3 mtl matriks_1 print

MATRIKSMatriks & Transformasi Linier

Universitas Budi Luhur

Purwanto,S.Si

Matriks & Transformasi Linier - Purwanto,S.Si

Pengertian Matriks

• Matriks adalah susunan sekelompok bilangandalam bentuk persegi panjang yang diaturmenurut baris dan kolom

• Contoh :

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

=

100

010

001

I

( )521 -=C÷÷ø

öççè

æ

-=

23

61A

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

4

1

7

3

D

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

=

100

870

591

V

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-

=

12353

76321

10272

G


Bentuk Umum

• Matriks : Amxn = (aij)mxn

• dibaca : Matriks A dengan ordo m x n

• dengan :

– m menyatakan jumlah baris, m = 1,2,3,…

– n menyatakan jumlah kolom, n = 1,2,3,…

– aij menyatakan elemen matriks A pada baris ke-i dan kolom ke-j

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

==

mnmm

n

n

mxnijmxn

aaa

aaa

aaa

aA

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

)( m = jumlah baris


Bentuk Umum



• dengan :




÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

==

mnmm

n

n

mxnijmxn

aaa

aaa

aaa

aA

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

)(

n = jumlah kolom


Bentuk Umum



• dengan :




÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

==

mnmm

n

n

mxnijmxn

aaa

aaa

aaa

aA

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

)(

a11 : elemen matriks A pada baris ke-1 dan kolom ke-1


Bentuk Umum



• dengan :




÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

==

mnmm

n

n

mxnijmxn

aaa

aaa

aaa

aA

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

)(



Bentuk Umum



• dengan :




÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

==

mnmm

n

n

mxnijmxn

aaa

aaa

aaa

aA

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

)(



Bentuk Umum



• dengan :




÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

==

mnmm

n

n

mxnijmxn

aaa

aaa

aaa

aA

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

)(

amn : elemen matriks A pada baris ke-m dan kolom ke-n


Contoh

( )521 -=C÷÷ø

öççè

æ

-=

23

61A

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

=

100

870

591

V

Jumlah baris (m) = 2Jumlah kolom (n) = 2Matriks A2x2

Jumlah baris (m) = 1Jumlah kolom (n) = 3Matriks C1x3

Matriks V3x3

Elemen baris ke-1 kolom ke-1 = 1 Elemen baris ke-2 kolom ke-3 = 8Elemen baris ke-3 kolom ke-3 = 1


Jenis Matriks

1) Matriks Baris

Matriks yang elemennya terdiri hanya satu baris

Contoh :

2) Matriks Kolom

Matriks yang elemennya terdiri hanya satu kolom

Contoh :

( )521 -=C

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

4

1

7

3

D


Jenis Matriks

3) Matriks Persegi

Matriks yang banyaknya baris = banyaknya kolom

Contoh :

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

=

100

870

591

V

÷÷ø

öççè

æ

-=

23

61A


Jenis Matriks

4) Matriks Segitiga

Matriks persegi yang elemen-elemen di bawah atau di atas diagonal utama semuanya = 0

Contoh :

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

=

200

740

231

M÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

=

397

041

002

N

Matriks Segitiga Atas Matriks Segitiga Bawah


Jenis Matriks

5) Matriks Diagonal

Matriks segitiga yang elemen-elemen di bawah dan di atas diagonal utama semuanya = 0

Contoh :

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

=

200

040

001

M÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-=

100

030

002

N


Jenis Matriks

6) Matriks Identitas

Matriks diagonal dengan elemen-elemen pada diagonal utama semuanya = 1

Contoh :

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

=

100

010

001

I

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

1000

0100

0010

0001

I


Kesamaan Dua Buah Matriks

• Dua buah matriks dikatakan sama, jhj keduamatriks mempunyai ordo yang sama dan elemenyang seletak sama.

• Contoh :

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-

=

751

328

142

B÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-

=

751

328

142

A


Latihan

• Misalkan matriks A = matriks B, tentukanlah nilai x,y dan z nya.

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

--

=

721

398

144

B÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

--

=

71

338

142

z

y

x

A

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-=

152/1

329

431

B÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--

-=

154/

73/29

231

z

y

x

A

1).

2).


Transpose Matriks

• Matriks baru yang diperoleh dengan mengubah susunan elemen baris menjadi elemen kolom dari matriks lama.

