a x a x a x a x b - catatan kecil | hanya sekedar berbagi · matriks eselon baris dan matriks...
TRANSCRIPT
COURSE NOTE : Sistem Persamaan Liniear
PERSAMAAN LINIEAR
Secara umum kita mendefinisikan persamaan liniear dalam n variable x1, x2, …, xn sebagai
berikut :
1 1 2 2 3 3 ... n na x a x a x a x b
dengan 1 2, ,..., ,na a a b adalah konstanta real.
SISTEM PERSAMAAN LINIEAR
Himpunan hingga dari persamaan liniear dalam variable 1 2, ,..., nx x x disebut system
persamaan liniear. Secara formal sistem persamaan liniear dengan n variabel didefinisikan
sebagai berikut:
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
...
...
: : :
: : :
...
n n
n n
n n n nn n n
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
Bentuk tersebut dapat disajikan dengan matriks sebagai berikut :
11 12 13 1 1 1
21 22 23 2 2 2
31 32 33 3 3 3
1 2 3
...
...
...
: : : : :
...
n
n
n
n n n nn n n
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
a a a a x b
yang secara sederhana disajikan dalam bentuk
Ax = b
Setiap sistem persamaan liniear bisa tidak mempunyai solusi, mempunyai tepat satu solusi
atau mempunyai tak hingga banyaknya solusi.
MATRIKS LENGKAP
Misal diberikan sistem persamaan sebagai berikut :
11 1 12 2 13 3 1 1
21 1 22 2 23 3 2 2
1 1 2 2 3 3
...
...
: : :
: : :
...
n n
n n
n n n nn n n
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
a x a x a x a x b
Matriks lengkap dari sistem persamaan di atas adalah :
11 12 13 1 1
21 22 23 2 2
31 32 33 3 3
1 2 3
...
...
...
: ... ... ... : :
...
n
n
n
n n n nn n
a a a a b
a a a a b
a a a a b
a a a a b
Contoh : diberikan sistem persamaan liniear sebagai berikut :
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 9
4 2 8
6 2 3
x x x
x x x
x x x
bentuk matriks lengkapnya adalah
1 2 3 9
4 1 2 8
1 6 2 3
OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
Ada tiga operasi baris elementer pada matriks.
No. Operasi Notasi
1. Mengalikan baris-i dengan konstanta tidak nol k kRi
2. Menukar baris-i dengan baris-j Ri ↔ Rj
3. Mengganti baris-j dengan barik-j + baris -i Rj + kRi
Operasi baris elementer tidak merubah himpunan selesaian dari sistem persamaan liniear.
Artinya sistem persamaan liniear baru yang diperoleh dari sistem persamaan liniear lama
dengan menggunakan OBE, mempunyai selesaian yang sama.
MATRIKS ESELON BARIS DAN MATRIKS ESELON BARIS TEREDUKSI
Diberikan sifat matriks sebagai berikut :
1. Jika suatu baris yang didalamnya tidak memuat nol, maka bilangan pertama yang bukan
nol haruslah 1. Kita sebut ini sebagai 1 utama
2. Jika ada dua baris yang didalamnya memuat nol, maka kedua baris tersebut
dikelompokkan secara bersama di baris bawah.
3. Dalam sebarang dua baris yang berurutan yang didalamnya tidak memuat nol, maka 1
utama baris bawah, muncul disebelah kanan dari 1 utama baris atasnya.
4. Masing-masing kolom yang memuat 1 utama mempunyai nol sebagai elemen di kolom
itu.
Apabila ada matriks yang memenuhi sifat 1 – 3, maka matriks tersebut dikatakan matriks
eselon baris. Dan apabila ada matriks yang memenuhi sifat 1 – 4, maka matriks tersebut
dikatakan matriks eselon baris tereduksi.
