MATRIKS

Kelompok 4 :

• Aldi Piero Ashady

• Benediktus Kevin Mulia

• Irenea Titis

Pengertian Matriks

Matriks adalah sekumpulan bilangan yang disusun secara baris dan kolom ( membentuk pola persegi panjang), dan ditempatkan di dalam kurung biasa atau kurung siku.

• Bilangan - bilangan pembentuk matriks disebut elemen-elemen matriks.

2 34 5 75 0 8

bukan matriks karena

tidak membentuk pola

persegi panjang.

2 3 64 75 0 8

bukan matriks

karena ada posisi

yaitu yang ditengah

tidak terisi

Ordo Matriks

• Ordo atau ukuran suatu matriks ditentukan oleh banyak baris dan kolom, dinotasikan sebagai berikut :

Ordo matriks : banyak baris x banyak kolom

• Banyaknya elemen atau unsur suatu matriks ditentukan oleh hasil kali banyak baris dan banyak kolom dari matriks tersebut.

Banyak baris = 3

Banyak kolom = 3

Ordo Matriks = 3 x 3

5 1 46 0 71 4 9

Baris 1

Baris 2

Baris 3

Kolom 1

Kolom 2

Kolom 3

4 5 63 0 2

Baris 1

Baris 2

Kolom 1 Kolom 3Kolom 2

Banyak baris = 2

Banyak kolom = 3

Ordo Matriks = 2 x 3

Contoh soal :1. Tentukan ordo dan banyak elemen dari setiap

matriks berikut :

a. A = 0 42 10

b. B = 1 0 10 1 23 2 1

Jawab : a. Banyak baris dan kolom pada matriks A ada 2,

hal ini berarti ordo matriks A adalah 2 x 2. Matriks A yang berordo 2 x 2, ditulis sebagai A₂.

b. Banyak baris dan kolom pada matriks B adalah hal ini berarti ordo matriks B adalah 3 x 3. Matriks B yang berordo 3 x 3, ditulis sebagai B₃.

Notasi Matrix

Sebuah matriks diberi nama dengan huruf besar (Huruf Kapital) misalnya A, B, C, dll. Sedangkan elemen-elemennya dinotasikan dengan huruf kecil yang sesuai dengan nama matriksnya dan diberi nama indeks ij. misalnya aij menotasikan elemen elemen matriks A, bij menotasikan elemen-elemen matriks B dan cij menotasikan elemen-elemen matriks C.

Indeks ij menyatakan posisi elemen matriks, yaitu pada baris i dan kolom j.

a 11

a 21

a 31 a 32

a 22

a 12

aij menyatakan elemen matriks A padabaris ke-i kolom ke-j

Notasi Matrix

Jenis matriks

1. Matriks Baris

• Matriks baris yaitu hanya mempunyai satu baris saja.

Contoh :

A = ( 2 1 ) yaitu mempunyai dua elemen dan ditulis sebagai A₁ x ₂

B = ( 3 1 0 ) yaitu mempunyai tiga elemen dan ditulis sebagai B₁ x ₃

C = ( 1 0 2 -1) yaitu punya empat elemen dan ditulis dengan C₁ x ₄

2. Matriks kolom

• Matriks kolom yaitu hanya mempunyai satu kolom.

Contoh :

P = 21

punya 2 elemen P₁₂x₁ =21

Q = 310

punya tiga elemen Q₃x₁ = = 310

3. Matriks Persegi Panjang• Jika m<n, maka matriks berordo m × n disebut

matriks persegi panjang datar.

Contoh :

A₃x₅ =

• Jika m > 𝑛, maka matriks berordo m×n disebut matriks persegi panjang tegak.

Contoh:

B ₃x₅ =

1 2 3 4 5 2 1 3 4 5 0 0 1 2 -1

1 2 02 1 03 3 14 4 25 5 -1

4. Matriks Persegi atau bujur sangkar

Contoh :

An =

a₁₁ a₁₂ a₁₃ ⋯ 𝑎₁n

a₂₁ a₂₂ a₂₃ ⋯ a₂n

⋯ ⋯⋯⋯ ⋯⋯ ⋯⋯⋯ ⋯

an₁ an₂ an₃ ⋯ anm

Diagonal pendamping (DP)

Diagonal utama (DU)

Dalam matriks persegi An = (aij) dapat disimpulkan bahwa :- Elemen elemen a₁₁ , a₂₂ , a₃₃ , ... , anm disebut elemen elemen

diagonal utama.- Jumlah semua elemen diagonal utama dari matriks A disebut trace

matriks A. Dalam notasi sigma, trace matriks A ditulis sebagai :

5. Matriks segitiga atas dan segitiga bawah

• Matriks segitiga atas

Untuk (aij) = aij, untuk i ≤j

0, untuk i> j

A = 1 4 30 5 20 0 6

Matriks persegi disebut matriks segitiga atas apabila semua unsur di bawahdiagonal utama adalah nol.

• Matriks segitiga bawahUntuk (aij) = aij, untuk i <j0, untuk i≥ j

B = 2 0 06 3 04 1 5

Matriks persegi disebit matriks segitiga bawah bila semua unsur di atas diagonal utama adalah nol.

6. Matriks Diagonal

Matriks persegi disebut matriks diagonal jika elemen elemen di luar diagonal utama bernilai nol.

D = 2 0 00 3 00 0 1

E = 3 00 1

F = 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 00 0 0 4

7. Matriks Skalar

• Yaitu elemen elemen pada diagonal utamanya bernilai sama.

S = 3 00 3

G = 2 0 00 2 00 0 2

8. Matriks Identitas

• Yaitu elemen elemen pada diagonal utamanya bernilai satu. Umumnya dinotasikan dengan l.

l = 1 00 1

l = 1 0 00 1 00 0 1

Transpose Matriks

• Yaitu pengubahan baris menjadi kolom.

• Sering ditulis sebagai AT.

• Transpose matriks A adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara menukar elemen pada setiap baris matriks A menjadi elemen pada setiap kolom matriks transposenya.

Misal A = 1 324

57

maka At = 1 2 43 5 7

⋯

Matriks simetri

• Matriks simetri yaitu jika elemen elemen yang letaknya simetris terhadap diagonal utama bernilai sama.

• Secara matematis ditulis aij= aji untuk i ≠ j.

• Contoh :

A = 2 3 13 6 41 4 7

Maka AT = 2 3 13 6 41 4 7

Perhatikan bahwa AT = A, berarti A adalah matriks simetri.

Contoh bukan simetri

Misal

C = 2 3 54 6 35 4 7

maka CT = 2 4 53 6 45 3 7

Perhatikan bahwa CT ≠ C, berarti C bukan matriks simetri

Matriks simetri miring

Misal

B = 0 −2 12 0 3−1 −3 0

maka BT = −0 2 −12 0 −31 3 0

Dan –B = 0 2 −1−2 0 −31 3 0

Perhatikan bahwa BT = -B. Berarti B adalah matriks simetri miring.