Modul 2 - 1

Modul 2

PERSAMAAN KEADAAN

2.1 Persamaan Keadaan

Persamaan keadaan suatu sistem adalah hubungan antara variabel-variabel keadaan atau koordinat termodinamik sistem itu pada suatu keadaan seeimbang.

Jadi persamaan keadaan sistem ini secara umum adalah f ( p, V, T, m ) = 0 atau f ( p, V, T, n) = 0 .

2.1.1 Persamaan Keadaan Gas Sempurna (Ideal)

pV = N kB T nRTpV =

N : jumlah partikel, k: konstanta Boltzman = 1,380658. 10-23 J K-1

n: adalah jumlah mol zat, R : adalah tetapan umum = 0,0821 atm mol-1 K-1 = 8,3143 J mol-1 K-1

2.2 Persamaan Keadaan Gas Nyata / Sejati

Pada tahun 1873 Van der Waals (Belanda) mengemukakan persamaan keadaan gas

( ) RTbvvap =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 2 (2-2a)

( ) RTnbvV

anp =−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 2

2 (2-2b)

Pers. (2-2a) berlaku untuk sistem yang beisi 1 mol gas, dan pers (2-2b) untuk n mol gas. A dan b adalah tetapan yang nilainya berbeda untuk gas yang berbeda. Gas nyata / sejati gas ideal

Syarat : - V >>, maka a/V2 dan b diabaikan

n << , suku dengan n2 dan n , diabaikan

2.3 Diagram Bidang 2 D dan 3 D

Persamaan keadaan sistem termodinamik berisi 3 variabel yaitu p (tekanan), V ( volume) dan T (suhu). Dari ketiga variabel tersebut hanya 2 yang merupakan variabel bebas. Misalnya keadaan berubah dari tekanan p1 ke keadaan tekanan p2 dan volumenya berubah dari V1 menjadi volume V2 maka T2 harus mempunyai harga tertentu sesuai dengan persamaan keadaan yang mengikatnya.

Jika untuk berubah dari keadaan seimbang yang satu ke keadaan seimbang yang lain prosesnya dapat dikendalikan atau dijaga dengan membuat salah satu variabel bersifat tetap (tidak berubah) maka perubahan variabel bebasnya tereduksi menjadi satu, sehingga perubahan variabel lainnya hanya tergantung pada variabel yang berubah tersebut. Berikut ini diberikan tabel proses-proses khas dimana salah satu variabel keadaan dibuat tetap.

Tabel 1. Proses-proses khas yang terjadi pada sistem termodinamik

Variabel Tetap

Nama Proses Akibat Proses Persamaan

T Isotermal Perubahan p hanya tergantung pada perubahan V dan sebaliknya

pV = C atau p1 V1 = p2 V2

p Isobar Perubahan V hanya tergantung pada perubahan T dan sebaliknya C

T=

V atau 2

2

1

1VTV

T=

Modul 2 - 2

V Isokhorik/ isovolume

Perubahan P hanya tergantung pada perubahan T dan sebaliknya C

T=

P atau 2

2

1

1PTP

T=

-- Sembarang Perubahan salah satu variabel merubah dua variabel lainnya

Gambar 2.1 Diagram 2 D untuk gas ideal dalam a) p-V, b) p – T dan c) V-T

Bila semua proses khas tersebut digambarkan dalam diagram P-V akan menghasilkan kurva

Gambar 2.2 . Kurva proses-proses khas dalam diagram p-V.

Jika variabel p,V dan T dari persamaan gas sempurna dilukiskan pada tiga dimensi dengan tiga sumbu p, V dan T saling tegak lurus ( seperti koordinat kartesian ) maka akan dihasilkan kurva 3D seperti pada gambar 2.3

Gambar 2.3 Bidang p-V-T gas sempurna

Bidang p-v-T gas sejati

Sifat-sifat gas sejati menyimpang dari sifat-sifat gas sempurna. Hukum-hukum Boyle dan

Gay-Lussac hanya diikuti gas sejati secada pendekatan.

