afsom

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang.

Metode Advanced First Order Second Moment (AFOSM) yang

dikembangkan berdasarkan interpretasi geometri atas fungsi kinerja FK(X) yang

linier. Pada laporan ini akan dihitung peluang keandalan dan kegagalan dari

struktur tiang baja bujur sangkar dengan menggunakan metode Advanced First

Order Second Moment (AFOSM). Sejumlah asumsi sengaja diberikan untuk

mempermudah perhitungan. Sebelum dilakukan perhitungan, ditentukan terlebih

dahulu basic variables yang digunakan serta parameter-parameter statistik yang

mempengaruhi variabel-variabel tersebut. Setelah indeks keandalan dihitung

dengan menggunakan kedua metode tersebut, selanjutnya akan dianalisa,

dibandingkan untuk kemudian disimpulkan.

Bagian ini juga menjelaskan pemodelan sistem dengan model Monte

Carlo. Pemodelan ini berkaitan dengan model probabilistic suatu event atau

kejadianberdasarkan history atau sejarah kejadian yang telah terjadi (recorded

data). Metode Monte Carlo merupakan dasar untuk semua algoritma dari

metodesimulasi yang didasari pada pemikiran penyelesaian suatu masalah untuk

mendapatkan hasil yang lebih baik dengan cara memberi nilai sebanyak-

banyaknya (nilai bangkitan/Generated Random Number) untuk mendapatkan

ketelitian yang lebih tinggi. Metode ini menganut system pemrograman

yangbebas tanpa telalu banyak diikat oleh rule atau aturan tertentu.Metode Monte

Carlo merupakan dasar untuk semua algoritma dari metode simulasi yang didasari

pada pemikiran penyelesaian suatu masalah untuk mendapatkan hasil yang lebih

baik dengan cara memberi nilai sebanyak-banyaknya (nilai bangkitan/Generated

Random Number) untuk mendapatkan ketelitian yang lebih tinggi. Metode ini

menganut system pemrograman yang bebas tanpa telalu banyak diikat oleh rule

atau aturan tertentu.

1 | Analisa Sturktur dengan Metode Advanced First Order Second Moment (AFOSM)

1.2 Perumusan Masalah.

Permasalahan yang akan dibahas dan diselesaikan dalam laporan ini adalah:

1. Seperti apakah persamaan moda kegagalannya?

2. Apa sajakah basic variables yang digunakan dalam perhitungan indeks

keandalan struktur rangka batang (truss)tersebut?

3. Apa sajakah random variable yang digunakan dari variabel yang telah

dipilih di atas?

4. Berapakah indeks keandalan struktur monopod dengan menggunakan

metode Advanced First Order Second Moment (AFOSM)?

5. Bagaimana konsep dasar metode Monte Carlo dalam memformulasikan masalah ?

1.3 Tujuan.

Tujuan dari laporan ini adalah:

1. Untuk mengetahui seperti apakah persamaan moda kegagalan.

2. Untuk mengetahui basic variables apa saja yang digunakan dalam

perhitungan indeks keandalan struktur tandon tersebut.

3. Untuk mengetahui random variables apa saja yang digunakan dari

variabel yang telah telah dipilih di atas.

4. Untuk mengetahui berapakah indeks keandalan struktur dengan

menggunakan metode Advanced First Order Second Moment (AFOSM).

5. Mengetahui berapakah indeks keandalan struktur dengan menggunakan

metode Monte Carlo.

1.4 Batasan Masalah.

Batasan masalah yang digunakan dalam pengerjaan laporan ini adalah

diketahui bahwa ukuran baja bungkur sangkar ini adalah struktur rangka panjang

sebesar 2 m dengan tebal 1.

1.5 Manfaat.

Manfaat yang dapat diperoleh dalam pengerjaan laporan ini adalah untuk

membandingkan nilai keandalan dengan menggunakan aplikasi dari metode


Advanced First Order Second Moment (AFOSM) dan Monte Carlo dalam

struktur, dalam hal ini adalah tiang baja bujur sangkar.

