bab 4 (ukuran pemusatan)

Ukuran Pemusatan

Disusun Oleh:

1. Fatria Anggita (06081181520005)

2. Lorent Agustina Arissanti (06081181520004)

3. Putri Maya Sari (06081181520026)

4. Robiatul Bangka Wiyah (06081281520069)

Pendidikan Matematika

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Sriwijaya

2016

Ukuran Pemusatan Data

1. Pengertian Ukuran Pemusatan Data

Ukuran pemusatan data adalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan

gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang pusat data yang juga mewakili seluruh

data. (Subana, 2000).

2. Rata-Rata (Mean)

2.1 Rata-rata Hitung dari Data Tunggal

Rata-rata hitung dari data tunggal dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan seluruh

nilai dan membaginya dengan banyaknya data. Rata-rata hitung dari data tunggal

dirumuskan dengan :

x̅ =𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 … … … … … … + 𝑋𝑛

𝑛

x̅ =∑ 1𝑛

𝑖=1

𝑛

Keterangan :

x̅= rata-rata(baca X bar)

∑ 1𝑛𝑖=1 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ 𝑑𝑎𝑡𝑎\

n = banyaknya data

Contoh 1:

Hitunglah rataan dari 6,6,7,8,8,8,9,9,10!

Jawab :

x̅ = 6+6+7+8+8+9+9+9+10

9

x̅= 72

9

x̅= 8

2.2 Rata-rata Hitung dari Data yang Telah Dikelompokkan

Contoh 2:

Nilai Frekuensi

52-58 2

59-65 6

66-72 7

73-79 20

80-86 8

87-93 4

94-100 3

Jumlah 50

Berdasarkan tabel di atas, tentukan rata-ratanya!

Jawab :

Untuk mencari rata-rata hitung, kita pergunakan nilai tengah (Xi)

Nilai Xi fi FiXi

52-58 55 2 110

59-65 62 6 372

66-72 69 7 483

73-79 76 20 1520

80-86 83 8 664

87-93 90 4 360

94-100 97 3 291

Jumlah 50 3800

x̅ =∑fixi

∑ fi=

3800

50= 76

Selain menggunakan nilai tengah, rata-rata hitung data yang sudah dikelompokkan

dapat dicari menggunakan rata-rata sementara, yaitu dengan mengambil Xi dengan

frekuensi terbanyak dan memberti tanda Q , yang dinyatakan dengan rumus:

Keterangan :

X0 = rata-rata sementara

x̅ = X0 +P

n∑ fici

P = panjang kelas

n = banyaknya kelas

Dengan menggunakan rata-rata sementara, contoh 2 dapat diselesaikan sebagai

berikut :

Nilai fi xi ci fixi

52-58 2 55 -3 -6

59-65 6 62 -2 -12

66-72 7 69 -1 -7

73-79 20 76 0 0

80-86 8 83 1 8

87-93 4 90 2 8

94-100 3 97 3 9

Jumlah 50 389

x̅ = X0 +P

n∑ fici

x̅ = 76 +7

50(0)

x̅ = 76

2.3 Rata-rata Geometris dari Data Tunggal

Rata-rata geometris G dari sekumpulan angka x1,x2,x3, .... xn, adalah akar pangkat

n dari perkalian angka-angka tersebut, dinyatakan dengan rumus :

𝐺 = √𝑥1 ⋅ 𝑥2 ⋅ 𝑥3 ⋅ 𝑥𝑛𝑛

Contoh 4 :

Tentukan rata-rata geometris dari 4,9,6 !

Jawab :

𝐺 = √4 ⋅ 9 ⋅ 63

𝐺 = √216 3

𝐺 = 6

2.4 Rata-rata Geometris dari Data yang Dikelompokkan

Untuk mencari rata-rata geometris dari data yang telah dikelompokkan, perhatikan

contoh berikut ini :

Contoh 5:

Tabel 4-2

Nilai Matematika 50 Siswa

Nilai Frekuensi

52-58 2

59-65 6

66-72 7

73-79 20

80-86 8

87-93 4

94-100 3

Jumlah 50

Berdasarkan tabel tersebut, hitunglah rata-rata geometrisnya.

Jawab :

Nilai fi xi Log xi Fi Log xi

52-58 2 55 1,7403 3,4806

59-65 6 62 1,7924 10,7544

66-72 7 69 1,8388 12,8716

73-79 20 76 1,8808 37,6160

80-86 8 83 1,9190 15,3520

87-93 4 90 1,9542 7,8168

94-100 3 97 1,9868 5,9601

Jumlah 50 93,8515

log 𝐺 =∑ 𝑓𝑖𝑙𝑜𝑔𝑥𝑖

∑ 𝑓𝑖

log G = 93,8515

50

log G= 1,8770

G = 75,4

2.5 Rata-rata Harmonis Data Tunggal

Rata-rata harmonis dari data tunggal x1,x2,x3,....xn dirumuskan sebagai berikut :

𝐻 =𝑛

1

𝑥1+

1

𝑥2+

1

𝑥3+⋯+

1

𝑥𝑛

atau 𝐻 =𝑛

∑1

𝑥1

𝑛𝑖=1

Contoh 6:

Nilai ulangan bahasa Inggris 3 siswa adalah 90,80,70. Tentukan rata-rata

harmonisnya!

