500638209_tugas_1_mpmo5104 (aljabar)_new

7/25/2019 500638209_TUGAS_1_MPMO5104 (ALJABAR)_NEW

1/6

Tugas 1 Alj abar

Ar ri zal M uhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 1

TUGAS 1 MATA KULIAH MPMO5104

ALJABAR

NAMA : ARRIZAL MUHAEMIN YUNUS

NIM : 500638209

EMAIL :[email protected] : S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA ONLINE

1. Misalkan Gadalah grup dan Hsubgrup Gsedemikian sehingga hanya terdapat dua

buah koset dari H yang berbeda. Buktikan bahwa Hmerupakan subgrup normal

dari G!

DEFINISI

Misalkan G grup, H subgrup normal dalam grup G jika untuk setiap Gg berlaku

HgHg 1 .

Misalkan Ggrup,Hsubgrup G, maka kita akan membuktikan bahwaHmerupakan subgrup

normal ( HgHg 1 ) dalam Gjika dan hanya jika HgHg 1 untuk setiap Gg .

Atau dapat ditulis ( HgHg 1 HgHg 1 , Gg )

Bukti

() DiketahuiHsubgrup G, dibuktikan HgHg 1 , Gg

Menurut definisi,Hsubgrup Gjika untuk setiap Gg berlaku HgHg 1

Karena berlaku untuk setiap Gg maka berlaku juga untuk Gg 1 sehingga

HgHg 111 )(

HHgg 1

111 )( gHggHggg

1 gHgH

Karena HgHg 1 dan 1 gHgH maka HgHg 1 , Gg terbukti.

() Diketahui HgHg 1 , Gg , dibuktikanHsubgrup G.

Karena HgHg 1 , Gg menurut definisiHsubgrup Gterbukti.
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]


2/6

Tugas 1 Alj abar


2. Misalkan G adalah grup dan N G . Definisikan sebuah pemetaan : /G G N

dengan aturan ( )x xN untuk setiap x G . Buktikan adalah sebuah ontomorfisma

dan tentukan Ker ()!

Misalkan G adalah grup dan N G . Definisikan sebuah pemetaan : /G G N dengan

aturan ( )x xN untuk setiap x G .

Akan dibuktikan adalah sebuah ontomorfisma

Ker () = { x G : ( )x xN }


3/6

Tugas 1 Alj abar


3. Buktikan bahwa Ggrup abelian jika dan hanya jika (ab)-1 = a-1b-1 untuk semua adan

banggota G.

Ggrup abelian jika dan hanya jika (ab)-1 = a-1b-1 untuk semua adan banggota G

Bukti

(

) Diketahui Ggrup abelian, akan dibuktikan (ab)-1

= a-1

b-1

a, b

Gambil sembarang a, bGmaka

a . a-1= 1 atau a-1=1

b . b-1= 1 atau b-1=1

a-1b-1 =1

.1

=

1

= (ab)-1

jadi, terbukti bahwa a-1b-1 = (ab)-1 atau (ab)-1 = a-1b-1 a, bG

() Diketahui (ab)-1 = a-1b-1 untuk semua adan banggota G, akan dibuktikan bahwa G

grup abelian.

untuk semua adan banggota G

Perhatikan jika (ba)(a-1b-1)=b(aa-1)b-1= b b-1= 1 (a . a-1= 1)

Perhatikan jika (ab)-1(ba) =(ab)-1(ab)= 1

Sehingga (ab)-1(ba) = (ba)(a-1b-1) (komutatif) maka terbukti bahwa G adalah grup abelian.


4/6

Tugas 1 Alj abar


4. Jika suatu ring mempunyai elemen satuan, maka elemen satuan tersebut tunggal.

Jika suatu elemen di dalam ring mempunyai invers terhadap perkalian, buktikan

inversnya juga tunggal.

Definisi invers perkalian pada ring: Diberikan aelemen dari ring R dengan elemen

satuan e. Jika ada elemensdari ring R sedemikian sehingga as=sa= e, makasdisebutinvers perkalian dari a.

