๐1๐ฅ + ๐2๐๐2๐ฅ (๐. ๐๐)
Kasus kedua, saat ๐ต2 โ 4๐ด๐ถ = 0. Pada kasus ini r1 = r2. Sehingga akar-akarnya real dan sama.
Kita misalkan akar-akar sama ini dengan ๐. Sehingga, rumus akar persamaan kuadrat :
๐ =โ๐ต
2๐ด sehingga 2๐ด๐ + ๐ต = 0
Dari syarat-syarat tersebut, didapatkan solusi untuk PD linear homogen orde dua dengan
koefisien konstan dan akar-akar yang sama memberikan :
๐ฆ = ๐1๐๐๐ฅ + ๐2๐ฅ๐๐๐ฅ (๐. ๐๐)
Kasus ketiga, saat ๐ต2 โ 4๐ด๐ถ < 0. Pada kasus ini, r1 dan r2 terdiri dari bilangan kompleks. Kita
dapat menuliskan :
๐1 = ๐ผ + ๐๐ฝ dan ๐2 = ๐ผ โ ๐๐ฝ
Dimana ๐ผ dan ๐ฝ adalah bilangan real (๐ผ = โ๐ต (2๐ด)โ dan ๐ฝ = โ๐ต2 โ 4๐ด๐ถ (2๐ด)โ ), sehingga
dengan menggunakan persamaan Euler :
๐๐๐ = ๐๐๐ ๐ + ๐๐ ๐๐๐
Solusi yang kita dapatkan menjadi :
๐ฆ = ๐ถ1๐(๐ผ+๐๐ฝ)๐ฅ + ๐ถ2๐(๐ผโ๐๐ฝ)๐ฅ
= ๐ถ1(๐๐ผ๐ฅ๐๐๐ฝ๐ฅ) + ๐ถ2(๐๐ผ๐ฅ๐โ๐๐ฝ๐ฅ)
= ๐ถ1๐๐ผ๐ฅ(cos ๐ฝ๐ฅ + ๐ sin ๐ฝ๐ฅ) + ๐ถ2๐๐ผ๐ฅ(cos ๐ฝ๐ฅ โ ๐ sin ๐ฝ๐ฅ)
= ๐๐ผ๐ฅ(๐ถ1 cos ๐ฝ๐ฅ + ๐๐ถ1 sin ๐ฝ๐ฅ + ๐ถ2 cos ๐ฝ๐ฅ โ ๐๐ถ2 sin ๐ฝ๐ฅ)
= ๐๐ผ๐ฅ((๐ถ1 + ๐ถ2) cos ๐ฝ๐ฅ + ๐(๐ถ1 โ ๐ถ2) sin ๐ฝ๐ฅ)
atau disederhanakan
๐ฆ = ๐๐ผ๐ฅ(๐1 cos ๐ฝ๐ฅ + ๐2 sin ๐ฝ๐ฅ) (๐. ๐๐)
Dengan ๐1 = ๐ถ1 + ๐ถ2 dan ๐2 = ๐(๐ถ1 โ ๐ถ2). Formula ini memberikan semua solusi yang
dibutuhkan untuk persamaan diferensial.
Rangkuman solsui untuk persamaan diferensial ๐ด๐ฆโฒโฒ + ๐ต๐ฆโฒ + ๐ถ๐ฆ = 0
46
6.2.2 PD Linear Tidak Homogen Orde Dua dengan Koefisien Konstan
Formasi umum dari persamaannya adalah :
๐ด๐ฆโฒโฒ + ๐ต๐ฆโฒ + ๐ถ๐ฆ = ๐(๐ฅ)
Dimana A, B, dan C adala suatu konstanta dan G adalah fungsi kontinu. Kita tahu bentuk
homogennya adalah :
๐ด๐ฆโฒโฒ + ๐ต๐ฆโฒ + ๐ถ๐ฆ = 0
Solusi umum dari persamaan linear tidak homogen adalah :
๐ฆ(๐ฅ) = ๐ฆ๐(๐ฅ) + ๐ฆ๐(๐ฅ) (๐. ๐๐)
Dengan ๐ฆ๐(๐ฅ) adalah solusi khusus dari persamaan linear orde dua tidak homogen dengan
koefisien konstan.
