MATA KULIAH : KALKULUS III

TUJUAN : Mahasiswa diharapkan dapat memahami dan memiliki pengetahuan serta kemampuan terhadap materi-materi kalkulus III yang meliputi: Sistem persamaan linear, Matrik, Vektor Memberi bekal pengetahuan bagi para mahasiswa mengenai Matematika Teknik Lanjut khususnya mengenai Aljabar Linear agar dapat diaplikasikan kedalam dunia industri pada umumnya serta memberikan dasar untuk optimasi sistem industri.

POKOK BAHASAN:

1. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKSPengantar system persamaan linear, Eliminasi Gaussian, Matriks dan Operasi matriks, Aturan-aturan ilmu hitung matriks, Matriks elementer dan metode untuk mencari A-1, Sistem persamaan dan keterbalikkan

2. DETERMINANFungsi Determinan, Menghitung determinan dengan reduksi baris, Sifat-sifat fungsi determinan, ekspansi ko-faktor; Aturan Cramer.

3. VEKTOR-VEKTOR DI RUANG-2 DAN RUANG-3Pengantar (Vektor/Geometrik), Norma vector, Hasil kali titik dan kali silang, Garis dan bidang di ruang-3

4. RUANG-RUANG VEKTORRuang-n Euclidis, Ruang vector umum, Sub ruang dll

PUSTAKA:

1. Anton, Howard, 2000, Dasar-dasar Aljabar Linear, Edisi ke 72. Stroud , K.A., Matematika untuk Mahasiswa.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Selamet Riyadi

KALKULUS III 1

M. I

SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN MATRIKS

I.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear.

Sebuah Persamaan berbentuk ;

a1x + a2y = b ………………..(1)

Persamaan (1) adalah Persamaan Linear dengan peubah x dan y

Secara umum:

a1x1+ a2x2+…….+anxn = b ….(2)

maka a1, a2, an, dan b dadalah konstanta real.

Contoh Persamaan Linear:

x + 3y = 7 ;

x1 - 2x2 - 3x3 + x4 = 7

y = 0,5 x + 3z + 1

Dimana pada persamaan diatas:

Tidak melibatkan hasil kali atau akar peubah

Semua peubah hanya muncul sekali dengan pangkat 1

Tidak sebagai peubah bebas dari fungsi trigonometri, logaritma atau

eksponensial.

Contoh bukan persamaan linear: :

x + 3y2 = 7 ;

x + 2y – z + xz = 4

y – sin x = 0

Contoh soal (1):

Cari himpunan penyelesaian dari 4x – 2y = 1

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Selamet Riyadi

KALKULUS III 2

Penyelesaian:

Pilih nilai sebarang ke x ;

misalkan x = t

Maka : 4t – 2y = 1 atau

y = 2t – 0,5

Rumus-rumus ini menguraikan himpunan penyelesaikan dalam bentuk

parameter sebarang t.penyelesaian numerik khusus bisa diperoleh dengan

mensubstitusikan nilai-nilai khusus untuk t. misalkan t = 3 menghasilkan

penyelesaikanx = 3, y = 11/2; dan jika t = -1/2 menghasilkan x = -1/2 , y = -3/2.

Jika kita mengikuti pendekatan kedua dan memetapkan nilai sebarang t untuk y,

kita peroleh:

X = ½ t + ¼ , y = t

Contoh soal (2):

Carilah himpunan penyelesaian dari x1 – 4x2 + 7x3 = 5

Penyelesaian :

Untuk mencari himpunan penyelesaian, kita bisa menetapkan nilai sebarang

untuk dua peubah mana saja dan menyelesaikan untuk peubah ketiga. Secara

khusus, jika menetapka nilai sebarang s dan t masing-masing untuk x2 dan x3 ,

dan menyelesaikan untuk x1, kita peroleh

X1 = 5 + 4s – 7t, x2 = s x3 = t

Sebuah himpunan terhingga persamaan linear dalam peubah-peubah x1, x2, x3,

…xn disebut sebuah “system persamaan linear” atau sebuah”system linear”,

Sederet angka s1, s2, s3, …, sn disebut suatu penyelesaiansistem tersebut jika;

x1=s1; x2 = s2; sn = xn

Contoh:

4x1 - x2 + 3x3 = -1

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Selamet Riyadi

KALKULUS III 3

3x1 + x2 + 9x3 = -4

Mempunyai penyelsaian :

x1 = 1; x2 = 2 dan x3 = -1

Nilai-nilai tersebut memenuhi kedua persamaan diatas, tetapi jika x1 = 1; x2 = 8

dan x3 = 1 adalah bukan penyelesaian karena hanya memwnuhi persamaan

pertama dari system.

Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian. Misalnya;

x + y = 4

2x + 2y = 6

Jika kita mengalikan persamaan kedua, dengan ½ , akan terbukti tidak ada

penyelesaian kerena sistem ekivalen yang dihasilkan

x + y = 4

x + y = 3

mempunyai persamaan yang kontradiksi.

Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian disebut sebagai

tak-konsisten; jika paling tidak ada satu penyelesaian, maka sistem tersebut

konsisten.

