ALJABAR

Adalah cara untuk mengitung dan memanipulasi hubungan

antara jumlah yang menggunakan huruf untuk mempresentasikan angka-

angka.

2x+1=7,2x+1=7 merupakan

persamaan, x merupakan variabel, 2 merupakan

koefisien, dalam persamaan ini ada 3 istilah yakni, 2x;1;7.

jika harga dari apel adalah a, dan harga dari jeruk adalah b

“Jika harga sebuah apel adalah

a, dan harga sebuah jeruk adalah b. Maka harga 5 buah apel dan 4 buah jeruk adalah

5a+4b (dalam aljabar)”.

Note : dalam contoh di atas, a dan b merupakan subsitusi.

BAHASA ALJABARSama seperti bahasa matematika, dan juga

bahasa yang lainnya. Bahasa aljabar pun

memiliki aturan-aturan, al:

• 3a berarti 3xa

• 3ab berarti 3xaxb

• a berarti 1xa (perkalian 1 tidak merubah nilai, maka bisa dihilangkan).

• berarti a bagi b

• a5 berarti axaxaxaxa

• ab2 berarti axbxb

• (ab)2 berarti (axb)(axb)

• 5a2 berarti 5xaxa

b

a

CONTOH SOAL

• Disaat a = 2, b = 3. Maka tentukan :

1. harga dari ab2

jawab: 2x3x3= 18

2. harga (ab)2

jawab: (2x3)(2x3)= (6)(6)= 36

• Bayangkan jika Y adalah umurmu, M adalah umur ibumu. Apabila umur ibumu 2 kali lebih besar dari umurmu (2Y=M), apabila umurmu 25 tahun lebih muda dari dari umur ibumu (M-25=Y), maka umurmu adalah...

Jawab: 2Y=M, M-25=Y Y=1/2 M

M-25=1/2 M -25=1/2M-M -25=-1/2M

M=50

Bayangkan sebuah angka (n), jika dikalikan dua dan kurangi 7 maka hasilnya 35 (2n-7=35).

Jawab: 2n-7=35 2n=35+7

2n=42, n=21

Formula (rumus)

• Adalah cara untuk menemukan jumlah dengan mengkombinasi.

• Formula dapat dipakai di seluruh bidang studi seperti fisika, matematika, dll.

• Menggunakan formula/ rumus berarti menempatkan variable yang pasti dengan angka.

Contoh soal• Sebuah mobil berjalan pada V km/jam, tiba-tiba

supir menghentikan mobil. Jarak saat mobil berhenti dengan tempat semula adalah d, rumus untuk d adalah

d=

V adalah kecepatan mobil, jika V = 48 km/jam, kita dapat mensubsitusikannya,

d=

d= 150)80(48

150)3248(48

150

)32( vv

• Harga C, pada saat n=300 adalah... Jika C=12n+750 C=12(300)+750

C=3600+750 C=4350

Menyederhanakan persamaan Aljabar

• Dalam persamaan aljabar, ada bagian-bagian yang dipisahkan oleh tanda-tanda +/-

• a+b terdiri dari 2 bagian,

adalah persamaan aljabar dari 3 bagian

• Jika suatu persamaan terdiri dari banyak bagian, maka akan memerlukan banyak waktu untuk menyelesaikannya, jadi kita harus menyederhanakan terlebih dulu.

c

ab

b

a32

Menjumlahkan bagian-bagian

• Jika 1/ lebih bagian memiliki variable yang sama, maka bagian ini dapat kita jumlahkan untuk menyederhanakan kita dalam mengerjakan

• Contoh 4a+2a+3a=9a 4a+6b+3a=7a+6b (kota tidak bisa

menjumlahkan variable yang berbeda) 2p+5q+3q-7p=8q-5q

Mengkalikan dan membagi dengan angka

X -3 -2 -1 0 1 2 3

3 -9 -6 -3 0 3 6 9

2 -6 -4 -2 0 2 4 6

1 -3 -2 -1 0 1 2 3

0 0 0 0 0 0 0 0

-1 3 2 1 0 -1 -2 -3

-2 6 4 2 0 -2 -4 -6

-3 9 6 3 0 -3 -6 -9

Pola-pola yang digunakan diatas, adalah:

• 1. Aturan dalam perkalian(+) x (+) = (+)(+) x (-) = (-)

dalam pembagian(-) (-) = (+) (-) x (-) = (+)(-) x (-) = (-)

2. Aturan (-) (+) = (-)(+) (-) = (-)(+) (+) = (+)

Contoh

• p=5, q=-2, r=-3. tentukan nilai dari :

8pq=8x5x-2 2qr3=2x-2x(-3)3

=-80 =-4x-27

= 108

p2-4qr=(5x5)-4(-2x-3)

=25-(24)

=1

124

)6(8

)2(2

)3)(2(8

2

8

q

qr

Memindahkan kurung

• Beberapa persamaan yang menggunakan tanda kurung, biasanya harus disingkirkan terlebih dahulu untuk menyederhanakannya.