Salah satu metode menyelesaikan persamaan jenis ini, pertama-tama, kita ilustrasikan sebuah
persamaan :
๐ด๐ฆโฒโฒ + ๐ต๐ฆโฒ + ๐ถ๐ฆ = ๐(๐ฅ)
Dimana ๐(๐ฅ) adalah sebuah polynominal. Masuk akal ketika kita menebak bahwa terdapat
solusi partikular ๐ฆ๐ yang merupakan polynominal dengan derajat yang sama dengan ๐ karena
jika ๐ฆ adalah polynominal, maka ๐ด๐ฆโฒโฒ + ๐ต๐ฆโฒ + ๐ถ๐ฆ juga merupakan polynominal. Kemudian
dilakukan subtitusi ๐ฆ๐(๐ฅ) sebuah polynominal kedalam persamaan tersebut dan menentukan
koefisiennya.
Misalkan ๐(๐ฅ) adalah sebuah polynominal ๐ฅ2, kita dapat mencari solusi khususnya dengan
formasi :
๐ฆ๐(๐ฅ) = ๐ด๐ฅ2 + ๐ต๐ฅ + ๐ถ (๐. ๐๐)
Kemudian melakukan diferensiasi sebanyak dua kali, lalu subtitusikan hasilnya pada persamaan
awal untuk mencari koefisien.
47
Adapun ketika Q(x) adalah sebuah fungsi dengan formasi ๐ถ๐๐๐ฅ dengan C dan k adalah konstanta,
kita menggunakannya solusi percobaan dengan formasi sama
๐ฆ๐(๐ฅ) = ๐ด๐๐๐ฅ (๐. ๐๐)
karena turunan dari ๐๐๐ฅ adalah suatu konstanta yang dikalikan dengan ๐๐๐ฅ.
Jika ๐(๐ฅ) adalah fungsi yang terdiri dari ๐ถ cos ๐๐ฅ dan ๐ถ sin ๐๐ฅ, dengan memperhatikan aturan
penurunan terhadap sinus dan kosinus, kita ambil sebagai solusi percobaan partikular adalah
fungsi dengan formasi :
๐ฆ๐(๐ฅ) = ๐ด cos ๐๐ฅ + ๐ต sin ๐๐ฅ (๐. ๐๐)
Kasus lain, ketika ๐(๐ฅ) merupakan hasil dari suatu fungsi yang didahuli oleh sebuah variabel,
kita mengambil solusi percobaan partikular yang sesuai dengan fungsi tersebut. Misalkan :
๐ฆโฒโฒ + 2๐ฆโฒ + 4๐ฆ = ๐ฅ๐๐๐ 3๐ฅ
Kita mencoba solusi khususnya :
๐ฆ๐(๐ฅ) = (๐ด๐ฅ + ๐ต) cos 3๐ฅ + (๐ถ๐ฅ + ๐ท) sin 3๐ฅ
48
7. TRANSFORMASI LAPLACE
7.1 Definisi
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Meski
berbeda dan menjadi alternatif untuk variasi parameter dan koefisien yang tidak ditentukan,
metode Laplace bermanfaat secara terpisah untuk masukan bagian yang hanya terdefinisi
sebagian, periodic, ataupun impulsive.
Transformasi Laplace ๐(๐ ) dari fungsi ๐น(๐ก) didefinisikan :
๐(๐ ) = ๐ฟ{๐น(๐ก)} = โซ ๐น(๐ก)๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
0
(๐. ๐)
yang merupakan bentuk umum integral biasa. Karena bentuk integral, sifat-sifat dari integral
juga berlaku untuk transformasi Laplace ini. Misalnya :
๐ฟ{๐๐น(๐ก) + ๐๐บ(๐ก)} = ๐๐ฟ{๐น(๐ก)} + ๐๐ฟ{๐บ(๐ก)} (๐. ๐)
7.2 Fungsi Elementer
Sebagai pengantar transformasi Laplace, mari kita mengaplikasikannya untuk beberapa fungsi
elementer. Untuk setiap kasus, kita asumsikan ๐น(๐ก) = 0 untuk ๐ก < 0. Jika
๐น(๐ก) = 1, ๐ก > 0
transformasi Laplacenya menjadi :
๐ฟ{1} = โซ ๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
0
=1
๐ , ๐ข๐๐ก๐ข๐๐ > 0
Contoh lain,
๐น(๐ก) = ๐๐๐ก, ๐ก > 0
49
transformasi Laplacenya menjadi :
๐ฟ{๐๐๐ก} = โซ ๐๐๐ก๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
0
=1
๐ โ ๐, ๐ข๐๐ก๐ข๐๐ > ๐
Dari dua bentuk diatas, transformasi Laplace untuk fungsi hiperbolikus ๐๐๐ โ dan ๐ ๐๐โ dapat
diketahui. Kita tahu,
cosh ๐๐ก =1
2(๐๐๐ก + ๐โ๐๐ก), sinh ๐๐ก =
1
2(๐๐๐ก โ ๐โ๐๐ก) ,
transformasi Laplacenya menjadi :
๐ฟ{cosh ๐๐ก} =1
2(
1
๐ โ๐+
1
๐ +๐) =
๐
๐ 2+๐2 ,
๐ฟ{sinh ๐๐ก} =1
2(
1
๐ โ๐โ
1
๐ +๐) =
๐
๐ 2+๐2 ,
Dimana keduanya terpenuhi untuk ๐ > ๐.