Jika sistem paling tidak mempunyai 1 penyelesai, maka system tersebut

disebut “konsisten” dan jika sisyem tidak mempunyai penyelesaian maka system

tersebut disebut “tak konsisten”

Untuk mengiliustrasikan kemungkinan yang terjadi dalam penyelesaian sistem

persamaan linear, tinjau suatu sistem umum dari dua persamaan linear dalam

peubah x dan y:

a1x + b1y = c1 (a1 , b1 , tidak keduanya nol)

a2x + b2y = c2 (a2 , b2 , tidak keduanya nol)

grafik persamaan ini berbentuk garis lurus; sebutlah garis l1 dan l2 .Karena

suatu titik (x,y) akan terletak pada garis jika dan hanya jika angka x dan y

memenuhi persamaan garis tersebut, penyelesainan sistem persamaan tersebut

berpadanan dengan titik-titik potong garis l1 dan l2 . Ada tiga kemungkinan:

1) garis l1 dan l2 mungkin sejajar, di mana tidak ada perpotongan, dan

akibatnya tidak ada penyelesaian terhadap sistem tersebut.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Selamet Riyadi

KALKULUS III 4

(Ket: tidak mempunyai penyelesaian)

2) garis l1 dan l2 mungkin berpotongan hanya di satu titik, di mana sistem

tersebut tepat mempunyai satu penyelesaian.

(Ket: mempunyai satu penyelesaian.)

3) garis l1 dan l2 mungkin berhimpitan, di mana ada tak berhingga titik

potong dan akibatnya ada banyak penyelesaian untuk sistem tersebut.

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Selamet Riyadi

KALKULUS III 5

l2

l1

l2 l1

(Ket: mempunyai tak-hingga banyaknya penyelesaian)

Sebarang system m persamaan linear dalam n peubah dapat ditulis sebagai

berikut:

a11x1+ a12x2+…….+a1nxn = b1

a21x1+ a22x2+…….+a2nxn = b2

. .

. .

. .

am1x1+ am2x2+…….+amnxn = bm

dengan x1, x2, …xn adalah peubah dan a dan b adalah konstanta

Matriks-matriks Yang Diperbanyak

Sebuah sistem m persamaan linear dalam n peubah bisa disingkat hanya dengan

menuliskan susunan angka-angka dalam bentuk segi empat:

Misalkan:

x1 + x2 + 2x3 = 9

2x1 + 4x2 - 3x3 = 1

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Selamet Riyadi

KALKULUS III 6

3x1 + 6x2 - 5x3 = 0

Matriksnya:

Komentar:

Ketika menyusun sebuah matriks yang diperbanyak, peubah-peubah harus

ditulis dalam urutan yang sama dalam setiap persamaan dan konstanta harus

berada disebelah kanan.

Metode dasar untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linear adalah

dengan menggantikan sistem yang diberikan dengan suatu sistem baru yang

mempunyai himpunan penyelesaian yang sama tetapi lebih mudah

diselesaikan. Sistem baru ini pada umumnya diperoleh dalam serangkaian

langkah dengan menerapkan tiga jenis operasi berikut ini untuk

menghilangkan peubah secara sistematis.

1. Kalikan sebuah persamaan dengan konstanta tak nol.

2. Pertukarka dua persamaan.

3. Tambahkan perkalian dari suatu persamaan ke persamaan lainnya.

Karena baris (garis horizontal) suatu matriks yang perbanyak berpadanan

dengan persamaan dalam sistem terkait, tiga operasi ini berpadanan dengan

operasi-operasi berikut ini pada bris-baris matriks yang diperbanyak.

1. Kalikan sebuah baris dengan sebuah konstanta tak nol.

2. Pertukarkan dua baris.

3. Tambahkan perkalian dari suatu baris ke baris lainnya.

Soal dan Pembahasan:

1. Manakah dari yang berikut ini yang merupakan persamaan linear dalam

x1 ,x2, dan x3, ?

a) x1 + 5x2 – = 1

b) x1 + 3x2 + x1x3 = 2

c) x1 = -7x2 + 3x3

d) x1-2 + x2 + 8x3 = 5

pembahasan;

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Selamet Riyadi

KALKULUS III 7

a) bukan merupakan persamaan linear, karena mengandung pangkat ½

pada x3

b) bukan merupakan persamaan linear, karena melibatkan hasil kali dua

peubah x1 dan x3

c) merupakan persamaan linear.

d) Bukan merupakan persamaan linear, karena mengandung pangkat

-2 pada x1

2. Anggaplah k suatu konstanta, manakah dari yang berikut ini yang

merupakan persamaan linear:

a) x1 – x2 + x3 = sin k

b) k.x1 – 1/k x2 = 9

c) 2k x1 + 7x2 – x3 = 0

Pembahasan:

a) merupakan persamaan linear

b) merupakan persamaan linear

c) merupakan persamaan linear

PUSAT PENGEMBANGAN BAHAN AJAR-UMB Selamet Riyadi

KALKULUS III 8