Untuk hal itu maka kita harus mengkali setiap bagian di dalam tanda kurung dengan angka diluar kurung

• Suatu angka negatif(-) jika dikalikan dengan angka positif(+) maka hasilnya negatif (-)

Contoh

• Pindahkan kurung kurung dibawah ini, dan sederhanakan persamaan dibawah ini :

1. 2(3x+y)+5(x-2y)=6x+2y+5x-10y

=11x-8y

2.4(2n+3)+7(n+1)=8n+12+7n+7

=15n+19

3. 3(x-2)+2(3-x)=3x-6+6-2x

=x

Penyelesaian Soal Dengan ALJABAR

Menggunakan Aljabar untuk menyelesaikan soal-soal.

Dalam Aljbar digunakan bebrapa vriabl untuk menyelesaikam soal-soal matematika. Contoh :

a. Penjumlahan Aljabar x + y+ z

b. Pengurangan (selisih) x – y

c. Perkalian xyz

• Penjumlahan tiap variable dan dibagi 6

6

zyx

e. Dikalikan 2 2(x + y + z) Atau 2x + 2y + 2z

Latihan soal

1. Umur ibu p tahun dan anak perempuannya berumur s tahun. Tuliskan dalam bentuk aljabar berikut :

a) Selisih umur ibu dan anak perempuannyab) Umur mereka dalam 5 tahunc) Jumlah umur keduanya

d) 2 kali umur anak perempuan.

2. Keliling sebuah persegi panjang adalah P. Panjangnya 5 kali dari lebar persegi panjang tersebut. Tuliskan tanda aljabar untuk :

a) Panjang persegi panjang pada sisi yang lebih pendekb) Panjang persegi panjang pada sisi yang lebih panjangc) 2 kali penjumlahan dari sisi-sisi persegi panjang

Langkah-langkah dalam menyelesaikan soal-soal.

Salah satu cara untuk menyeleasaikan masalah-masalah dalam matematika adalah dengan menggunakan persamaan. Dan dalam penggunaan persamaan ada hal yang perlu diperhatikan, yaitu :

• Yakinkan anda mengerti masalah dalam soal matematika tersebut.• Catat pokok permasalahan yang ditemukan dalm soal.• Lambangkan dengan (n atau x) satu hal yang ditemukan dalam

soal.• Tuliskan hal lain yang belum diketahui nilainya dengan lambing

lainnya• Tuliskan dalam persamaan • Selesaikan persamaan tersebut• Dan pastikan hasilnya masuk akal atau tidak.

Contoh :

Sebuah penghapus seharga 15 sen, lebih mahal dari harga sebuah pensil. 12 buah pensil seharga 60 sen, lebuh mahal dari 8 buah penghapus. Berapa harga sebuah pensil ?

Penyelesaian :1 buah pensil seharga p sen, maka 1 buah penghapus seharga ( p +

15)12p = 8(p+15)12p = 8p + 120 + 6012p = 8p + 180 4p = 180 p = 45jadi, harga 1 buah pensil adalah 45 sen.

Latihan Soal

1. Temba 2 kali lebih tua dari Silo, Silo 5 tauhn lebih muda dari Shipo. Jumlah dari umur mereka adalah 31 tahun. Berapa umur Shipo ?

2. Dalam 7 tahun, Jan akan 2 kali lebih tua dari umurnya 8 tahun lalu. Beapa umur Jan sekarang ?

Menemukan kaidah dalam mengurutkan barisan angka.Menggunakan aljabar adalah hal yang umum untuk

menemukan urutan dalam barisan angka. Biasanya, temukan terlebih dahulu rumus atau persamaan yang dapat digunakan utnuk menyatakan nilai dan urutan angka.

Contoh barisan bilangan berpangkat1,4,8,16,25,……………

Dapat ditulisakan sebagai n n2. Memasukkakn nilai (n) dalam sebuah barisan angka disesuaikan dengan urutan atau tingkatannya (biasa disebut term). Seperti nilai dalam term 11 menjadi n2 =121

Metode ini tidak selalu mudah untuk menyelesaikan urutan dalam barisan angka, ada metode lain yaitu tabel.

Contoh

1. Tentukan berapa n dalam barisan angka ?,.....5

4,

4

3,

3

2,

2

1

Urutan dalam term (n) 1 2 3 4

Term

Pola

Rumusnya adalah

1nn

14

4

13

3

12

2

11

1

5

4

4

3

3

2

2

1

Latihan Soal

1. Temukan rumus n dari barisan angka 5, 7, 9, 11, 13, …

2. Temukan rumus n untuk barisan angka 2, 5, 8, 11, 14, …

3. Temukan rumus n untuk barisan angka 12, 10, 8, 6, 4, …

4. Temukan rumus n untuk barisan angka 2, 3,

5. Tuliskan rumus untuk n dari 1, 8, 27, 64, 125, …

,2

11 ,

2

12 ,....