Hal tersebut juga dapat dibuktikan untuk mencari transofmasi dari cos ๐๐ก dan sin ๐๐ก, dimana :
๐ฟ{cos ๐๐ก} =๐
๐ 2+๐2,
๐ฟ{sin ๐๐ก} =๐
๐ 2+๐2,
Keduanya berlaku untuk ๐ > 0.
Fungsi elementer lain yang juga sering digunakan, adalah ๐น(๐ก) = ๐ก๐, yang transformasi
Laplacenya :
๐ฟ{๐ก๐} = โซ ๐ก๐๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
0,
dengan menyelesaikan bentuk integral tersebut, didapatkan :
๐(๐ ) =๐!
๐ ๐+1 untuk ๐ > 0 dan ๐ > โ1.
Dari beberapa persamaan di atas, setiap transformasi memiliki variabel ๐ pada pembagi,
sehingga muncul sebagai pangkat negative. Dari definisi awal transformasi Laplace dan syarat
keadaannya, dapat kita lihat bahwa jika ๐(๐ ) adalah sebuah transformasi Laplace, ๐๐๐๐ โโ
๐(๐ ) = 0.
50
Suatu hal penting dari fakta ini adalah jika ๐(๐ ) bersifat asymptotis untuk nilai ๐ yang besar
sebagai pangkat positif dari ๐ , tidak ada transformasi invers yang memenuhi persamaan tersebut.
7.3 Hubungan Fungsi Tertentu dengan Transformasi Laplace
Secara umum, fungsi Heaviside merupakan fungsi diskontinu yang nilainya nol untuk bagian
negative dan nilainya satu untuk bagian positif. Misalkan fungsi Heaviside kita definisikan
sebagai ๐ข(๐ก โ ๐),
๐ข(๐ก โ ๐) = {0, ๐ก < ๐,1, ๐ก > ๐,
(๐. ๐)
Gambar 7.1 Contoh grafik fungsi Heaviside
dimana transformasi Laplace dari fungsi tersebut adalah :
๐ฟ{๐ข(๐ก โ ๐)} = โซ ๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
๐
=1
๐ ๐โ๐๐
Misalnya sebuah grafik signal ๐น(๐ก) dengan tinggi ๐ด saat ๐ก = 0 sampai ๐ก = ๐ก0, dengan
menggunakan fungsi Heaviside, signal tersebut dapat direpresentasikan sebagai :
๐น(๐ก) = ๐ด[๐ข(๐ก) โ ๐ข(๐ก โ ๐ก0)].
Transformasi Laplacenya menjadi :
๐ฟ{๐น(๐ก)} =1
๐ (1 โ ๐โ๐ก0๐ ).
Penggunaan lebih lanjut pada persamaan diferensial akan berguna dengan menggunakan konsep
fungsi Delta Dirac. Transformasi dari fungsi Delta Dirac :
๐ฟ{๐ฟ(๐ก โ ๐ก0)} = โซ ๐โ๐ ๐ก๐ฟ(๐ก โ ๐ก0)โ
0
๐๐ก = ๐โ๐ก0๐ , untuk ๐ก0 > 0 (๐. ๐)
51
Gambar 7.2 Grafik fungsi Delta Dirac
Untuk ๐ก0 = 0 perlu diperhatikan, karena fungsi Delta Dirac berpengaruh pada distribusi
kesimetrian dan definisi integral dari transformasi Laplace teerdestriksi untuk ๐ก โฅ 0. Hasil yang
konsisten dari transformasi Laplace, didapatkan ketika urutan delta pada jangkauan ๐ก โฅ ๐ก0, yang
hasilnya :
๐ฟ{๐ฟ(๐ก)} = 1
Fungsi delta ini sering disebut fungsi impulse karena sangat berguna dalam mendeskripsikan
gaya impulsive, yakni gaya yang terjadi pada waktu yang singkat.
7.4 Penerapan Transformasi Laplace pada Diferensial
Salah satu fungsi dari transformasi Laplace adalah untuk menyelesaikan solusi dari persamaan
difrensial. Transformasi Laplace menjadikan persamaan diferensial yang dianalisis
ditransformasi ke ruang Laplace menjadi fungsi ๐(๐ ). Fungsi terebut dapat dirubah bentuknya
menjadi aljabar sederhana, lalu melakkukan transformasi balik fungsi tersebut sehingga
didapatkan solusi dengan variabel asal fungsi.