1.6 Sistematika Penulisan.

Sistematika penulisan laporan ini dimulai dengan bab satu yang berisi

pendahuluan yang menjelaskan tentang latar belakang penelitian yang akan

dilakukan, perumusan masalah, tujuan yang hendak dicapai dalam tugas akhir ini,

manfaat yang diperoleh, batasan masalah dan sistematika penulisan laporan.

Dasar teori yang menjadi sumber referensi dalam laporan ini dibahas dalam bab

dua. Secara rinci bab dua ini berisikan dasar-dasar teori, rumus-rumus dan code

yang digunakan dalam penelitian tugas akhir.

Bab tiga pada penulisan laporan tugas akhir ini menjelaskan metodologi

penelitian yang digunakan untuk mengerjakan tugas akhir. Penjelasan tentang

langkah-langkah yang ada dan data-data yang digunakan dalam penelitian.

Analisa penelitian dalam tugas akhir ini akan dibahas dan diterangkan

pada bab empat. Bab ini akan membahas pengolahan data hasil dari perhitungan

hingga menghasilkan kesimpulan yang menjadi tujuan dari tugas akhir. Dimana

kesimpulan beserta saran yang diperlukan untuk penelitian lebih lanjut dari tugas

akhir akan diterangkan pada bab lima.


BAB II

DASAR TEORI

2.1 Analisa Keandalan.

2.1.1. Konsep Analisa Keandalan dalam Perancangan

Keandalan sebuah komponen atau sistem adalah peluang komponen atau

sistem tersebut untuk memenuhi tugas yang telah ditetapkan tanpa mengalami

kegagalan selama kurun waktu tertentu apabila dioperasikan dengan benar dalam

lingkungan tertentu (Rosyid dan Mukhtasor, 2007). Dalam konsep keandalan,

suatu masalah akan didefinisikan dalam hubungan permintaan dan penyediaan,

yang keduanya merupakan variabel-variabel acak. Peluang terjadinya kegagalan

suatu rancangan, dimana penyediaan (ketahanan atau kekuatan sistem) tidak

dapat memenuhi permintaan (beban yang bekerja pada sistem) (Ang dan Tang

1985).

Pemakaian konsep analisa keandalan yang didasarkan pada metode

probabilistik telah berkembang dan semakin penting peranannya terutama

untuk memecahkan masalah-masalah dalam perancangan praktis (Baker dan

Wyatt 1979). Kecenderungan ini salah satunya dikarenakan adanya kerusakan

yang terjadi pada sistem rekayasa yang disebabkan oleh intraksi panas, beban

statis maupun beban dinamis dapat dijelaskan secara lebih baik dengan konsep ini.

Dalam konsep ini perancang dapat menggambarkan suatu sistem dengan

segala hal yang mempengaruhi atau mengakibatkan kerusakan pada sistem

tersebut misalnya kondisi pembebanan, ketahanan struktur, kondisi lingkungan

yang lebih mendekati keadaan yang sebenarnya karena melibatkan aspek

ketidakpastian dalam analisanya. Dalam analisa keandalan sistem struktural

maka perlu untuk mendefinisikan ketidakpastian yang diterima oleh struktur.

Cristenson dan Yoshida Murotshu (1985) membagi ketidakpastian dalam 3

kelompok yaitu :

1) Ketidakpastian fisik, adalah ketidakpastian yang berhubungan dengan

keragaman(variability) fisik seperti : beban, sifat material, dan ukuran

material. Keragaman fisik ini hanya bisa dinyatakan dalam data sampel,

dengan pertimbangan praktis dan ekonomis.


2) Ketidakpastian statistical, adalah ketidakpastian yang berhubungan

dengan data yang dibuat untuk membuat model secara probabilistik

dari berbagai macam keragaman fisik diatas.

3) Ketidakpastian model, yaitu ketidakpastian yang berhubungan dengan

tanggapan dari jenis struktur yang dimodelkan secara matematis dalam

bentuk deterministik atau probabilistik. Ketidakpastian yang terjadi

disini merupakan hasil dari penyederhanaan dengan memakai

bermacam-macam asumsi, kondisi batas yang tidak diketahui, dan sebagai

hasil dari pengaruh interaksi ketidakpastian yang tidak tercakup dalam

model.

