3-2 tumbukan biner
TRANSCRIPT
TUMBUKAN BINER
L. Muhammad Musafar K 302 10 009
3-2-12
TUMBUKAN BINER
L. Muhammad Musafar K.
Tumbukan merupakan interaksi antar molekul gas yang mengakibatkan terjadinya perubahan
kecepatan molekul sebelum dan setelah terjadinya tumbukan. Tumbukan tidak harus ditinjau
sebagai tumbukan head-to-head, sepanjang interaksi tersebut menyebabkan perubahan
kecepatan partikel maka interaksi itu dapat dikatakan memenuhi kriteria tumbukan.
Tumbukan biner dalam gas merupakan tumbukan yang terjadi antar dua buah molekul. Oleh
karena gas yang ditinjau adalah gas berkerapatan rendah maka peluang terjadinya tumbukan
yang melibatkan lebih dari dua partikel memiliki probabilitas lebih kecil dibandingkan
tumbukan yang melibatkan dua partikel saja. Sebagai ilustrasi, jika dalam sebuah ruang
terdapat sangat banyak molekul maka peluang bertemunya dua partikel atau lebih memiliki
probabilitas yang lebih tinggi dibandingkan jika jumlah partikel jauh lebih sedikit dalam ruang
tersebut. Oleh karena itu, tinjauan tumbukan biner berlaku sah untuk gas dengan kerapatan
rendah.
Dalam peristiwa tumbukan biner ini molekul ditinjau bertumbukan secara elastis sempurna.
Dengan demikian selama proses tumbukan tersebut berlaku hukum kekekalan momentum dan
kekekalan energi kinetik. Andaikan molekul-1 memiliki massa 1m bergerak dengan kecepatan 1vr
dan molekul-2 memiliki massa 2m bergerak dengan kecepatan 2vr sebelum terjadinya
tumbukan dan setelah terjadi tumbukan kecepatan molekul-1 dan 2 mengalami perubahan
menjadi 1v′r dan 2v′r .
HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM
22112211 vmvmvmvm ′+′=+rrrr
2121 pppp ′+′=+rrrr (1)
TUMBUKAN BINER
L. Muhammad Musafar K 302 10 009
3-2-13
HUKUM KEKEKALAN ENERGI KINETIK
221
211
221
211 vm
21vm
21vm
21vm
21 ′+′=+
2
22
1
21
2
22
1
21
m2p
m2p
m2p
m2p ′
+′
=+ (2)
KECEPATAN DAN MOMENTUM PUSAT MASSA
Sebelum tumbukan,
21
2211
mmvmvmV
++
=rrr
(3)
221121 vmvmV)mm( rrr+=+
2211 vmvmVM rrr+= (4)
dimana
21 mmM += (5)
menyatakan massa total.
Sedangkan momentum total adalah
2211 vmvmP rrr+=
21 ppP rrr+= (6)
Setelah tumbukan, diperoleh dengan cara yang sama seperti di atas,
21
2211
mmvmvmV
+′+′
=′rrr
kalikan oleh 21 mm +
221121 vmvmV)mm( ′+′=′+rrr
2211 vmvmVM ′+′=′rrr
2211 vmvmVM ′+′=′rrr
atau
2211 vmvmP ′+′=′rrr
21 ppP ′+′=′rrr
(7)
TUMBUKAN BINER
L. Muhammad Musafar K 302 10 009
3-2-14
KECEPATAN DAN MOMENTUM RELATIF
Kecepatan relatif diberikan oleh
21 vvu rrr−=
Sedangkan momentum relatif diberikan oleh,
)vv(u 21rrr
−= μμ
dimana μ menyatakan massa reduksi,
21 m
1m11+=
μ
21
21
mmmm+
=μ (8)
Jadi, momentum relatif sebelum tumbukan
)vv(mm
mmup 2121
21 rrrr−
+== μ
2221
111
21
2 vmmm
mvmmm
mp rrr
+−
+=
21
12 p
Mmp
Mmp rrr
−= (9)
Kecepatan relatif setelah tumbukan
21 vvu ′−′=′rrr (10)
dan momentum relatif setelah tumbukan,
21
12 p
Mmp
Mmp ′−′=′
rrr (11)
TINJAU HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM
2121 pppp ′+′=+rrrr
PP ′=rr
(12)
Ini berarti bahwa peristiwa tumbukan tidak mengubah momentum total.