2

13

MENYELESAIKAN PERSAMAAN LINEAR

Perhatikan persamaan berikut : 2n + 5 = 33

Untuk menyelesaikan persamaan, harus membuat kedua ruas sama / seimbang

kedua ruas akan seimbang / sama jika :

• Menambahkan dengan bilangan yang sama dikedua ruas• Mengurangkan dengan bilangan yang sama dikedua ruas• Mengalikan dengan bilangan yang sama dikedua ruas• Membagi dengan bilangan yang sama dikedua ruas

Lihat persamaan berikut :2n + 5 = 332n +5-5 =33-5 (dikurang 5 dikedua ruas)2n =33-52n =28 n=14 (dibagi 2 dikedua ruas)

Contoh :1. Selesaikan persamaan 3x-8=39

3x-8=393x-8+8=39+83x=47x= 15

3

2

2. Tentukan nilai y, 2(y-4)=182(y-4)=182y-8=182y-8+8=18+82y=26y=13

3. Selesaikan persamaan 3(n-4)+2(4n-5)=5(n+2)+163(n-4)+2(4n-5)=5(n+2)+163n-12+8n-10=5n+10+1611n-22=5n=2611n-5n=26+226n=48 n=8

RUMUS/FORMULA

Seperti dalam menyelesaikan sebuah persamaan, kita harus membuat kedua ruas sama nilainya/seimbang,caranya:

• Menambahkan dengan bilangan yang sama dikedua ruas (jika x-b=a maka x=a+b).

• Mengurangkan dengan bilangan yang sama dikedua ruas (jika x+b=a maka x= a-b).

• Mengalikan dengan bilangan yang sama dikedua ruas (jika x/b=a maka x=ab).

• Membagi dengan bilangan yang sama dikedua ruas (jika bx=a maka x=a/b).

Contoh :

ubah rumus s=2n-4 menjadi n

s=2n-4

s+4=2n+4-4

s+4=2n

s+4=n

E=V+IR

Tentukan nilai R jika E=20,V=15,dan I=2

E=V+IR

20=15+2R

20-15=2R

5=2R

R=2,5

Pecahan Langsung

Adalah hasil dari dua variabel yang memiliki perbandingan yang sama. Jika variabel adalah P dan Q, maka aka ditulis menjadi P = Q, itu berarti jika P merupakan pecahan lansung Q. P Q, berarti adalah tetap itu berarti P = k Q

Q

P

Pecahan kebalikan

Adalah hasil perhitungan dari 2 variabel yang konstan. Jika variabel adalah P dan Q, maka P Q = K dimana K adalah konstan. Itu berarti P adalah kebalikan dari Q

P Q= k dapat juga ditulis

jadi P merupakan pecahan kebalikan dari Q maka dapat dituliskan P =

Q

kp

Q

1

Contoh1. y merupakan pecahan langsung dari

dimana x = 32. Temukan hasil dari x = 5

jadi , tetapi saat

dan Ketika

2. F merupakan pecahan kebalikan dari dimana temukan hasil dari F jika

3x

3kxy

3x

kxx 83232,2 3

4k 34xy

500125454,5 3 xxyx2d

12,3 Fd

4d

Pengertian Perpangkatan

Untuk diingat di modul pertama kita menggunakan perpangkatan dengan 2 atau 3. dan kita juga dapat memperoleh pangkat dari beberapa hasil. Contoh:

......aaaan

555

2222222

5

Perpangkatan 10(kelipatan dari 10)

Para Ilmuan, teknisi sering menggunakan penerapan perpangkatan dari 10.

contohnya:

10101010101010

10101010

101010

6

3

2

Selain itu, perpangkatan 10 uga dapat digunakan dalam desimal. Contoh dapat dilihat dalam tabel berikut:

10000 1000 100 10 1

(0,1) (0,01) 0,001)

410 310 210 110 010 110 210 310

10

1

1000

1100

1

Perpangkatan juga di jadikan sebagai standar karena terkadang kita menggunakan angka yang kecil ataupun besar.

contoh:

– Jarak antara jupiter dengan matahari 778 000 000 km– Tegangan dari sirkuit elektronik adalah 0,00000000006

Dalam matematika dan Ilmu pengetahuan, angka yang sangat besar ataupun sangat kecil biasanya ditulis dengan perkalian antara 1 dan 10. kita dapat menulisnya dimana ,

Jawab:– 778 000 000 =–

610778

na 10 n 101 a

1110660000000000,0

Peraturan dalam Perpangkatan

didalam matematika ada beberapa peraturan atau cara untuk menggunakan perhitungan dengan perpangkatan.

Berikut ini adalah peraturannya:

1.

contoh : nmnm aaa

2222222222 53 82

5353 222

2. contoh :

3.

contoh :

itu berarti :

)( nmn

mnmnm a

a

aoraaa

2525

25

777

77

7777777

jadi

mnnm aa )(43 )2(

12

43

3333

3333

2

2

2

2222

Tata cara (peraturan) perpangkatan dalam aljabar

• Untuk diingat :– Perpangkatan hanya dapat digunakan jika dasarnya terikat.

Itu berarti jika yang berpangkat (kubik) adalah ,dan jika kedua duanya berpangkat 2 (kubik), jadi dapat juga ditulis :

– Peraturan dari perpangkatan yang lain adalah,

pangkat hanya dapat digunakan jika pangkat tersebut memiliki bilangan yang sama. Maka:

tapi

2ab2)(ab

22ba

743 aaa 4343 aaaa

Pecahan Aljabar

PECAHAN ALJABARPecahan aljabar bisa disederhanakan, dijumlahkan, dikurangi, dikalikan dan dibagi dengan cara yang sama seperti pecahan pada aritmatik. Bagaimanapun juga dalam perintah untuk melakukan operasi, kamu dapat mencari dari pembilang dan penyebutnya.