Dalam perancangan struktur bangunan lepas pantai akan banyak dijumpai

ketidakpastian yang mempengaruhi sistem bangunan diantaranya :

1) Ketidakpastian pada beban yang disebabkan gelombang laut yang selalu

berubah- ubah.

2) Ketidakpastian pada sifat material seperti tegangan luluh (yield strenght).

Kekuatan lelah (fatigue strengh), kekasaran takik (notch toughness)

dan tingkat korosi (corrosion rate) .

3) Ketidakpastian dalam menganalisa bangunan yaitu dalam analisa

respon atau analisa keadaan batas. Dalam analisa tersebut pasti akan

melibatkan beberapa asumsi, pendekatan ataupun idealisasi model

matematis dari lingkungan fisik dan tanggapan bangunan terhadap

lingkungan tersebut.

Adanya beberapa keragaman pada kualitas bangunan yang

berhubungan dengan pengawasan pekerjaan di lapangan seperti operasi

pengangkatan pipa, penggantian pipa, dan sebagainya yang disebabkan oleh

kesalahan manusia. Faktor ini mempunyai pengaruh yang sangat penting pada

kekuatan bangunan.

2.1.2. Jenis Metode Analisa Keandalan

Metode analisa keandalan yang ada hingga saat ini adalah:

1. Metode Analisa Keandalan Level – 0


Dalam metode ini tingkat keandalan struktur dinyatakan berdasarkan pada

struktur elemen dasar dengan menggunakan faktor keamanan parsial atau

koefisien parsial, yang berhubungan dengan karakteristik awal dari perubahan

beban dan struktur utama. Metode level – 0 ini pada dasarnya bukan

merupakan metode analisa keandalan, tetapi metode untuk perancangan atau

pemeriksaan keamanan struktur.

2. Metode Analisa Keandalan Level – 2

Metode ini menggunakan prosedur pendekatan iterasi untuk

memperkirakan probabilitas kegagalan dari suatu struktur atau sub-

struktur. Biasanya memerlukan idealisasi jenis keruntuhan dan dilakukan

dengan menyederhanakan perubah-perubah distribusi probabilitas gabungan.

Metode ini memiliki sebuah sebuah titik tunggal sebagai pengecekan

pada bidang kegagalan (failure surface). Bidang kegagalan adalah

sekumpulan perubah dasar X = (X1,X2,…….,Xn) yang bisa didefinisikan dan

dinyatakan dalam perubah dasar n dimensi ω (n- dimensional basic variabel space

ω ).

Bidang kegagalan adalah bidang yang membagi ruang perubah acak

menjadi 2 daerah yaitu sebuah daerah kegagalan (failure region ωt) dan sebuah

daerah aman (safe region ωs). Bidang kegagalan secara matematis bisa

dinyatakan dengan persamaan bentuk :

0),,.........,()( 21 nXXXfXf

Harga positif dari persamaan diatas menunjukkan sejumlah perubah dasar

yang aman (daerah aman) dan harga yang tidak positif menunjukkan himpunan

perubah pada daerah yang tidak aman (daerah kegagalan).

2.1.3 Keandalan pada Sistem Rekayasa

Sistem dari keandalan pada dasarnya dapat ditunjukkan sebagai

problematika antara Demand (tuntutan atau beban) dan Capacity (kapasitas atau

kekuatan). Secara tradisional didasarkan atas safety factor (angka keamanan) yang

diperkenankan. Ukuran konvensional untuk angka keamanan adalah perbandingan

antara asumsi nilai nominal kapasitas, X*, dan beban, Y*, yang dirumuskan

sebagai berikut:


***

YXZ

Mengingat nilai nominal dari kapasitas, X* dan beban, Y* tidak dapat

ditentukan dengan pasti, fungsi-fungsi kapasitas dan beban perlu dinyatakan

sebagai peluang sebagimana ditunjukkan pada Gambar 3.2. Dengan demikian,

angka keamanan dinyatakan dengan perbandingan Z =X/Y dari dua variabel acak

X dan Y.

