3-persamaan1

BAB 3SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN

LINEAR DAN KUADRAT

A. Persamaan Linear

1. Pengertian persaman linear

Persaman adalah kalimat terbuka yang mengandung hubungan (relasi) sama dengan. Sedangkan persamaan linear adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu atau berderajat satu.

2. Persamaan linear satu variabel

Bentuk umum :

ax + b = 0; a,bR, a 0a = koefisien dari xx = variabelb = konstanta

Contoh:a. 4x + 8 = 0b. 68 -18 = 0Kedua persamaan di atas akan bernilai benar jika variabelnya berturut-turut diganti dengan -2 dan 3.

Sifat-sifat persamaan lineara. Nilai persamn tidak berubah, jika :

1) Kedua ruas ditambah atau dikurangi bilangan yang sama.2) Kedua ruas dikalikan atau dibagi bilangan yang sama.

b. Suatu persamaan jika dipindahkan ruas, maka :1) Penjumlahan berubah menjadi pengurangan dan sebaliknya.2) Perkalian berubah menjadi pembagian dan sebaliknya.

Contoh:

a. + 3 = 12

+ 3 – 3 = 12 – 3 (kedua ruas dikurangi 3)

= 9

. 3 = 9.3 (kedua ruas dikali 3)

x = 27

b. 4x – 7 = 2x + 9 4x – 7 + 7 = 2x + 9 + 7 (kedua ruas ditambah 7) 4x = 2x + 16 4x – 2x = 2x – 2x + 16 (kedua ruas dikurangi 2x) 2x = 16

2x . = 16 .

x = 8

3. Himpunan penyelesaian persamaan linear

19

Kegiatan Belajar 1 : Persamaan dan Pertidaksaman Linear

Menentukan himpunan penyelesaian persamaan linear berarti mencari harga yang memenuhi untuk pengganti variabel pada persamaan linear yang bersangkutan.Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari :a. 2x + 4 = x + 7

b.

Jawab:a. 2x + 4 - 4 = x + 7 - 4

2x = x + 3 2x - x = 3 x = 3HP = {3}

b.

2(2x- 1) = 5(x + 1) 4x – 2 = 5x + 5 4x – 5x = 2 + 5 -x = 7 x = -7HP = {-7}

B. Pertidaksamaan Linear

1. Pengertian Pertidaksamaan LinearPertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya paling tinggi berderajat satu.Bentuk umum :

ax + b (R) 0 ; a, b R, a 0a = koefisien dari xx = variabelb = konstanta(R) = salah satu relasi pertidakamaan ( , , , )

Contoh:5x + 5 253x – 3 12x + y 8

2. Sifat-sifat Pertidaksamaana. Arah tanda pertidaksaman tetapjika ruas kiri dan ruas kanan pertidaksamaan ditambah ,

dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.1) a b a + c b + c2) a b a – d b - d3) a b dan c 0 ac bc

4) a b dan d 0

b. Arah tanda pertidaksamaan berubah jika ruas kiri dan ruas kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.

1) a b dan c 0 ac bc

2) a b dan d 0

Contoh:1) Selesaikan 6x + 2 4x + 10 !

Jawab:

20

6x + 2 4x + 10 6x + 2 – 2 4x + 10 - 2 6x 4x + 8 6x – 4x 4x – 4x + 8 2x 8

.2x .8

x 4

2) Selesaikan 6x – 5 9x + 10 !Jawab:6x – 5 9x + 10 6x – 5 + 5 9x + 10 + 5 6x 9x + 15 6x – 9x 9x – 9x + 15 -3x 15

(-3x) (15)

x 5

3. Himpunan Penyelesaian Pertidaksaman Linear

Contoh:1) Tentukan himpunan penyelesaian dari 6x + 4 4x + 20, xB !

Jawab:6x + 4 4x + 20 6x + 4 - 4 4x + 20 - 4 6x 4x + 16 6x – 4x 4x – 4x + 16 2x 16

.2x .16

x 8

8Jadi HP = { x x 8, xB}

2) Tentukan himpunan penyelesaian dari 5x + 10 > 8x + 4, xR !Jawab:5x + 10 > 8x + 4 5x + 10 – 10 > 8x + 4 - 10 5x > 8x - 6 5x – 8x > 8x – 8x - 6 -3x > -6

(-3x) < (-6)

x < 2 2Jadi HP ={ x x < 2 , xR}

LATIHAN 3.1

1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linear berikut !a. 2x – 3 = 3x – 7b. 5 + 3(2 – x) + 2 = 2(x – 3)c. 8x – 3 = 4(x + 1) + 5

21

2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linear berikut !

a.

b.

c.