Contoh:

1)Penyederhanaan :

a) 6pq

8p²

= 6 x p x q

8 x p x p

= 3q

4p

b) y² + 5 y y² + 6y + 5= y ( y + 5 ) (y+1)(y+5)= y y+1

c) x² - 4x²-5x+6

= (x+2)(x-2) (x-3)(x-2) = (x + 2) (x-3)

2) Membuat pecahan menjadi bentuk yang paling sederhana

a) 3d + 9d jadi 3d = 15 dan 9d = 18d 4 10 4 20 10 20

KPK : 20 jadi, 3d + 9d = 15d + 18d = 33d 4 10 20 20 20

b) t – t - 3 3 2

6 adalah KPK dari 3 dan 2t = 2t dan t-4 = 3(t-4) (yang dalam kurung adalah sebagai dasar)

3 6 2 6Jadi t - t - 4 = 2t - 3(t-4) = 2t – 3(t-4) = 2t -3t + 12 =12 – t 3 2 6 6 6 6 6

( hati-hati dengan tanda-tanda nya )

c ) 1 - 2 x-2 x-3

Kedua-dua nya, baik x-2 ataupun x-3 sudah difaktorkan menjadi paling sederhana jadi harus dikalikan tiap dari mereka (x-2)(x-3) 1 = (x-3) ( x sebagai pembilang dan (x-3) sebagai penyebut ) x-2 (x-2)(x-3)Dan 2 = 2(x-2) (x sebagai pembilang dan (x-2) sebagai penyebut) x-2 (x-3)(x-2)Jadi, 1 - 2 = ( x - 3 ) - 2 ( x – 2 ) = (x-3) – 2(x-2) = x-3-2x+4 = 1- x x-3 x-3 (x-2)(x-3) (x-3)(x-2) (x-2)(x-3) (x-2)(x-3) (x-2)(x-3)(biasanya bilangan penyebut dalam bentuk difaktorkan)

3) Sederhanakanlah : 3x + 4 - 1 x²+x-6 x+3

3x + 4 - 1 = 3x + 4 - 1x²+x-6 x+3 (x+3)(x-2) x+3

= 3x + 4 - (x – 2) (x+3)(x-2) (x+3)(x-2) [KPK dari penyebut adalah (x+3)(x-

2)] = 3x+4-x+2 (x+3)(x-2) = 2x + 6 [faktorkan pembilang] (x+3)(x-2) = 2 (x + 3 ) (x+3)(x-2) = 2 (x-2)

LATIHAN:1) Sederhanakanlah :

a) 4p²q b) y² + 3y c) x²-2x 6pq² y²+8y+15 x²-7x+10

2) Nyatakan pecahan di bawah ini menjadi bentuk yang paling sederhana.a) 3a x 5ab b) x² x x²+3x+2 c) 3p-6 : p-2 4b 3 x²-4 2x p²-p-6 p+2

3) Nyatakan pecahan di bawah ini menjadi bentuk yang paling sederhana.a) 3a - 7a b) 2x - 3(x-5) c) 2 + 3 4 10 3 2 t+1 t+2

4) Sederhanakanlah : 2(x+2) - 1 x²+4x-5 x+5

Perubahan dengan rumus yang lebih sulit

Keterampilan yang telah dipelajari dalam memqanipulasi aljabar bisa di terapkan pada rumus yang berupa pecahan, bilangan negatif dan tanda kurung. Tetapi kamu boleh menerapkan bilangan dari peraturan –peraturan dan prinsip-prinsip disaat yang bersamaan.Langkah-langkah yang digunakan dalam memanipulasin rumus :

a) Jelaskan rumus dari pecahan

b) Hilangkan pangkat / akar-akar lainnya

c) Kembangkan tanda kurung

d) Susun kembali batas-batas yang menjadi pokok persoalan baru yaitu memisahkan satu bagian dari rumus.

e) Kedua sisi pembagi di buat rumus ( bentuk baru)

CONTOH:

1) Diketahui ab + c = d( b+2) carilah b pada a, c dan d

(ini berarti, b merupakan pokok dari rumus)

ab + c = d(b+2) [perluas yang didalam kurung]

ab + c = db + 2d [ kumpulkan yang mengandung b menjadi satu bagian]

ab – db = 2d – c [ di faktorkan seperti b x (pernyataan) ]

b(a-d) = 2d-c (membagi 2 sisi dari pernyataan)

b= 2d – c

(a – d)

2) Membuat u menjadi subjek dari rumus 1 + 1 = 2 v u R

vuR + vuR = 2vuR(kalikan v u R untuk memperjelas pecahan ) v u ruR + vR = 2vu ( kumpulkan istilah-istilah yang mengandung u didalam satu bagian)

vR = 2vu-uR ( faktorkan seperti u x (pernyataan) vR = u(2v-R) [pernyataan dibagi menjadi dua bagian]

vR = u (2v-R)Maka rumusnya adalah u= vR .

(2v-R)

3) Membuat b menjadi pokok dari rumus r = a-b

a+b

r(a+b) = a-b [kalikan kedua bagian dari a+b untuk memperjelas pecahan]

ra+rb = a-b [ kembangkan yang ada di dalam kurung]

rb+b = a-ra [ kumpulkan yang mengandung b ke dalam satu bagian]

b(r+1) = a-ra [faktorkan bx (pernyataan]

b = a-ra [ pernyataan di bagi menjadi dua bagian]

(r+1)

Bisa juga ditulis b= a(1-r)

1+r

4) Diketahui : F = R nyatakan R pada F dan r

F(R+r) = R [kalikan kedua bagian untuk memperjelas pecahan ]

FR + Fr = R [ kembangkan yang di dalam kurung ]

Fr = R – FR [kumpulkan R kedalam satu bagian]

Fr = R(1-F) [ Faktorkan Rx(pernyataan) ]

maka rumus nya adalah R = Fr .