Gambar 2.2. Fungsi Kerapatan Peluang (fkp) dari Kapasitas X dan Tuntutan Y

(Rosyid,2007)

Ketidakmampuan suatu sistem untuk memenuhi tuntutan dan tugasnya,

yang diukur dengan peluang kegagalan, dapat dihubungkan dengan bagian dari

distribusi angka keamanan yang nilainya kurang dari satu, yaitu porsi dalam

dimana Z = X/Y ≤ 1 (lihat Gambar 3.3). Peluang kegagalan sistem, Pf diberikan

dengan persamaan:

)1(]1[ zf FZPP

Dimana FZ adalah fungsi distribusi kumulatif dari Z. Dengan pernyataan

lain, peluang sistem untuk tidak gagal (keandalan) adalah :

)1(1]1[1 Zf FZPK

Ketika distribusi peluang bersama (joint probability distribution) dan X

dan Y diketahui, keandalan sebuah sistem dapat dihitung berdasarkan fungsi

distribusi kumulatif dari X / Y. Peluang kegagalan nol ( ) dan keandalan 100

(K=1) hanya terjadi ketika tuntutan maksimum Ymax tidak melewati kapasitas

minimum Xmin, sehingga kedua distribusi tidak saling overlap.


Gambar 2.3. Fungsi Distribusi Kumulatif dan Fungsi Kerapatan Peluang pada

Angka Keamanan Z = X/Y (Rosyid, 2007)

2.1.4. Safety Margin (Margin Keamanan)

Jika demand maksimum Ymax melampaui kapasitas maksimum Xmin,

distribusi keduaduanya akan mengalami overlap dan probabilitas kegagalan tidak

lagi bernilai nol. Untuk menilai probabilitas, dapat diambil perbedaan diantara

kapasitas dan beban, yang biasanya disebut dengan margin keamanan atau safety

margin, S :

YXS

Oleh karena nilai X dan Y adalah acak, margin keamanan juga merupakan

perubah acak. Ketidakmampuan suatu sistem untuk memenuhi tuntutannnya, yang

diukur dengan peluang kegagalan Pf , dapat diperkirakan menggunakan fungsi

kerapatan peluang dari margin keselamatan, yaitu pada bagian dimana S bernilai

negatif, atauS = X − Y ≤ 0. Sehingga dapat dituliskan :

]0[]0)[( SPYXPPf

Dan sebaliknya, keandalannya adalah

]0[]0)[(1 SPYXPPK f


2.1.5. Indeks Keandalan

Cara untuk mengukur keandalan adalah dengan cara menggunakan indeks

keandalan β , yang didefinisikan sebagai perbandingan antara nilai rata-rata dan

nilai simpangan baku dari margin keselamatan, S, yaitu:

s

s

Jika menggunakan nilai kristis margin keselamatan, S = 0, dan jaraknya

dengan nilai rata-rata margin keamanan μs, maka indeks keandalan ini dapat

diinterprestasikan sebagai jumlah kelipatan simpangan baku σs pada jarak ini.

Artinya, jarak antara S = 0 dengan μs ini dapat dibagi menjadi beberapa simpangan

baku. Semakin panjangnya, relatif terhadapsimpangan baku, maka semakin besar

indeks keandalannya. Selanjutnya, indeks keandalanjugaberbanding terbalik

dengan koefisien variasi margin keselamatan, atau dapatdituliskanβ = 1/Vs .

Untuk menghasilkan ekspresi yang lebih umum atas indeks keandalan, dapat digunakan persamaan yang secara sepensitas dibahas pada bagian

sebelumnya. Mengingat rxs , dan yxs yxxy222 2 , maka :

yx yxxy

yx

22 2

Dimana ρxy adalah koefisien korelasi diantara kapasitas dan beban. Oleh karena

itu,indeks keandalan adalah maksimum jika ρxy = +1 dan minimum jika ρxy = -1.