No Sifat Gas ideal Gas sejati/nyata

1 volume Molekul gas tidak mempunyai volume Molekul gas sejati memiliki volume

2 Interaksi Antar molekul tidak ada reaksi Antar molekul ada interaksi

3 fase Selalu dalam fase gas Dapat menjadi cair dan padat

P

V

T1

P

T

V2

Proses isokhorik Proses isotermal

V

T

P1

Proses isobarik

T3

T2 V1

V3 P2P3

P

V

isotermal

isokhorik

isobar

V

P

T

Modul 2 - 3

Perbedaan sifat gas sejati dan gas sempurna tampak jelas pada diagram p-v atau pada proses isotermal.

Dari gambar 2.4 tampak bahwa di atas suhu kritis, gas sejati tidak dapat dicairkan dengan cara pemampatan.

2.4 Persamaan Keadaan Sistem lain

Azas termodinamika berlaku umum tidak terbatas pada gas, cairan dan padat dibawah tekanan hidrostatis yang homogen. Variabel-variabel intensif dan ekstensif yang bersangkutan mungkin berbeda, namun suhu sistem selalu merupakan sifat termodinamik yan mendasar.

2.4.1 Sebatang kawat yang dikenai tegangan dan perubahan suhu

Ditinjau sebuah kawat atau batang yang mula-mula panjang L0 pada suhu T0 yang mengalami tegangan σ ( F/A ). Panjang kawat setelah mengalami perlakuan tegangan dan perubahan suhu menjadi T dapat inyatakan sebagai berikut ( syaratnya regangan kawat tidak melampaui batas elastisitasnya) :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++= )(1 00 TT

GLL ασ (2.3)

dalam hal ini G adalah modulus Young bahan kawat, dan α adalah koefisien muai linear /panjang.

2.4.2 Momen magnet ( Magnetisasi) dari bahan Paramagnet.

Momen magnet M ( Magnetisasi ) dari suatu zat paramagnet yang terdapat dalam medan

magnet seragam dengan intensitas H tergantung pada H maupun suhu T. Kecuali pada suhu yang sangat rendah dan dalam medan magnet yang sangat besar, maka momen magnetik dapat dinyatakan dengan ketepatan yang cukup oleh persamaan

THCM C= (2.4)

2.4.2 Polarisasi bahan dielektrik

Momen dwikutub ( Polarisasi ) P suatu dielektrik di dalam medan listrik luar E pada suhu

tertentu T dapat dinyatakan dalam persamaan

ETbaP ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += (2.5)

Gambar 2.4 Proses isotermal untuk (a) gas sempurna, (b) gas sejati

P

V

T1

(a)

T3

T2

P

V

T1

T3

T2

TK

(b)

Modul 2 - 4

2.5 Relasi khusus

y

yzxx

z

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ 1

(2.6)

1−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

xzy zy

yx

xz

(2.7)

2.6 Koefisien pemuaian dan ketermampatan

2.5.1 Koefisien Muai Kubik

Pengaruh suhu terhadap volume zat pada tekanan konstan disebut koefisien muai kubik suatu zat, di defnisikan sebagai

pTV

V⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=1β atau

pTv

v⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=1β (2.8)

untuk gas ideal

TpR

v11

==β (2.9)

Untuk gas Van der Waals, pT

v⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂ tidak dapat dihitung secara langsung, karena variabel v tidak

dapat dinyatakan secara eksplisit dalam variabel p dan T. ,

22

2

)(2)(111

bvaRTvbvRv

vTvT

vv

p

p −−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=β (2.10)

Jika keadaan akhir dari sistem yang mengalami proses isabarik hanya menyimpang sedikit dari keadaan awal, dimana keadaan akhir T2 = T1 + dT dan V2 = V1 + dV, koefisien muai kubik/ volume dapat dituliskan sebagai :

p

p

p dTvdv

Tv

v/1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=β

Atau β rata-rata dalam selang suhu tertentu di definisikan

p

p

TV

V Δ

Δ=

1

1β (2.11)