𝐻 =3

180

+190

+170

𝐻 =3

0,0111 + 0,0125 + 0,143

𝐻 =3

0,0379

H = 79,16

Jadi, rata-rata harmonisnya adalah 79,16

2.6 Rata-rata Harmonis dari Data yang Dikelompokkan

Rumus untuk mencari rata-rata harmonis dari data yang dikelompokkan adalah :

𝐻 =𝑛

∑ 𝑓𝑖

𝑥𝑖

Contoh 7 :

Diketahui data sebagai berikut :

Nilai Frekuensi

52-58 2

59-65 6

66-72 7

73-79 20

80-86 8

87-93 4

94-100 3

Jumlah 50

Tentukan rata-rata harmonisnya!

Nilai fi xi fi/xi

52-58 2 55 0,1361

59-65 6 62 0,0968

66-72 7 69 0,1014

73-79 20 76 0,2631

80-86 8 83 0,0964

87-93 4 90 0,0444

94-100 3 97 0,0309

Jumlah 50 0,6694

𝐻 = 50

0,6694 = 74,69

Jadi, rata-rata harmonisnya adalah 74,69

3. Median

Median (Mc) adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan (disusun)

dari data terkecil sampai data terbesar (Subana, Statistika Pendidikan, 2000)

3.1 Median dari Data Tunggal

Contoh 8:

Diketahui data sebagai berikut : 65,70,90,40,35,45, 70,80,50. Tentukan median dari

data di atas!

Jawab :

Data setelah diurutkan 35,40,45,50,65,70,70,80,90

Jumlah data ganjil maka mediannya adalah data yang terletak di tengah-tengah. Jadi

Mc = 65

Contoh 9 :

Diketahui data sebagai berikut : 4,5,4,7,3,2,5,9

Tentukan mediannya!

Jawab :

Setelah data diurutkan, maka didapatlah 2,3,4,4,5,5,7,9

Mc = 4+5

2

= 9,5

3.2 Median dari Data yang Telah Dikelompokkan

Untuk menghitung median dari data yang telah dikelompokkan pergunakan

rumus:

𝑀𝑐 = 𝑏 + 𝑃 (

12

𝑛 − 𝐹

𝑓)

Keterangan :

b = batas bawah kelas median

P = panjang kelas

n = banyaknya data

F = jumlah frekuensi sebelum kelas median

f = frekuensi kelas median

Contoh 10 :

Tentukan median dari data berikut ini !

Nilai Frekuensi

52-58 2

59-65 6

66-72 7

73-79 20

80-86 8

87-93 4

94-100 3

Jumlah 50

Jumlah data = 50

Median terletak pada kelas 73-79

b = 72+73

2 = 72,5

P = (52, 53, 54, 55, 56, 57, 58) = 7

n = 50

F = (2 + 6 + 7) = 15 f = 20

𝑀𝑒 = 𝑏 + 𝑃 (1

2𝑛−𝐹

𝑓) 𝑀𝑒 = 72,5+ 7 (

1

2.50−15

20)

= 72,5 + 7 (10

20)

= 72,5 + 7 (0,5) = 72,5 + 3,5 = 76

4. Modus

Modus adalah nilai data yang paling sering muncul atau nilai data yang

frekuensinya paling besar (Subana, Statistika Pendidikan, 2000)

Data yang belum dikelompokkan bisa memiliki satu modus, dua modus, atau

mungkin tidak mempunyai modus. Data yang memiliki satu modus disebut

monomodus, sedangkan data yang memiliki dua modus disebut bimodus.

1. Modus dari Data Tunggal

Contoh 11:

Tentukan modus dari data berikut ini!

5, 7, 7, 6, 8, 6, 6, 5, 8, 6

Jawab:

Setelah data diurutkan diperoleh: 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8

Modus (Mo) = 6

2. Modus dari Data yang Telah Dikelompokkan

Untuk menghitung modus dari data yang telah dikelompokkan dipergunakan

rumus sebagai berikut:

Keterangan

𝑀𝑒= modus

𝑏 = batas bawah kelas modus

𝑃 = panjang kelas

𝑏1 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya

𝑏2 = frekuensi kelas modus dikurangi kelas berikutnya

Contoh 12:

Tentukan modus dari data sebagai berikut!

Nilai Frekuensi

52-58 2

59-65 6

66-72 7

73-79 20

80-86 8

87-93 4

94-100 3

Jumlah 50

𝑀𝑜 = 𝑏 + 𝑃 (𝑏1

𝑏1 + 𝑏2

)

Jawab :

Frekuensi terbanyak pada kelas 73-79, berarti modusnya terletak pada kelas 73-

79.

b = 72+73

2 = 72,5

P = 7; b1 = 20-7 = 13 dan b2 = 20-8 = 12

Mo = b + P 𝑏1

𝑏1+ 𝑏2

Mo = 72,5 + 7 13

13+12 = 72,5 + 7

13

25 = 72,5 + 3,64

Mo = 76,14

Jadi, modusnya adalah 76,14.

KESIMPULAN

Ukuran pemusatan data adalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan

gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang pusat data yang juga mewakili seluruh data.

Ukuran pemusatan terdiri dari Mean, Modus dan Median. Mean adalah nilai rata-rata dari

data baik tunggal maupun kelompok. Media merupakan nilai tengah dari suatu data. Dan

modus merupakan nilai yang paling sering muncul atau memiliki frekuensi yang paling

banyak.

Daftar Pustaka

Riduwan. (2015). Dasar-dasar Statistika. Bandung: Alfabeta.

Subana. (2000). Statistika Pendidikan. Bandung: Pustaka Setia.