Untuk X dan Y terdistribusi normal, maka peluang kegagalan adalah:

)(1 fP

dan

)(K

Persamaan diatas juga dapat digunakan untuk menghitung peluang kegagalan jika

diantara X dan Y atau keduanya mengikuti distribusi non-normal. Misalnya, jika

kapasitas dan tuntutan atau beban mengikuti distribusi lognormal, maka ln(X) dan

ln(Y) adalah terdistribusi normal, Persamaan indeks keandalan dalam kasus ini

menjadi:

)1ln()1ln(2)1ln()1ln(

)/ln(2222 yVxVxyyVxV

mymx

2.1.6 MetodeAdvanced First Order Second Moment (AFOSM)


Metode AFOSM adalah suatu metode yang merupakan pengembangan

metode MVFOSM. Metode MVFOSM, khususnya yang menggunakan

pendekatan ekspansi Taylor, memiliki kelemahan pokok, yaitu Inkonsistensi . Ini

disebabkan karena (1) ada ketidakpastian pada titik linierisasi yang harus dipilih,

dan (2) bila fungsi kinerja FK(X) ditulis secara berbeda (namun sevara matematis

ekuivalen) untuk mode kegagalan yang sama akan diperoleh indeks keandalan

yang berbeda.

Untuk mengatasi persoalan ini, Hasofer dan Lind mengajukan metode

AFOSM yang dikembangkan berdasarkan interpretasi geometri atas fungsi kinerja

FK(X) yang linier. Apabila semua perubah dasar X ditransformasikan menjadi

prubah dasar baku Z (dengan Xi=0 dan Xi =1) melalui transformasi berikut:

maka indeks keandalan adalah jarak terdekat dari titik origin 0 ke bidang

kegagalan (failure surface) FK(X) = 0. Interpretasi ini dipakai untuk menentukan

titik linierisasi untuk fungsi kinerja FK(X) nonlinier. Melalui transformasi dengan

persamaan di atas Xi dipetakan ke titik 0 dalam ruang perubah acak baku Z.

Gambar 2.1.6 Indeks keandalan untuk fungsi kerja nonolinier

Relasi dalam persamaan: i = FK (Xo) + FK (Xi – X0) Xi

berlaku untuk indeks keandalan menuruk Hasofer dan Lind ini, apabila semua

perubah dasar X terditribusi secara normal Gaussian. Perhitungan untuk

menentukan apabila FK(X) nonlinier harus dilakukan secara iteratif.


Apabila didefinisikan sebuah vector normal satuan yang tegak lurus

terhadap bidang singgung di titik A pada bidang kegagalan FK(Z) = 0, maka jarak

dari titik 0 ke A adalah , dan Zi= i. Dalam ruang umum berdimensi n, maka

dan indeks keandalan β adalah jarak yang ditentukan

dengan menyelesaikan n+1 persamaan berikut:

FK( )=0

Dimana k adalah resultan panjang vektor satuan yang dipakai sebagai

pembagi untuk memperoleh vektor satuan arah Zi; n adalah jumlah peubah dasar .

konstanta k dihitung sebagai berikut :

BAB III

METODOLOGI

3.1 Metodologi Pengerjaan.


Gambar 3.1 Metodologi Pengerjaan

BAB IV

ANALISA DAN PEMBAHASAN


Penentuan indeks kegagalan struktur truss dengan

menggunakan metode AFOSM

Start

Data Awal

Menentukan Moda kegagalan

Menentukan basic variables yang digunakan.

Menentukan parameter statistic dari variabel-variabel

yang telah dipilih.

Analisa Hasil dan pembahasan

Penarikan Kesimpulan

Finish

Masukan nilai

Diketahui :

Struktur rangka batang (truss) terbuat dari mild steel, dengan : b = 10 m h = 10 m l = 5 m

4.1 Metode Advanced First Order Second Moment

Diperkirakan rangka batang (truss) untuk mencegah Buckling kolom. Jika

diketahui fungsi keselamatan sebagai berikut :

Dimana P adalah berat tiang bujur sangkar beserta volumenya. Jika diketahui

statistik variabel dalam M sebagai berikut ini :

Keterangan Rata Standard Deviasi

E 2,1 x 103 kPa 210 kPa

I 8,3 x 10-6 m4 4,2 x 10-6 m4

P 50 kN 5 kN

Ukuran panjang, lebar dan tinggi baja bujur sangkar tersebut adalah 10 cm.

Pembahasan Masalah dengan Metode Advanced First Order Second

Moment.

Tidak ada korelasi variabel satu dengan variabel yang lain.