2.5.2 Ketermampatan

Ketermampatan isotermal κ suatu zat disefinisaikan sebagai

TpV

V ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=1κ atau

Tpv

v ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=1κ (2.12)

Modul 2 - 5

Tanda negatif diberikan mengingat bahwa volume sistem selalu berkurang dengan kenaikan tekanan

sehingga nilai κ tetaplah positif.

untuk gas ideal

)pp

RTv

112 =⎜

⎜⎝

⎛−−=κ (2.13)

T

Tpv

v ΔΔ

−=1κ (2.13)

Untuk gas Van der Waals, κ juga dapat ditentukan Dengan mudah. Dengan menggunakan relasi

(2.6) untuk mencari Tp

v⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂ , maka diperoleh

( )

23

22

)(2 vbaRTvbvv−−

−=κ (2.14)

Untuk zat cair dan zat padat, β dan κ tidak dapat ditentukan dari persaman keadannya, tetapi

harus dengan ekspperimen. Ternyata pula bahwa keduanya adalah fungsi dari tekanan dan suhu.

Ditinjau suatu sistem pVT dan dipilih V = V (p,T), jika dideferensialkan diperoleh

dppVdT

TVdV

Tp⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

= (2.15)

atau

VdpVdTdV κβ −= (2.16) Jika pers.(3.16) diintegralkan dari suatu keadaan (p0,V0, T0) ke keadaan lain (p,V,T) maka diperoleh

∫ ∫∫ −=−= TT

pp

VV VdpVdTVVdV

0 000 κβ (2.17)

Perubahan volume zat cair dan zat padat umumny sangat kecil bila suhu dan tekanan berubah,

karena itu V dapat dianggap mendekati V0, sementara β dan κ merupakan bilangan yang kecil dan

juga dapat dianggap tetap, sehingga hasil integrasi pers.(4.17) adalah

[ ])()(1 000 ppTTVV −−−+= κβ (2.18)

Soal-soal latihan

1. Jika 1 mol gas ideal dapat dipompa dengan menggunanakan pipa berdiameter d pada 4 K,

berapa diameter pipa untuk memompa gas dengan jumlah mol sama pada 300 K ?

2. Sejumlah udara dimasukkan dalam silinder yang mempunyai penutup ( piston ) yang dapat

bergerak tanpa gesekan. Tekanan mula-mula 2.107 Nm-2 ., volume 0,5 m3 dan suhunya 300

K. Anggap udara sebagai gas ideal.

Modul 2 - 6

a. Berapa volume akhir udara jika mengalami ekspansi isotermal hingga tekanannya

menjadi 1. 107 Nm-2

b. Berapa suhu akhir udara jika piston dipegang tetap pada posisinya dan sistem

didinginkan sampai tekanannya menjadi 1. 107 Nm-2 .

c. Berapa suhu dan volume akhir udara jika udara mengalami ekspansi isotermal hingga

tekanannya menjadi 1,5. 107 Nm-2 kemudian diikuti dengan pendinginan pada volume

konstan hingga tekanannya menjadi 1. 107 Nm-2 .

d. Berapa Suhu dan volume akhir udara jika dilakukan pendinginan isokhorik hingga

tekanannya menjadi 1,5 107 Nm-2 diikuti dengan ekspansi isotermal hingga tekanannya

menjadi 1. 107 Nm-2

e. Gambarkan masing-masing proses dalam diagram T-V.

3. Rel dipasang tanpa sambungan di padang pasir dimana perbedaan suhu siang dan malam

sebesar Δ T = 50 K. Luas tampang lintang rel A = 3,6 . 10-3 m2, modulus Young Y = 20 .

1010 Nm-2 koefisien muai panjangnya α = 8 . 10-6 (K)-1.

a. Jika panjang rel dipertahankan konstan, berapa perbedaan tekanan pada rel antara

siang dan malam ?

b. Jika tegangan diambil 0 saat suhu minimum, berapa tegangannya saat suhunya

maksimum ?

c. Jika panjang rel 15.000 m, dan bebas memuai, berapa perubahan panjang antara

malan dan siang ?