(1-F)

5) Membuat a menjadi poko dari rumus T=2л

bagi kedua bagianda 2л ( untuk memisahkan akar kuadrat)

T =

2л

T² = a (kuadratkan kedua bagian)

4л² g

gT² = a (kalikan g )

4л²

Maka rumusnya adalah a= gT²

4л²

g

a

g

a

LATIHAN :

1) Diketahui p(x+q) = x+ r , carilah xpada p,q dan r.

2) Buatlah y menjadi pokok dari rumus x + y = 1

a b

3) Ubahlah pokok dari rumus y = x+3 ke x

x-2

4) Buatlah f menjadi poko dari rumus s= ut + 1 ft²

2

5) Diketahui p=3 - 4, nyatakan q pada p

6) Buatlah m menjadi pokok dari rumus E= mc²

7) Nyatakan dalam x:y = (3x+2)²

a) cari x jika y = -3

b) cari x jika y =

8) Berapakah r jika v = лr²h?

9) Buatlah A, P, dan r menjadi pokok dari rumus = (1+r)n

10) Buatlah v menjadi pokok dari rumus : + =

q

2

11

3

1

P

A

v

1

u

1

R

2

Penyelesaian Persamaan Simultan

Jan dan Ashraf mengunjungi sebuah kafe . Jan membayar $11 untuk sebuah kue dan 2 cangkir kopi :Dimisalkan :b + 2c = 11Ashraf membeli 2 kue dan secangkir kopi dengan harga $10 . Dimisalkan :2b + c = 10Dari kedua persamaan ini mempunyai dua variable , jadi kamu tidak bisa memecahkan mereka menggunakan metode yang telah kamu pelajari. Bagaimanapun ini hanya satu nilai dari b dan satu nilai dari c yang akan membenarka kedua persamaan. Persamaan ini disebut persamaan simultan dan mereka harus di pecahkan di waktu yang bersamaan. Kamu akan mempelajari pelajaranini di modul 3 ketika kamu mempelajari grafik.

Ada dua metode dari pemecahan secara bersamaan sebuah aljabar :

a) Metode substitusi : digunakan ketika satu variabel mempunyai sebuah ketetapan 1 atau -1

b) Metode koefisien : digunakan ketika tidak satu pun dari variabel mempunyai ketetapan 1 atau -1

CONTOH :1) Pecahkan persamaan : b + 2c = 11

2b + c = 10

b + 2c = 11 ….(1) Tulis setiap dari nama (1) dan (2)2b + c = 10 ….(2)cari b: b= 11-2c ... (3) buat persamaan baru (3)

Substitusikan (3) ke (2) :2(11-2c) + c = 1022-4c+c = 10

-3c = 12 c = 4Substitusikan ke dalam (3) : b = 11-2(4)

b = 3

2) Carilah nilai dari x & y pada persamaan :X-3y = 13 3x+2y= 6

X-3y = 13 …(1)3x+2y= 6 …(2)x = 13 + 3y …(3)Substitusikan (3) ke (2) :3(13+3y)+2y = 6 39 + 9y + 2y = 6

11y= -33 y = -3

Substitusikan (3) : x = 13 + 3(-3) x = 4

METODE PERSAMAAN KOEFISIEN Dalam metode ini, kamu mengubah kedua persamaan untuk membuat suatu

variabel (x&Y) yang sederajat kedalam kedua persamaan. Lalu kamu jumlahkan atau kurangi persamaan tersebut, di ubah dalam bentuk eliminasidan dipecahkan ke yang lainnya.

CONTOH :1) Pecahkan dengan bersamaan :3x + 2y = 12

5x – 3y = 13x + 2y = 12 …(1) membuat persamaan y :5x – 3y = 1 …(2) (1)x3 (2)x2(1) X 3 : 9x + 6y = 36 …(3) Substitusikan x ke 2 : 5(2) – 3y = 1(2) X2 : 10x–6y = 2 …(4) 9 = 3y(3) + (4) : 19 x = 38 y= 3 x = 2

•2) Pecahkan persamaan dari :4x = y + 7• 3x + 4y + 9 = 0

4x = y + 7 …(1) Susun kembali• 3x + 4y = -9 …(2)•(1) X 4 : 16 x - 4y = 28 …(3) Substitusikan x pada (1) :4(1)– y = 7•(2) + (3): 19x = 19 -y = 3 • 19= 1 y = -3

LATIHAN :1) Pecahkan persamaan-persamaan berikut :

a) 3x + 2y = 10 4x – y = 6b) p + 2q = 7 3p – 2q = -3c) 2u + v = 7 3u + 2v = 7

2) Pecahkan persamaan-persamaan berikut:a) 4s = 5t + 5, 2s = 3t + 2b) 6f – 6g = 5, 3f – 4g = 1c) 2x = 3y + 14, 3x + 2y + 5 = 0

3) Tiga buku catatan & 5 pensil seharga $10. Satu buku catatan & sepuluh pensil seharga $10. Jika harga buku adalah n dollars dan harga sebuah buku adalah p dollars. Tuliskan dua persamaannya lalu pecahkan persamaan & carilah harga dari buku catatan & harga sebuah pensil.