Mencari nilai I dari data yang diketahui terlebih dahulu dengan rumus:

I = (h3) b 12 = (0,1)4

12 = 8,3 x 10-6 m4

Persamaan moda kegagalan :

M >0, sukses

M < 0, gagal

Normalisasi variabel :

E = E + E Z1


I = I + I Z2

P = p + p Z1

maka :E + E Z1 = 2,1 x 103 + 210 Z1

I + I Z2 = 8,3 x 10-6 + 4,2 x 10-6 Z2

p + p Z1 = 50 + 5 Z3

Jadi,

M = 246,49 EI – P = 0

0 = (246,49 (2,1 x 103 + 210 Z1)( 8,3 x 10-6 + 4,2 x 10-6 Z2) ) – (50 + 5 Z3)

0 = (246,49 (17,43 x 10-3 + 882 x 10-6 Z1 Z2 + 8,82 x 10-3 Z2 + 1743 x 10-6 Z1)) –

(50 + 5 Z3)

0 = (4,3 + 2,17 Z2 + 4,3 x 10-2 Z1 + 2,17 x 10-5 Z1 Z2) – (50 + 5 Z3)

0 = (4,30 + 2,17 α2β + 0,43 α1 β + 0,217 α1α2 β2) – (50 + 5 α3β)

0 = 4,30 + 2,17 α2β + 0,43 α1 β + 0,217 α1α2 β2 – 5 α3β

Maka diperoleh persamaan :

2,17 α2 + 0,43 α1 + 0,217 α1α2 β – 5 α3

α1 = - 1 (4,3 + 2,17 α2β)k

α2 = - 1 (2,17 + 0,217 α1β)k

α3 = - 1 (-5)k

k = ((4,3 + 2,17 α2β)2 + (2,17 + 0,217 α1β)2 +(-5)2)

Kemudian dilakukan iterasi :

Iterasi ß α1 α2 α3 k0 0,90 0,50 0,40 0,30 5,621 11,38 -0,22 -0,40334 0,89 10,882 0,83 0,88 -0,15050 0,46 5,52


3 1,89 -0,03 -0,42178 0,91 5,604 0,79 0,23 -0,38540 0,89 5,475 0,82 0,04 -0,40389 0,91 5,466 0,79 0,05 -0,39871 0,92 5,467 0,79 0,05 -0,39911 0,92 5,468 0,79 0,05 -0,39892 0,92 5,469 0,79 0,05 -0,39893 0,92 5,46

Grafik Advanced First Order Second Moment (AFOSM)

Maka, indeks keandalannya : β = 0,79

Peluang keandalan : Pa = Ф(0,79)

Sehingga : Pa = 0,8

Jadi, keandalan material baja dalam bujur sangkar yang dihitung dengan

menggunakan metode AFOSM adalah sebesar 80%.

BAB V

KESIMPULAN

Adapun kesimpulan yang dapat diambil adalah sebagai berikut:1) Persamaan Moda Kegagalan dalam kasus ini adalah M = 246,49 EI – P


2) Random variable adalah semua variabel

3) Indeks keandalan material bajadengan menggunakan metode Advanced First

Order Second Moment (AFOSM) adalah sebagai berikut :

β = 0,79

Pa(Ф(β)) = 0,8

Pg = 80%

4) Dari permasalahan di atas bisa disimpulkan :

a. Metode AFOSM sangat efisien dalam menghitung peluang

kegagalan maupun kesuksesan. Karena input yang diperlukan

hanya mean dan standar deviasi yang didapatkan dari survey

maupun dari perhitungan data empiris. Selain itu dengan metode

ini, kita tidak perlu mengetahui jenis distribusi yang memenuhi

permasalahan kita.

DAFTAR PUSTAKA

Kottegoda, Nathabandu T. 1998. Statistic, Probability, and Reliability for Civil

and Environmental Engineers. United States: The Mc Graw Hill

Companies, Inc.


Nowark, Andrzej S, 2000. Reliability of Structures, Singapore : The Mc Graw

Hill Companies, Inc.

Rosyid, Daniel Mohammad. 2007. Pengantar Rekayasa Keandalan. Surabaya:

AirlanggaUniversity Press.


afsom

Documents