Jika aelemen dari ring R dengan elemen satuan emempunyai invers perkalian, maka

invers perkalian tersebut tunggal.

Bukti :

Misalkan bahwaxdanyadalah invers perkalian dari elemen a.

Maka, dari definisi (xa= ax= e)...i dan (ya= ay= e)...ii

x =xe (sifat elemen satuan)

= x(ay) (..i)

= (xa)y (sifat asosiatif perkalian)

= ey (..ii)

= y (sifat elemen satuan)

Jadix=y

terbukti bahwa invers perkalian (xdany) adalah tunggal. Jika aadalah invers perkalian,

maka kita biasa menyebutnya dengan a-1.

5. a. Apakah bahwa Z7 = {0,1,2,3,4,5,6} merupakan lapangan di bawah operasi

penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo 7? Buktikan jawaban Anda!

+ 0 1 2 3 4 5 6

0 0 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6 0

2 2 3 4 5 6 0 1

3 3 4 5 6 0 1 2

4 4 5 6 0 1 2 3

5 5 6 0 1 2 3 4

6 6 0 1 2 3 4 5

. 0 1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6

2 0 2 4 6 1 3 5

3 0 3 6 2 3 1 4

4 0 4 1 3 2 6 3

5 0 5 3 1 6 4 2

6 0 6 5 4 3 2 1


5/6

Tugas 1 Alj abar


Definisi: Misalkan Z7adalah suatu ring. Ring Z7disebut lapangan (field) jika syarat-

syarat berikut ini dipenuhi:

1. Z7adalah ring komutatif.

2. Z7memiliki elemen satuan e dan e 0.

3. Setiap elemen tak nol di Z7memiliki invers perkalian.

Untuk membuktikan ini berturut-turut ditunjukkan:

1) Z7adalah ring komutatif.

4 . 6 = 24 modulo7 = 3. 3Z7

6 . 4 = 24 modulo7 = 3. 3Z7

Berdasarkan tabel perkalian diatas pada Z7, maka untuk setiap a,bZ7. Ini berarti

Z7adalah ring komutatif dan tertutup

2) Z7memiliki elemen satuan e dan e 0.

3 . 1 = 3 modulo7 = 3.

6 . 1 = 6 modulo7 = 6.

Elemen satuan Z7adalah 1 0, karena a . 1 = 1 . a = a, untuk setiap a Z7. Telah

ditunjukkan Z7memiliki elemen satuan 1 dan 1 0.

3) Setiapelemen tak nol di Z7memiliki invers perkalian.

1 . 1 = 1 . 1 = 1 modulo7 = 1.

2 . 4 = 4 . 2 = 8 modulo7 = 1.

3 . 5 = 5 . 3 = 15 modulo7 = 1.

6 . 6 = 6 . 6 = 36 modulo7 = 1.

Diambil sebarang aZ7, dengan a 0, maka pasti terdapat bZ7 sedemikian

sehingga a . b = a . b = 1. Ini berarti setiap a 0 Z7memiliki invers perkalian

yaitu b Z7.

Dari syarat diatas, jadi terbukti bahwa Z7adalah suatu Field.


6/6

Tugas 1 Alj abar


b.Jika U(7) adalah himpunan yang anggota-anggotanya adalah anggota Z7 yang

memiliki invers terhadap perkalian, maka tentukan U(7).

Dengan definisi invers perkalian yaitu aZ7, dengan a 0, maka pasti terdapat bZ7

sedemikian sehingga a . b = a . b = 1.

didapat bahwa:1 . 1 = 1 . 1 = 1 modulo7 = 1.

2 . 4 = 4 . 2 = 8 modulo7 = 1.

3 . 5 = 5 . 3 = 15 modulo7 = 1.

6 . 6 = 6 . 6 = 36 modulo7 = 1.

Sehingga U(7) = {1, 2, 3, 4, 5, 6} adalah himpunan yang anggota-anggotanya adalah

anggota Z7yang memiliki invers terhadap perkalian.

500638209_tugas_1_mpmo5104 (aljabar)_new

Documents