4) Variabel dari x & y di dapatka dari y = mx + c, dimana m dan c adalah konstanta. Jika y = 12 dimana x = 2 dan y = 4 dimana x=6. Carilah nilai m dan c .

BILANGAN NOL DAN PANGKAT NEGATIF

NOL DAN BILANGAN PANGKAT NEGATIF

Aturan bilangan berpangkat diterapkan dalam semua situasi. Artinya bahwa semua bilangan pangkat yang negatif dan pangkat nol memenuhi aturan yang sama.Misal :

Kita tahu bahwa angka yang dibagi dengan dirinya sendiri hasilnya 1.Jadi,

Jadi,

adalah sama dengan . Dengan kata lain, a-3 Adalah

berbanding terbalik dengan

33 aa

103333 aaaa

)(52 hapusaaaaa

aaaa

3

11

aaaa

335252 1

aaaaa

3

1

a3a

3a

LATIHAN1. Cari nilai di bawah ini

2. Sederhanakan

4

301

2

)3

2).(

444).

)5).(

g

d

a

43

3

0

333).

2).

)0006.0).(

oh

e

b

0

3

21).

)5

2).(

f

c

52

24

26

).

).

).

eeg

qqd

yya

22

253

65

).

).

).

ffh

pppe

kkkb

24

63

).

).

qqqf

ppc

3. Sederhanakan

4. Ubahlah dengan pangkat positif dan sederhanakan, jika mungkin.

5. Sederhanakan!

11

3

26

))4

3).((

).

).

g

kkd

eea

2

5

3

5

26

).

).

).

k

kh

y

ye

eeb

3

5

11

).

)2).(

y

yf

c

1

2

).

4).

).

xyg

d

xa y

)5().

11).

4).

2

1

1

h

e

b

4

3

).

1).

b

af

xc

a

1

0

0).

0).

d

xjikaxa 0

02

1).

)3).(

e

b0

1

)107).(

)4

1).(

f

c

BILANGAN BERPANGKATSekarang kita mengetahui artinya dimana pangkat n adalah bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif atau nol. Sekarang kita akan belajar tentang

lambang bilangan , ,dan Sebelum mempelajari semua, kita harus tahu aturan bilangan berpangakat.

Perhatikan . Jika, kita mengalikan bilangan tersebut dengan dirinya sendiri, kita akan memperoleh .

Dengan kata lain, kudrat dari adalah a .Jadi, jika

diakar pangkatkan menjadi a [

Jadi ].

na

2

1

a

aaaaa 12

1

2

1

2

1

2

1

2

1

a

2

1

9 3

2

8 4,0)32(

2

1

a

aa 22

1

)(

aa 2

1

Dengan kata lain, , jadi aaaaaaaa

)[( 3

113

1

3

1

3

1

3

1

3

1

3

1

]33

1

aa

Pangkat tiga dari adalah a. Jadi, adalah akar pangkat tiga dari a.

adalah n akar dari a atau

Mengartikan pecahan dalam bentuk lain. Kita dapat menggunakan aturan ketiga.

Cara lain,

Jika pangkat adalah desimal, kita harus mengubah desimal menjadi pecahan.

Sebagai contoh

Jika bilangan pangkat adalh negatif, maka adalah berbanding terbalik dengan a.

3

1

a 3

1

a

na

1nn aa

1

n mnmnm

n

m

aaaa

11

][

mnmnm

nn

m

aaaa )(][11

5 25

2

10

44,0 aaaa

aa

11

LATIHAN

1. Selesaikan soal berikut ini

2. Cari hasilnya

3. Sederhanakan

2

3

2

1

25).

16).

c

a75.0

3

2

000.10).

27).

d

b

4

1

4

3

2

3

99).

)4

25).(

c

a

6.0

12

1

4

1

32).

88).

d

b

2

3

2

1

3

2

).

27).

eec

a

62

1

2

3

)).(

)25

9).(

fd

b

Manipulasi aljabarHampir semua manipulasi aljabar mengkombinasikan aturan yang telah kita pelajari. Kita diharapkan menghilangkan tanda kurung dan menerapkan aturan-aturan angka langsung dan aturan pangkat dan BODMAS pada saat yang bersamaan. Hal ini membutuhkan pemikiran yang jelas dan banyak latihan. Meninjau kembali apa yang telah kita pelajari selama ini dengan melengkapi latihan soal di bawah ini.

LATIHAN1.Hilangkan kurung dan sederhanakan.a). 4(y + 3) – 3(2y - 1) b). 2(3s - 4t) - 5(s + 2t)c). -3(2z - 1) + 7(3z - 2) d). 6(p + q) - (q - p)e). 3(y + 7) - 2(4y - 5) f). 4(3s – 2t) – (s – 3t)g). -5(6z – 1) + 6(2z – 3) h). 2(p + q) – (p – q)

2. Hilangkan kurung dan sederhanakan.a).3(2e + f) - 4f + 5(e – f) b). t(2t + 1) – (4t – 3) – 5c). 2(e + 3f) – 3e + 4(e – f) d). t(3t + 2) – (5t – 4) + 7

Perkalian diantara dua kurungKita harus menghilangkan kurung yang terdapat dalam soal dimana dalam soal hanya terdapat satu perkalian di depan kurung. Bagaimanapun, di dalam soal kita dapat mengerjakan dengan bentuk (a + b)(c + d). Operasi seperti ini disebut dengan “ Perluasan Kurung”. Untuk mengerjakan ini, kita mengalikan semua bentuk dalam kurung yang kedua dengan semua bentuk dalam kurung yang pertama.