3. Tentukan penyelesaian soal-soal berikut !a. 6x + 3 -2x + 1

b. x + 2 > (x + 1)

c.

d. >

A. Persamaan Kuadrat

1. Bentuk Umum Persamaan KuadratPersamaan kuadrat adalah persamaan berderajat dua dalam x yang dinyatakan dengan :

ax2 + bx + c = 0; a, b, cR ; a 0a = koefisien dari x2

b = koefisien dari xc = konstanta

Contoh:x2 + 2x - 15 = 0 x2 – 4x + 4 = 0x2 – 9 = 0

2. Penyelesaian Persamaan KuadratAda beberapa cara menyelesaikan persamaan kuadrat, antara lain :

a. Memfaktorkan

Contoh:1) Selesaikan x2 – 5x + 6 = 0 !

Jawab:x2 – 5x + 6 = 0 (x – 3)(x – 2)= 0 x – 3 = 0 atau x -2 = 0

x = 3 atau x = 2Jadi HP = {3, 2}

2) Selesaikan x2 – 25 = 0 !Jawab:x2 – 25 = 0 (x + 5)(x – 5)= 0 x + 5 = 0 atau x - 5 = 0

x = -5 atau x = 5Jadi HP = {-5, 5}

b. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Contoh:

1) Selesaikan x2 + 10x + 21 = 0 !Jawab:x2 + 10x + 21 = 0 x2 + 10x = -21

22

Kegiatan Belajar 2 : Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

x2 + 10x + 25 = -21 + 25

( koefisien x)2

(x + 5)2 = 4 x + 5 = x + 5 = 2 atau x + 5 = -2

x = -3 atau x = -7Jadi HP ={-3, -7}

2) Selesaikan 4x2 + 8x + 3 = 0 !Jawab:4x2 + 8x + 3 = 0 4x2 + 8x = -3

x 2 + 2x =

x 2 + 2x + 1 = + 1

(x + 1)2 =

x + 1 =

x + 1 = atau x + 1 = -

x = - atau x = -

Jadi HP =

c. Dengan Rumus ABC

Contoh:1) Selesaikan x2 + 6x - 16 = 0 !

Jawab:a = 1, b = 6, c = -16

=

=

atau

Jadi HP = {2, -8}3. Sifat-sifat Akar persamaan Kuadrat

Sifat-sifat akar persamaan kuadrat yang menyangkut banyaknya akar persamaan kuadrat, ditentukan oleh nilai diskriminannya yaitu D = b2 – 4ac.

(i) D > 0 kedua akar real dan berbeda(ii) D = 0 kedua akar sama (kembar)(iii) D < 0 Persamaan kuadrat tidak mempunyai akar nyata

Contoh:Tentukan sifat-sifat akar persamaan berikut ini !1) x2 – 4x + 3 = 0

23

2) x2 + 6x + 9 = 03) x2 + 3x + 3 = 0Jawab:1) x2 – 4x + 3 = 0

a = 1, b = -4, c = 3D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4(1)(3) = 16 – 12 = 4D > 0, kedua akar real dan berbeda.

2) x2 + 6x + 9 = 0a = 1, b = 6, c = 9D = b2 – 4ac = 62 – 4(1)(9) = 36 – 36 = 0D = 0, kedua akar sama (kembar)

3) x2 + 3x + 3 = 0a = 1, b = 3, c = 3D = b2 – 4ac = 32 – 4(1)(3) = 9 – 13 = -3D < 0, persamaan tidak mempunyai akar nyata.

B. Pertidaksamaan Kuadrat

1. Pengertian Pertidaksamaan KuadratPertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel paling tinggi berderajat dua dan koefisien variabel pangkat duanya tidak sama dengan nol.

Bentuk umum :

ax2 + bx + c (R) 0; a, b, cR ; a 0a = koefisien dari x2

b = koefisien dari xc = konstanta(R) = salah satu relasi pertidakamaan ( , , , )

Contoh:x2 + 5x + 6 0 x2 – x - 6 < 02x2 + 9x + 5 0

2. Sifat-sifat Pertidaksamaan KuadratSecara umum sifat-sifat pertidaksamaan kuadrat sama dengan sifat-sifat pertidaksamaan linear.

3. Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan KuadratLangkah-langkah menentukan himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan kuadrat adalah sebagai berikut :(i) Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk umum.(ii) Tentukan pembuat nol ruas kiri.(iii) Letakkan pembuat nol pada garis bilangan.(iv) Substitusi sembarang bilangan pada pertidaksamaan kecuali pembuat nol. Jika benar, maka

daerah yang memuat bilangan tersebut merupakan daerah penyelesaian.Contoh:1) Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 6x + 8 0 untuk x R !

Jawab:(i) x2 + 6x + 8 0(ii) Pembuat nol

x2 + 6x + 8 = 0 (x + 4)(x + 2) = 0 x + 4 = 0 atau x + 2 = 0

x = -4 atau x = -2(iii) (B) (S) (B)

24

+ - + -4 -2

(iv) Ambil x = 0 x2 + 6x + 8 08 0 (B)

Jadi HP = { xx -4 atau x -2 }

2) Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x2 + 3x - 5 < 0 untuk x R !Jawab:2x2 + 3x - 5 < 0Pembuat nol2x2 + 3x - 5 = 0 (2x + 5)(x – 1) = 0 2x + 5 = 0 atau x – 1 =0 2x = -5 atau x = 1

x = atau x = 1

(S) (B) (S) + - B

1

Ambil x = 0 2x2 + 3x - 5 < 0- 5 < 0 (B)

Jadi HP = { x < x < 1 }

LATIHAN 3.21.Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan pemfaktoran!

a. x2 – 5x - 36 = 0 b. x2 – 13x + 22 = 02. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat berikut dengan melengkapkan kuadrat

sempurna !a. x2 + 5x + 4 = 0 b. x2 – 11x + 24 = 0

3. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat berikut dengan menggunakan rumus abc !

a. x2 – 4x - 45 = 0 b. . x2 + 2x - = 0

4. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat berikut dari x2 + 4x – 60 = 0 !5. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 5x - 36 = 0, tentukan x1 dan x2 !6. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut !

a. x2 – 2x - 8 < 0 e. x2 – 5x < 0 i. x2 –x - 2 < 0

b. x2 – 3x 0 f. x2 – x + 1 > 0 j.

c. x2 – 10x + 21 < 0 g. x2 + x - 12 0d. x2 – 12x + 35 0 h. x2 – x - 12 0

7. Tentukan jenis akar dari peramaan kuadrat 2x2 + 3x – 1 = 0 !

8. Akar persamaan kuadrat x – 1 = mempunyai jenis ….

9. Diketahui persamaan kuadrat mx2 - 6x + 3 = 0 mempunyai dua akar real yang sama. Tentukan nilaim !10.Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat 2p2 + (2p – 2)x – (3m – 3) mempunyai dua akar real yang

sama !11. Tentukan jenis dari akar persamaan kuadrat berikut ini !

a. x2 - x + 36 = 0 b. 3x2 - 2x + 1 = 0 c. x2 + 4x + 4 = 0

25

A. Jumlah Dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat: ax2 + bx + c = 0, maka :

x1 + x2 = ; x1 . x2 = ; x1 - x2 =

Contoh:

1) Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat x – 8x – 20 = 0 !Jawab:x2 – 8x – 20 = 0 a = 1, b = -8, c = -20

x1 + x2 = = = 8

x1 . x2 = =

2) Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat 2x2 - 5x + 12 = 0, maka tentukanlah nilai-nilai dari

yang berikut ini !

a) x1 + x2 b) x1 . x2

c)

d) Jawab:2x2 - 5x + 12 = 0 a = 2, b = -5, c = 12

a) x1 + x2 = = =

b) x1 . x2 = = = 6

c) =

d) = (x1 + x2)2 - 2 x1.x2 =

B. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Untuk menyusun persamaan kuadrat baru, dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu :

(i) Dengan perkalian faktor.(x -x1)(x - x2) = 0

(ii) Dengan menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat :x2 – (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0

Contoh:1) Tentukan persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 2 dan -3 !

Jawab:(x -x1)(x - x2) = 0(x – 2)(x –(-3)) = 0(x – 2)(x + 3) = 0

26

Kegiatan Belajar 3 : Menerapkan Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat

x2 + x – 6 = 0

2) Susunlah persamaan kuadrat baru jika diketahui jumlah akar-akarnya 2 dan hasil kali akar-akarnya -15 !Jawab:x1 + x2 = 2 dan x1 . x2 = -15Sehingga : x2 – (x1 + x2) x + x1 . x2 = 0

x2 – 2x – 15 = 0

3) Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 – 1 dan x2 – 1 jika x1 dan x2 akar-akar dari : x2 – 3x + 5 = 0 !Jawab:Jika persamaan kuadrat yang akan disusun mempunyai akar-akar y1 dan y2, maka:

y1 = x1 – 1 x1 + x2 = 3y2 = x2 – 1 x1 . x2 = 5

y1 + y2 = (x1 – 1) + (x2 – 1)= ( x1 + x2) – 2= 3 – 2= 1

y1 . y2 = (x1 – 1)(x2 – 1)= x1 . x2 - (x1 + x) +1= 5 – 3 + 1= 3

Sehingga persamaan kuadrat baru :x2 – (y1 + y2) x + y1 . y2 = 0x2 – x + 3 = 0

LATIHAN 3.3

1. Susunlah persamaan kuadrat dengan akar-akarnya sebagai berikut !a. x1 = -8 dan x2 = 5 b. x1 = -4 dan x2 = -9

2. Diketahui persamaan kuadrat 2x2 + 3x - 5 = 0. Jika akar-akarnya adalah x1 dan x2, tentukan hasil operasi berikut !

a. 2(x1 + x2) b. 2(x1 + x2) - 3x1 – 3x2 c.

3. Jika x1 dan x2 merupakan akar-akar dari x2 – x – 1 = 0, tentukan hasil operasi berikut !

a. b. c.

4. Akar-akar dari persamaan x2 + 6x – 7 = 0 adalah x1 dan x2. Susunlah persamaan kuadrat baru dengan akar-akarnya (x1 + 3) dan (x2 + 3) !

5. Jika p dan q merupakan akar-akar persamaan kuadrat x2 - 9x + 22 = 0, susunlah persaman kuadrat baru yang akar-akrnya p2 dan q2 !

6. Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 akar-akarnya adalah dua kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat x2 + 5x - 24 = 0. Tentukan nilai a, b, dan c !

A. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

1. Bentuk Umum

ax + by = cpx + qy =r

a, b, c, p, q, r Ra, p = koefisien dari xb, q = koefisien dari yc, r = konstantax, y = variabel

27

Kegiatan Belajar 4 : Sistem Persamaan

2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua VariabelAda beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, antara lain :

a. Cara GrafikLangkah-langkahnya sebagaiberikut :

2) Gambarlah grafik garis lurus pada bidang koordinat.3) Tentukan titik potng kedua garis tersebut. Koordinat titik potong tersebut merupakan

pasangan penyelesaian dari system persamaan yang dimaksud.

b. Cara Eliminasi Langkah-langkahnya sebagai berikut :1) Menyamakan koefisien salah satu variabel dengan cara mengalikan dengan bilangan selain

nol.2) Menjumlahkan atau mengurangkan ruas-ruas yang bersesuaian dari kedua persamaan linear

yang baru tersebut.

Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

dengan cara eliminasi !

Jawab:Eliminir y

4x = 8 x = 2

Eliminir x

-4y = -12 y = 3

Jadi HP = {(2,3)}

c. Cara SubstitusiSubstitusi artinya mengganti. Langkah-langkahnya sebagai berikut :1) Nyatakan salah satu variabel yang memuat variabel yang lain dari salah satu persamaan.2) Substitusikan hasil dari langkah 1) ke persamaan yang lain.


dengan cara substitusi !

Jawab: …………… (1)

x + y = 9 x = 9 – y ….. (2)(2) substitusi ke (1)4(9-y) – 2y = 12 36 – 4y – 2y = 12 -6y = 12 - 36 -6y = -24 y = 4 ………………… (3)(3) substitusi ke (2)x = 9 – 4x = 5Jadi HP = {(5,4)}

28

d. Cara Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :

dengan cara gabungan antara eliminasi dan substitusi !

Jawab:Eliminir y3x – y = 52x + y = 10 +

5x = 15 x = 3x = 3 substitusi ke 3x – y = 5

3(3) – y = 5 9 – y = 5 -y = 5 - 9 -y = -4 y = 4

Jadi HP = {(3,4)}

e. Cara DeterminanDeterminan adalah suatu bilangan yang berkaitan dengan matriks bujur sangkar (persegi). Untuk menyelesaikan dengan cara determinan dari bentuk persamaan :

ax + by = cpx + qy = r

diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, Dx, Dy.

Dengan : D = = aq – bp

Dx = = cq – br

Dy = = ar – cp

Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan :

x = dan y =


dengan cara determinan !