• Simbol :

– Jika M suatu matriks, maka M‘ mrp matriks transpose

Atau

– Jika M suatu matriks, maka MT mrp matriks transpose

• Contoh :

÷÷ø

öççè

æ

-=

23

61A ÷÷

ø

öççè

æ

-=

26

31'A


Latihan

Tentukan matriks transpose dari matriks berikut ini :

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-

=

142

413

231

D

( )521 -=B÷÷ø

öççè

æ

-=

23

61A

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

=

4

1

7

3

E

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

=

131

872

591

C

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-

=

12353

76321

15272

F

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ

-

--=

5162

2042

3231

9521

G

÷÷÷÷÷

ø

ö

ççççç

è

æ-

=

4511

2332

5453

7123

H


Matriks Simetris

• Matriks persegi A dikatakan matriks simetris jika A = AT

• Contoh :

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-

=

142

413

231

A

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-

=

142

413

231TA


Penjumlahan & Pengurangan Matriks

• Syarat :

a) Ordo matriks yang dijumlahkan harus sama

b) Hasil penjumlahan atau pengurangan hanya didapat dari penjumlahan atau pengurangan elemen-elemen yang seletak

• Sifat :

1) A+B=B+A

2) (A+B)+C=A+(B+C)

3) A-B ¹ B-A


Contoh

Misal diketahui matriks

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-=

122

423

531

A÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-

=

541

311

222

B

Maka nilai A + B adalah

1+2 3+(-2) 5+2

-3+(-1) 2+1 4+3

2+1 -2+4 1+5

3 1 7

-4 3 7

3 2 6


Contoh

Misal diketahui :

Tentukanlah matriks :

1) A+B

2) B+A

3) A+C

4) A-B

5) B-A

÷÷ø

öççè

æ=

34

51A ÷÷

ø

öççè

æ=

53

42B ÷÷

ø

öççè

æ=

642

513C ÷÷

ø

öççè

æ --=

156

342D

6) C+D

7) D+C

8) C-D

9) D-C

10) (D+C)+D


Perkalian Skalar Sebuah Matriks

• Notasi

B = k.A

dengan :

B = matriks hasil perkalian

k = kontanta bilangan real

A = matriks yang dikalikan

• Sifat

1) (a+b)A = aA+bA

2) a(A+B) = aA+aB

3) a(bA) = (ab)A

4) 1A = A

5) (-1)A = -A


Contoh

Misal diketahui matriks :


1) 2A

2) -3B

3) -2A+3C

4) B+2D

÷÷ø

öççè

æ=

43

21A ÷÷

ø

öççè

æ

-

-=

151

232B ÷÷

ø

öççè

æ -=

24

13C ÷÷

ø

öççè

æ=

532

614D


Perkalian Dua Buah Matriks

• Syarat :

– Jumlah kolom matriks pertama = jumlah baris matriks kedua

• Notasi

Amxn x Bpxq = Cmxq

dengan syarat : n = p

• Sifat :

1) AB≠BA

2) (AB)C=A(BC)

3) A(B+C)=AB+AC

4) AI = IA = A


Contoh


÷÷ø

öççè

æ=

13

42A ÷÷

ø

öççè

æ=

85

76B

Maka nilai A.B adalah

÷÷ø

öççè

æ

13

42÷÷ø

öççè

æ

85

76÷÷ø

öççè

æ

++

++=

)8x1()7x3()5x1()6x3(

)8x4()7x2()5x4()6x2(2x6( )+ 4( )x5 2x7( )+ 4( )x8

3x6( )+ 1( )x5 3x7 + 1( )x8( )

÷÷ø

öççè

æ

++

++=

821518

32142012÷÷ø

öççè

æ=

2923

4632


Latihan

Misal diketahui :

Tentukanlah :

1. AB

2. BA

3. (AB)C

4. A(BC)

÷÷ø

öççè

æ=

34

51A ÷÷

ø

öççè

æ=

53

42B ÷÷

ø

öççè

æ=

642

513C ÷÷

ø

öççè

æ

-

-=

31

21D ÷÷

ø

öççè

æ=

10

01I

5. A(B+D)

6. AB+AD

7. AI

8. IA


Sifat Matriks Transpose

a) (AT)T = A

b) (aA)T = aAT , a = konstanta bilangan real

c) Jika A dan B adalah matriks dengan ordo m x n, maka (A + B)T = AT + BT

d) Jika A matriks dengan ordo m x n, dan B matriks dengan ordo n x r, maka (AB)T = BTAT


Contoh

Misal diketahui :


1) (CT)T

2) (2C)T

3) 2CT

4) (A + B)T

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-

-

=

321

112

231

A

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-=

112

013

111

B÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--=

13

21

12

C

5) AT + BT

6) (AB)T

7) BTAT


Determinan Matriks Ordo 2 x 2

• Misal matriks A berordo 2 x 2

mempunyai determinan

÷÷ø

öççè

æ=

dc

baA

bcaddc

baAA -===)det(


Contoh


Tentukanlah determinan matriks A

÷÷ø

öççè

æ=

34

51A

Jawab :

34

51)det( == AA = (1)(3) - (5)(4)

= (3) - (20)

= -17


Latihan

1. Misal diketahui matriks

Tentukanlah determinan matriks A tersebut

÷÷ø

öççè

æ

-

-=

35

24A


Tentukanlah x jika determinan matriks A = 1.

