82 bukti bukti_limit_tak_hingga_ apiq
DESCRIPTION
Belajar matematika dengan rumus cepat kreatif APIQ. Bukti limit tak hingga yang mudah dan jelas. Anda dapat menjadi jago matematika bersama APIQ.TRANSCRIPT
1
Inovasi Pembelajaran Matematika Kreatif
Pembuktian Limit Terpenting
Perhatikan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 2 meter dan selalu memantul ½ dari tinggi semula sampai akhirnya bola berhenti di atas lantai.
2m 1m
½ m
¼ m … … …
2m 1m
½ m
¼ m … … …
Tinggi puncak bola dari awal dan setelah memantul adalah: 2, 1, ½, ¼, 1/8,…
Selisih dari puncak ke puncak, adalah gerak turun bola, 1 + ½ + ¼ + … … … “BIRU”
“ORANGE”
2m 1m
½ m
¼ m … … …
Selisih dari puncak ke puncak, adalah gerak turun bola, akhirnya berhenti:
1 + ½ + ¼ + … … … =
“BIRU”
2 (tinggi semula)
5
Contoh Lagi
Perhatikan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 32 cm dan selalu memantul ¼ dari tinggi semula sampai akhirnya bola berhenti di atas lantai.
32 24
6 = 24/4
6/4 = 1,5 … … …
32 24
6 = 24/4
6/4 = 1,5 … … …
Tinggi puncak bola dari awal dan setelah memantul adalah: 32, 8, 2, 1/2, 1/8,…
Selisih dari puncak ke puncak, adalah gerak turun bola, 24 + 6 + 6/4 + … … … “BIRU”
“ORANGE”
32 24
6 = 24/4
6/4 = 1,5 … … …
Selisih dari puncak ke puncak, adalah gerak turun bola, akhirnya berhenti,
24 + 6 + 6/4 + … … …“BIRU”
= 32
9
Contoh Umum
Perhatikan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian S dan selalu memantul r dari tinggi semula sampai akhirnya bola berhenti di atas lantai.
S
Sr
a = S - Sr
ar
arr … … …
a = S(1 – r)
a/(1 – r) = S
S = a 1 – r
6 + 2 + 2/3 + 2/9 + … … … = ?
r = 2/6 = 1/3
S=…
a = 6
1/3 ∞
1/3 ∞
1/3 ∞ = 3
= 3
= 3S=… 9
12 + 4 + 4/3 + 4/9 + … … … = ?
r = 4/12 = 1/3
S=…
a = 12
1/3 ∞
1/3 ∞
1/3 ∞ = 6
= 6
= 6S=… = 18
30 + 10 + 10/3 + 10/9 + … … … = ?
r = 4/12 = 1/3
S=…
a = 30
1/3 ∞
1/3 ∞
1/3 ∞ = 15
= 15
= 15S=… = 45
24 + 12 + 6 + 3 + 3/2 + … … … =
r = 12/24 = ½
S = …
24
½ ∞
½ ∞ = 24
= 24 S = … = 48
S = a/(1 - r)
= 24/(1 – ½)
= 48
8 + 4 + 2 + 1 + 1/2 + … … … =
r = 4/8 = ½
S = …
8
½ ∞
½ ∞ = 8
= 8 S = … = 16
S = a/(1 - r)
= 8/(1 – ½)
= 16
16
Contoh Umum
20 + 4 + 4/5 + 4/25 + … … … = ?
r = 4/20 = 1/5
S=…
a = 20
1/5 S
4/5 S = 20
= 5S=… = 25
S = a/(1 - r)
= 20/(1 – 1/5)
= 25
40 + 8 + 8/5 + 8/25 + … … … = ?
r = 8/40 = 1/5
S=…
a = 40
1/5 S
4/5 S = 40
= 10S=… = 50
S = a/(1 - r)
= 40/(1 – 1/5)
= 50
15 + 3 + 3/5 + 3/25 + … … … = ?
r = 3/15 = 1/5
S=…
a = 40
1/5 S
4/5 S = 15
= 15/4S=… = 75/4
S = a/(1 - r)
= 15/(1 – 1/5)
= 75/4
20
Keterangan
