aljabar

1BAB IPENDAHULUANA. Definisi Matriks adalah kumpulan objek yang dapat berupa angka, huruf, benda, dan lain-lainyangdisusundalambentukbarisdankolom. Banyaknyabarisdankolom merupakan ukuran dari suatu matriks. Pernyataan matriks dapat dituliskan dalam bentuk seperti dibawah ini:

,_

45 44 43 42 4135 34 33 32 3125 24 23 22 2115 14 13 12 11a a a a aa a a a aa a a a aa a a a aAAtau secara umum dituliskan sebagai berikut:

,_

mn mnnna a a a aa a a a aa a a a aa a a a aA... ... ... 13 .. .. .. ...2 24 23 22 211 14 13 12 11Dalam bentuk notasi, matriks sering dituliskan dalam bentuk:( )mna A Dimana A adalah nama matriks, amn adalah elemen matriks, m adalah jumlah baris, sedangkan n adalah jumlah kolom. Ukuran atau orde dari matriks adalah m x n.B. Penjumlahan MatriksDua buah matriks atau lebih, dapat dijumlahkan atau diperkurangkan bila orde dari masing-masingmatrikstersebut sama. Dalamhalini, jikamatriksdijumlahkan ataudiperkurangkan, makaelemenmatriksdalamposisi yangsamayangakan dijumlah maupun diperkurangkan. Orde dari hasil penjumlahan ataupun 2perkurangan sama dengan orde dari matriks yang dijumlahkan atau diperkurangkantersebut. Sebagai sebuahgambarandapat dilihat penjumlahan matriks seperti di bawah ini:

,_

+ + + + ++ + + + ++ + + + ++ + + + +

,_

+

,_

45 45 44 44 43 43 42 42 41 4135 35 34 34 33 33 32 32 31 3125 25 24 24 23 23 22 22 21 2115 15 14 14 13 13 12 12 11 1145 44 43 42 4135 34 33 32 3125 24 23 22 2115 14 13 12 1145 44 43 42 4135 34 33 32 3125 24 23 22 2115 14 13 12 11b a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab b b b bb b b b bb b b b bb b b b ba a a a aa a a a aa a a a aa a a a aA

,_

,_

,_

45 45 44 44 43 43 42 42 41 4135 35 34 34 33 33 32 32 31 3125 25 24 24 23 23 22 22 21 2115 15 14 14 13 13 12 12 11 1145 44 43 42 4135 34 33 32 3125 24 23 22 2115 14 13 12 1145 44 43 42 4135 34 33 32 3125 24 23 22 2115 14 13 12 11b a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab b b b bb b b b bb b b b bb b b b ba a a a aa a a a aa a a a aa a a a aAC. Perkalian Matriks1. Perkalian Matriks Dengan KonstantaPerkalianmatriks olehsebuahkonstantadiartikansebagai perkaliansuatu konstanta dengan sebuah matriks. Dalamhal ini, masing-masing elemen matriks dikalikan dengan konstanta tersebut. Di bawah ini dituliskan perkalian sebuah konstanta, c dengan matriks A

,_

,_

45 44 43 42 4135 34 33 32 3125 24 23 22 2115 14 13 12 1145 44 43 42 4135 34 33 32 3125 24 23 22 2115 14 13 12 11ca ca ca ca caca ca ca ca caca ca ca ca caca ca ca ca caa a a a aa a a a aa a a a aa a a a ac Ac cA3Dalampersamaantersebut diatas bahwaordedari hasil perkalianmatriks dengan suatu konstanta sama dengan orde dari matrik pembentuknya.2. Perkalian Dua Buah MatriksDua buah matriks dapat diperkalikan bila jumlah kolom dari matriks pertama sama dengan jumlah baris dari matrik ke 2. sedangkan hasilnya adalah sebuah matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah baris dari matriks pertama dan jumlah kolomnya sama dengan jumlah kolom matrisk ke-2 pembentuknya. Secara sederhana dapat dijabarkan sebagai berikut, jika matrik A berored m x n diperkalikan dengan matriks B berorde nx p, maka hasilnya adalah matriks c berorde m x p. dalam bentuk matematisnya dapat dituliskan :JikamatriksAberordemxn(barisxkolomdikalikandenganmatriksB berorde n x p (baris x kolom), maka:( ) ,_