÷÷ø

öççè

æ -=

xA

3

12


Tentukanlah x jika determinan matriks P = -5.

÷÷ø

öççè

æ

++=

12

5

xx

xP


Matriks Singular & Nonsingular

Misal A adalah matriks berordo nxn :

• Matriks A disebut matriks nonsingular jika det(A) ≠ 0

• Matriks A disebut matriks singular jika det(A) = 0

• Setiap matriks nonsingular dapat mempunyai invers matriks.

• Misal A matriks nonsingular berodo n x n, maka invers matriks A dinyatakan dengan A-1.


Contoh

Manakah dianatara matriks di bawah ini yang termasuk matriks singular atau nonsingular?

÷÷ø

öççè

æ=

54

21A ÷÷

ø

öççè

æ=

21

21B ÷÷

ø

öççè

æ

-=

22

22C


Invers Matriks Ordo 2 x 2

• Misal matriks A berordo 2 x 2 :

• Dengan determinan :

÷÷ø

öççè

æ=

dc

baA

bcaddc

baA)Adet( -===

• Maka Invers matriks A :

÷÷ø

öççè

æ

-

-==-

ac

bd

)Adet(

1)A(adj

)Adet(

1A 1

• Dengan matriks adjoint : ÷÷ø

öççè

æ

-

-=

ac

bd)A(adj


Sifat Invers Matriks

Jika a merupakan kontanta tak nol, kemudian A dan B matriks nonsingular m x m, maka :

a) (aA)-1=a-1A-1

b) (AT)-1=(A-1)T

c) (A-1)-1=A

d) |A-1|=|A|-1

e) If A=AT, then A-1=(A-1)T

f) (AB)-1=B-1A-1


Contoh


÷÷ø

öççè

æ

-

-=-

31

24

10

1C 1

Tentukanlah invers matriks C

÷÷ø

öççè

æ=

41

23C

Jawab :

===41

23C)Cdet(

Determinan

maka invers matriksnya (C-1)

10212)1)(2()4)(3( =-=-

÷÷ø

öççè

æ

-

-=

103101

5152÷÷ø

öççè

æ

-

-=

103101

102104


Latihan


Tentukanlah invers matriks A

÷÷ø

öççè

æ --=

54

32A


Tentukanlah invers matriks B

÷÷ø

öççè

æ

--=

13

26B


Tentukanlah invers matriks C

÷÷ø

öççè

æ=

43

97C


Latihan


Tentukanlah :

• A-1

• AA-1

• A-1A

• (A’)-1

• (A-1)’

÷÷ø

öççè

æ=

52

31A ÷÷

ø

öççè

æ -=

21

21B

f) (AB)-1

g) B-1A-1

h) |A-1|

i) |A|-1

j) (A-1)-1



• Aturan Sarrus

– Untuk mentukan determinant matriks A ordo 3 × 3, tulis

kembali 2 kolom pertama matrik A di sebelah kananmatriks A.

– Jumlah hasil kali elemen diag.utama & elemen yg sejajar diag.utama dikurangi dgn jumlah hasil kali elemen

diag.samping & elemen yg sejajar diag. samping

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

=A



• Aturan Sarrus





333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3231

2221

1211

aa

aa

aa

=A



• Aturan Sarrus





333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3231

2221

1211

aa

aa

aa

=A

ÊÊ Ê

|A| = a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 -a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33


Contoh

Tentukanlah determinan matriks 3x3 berikut

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

=

012

101

532

A

Jawab :

012

101

532

A =

12

01

32

ÊÊ Ê

|A| = (2)(0)(0) + (3)(1)(2) + (5)(1)(1) – (5)(0)(2) – (2)(1)(1) – (3)(1)(0)

= (0) + (6) + (5) – (0) – (2) – 0)

= 11 – 2 = 9


Contoh

1). Tentukanlah determinan matriks berikut :

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-=

512

131

342

A÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

---

=

523

132

341

B

2).Tentukanlah nilai x jika determinan matriks P = 6. ÷

÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-=

21x

301

143

P


Latihan

1. Tentukanlah determinan matriks di bawah ini dengan menggunakan aturan Sarrus :

÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-=

512

131

342

A÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-

-

=

111

111

111

B÷÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

--

--

=

012

241

123

C

2).Tentukanlah nilai x jika determinan matriks S = -3. ÷

÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

--

-

--

=

x211

1x1

221

S

3) Tentukanlah nilai x agar T menjadi matriks nonsingular (mempunyai invers) ÷

÷÷

ø

ö

ççç

è

æ

-

-=

x111

1x11

111

T

3 mtl matriks_1 print

Education