Gambar 7.3 Diagram alir penggunaan transformasi Laplace untuk diferensial
52
Misalkan transformasi Laplace untuk fungsi (๐ก) :
๐ฟ{๐นโฒ(๐ก)} = โซ๐๐น(๐ก)
๐๐ก๐โ๐ ๐ก๐๐ก
โ
0
(๐. ๐)
Dengan melakukan integral parsial :
๐ฟ{๐นโฒ(๐ก)} = ๐โ๐ ๐ก๐น(๐ก) |โ0
+ ๐ โซ ๐น(๐ก)๐โ๐ ๐ก๐๐กโ
0
= ๐ ๐ฟ{๐น(๐ก)} โ ๐น(0)
Untuk turunan dengan orde dua, didapatkan :
๐ฟ{๐นโฒโฒ(๐ก)} = ๐ 2๐ฟ{๐น(๐ก)} โ ๐ ๐น(0) โ ๐นโฒ(0) (๐. ๐)
Dari pemaparan tersebut, transformasi laplace untuk turunan dengan orde lebih tinggi akan
mengikuti pola :
๐ฟ{๐น๐(๐ก)} = ๐ ๐๐ฟ{๐น(๐ก)} โ ๐ ๐โ1๐น(0) โ โฏ โ ๐น(๐โ1)(0) (๐. ๐)
Setelah mendapatkan fungsi dari ๐(๐ ), persamaan tersebut diolah dengan operasi aljabar
sederhana kemudian melakukan transformasi balik untuk mendapatkan nilai ๐(๐ก) yang kembali
pada variabel awal :
๐ฟโ1{๐(๐ )} = ๐(๐ก)
Transformasi balik Lapace ini dikaji lebih dalam dengan teorema konvolusi. Misalkan ๐ฟ{๐(๐ก)} =
๐(๐ ) dan ๐ฟ{๐(๐ก)} = ๐(๐ ), transformasi balik dari hasil kalinya :
๐ฟโ1{๐(๐ )๐(๐ )} = ๐ โ ๐ (๐. ๐)
Dimana ๐ โ ๐ adalah konvolusi dari fungsi ๐ dan ๐ yang memenuhi persamaan :
๐ โ ๐ = โซ ๐(๐ )๐(๐ก โ ๐ )๐๐ ๐ก
๐
(๐. ๐)
Adapun penerapan transformasi laplace pada integral :
๐ฟ [โซ ๐(๐ข)๐๐ข๐ก
๐
] = โซ ๐๐กโ
๐
๐โ๐ ๐ก โซ ๐(๐ข)๐๐ข๐ก
๐
= [โ1
๐ ๐โ๐ ๐ก โซ ๐(๐ข)๐๐ข
๐ก
๐
] 0 + โซ1
๐ ๐โ๐ ๐ก๐(๐ก)๐๐ก
โ
๐
Bagian pertama pada ruas kanan diabaikan, sehingga :
53
๐ฟ [โซ ๐(๐ข)๐๐ข๐ก
๐
] =1
๐ ๐ฟ[๐(๐ก)] (๐. ๐๐)
Bentuk lain, ketika kita memiliki fungsi konvergen bervariabel :
๐(๐ฅ) = โซ ๐โ๐ฅ๐ก๐(๐ก)๐๐กโ
0
Dengan mengubah urutan integrasinya dapat dilihat bahwa :
โซ ๐(๐ฅ)๐๐ฅโ
๐
= โซ ๐๐ฅโ
๐
โซ ๐๐ก๐โ๐ฅ๐ก๐(๐ก)โ
0
= โซ ๐โ๐ฅ๐ก๐(๐ก)
๐ก๐๐ก
โ
0
= ๐ฟ [๐(๐ก)
๐ก] (๐. ๐๐)
Dari berbagai penjabaran tentang transformasi Laplace di atas, berikut adalah table transformasi
Laplace untuk fungsi-fungsi standard.
Tabel 7.1 Daftar Transformasi Laplace beberapa fungsi
54
DAFTAR PUSTAKA
[1]. K. F. Riley, M. P. Hobson, S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and
Engineering, 3rd Ed., Cambridge University Press, London, (2006)
[2]. G. B. Arfken, H. J. Weber, F. E. Harris, Mathematical Methods for Physicists, 7th Ed.,
Elsevier, Walthman, (2013)
[3]. T.Surungan, Fisika Matematika, Vol. 1, Lembaga Kajian dan Pengembangan Pendidikan
Universitas Hasanuddin, Makassar, (2012)
top related