(a + b)(c + d) = a(c + d) + b(c + d)

= ac + ad + bc + bd

Jika ada bentuk yang sama setelah membuka kurung, kita menambahkannya

CONTOH

Hilangkan kurung dan sederhanakan

(p + q)(p + 2q) (t – 2)(t+3)

= p(p + 2q) + q(p + 2q) = t(t + 3) – 2(t +3)

= p² + 2pq + qp + 2q² = t² + 3t – 2t - 6

=p² + 3pq + 2q² = t² + t – 6

(5p – 3)² (s – 3)(s² - s – 4)

= (5p – 3)(5p – 3) = s(s² - s – 4) - 3(s² - s – 4)

= 5p(5p – 3) - 3(5p – 3) = s3 - s² - 4s - 3s² + 3s + 12

= 25p² – 15p - 15p + 9 = s3 - 4s² - s + 12

= 25p² – 30p + 9

Beberapa perluasan yang pentingPenjumlahan kuadrat dua bilangan.(a + b)² = (a + b) (a + b)

= a² + ab + ba + b² (ab = ba)= a² + 2ab + b²

Perpedaan kuadrat antara dua angka.(a – b)² = (a – b)(a – b) (ab = ba)

= a² - ab – ba - b² = a² - 2ab - b²

Perbedaan antara dua bilangan kuadrat.(a – b) (a + b) = a(a + b) - b(a + b)

= a² + ab - ba - b² (ba = ab)= a² - b²

LATIHAN1. Hilangkan kurung dan sederhanakan.

a). (t – 5)(t – 4)b). (2p – 1)(3p + 1)c). (4s + 3t)(3s -4t)

2. Jabarkan kurung dan sederhanakan.a). (3p + 2)²b).(4y – 3)(4y + 3)c).(s – 2)(s² + 2s – 3)

3. Jabarkan dan sederhanakan.a). (m + n)(x – y) b). (3a – b)(2a – b)c). 2(3a + b)(a + 2b) d). (a – b)(3a – 2b + 3c)e). (2x +4)(2x – 4) f) . (3x – 5)²g). (x + 2y)² h). -2(x – y)²i). (x + 2)(x – 3) – 2(x + 4) j) . (x + 2)(x – 7) – 2(x +4)(x -3)

k). (3x + 2)² - (4x – 2)² l) . (x + 7)² - (x + 2 )(4 – 3x)

pemfaktoranDalam aljabar, pemfaktoran adalah sama dengan aritmatika.

Ketika kita memfaktorkan sebuah tanda aljabar, kita menuliskannya sebagai hasil dari faktor tersebut. Pemfaktoran dapat dilihat sebagai perbaikan dari penghilangan kurung.Menemukan faktor persekutuan

Langkah pertama dalam pemfaktoran adalah untuk menemukan faktor persekutuan dalam semua bilangan.Sebagai contoh dalam bntuk aljabar 18x + 4q:-Tidak ada variabel yang sama.-FPB dari 18 dan 4 adalah 2Jadi bentuk 18x + 4q dapat ditulis 2(9p + 2q).CONTOHFaktorkan.18s + 12t + 20u 9pq – 9qr t² - 2tFPB = 6 FPB = 3q FPB = t6(3s + 2t + 4u) 3q(3p – 2r) t(t -2)

LATIHAN

1. Faktorkan

a). 10s + 15t + 20u b). 12pq – 9qr c). 16yz – 4y

2.Faktorkan

a). t² + 5t b). 9y² - 6yz c). 6p²q + 14pq² - 10pq

Pemfaktoran dengan pengelompokanKetika sebuah tanda aljabar memiliki bilangan-bilangan dalam jumlah

genap seperti empat. Kita akan menemukan bahwa tidak ada faktor persekutuan untuk keempat bilangan tersebut. Dalam kasus seperti ini kita dapat mengelompokkan bilangan-bilangan tersebut dalam pasangan-pasangan dan akan menemukan faktor persekutuan dari setiap pasangan.CONTOHFaktorkan.ap + aq + bp + bq 6b² + 4bd + 3bc + 2cd

= a(p + q) – b(p + q) = 2b(3b + 2d) + c(3b + 2d)= (a + b)(p+q) = (3b +2d)(2b +c)

3y + 4pq – 3p – 4yq 6ab – 3bc + 2ad – cd + 8a – 4c

= 3(y – p) + 4q(p – y) = 3b(2a – c) + d(2a – c) + 4(2a – c)

= 3(y – p) - 4q(y – p) =(2a – c)(3b + d + 4)= (y – p)(3 – 4q)