Contoh :
Matriks-matriks berikut memiliki bentuk matriks eselon baris
1 * * *
0 1 * *
0 0 1 *
0 0 0 1
,
1 * * *
0 1 * *
0 0 1 *
0 0 0 0
,
1 * * *
0 1 * *
0 0 0 0
0 0 0 0
,
0 1 * * * * * * * *
0 0 0 1 * * * * * *
0 0 0 0 1 * * * * *
0 0 0 0 0 1 * * * *
0 0 0 0 0 0 0 0 1 *
Matriks-matriks berikut memiliki bentuk matriks eselon baris tereduksi
0 1 * 0 0 0 * * 0 *1 0 0 0 1 0 0 * 1 0 * *
0 0 0 1 0 0 * * 0 *0 1 0 0 0 1 0 * 0 1 * *
, , , 0 0 0 0 1 0 * * 0 *0 0 1 0 0 0 1 * 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 * * 0 *0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 *
BENTUK MATRIKS TERKAIT DENGAN SOLUSI SPL
Telah disebutkan bahwa setiap sistem persamaan liniear bisa tidak mempunyai solusi,
mempunyai tepat satu solusi atau mempunyai tak hingga banyaknya solusi. Berikut bentuk
matriks yang terkait dengan solusi sistem persamaan liniear.
1. Solusi unik
Sistem persamaan linier mempunyai solusi yang unik apabila setelah dilakukan OBE,
sistem persamaan liniear tersebut memiliki bentuk :
11 12 13 1 1
22 23 2 2
33 3 3
...
0 ...
0 0 ...
0 0 0 ... ... ...
0 0 0 0
n
n
n
nn n
a a a a b
a a a b
a a b
a b
contoh :
1 1 1 7
0 1 2 8
0 0 3 9
2. Solusi Tak Hingga Banyaknya
Sistem persamaan liniear mempunyai solusi yang tidak terhingga banyaknya apabila
setelah dilakukan OBE sistem persamaan liniear tersebut memiliki bentuk :
11 12 13 1 1
22 23 2 2
33 3 3
...
0 ...
0 0 ...
0 0 0 ... ... ...
0 0 0 0 0 0
n
n
n
a a a a b
a a a b
a a b
contoh :
1 3 4 5 6
0 2 4 5 7
0 0 0 1 8
0 0 0 0 0
3. Tidak Mempunyai Solusi
Sistem persamaan liniear tidak mempunyai solusi apabila setelah dilakukan OBE sistem
persamaan liniear tersebut memiliki bentuk :
11 12 13 1 1
22 23 2 2
33 3 3
...
0 ...
0 0 ...
0 0 0 ... ... ...
0 0 0 0 0
n
n
n
n
a a a a b
a a a b
a a b
b
contoh :
1 3 4 5 6
0 2 4 5 7
0 0 0 1 8
0 0 0 0 6
Soal Latihan.
1. Dari sistem persamaan berikut, buatlah matriks lengkapnya. Kemudian gunakan OBE
untuk menghasilkan matriks eselon baris dan matriks eselon baris tereduksi.
a. Diketahui sistem persamaan liniear b. Diketahui sistem persamaan liniear
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 8
2 3 1
3 7 4 10
x x x
x x x
x x x
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 2 0
2 5 2 1
8 4 1
x x x
x x x
x x x
c. Diketahui sistem persamaan liniear d. Diketahui sistem persamaan liniear
2 1
2 2 2 2
2 4 1
3 3 3
x y z w
x y z w
x y z w
x w
2 3 1
3 6 3 2
6 6 3 5
b c
a b c
a b c
2. Selesaikan sistem persamaan liniear berikut dengan sebarang metode
a. Diketahui Sistem Persamaan Liniaer b. Diketahui Sistem Persamaan Liniear
1 2 3 4
1 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 4 9
2 7 11
3 3 5 8
2 4 4 10
x x x x
x x x
x x x x
x x x x
3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 5
1 2 3 5
0
2 3 0
2 0
2 2 0
z z z
z z z z z
z z z z
z z z z
3. Carilah nilai a agar sistem persamaan berikut tidak mempunyai solusi, memiliki tepat satu
solusi dan memiliki solusi yang tak hingga banyaknya.
2
2 3 4
3 5 2
4 ( 14) 2
x y z
x y z
x y a z a