,_

npCmnCmpC B A C . : atau , .jpbkjimjampC ,_

Dari persamaan tersebut diatas dpt di tuliskan bahwa orde dari matriks A adalah m x n, orede dari matrik B adalah n x p dan orde dari matriks C adalah m x pD. Persamaan L inearPersamaanlinear adalahpersamaandimanavariable-variabelnyaberderet satu. Beberapapersamaanlinear dapat dibentukmenjadi satusset persamaanlinear seperti dituliskan dibawah ini:bm X a X a X a X ab X a X a X a X ab X a X a X a X an n m m m mn nn n + + + + + + + + + + + +1 3 3 2 2 1 121 3 23 2 22 1 211 1 3 13 2 12 1 11...... .......... .......... .......... .......... .......... ............ .......... .......... .......... .......... .......... ..........2 ........ 4BAB IIKAJIAN TEORITISA. Vektor di Ruang 2 dan Ruang 3B. Norma VektorC. Bebas LinearD. Basis dan Dimensi5BAB IIIKASUSVEKTOR DI RUANG 2 DAN RUANG 3, NORMA VEKTORBEBAS LINEAR, BASIS DAN DIMENSI1. Tentukan apakah (5,9,5) merupakan kombinas linear dari vektor-vektor(2,1,4), (1,-1,3), dan (3,2,5). Kalau ya, tentukan skalar-skalar a, b, dan csehingga a(2,1,4)+ b(1,-1,3)+(3,2,5)=(5,9,5)2. Tentukanapakahvektor-vektorberikutbebaslinearatautidakbebaslinear:a) (1,0,-2), (3,1,2), (1,-1,0)b) (2,-1,4), (4,2,3), (2,7,-6)3. Tentukan apakah vektor-vektor berikut membentuk basis untuk ruangvektor R3.a) (-4.1.3), (6,5,2), dan (8,4,1)b) (4,6,1), (-1,4,2), dan (5,2,-1)4. Carilah bass, dimensi dan rank untuk ruang yang direntang oleh vektor-vektor w1=(1,1,2,1), w2=(1,0,1,2) dan w3=(2,1,3,4)5. Misalkan T:R2 R3 didefinisikan oleh11]1

,_

1]1

+012212x1xT xx xa) CarilahmatrikTterhadapbasisB={u1,u2}dan B={v1,v2,v3}, dimana11]1

11]1

11]1

1]1

1]1

0033 0222v1111v422u 311u v6b) Gunakanlah matriks yang diperoleh dalam (a)untuk menghitung :

,_

1]1

38TPenyelesaian Kasus1. (5,9,5)=a(2,1,4)+b(1,-1,3)+c(3,25)linear bebas bukanadalah ) 71 , 9 . 20 ( ) 5 , 9 , 5 () 5 , 42 , 17 , 5 , 2 ( ) 5 , 10 , 5 , 3 , 5 , 3 ( ) 18 , 5 , 4 , 9 ( ) 5 , 9 , 5 () 5 , 2 , 3 )( 5 , 8 ( ) 3 , 1 , 1 )( 5 , 3 ( ) 4 , 1 , 2 )( 5 , 4 ( ) 5 , 9 , 5 (5 , 8 1 0 05 , 3 0 1 05 , 4 0 0 13 5 , 8 1 0 05 , 3 0 1 05 , 4 0 0 1 3 15 , 8 1 0 05 , 3 0 1 04 1 0 12 3 5 1 1 05 , 3 0 1 04 1 0 1 3 25 , 3 0 1 05 1 1 04 1 0 14314 0 4 05 1 1 04 1 0 12 4 3 6 4 0 05 1 1 04 1 0 12 3 3 9 1 3 05 1 1 04 1 0 11 4 35 5 3 45 1 1 04 1 0 1 2 15 5 3 45 1 1 09 2 1 12 2 3 5 5 3 45 3 1 29 2 1 1 2 15 4 3 49 2 1 15 3 1 2 + + + + + + +

,_

,_

,_

,_

,_

,_

,_

,_

,_

,_

,_

,_

bb bb bb bbb b b b b bb bb bb b2. a (1,0,-2), (3,1,2), (1,-1,0)linear bebas adalah 1 2 33 2 02 0 13 3 1 2 39 6 02 0 1 1 5 21 2 31 6 52 0 1

,_

,_

,_

bb b7linear bebas adalah (2,7,-6) (4,2,3), (2,-1,4), 6 7 215 12 010 8 03 2 2 6 7 23 2 410 8 0 3 16 7 23 2 44 1 2

,_

,_

,_

b bb bb3. a(-4,1,3), (6,5,2), (8,4,1)basis adalah 7 6 05 1 63 1 42 3 7 6 02 5 63 1 4 1 2 31 4 82 5 63 8 4

,_

,_

,_

+ b bb bbasis adalah ) 1 , 2 , 5 ( ), 2 , 4 , 1 ( ), 1 , 6 , 4 (1 2 54 0 119 22 03 2 2 1 2 52 4 19 22 0 2 4 11 2 52 4 11 6 4

,_

,_

,_

+b bb bb4. w1(1,1,2,1), w2(1,0,1,2), w3(2,1,3,4),basis adalah 4 3 1 22 1 0 11 2 1 1