Pemfaktoran persamaan kuadratPersamaan dalam bentuk ax² + bx + c (dimana a, b, dan c adalah angka) disebut persamaan kuadrat. Ketika kita memfaktorkan persamaan seperti itu, kita harus mengingat bahwa bentuk tengah merupakan kombinasi dari dua bentuk.Misal: (2x – 3)(x + 4) dapat dikalikan dan diperoleh:2x(x + 4) – 3(x + 4) = 2x² + 8x – 3x – 12 = 2x² + 5x – 12Ketika kita mencoba bentuk ini 2x² + 5x – 12 kita mengambil kombinasi dari bentuk 5x dengan cara mencobanya.CONTOHFaktorkan: x² + 2x – 15 Diketahui bentuk pertama: X x X =(x – 3)(x + 5) Tentukan 2 bilangan yang

apabila dijumlahkan sama dengan +2 dan dikalikan hasilnya sama dengan -15:

-3 x 5 =-15 -3 + 5 = 2

Memfaktorkan ax² + bx + cApabila koofisien x² dari persamaan kuadrat tidak sama dengan 1, harus dicari atau ditentukan kombinasi faktor sehingga diperoleh ac dan apabila ditambahkan diperoleh b.

CONTOH1. Faktor 3x² + 2x – 8

Tentukan 2 bilangan, bila dikalikan diperoleh (3)(-8)= -24 dan, bila dijumlahkan, hasilnya +2.

-1 dan +24; tidak baik – bila dijumlah hasilnya +23

-2 dan +12; tidak baik – bila dijumlah hasilnya +10

-3 dan +8; tidak baik – bila dijumlah hasilnya 5

-4 dan +6; berhasil – bila dijumlahkan hasilnya 2

3x² + 2x – 8 = 3x² + 4x + 6x – 8

= x(3x – 4) + 2(3x – 4)

= (3x – 4)(x + 2)

2. Faktor 6x² - 7x + 2Tentukan 2 bilangan, bila dikalikan diperoleh (6)(+2) = +12 dan bila dijumlahkan diperoleh -7

*Harus diberi tanda (-) * diberi tanda (+) ketika ditambah ketika dikalikan.

Kedua bilangan akan menjadi negatif.

-1 dan +24; tidak baik – jika dijumlah hasilnya -13

-2 dan -6; tidak baik – jika dijumlah hasilnya -8

-3 dan -4; berhasil – jika dijumlah hasilnya -7

6x² - 7x + 2 = 6x² - 3x – 4x + 2

= 3x(2x – 1) – 2(2x – 1)

= (2x – 1)(3x – 2)

Memfaktorkan dua bentuk kuadrat yang berbeda

Ingat bahwa (a – b)(a + b) = a² + b²

Jika kamu mengerjakan sebaliknya, maka diperole faktor dari

a² - b² = (a – b)(a + b) Kita dapat menggunakan aturan ini untuk memfaktorkan 2 bentuk kuadrat yang berbeda.

CONTOH

9x² - 16y² t² - 25

=(3x + 4y) (3x - 4y) = (t + 5)(t – 5)

18x² - 8 = 2(9x² - 4) Terkadang perlu dicari FPB sebelum = 2 (3x + 2)(3x – 2 ) mendapatkan dua bentuk yang berbeda.

• Menggunakan rumus untuk menyelesaikan persamaan kuadrat

• Dasar untuk menyelesaikan persamaan kuadrat disebut rumus kuadrat dan ditulis sebagai berikut

• Jika ax2 + bx + c = 0

• X = -b±√b2-4ac

2a

• Catatan :

• Tanda ± berarti salah satu jawabannya menggunakan tanda +, dan yang lain menggunakan tanda -

• Dalam persamaan, satu sisi sama dengan sisi yang lain. Hal ini menunjukkan adanya tanda yang sama.

• Dalam pertidaksamaan, satu sisi lebih besar daripada (atau sama) atau lebih kecil dari pada (atau sama) dengan sisi yang lain. Hal ini ditunjukkan dengan tanda

• <, >, ≤, ≥

• Contoh : x < 21 ; v ≤ 100

• 5 < y < 10

Penyelesaian pertidaksamaan linear

• Aturan untuk menyelesaikan pertidaksamaan memilki kesamaan untuk menyelesaikan persamaan linear

• Dimana, ada hal yang penting untuk perkalian dan pembagian.

• Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, kamu dapat:

Menambah angka yang sama atau tanda ke kedua sisi

Mengurangi angka yang sama atau tanda dari kedua sisi

Mengalikan kedua sisi dengan angka positif yang sama atau tanda

Membagi kedua sisi dengan angka positif yang sama atau tanda

• Ketika kamu menambahkan dengan negatif, pertidaksamaan tidak sekamnya benar. Untuk alasan ini, aturan penambahan untuk perkalian dan pembagian pertidaksamaan dengan angka negatif :

• Jika mengalikan atau membagikan kedua sisi dari satu pertidaksamaan dengan angka negatif, arah dari dari tanda pertidaksamaan akan berubah dari < ke > atau sebaliknya.

• Contoh :

Selesaikan x : 2x + 1 > 15

2x >15 – 1

2x >14

x > 7

• Tunjukkan pertidaksamaan dalam satu garis bilangan

Pertidaksamaan dapat ditunjukkan dengan satu garis bilangan. Tetapi perbedaan antara lingkaran penutup dan pembuka diatas angka. Satu tanda panah menunjukkan bahwa garis lanjutan untuk umlah yang tak terakhir

• contoh

0 1 2 3

dimana x >2