Jawab:

D = = 2.1 – 3.3 = 2 – 9 = -7

Dx = = 1.1 – 3.5 = 1 – 15 = -14

Dy = = 2.5 – 1.3 = 10 – 3 = 7

x = = = 2

y = = = -1

Jadi HP = {(2, -1)}

B. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

29

1. Bentuk Umum

ax + by + cz = pdx + ey + fz = qgx + hy + iz = r

a, b, c, d, e, f, g, h, I, p, q, r Ra, d, g = koefisien dari xb, e, h = koefisien dari yc, f, i = koefisien dari zp, q, r = konstantax, y, z = variabel

2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga VariabelAda beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel, antara lain :

a. Cara Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)


dengan cara gabungan antara eliminasi dan substitusi !

Jawab:

Dari (1) dan (2) eliminir z x + y – z = 12x + y +z = 11 _

3x + 2y = 12 ….. (4)

Dari (2) dan (3) eliminir z2x + y +z = 11x + 2y +z = 12 _

x - y = -1 ….. (5)

Dari (4) dan (5) eliminir y

5x = 10 x = 2

x = 2 substitusi ke (5)x – y = -12 – y = -1-y = -1 – 2 y = 3

x = 2, y = 3 substitusi ke (1)x + y – z = 12 + 3– z = 1

-z = 1 – 5z = 4

Jadi HP = {(2, 3, 4)}

b. Cara Determinan

30

Sistem persamaan : diubah menjadi bentuk susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi : D, Dx, Dy, dan Dz.

D = Dx = Dy = Dz =

x = y = z =

1) Determinan cara sarrus

- - -

D = = aei + bfg + cdh – gec – hfa - idb

+ + +

2) Determinan cara cramer

D = = a - b + c

= a(ei-fh) – b(di-fg) + c(dh-eg)= aie – afh – bdi + bfg + cdh – ceg


dengan cara determinan !

Jawab: - - -

D = = -4 + (-3) + 3 – (-2) – 18 - (-1) = -4 – 3 + 3 + 2 – 18 + 1 = -19

+ + +

- - -

Dx = = (-10) + 0 + 27 – 0 – 45 - (-9) = -10 + 0 + 27 – 0 – 45 + 9 = -19

+ + +

- - -

Dy = = 18 + 15 + 0 – 9 – 0 - 5 = 19

+ + +

- - -

Dz = = 0 + (-9) + 15 – (-10) – 54 - 0 = 0 - 9 + 15 +10 – 54 - 0 = -38

+ + +

31

x = = = 1 y = = = -1 z = = = 2

Jadi HP ={(1, -1, 2)}

C. Sistem Persamaan Dua Variabel, Satu Linear Dan Satu Kuadrat

Bentuk umum:

y = ax + by = px2 + qx + r

dengan a, b, p, q, r R

Secara umum, langkah-langkah penyelesaian atau himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di atas sebagai berikut :1. Substitusikan bagian linear y = ax + b ke bagian kuadrat y = px2 + qx + r, diperoleh :

ax + b = px2 + qx + rpx2 + qx – ax + r – b = 0px2 + (q – a)x + (r – b) = 0 (merupakan persamaan dalam x)

2. Nilai-nilai x pada langkah 1 (jika ada) disubstitusikan ke persamaan y = ax + b.Contoh:

Selesaikan sistem persamaan :

Jawab:Dari x – y = 2 x = y + 2x = y + 2 substitusikan ke

(y + 2)2 + y2 = 20 y2 + 4y + 4 + y2 = 20 2y2 + 4y + 4 – 20 = 0 2y2 + 4y – 16 = 0 y2 + 2y – 8 = 0 (y + 4)(y – 2) = 0 y + 4 = 0 atau y - 2 = 0

y = -4 atau y = 2Untuk y = -4 x = -4 + 2 = -2

y = 2 x = 2 + 2 = 4Jadi HP = {(-2, -4),(4,2)}

LATIHAN 3.4

1. Tentukan penyelesaian persamaan linear dua variabel berikut dengan cara eliminasi !

a. b.

2. Tentukan penyelesaian persamaan linear dua variabel berikut dengan cara substitusi !

a. b.

3. Tentukan penyelesaian persamaan linear dua variabel berikut dengan cara gabungan (eliminasi dan substitusi) !

a. b.

4. Tentukan penyelesaian persaman linear dua variabel berikut dengan cara determinan !

32

a. b.

5. Dengan substitusi dan eliminasi , selesaikan persamaan linear tiga variabel berikut !

a. b.

6. Dengan cara determinan , tentukan himpunan penyelesaian persamaan berikut !

a. b.

7. Selesaikan tiap persamaan berikut !

a. b.

33

3-persamaan1

Documents