,_

3 rankdan3 dimensi adalah 421

101

211 4 2 11 0 10 0 02 1 13 24 2 11 0 11 0 12 1 11 34 2 13 1 21 0 12 1 1

,_

,_

,_

,_

,_

,_

b b b b85. a

,_

,_

,_

,_

,_

,_

,_

,_

,_

,_

++ + + + 1026100102610010) 6 ( 2 1061001221216 0 . 2 . 1 0 . 0 . 1 3 . 2 . 1 0 . 2 . 1 3 . 0 . 1 0 . 2 . 10 32 21 10 0 30 2 21 1 110 6 4 ) 2 ( 3 4 . 14 23 1TTTx x xxxT78 30 48 3 . 10 ) 6 .( 86 310 8

,_

b9DAFTAR PUSTAKAModul Kuliah Aljabar Linear10LEMBARPENILAIAN TUGASMAKALAH INI TELAH DIPERIKSADi Bandung tanggal: Dengan Nilai Angka : Dosen Mata Kuliah,Joni S. Pasaribu IR., MT.11 KATA PENGANTARSegala puji dan syukur kami panjatkan kepada Alloh s.w.t, satu-satunya yang mahaDzat yangMahaMengetahui danMahaMelihat dansalamsejahterakepada junjungan kita Nabi Muhammad s.a.w berserta keluarganya dan para sahabatnya.Atas berkat rahmat dan karunia-Nya, kami dapat menyelesaikan penulisan makalah ini sebagai salahsatuTugas MataKuliahAljabarLinearpadaJurusanManajemen Informatika PIKSI GANESHA BANDUNG denganJudul Makalah : VEKTOR DIRUANG2DANRUANG3, NORMAVEKTOR, BEBASLINEAR, BASIS DAN DIMENSI. Dalam menyelesaikan makalah ini penulis sedikit banyak mengalami kesulitan. Hal ini tidak lain disebabkan oleh keterbatasan pengetahuan dan pengalaman, penulis menyadari betul bahwa makalah ini masih jauh dari sempurna, masih banyak kekurangan baikdarisegi penyajian, pengkajian materi, bahasa maupuntata cara penulisan, karenanya kami dengan lapang hati menanti kritik dan saran yang membangun dari semua pihak sehingga dapat menjadi lebih baik lagi. Penulis telah berusaha dengan semaksimal tenaga untuk menuangkan hal-hal yangpenulisbaca danketahui untuk dijadikan sebagai suatu informasi. Penyelesaian penulisan makalah ini tidak lepas berkat kerjasama team yang baik, kompak dan solid sehingga dapat selesai pada waktunya. Akhirnya Penulis berharap makalah ini dapat berguna dan memberikan sumbanganyangbermanfaat bagi lingkunganakademikdimanaPenulis selamaini menuntut ilmu, maupun pihak lain yang membutuhkan. Semoga Alloh SWT senantiasa melimpahkan Rahmat dan Hidayah-Nya yang tiada henti-hentinya kepada kita semua. Amin Yaraabul Alamin.Bandung, Januari 200812DAFTAR ISIKata Pengantar Daftar Isi iiiBAB 1BAB 2BAB 3PENDAHULUANA. Latar BelakangB. Pokok PembahasanKAJIAN TEORITIS A. Pengertian Perencanaan

B. Bentuk-bentuk PerencanaanC.Kegunaan PerencanaanPERANPERENCANAANDALAMRANGKAMEMPERLANCAR KEGIATAN USAHA PERUSAHAAN A. Langkah-langkah Penyusunan Perencanaan B. Perencanaan Merupakan Proses Pendekatan yang RasionalC. Jangka Waktu Perencanaan D. Biaya dan Waktu DAFTAR PUSTAKA LEMBAR PENILAIAN TUGAS 112333466899121313VEKTOR DI RUANG 2 DAN RUANG 3, NORMA VEKTOR BEBAS LINEAR, BASIS DAN DIMENSIMAKALAHDisusun Untuk Memenuhi Tugas Mata KuliahAljabar LinearProgram Studi Manajemen InformatikaDisusun oleh :Asep Kurnia (07.302.039)Bahagia Karo Sekali (07.302.041)Samja Dipraja (07.302.058)POLITEKNIKPIKSI GANESHA BANDUNG200714FORM PENILAIAN TUGASSemester: Ganjil Tahun Akademik : 2007/2008Mata Kuliah : Aljabar LinearDosen : Joni S. Pasaribu IR., MT.Kelas : MIF-X-K32.07NO NPM NAMA MAHASISWATANDATANGAN MAHASISWANILAI ANGKA1. 07.302.039 ASEP KURNIA2. 07.302.041 BAHAGIA KARO S3. 07.302.058 SAMJA DIPRAJA4.5.6.Mengetahui, Telah diperiksa dan dinilai di Bandung Bagian Akademik, Pada Tanggal : ..Dosen Mata Kuliah,