TUMBUKAN BINER
L. Muhammad Musafar K 302 10 009
3-2-15
TINJAU HUKUM KEKEKALAN ENERGI KINETIK
Dari persamaan (2), kekekalan energi kinetik diberikan oleh,
2
22
1
21
2
22
1
21
m2p
m2p
m2p
m2p ′
+′
=+
atau
2
22
1
21
2
22
1
21
mp
mp
mp
mp ′
+′
=+ (13)
Tinjau persamaan (6) dan (9)
21 ppP rrr+=
21
12 p
Mmp
Mmp rrr
−= kalikan oleh M
Maka kita memiliki,
21 ppP rrr+= kalikan oleh 1m
2112 pmpmpM rrr−=
maka
21111 pmpmPm rrr+=
2112 pmpmpM rrr−=
Jumlahkan kedua persamaan ini,
( ) ( )211221111 pmpmpmpmpMPm rrrrrr−++=+
( ) 12112111 pmmpmpmpMPm rrrrr+=+=+ karena Mmm 21 =+ , maka
11 pMpMPm rrr=+
maka
pPMmp 1
1rrr
+= (14)
Subtitusi persamaan (14) kedalam persamaan (6) atau (9),
21 ppP rrr+= kita pilih persamaan (6)
21 ppP
MmP rrrr
++=
TUMBUKAN BINER
L. Muhammad Musafar K 302 10 009
3-2-16
pPMmPp 1
2rrrr
−−=
pPMm
MPMp 1
2rr
rr
−−=
pPM
mMp 12
rrr−
−= oleh karena Mmm 21 =+ ,
pPM
mmmp 1212
rrr−
−+=
pPMmp 2
2rrr
−= (15)
Tinjau persamaan (7) dan (11),
21 ppP ′+′=′rrr
21
12 p
Mmp
Mmp ′−′=′
rrr kalikan oleh M
maka
21 ppP ′+′=′rrr
kalikan oleh 1m
2112 pmpmpM ′−′=′rrr
maka
21111 pmpmPm ′+′=′rrr
2112 pmpmpM ′−′=′rrr
Jumlahkan kedua persamaan ini,
( ) ( )211221111 pmpmpmpmpMPm ′−′+′+′=′+′rrrrrr
( )12111 pmpmpMPm ′+′=′+′rrrr
( ) 1211 pmmpMPm ′+=′+′rrr
oleh karena Mmm 21 =+ ,
11 pMpMPm ′=′+′rrr
pPMmp 1
1 ′+′=′rrr (16)
TUMBUKAN BINER
L. Muhammad Musafar K 302 10 009
3-2-17
Subtitusi persamaan (16) kedalam persamaan (7) atau (11),
21 ppP ′+′=′rrr
kita pilih persamaan (7)
21 ppP
MmP ′+′+′=′
rrrr
pPMmPp 1
2 ′−′−′=′rrrr
pM
PmPMp 12 ′−
′−′=′
rrr
r
pPM
mMp 12 ′−′
−=′
rrr
pPM
mmmp 1212 ′−′
−+=′
rrr
pPMmp 2
2 ′−′=′rrr (17)
Substitusi persamaan (14), (15), (16), dan (17) kedalam persamaan (13),
2
22
1
21
2
22
1
21
mp
mp
mp
mp ′
+′
=+
2
2
2
21
1
22
2
21
1
pPMm
m1pP
Mm
m1pP
Mm
m1pP
Mm
m1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−′+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′+′=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
rrrrrrrr
2
2
2
21
1
22
2
21
1
pPMm
m1pP
Mm
m1pP
Mm
m1pP
Mm
m1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−′+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′+′=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
rrrrrrrr
Subtitusi persamaan (12), yaitu PP ′=rr
2
2
2
21
1
22
2
21
1
pPMm
m1pP
Mm
m1pP
Mm
m1pP
Mm
m1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
rrrrrrrr (18)
Hitung: 2
1
1
pPMm
m1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
rr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + pP
Mm2pP
Mm
m1pP
Mm
m1 122
2
21
1
21
1
rrrr
pPM2
mpP
MmpP
Mm
m1
1
22
21
21
1
rrrr⋅++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + (19)
TUMBUKAN BINER
L. Muhammad Musafar K 302 10 009
3-2-18
Hitung: 2
2
2
pPMm
m1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
rr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − pP
Mm2pP
Mm
m1pP
Mm
m1 222
2
22
2
22
2
rrrr
pPM2
mpP
MmpP
Mm
m1
2
22
22
22
2
rrrr⋅−+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ − (20)
Hitung: 2
1
1
pPMm
m1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′+
rr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′⋅+′+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′+ pP
Mm2pP
Mm
m1pP
Mm
m1 122
2
21
1
21
1
rrrr
pPM2
mpP
MmpP
Mm
m1
1
22
21
21
1
′⋅+′
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′+
rrrr (21)
Hitung: 2
2
2
pPMm
m1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−
rr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′⋅−′+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′− pP
Mm2pP
Mm
m1pP
Mm
m1 222
2
22
2
22
2
rrrr
pPM2
mpP
MmpP
Mm
m1
2
22
22
22
2
′⋅−′
+=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−
rrrr (22)
Jumlahkan persamaan (19) dan (20), maka
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅−++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ + pP
M2
mpP
MmpP
M2
mpP
MmpP
Mm
m1pP
Mm
m1
2
22
22
1
22
21
22
2
21
1
rrrrrrrr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
2
22
22
1
22
21
22
2
21
1 mpP
Mm
mpP
MmpP
Mm
m1pP
Mm
m1 rrrr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
2
2
1
22
222
21
22
2
21
1 mp
mpP
MmP
MmpP
Mm
m1pP
Mm
m1 rrrr
TUMBUKAN BINER
L. Muhammad Musafar K 302 10 009
3-2-19
( ) 2
212
2
21
22
2
21
1
pm1
m1
MPmmpP
Mm
m1pP
Mm
m1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
rrrr
2
212
222
2
21
1
pm1
m1
MPMpP
Mm
m1pP
Mm
m1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
rrrr
2
21
222
2
21
1
pm1
m1
MPpP
Mm
m1pP
Mm
m1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
rrrr (23)
Jumlahkan persamaan (21) dan (22),
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′⋅−
′++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′⋅+
′+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′+ pP
M2
mpP
MmpP
M2
mpP
MmpP
Mm
m1pP
Mm
m1
2
22
22
1
22
21
22
2
21
1
rrrrrrrr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′+
2
22
22
1
22
21
22
2
21
1 mpP
Mm
mpP
MmpP
Mm
m1pP
Mm
m1 rrrr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′+
′+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′+
2
2
1
22
222
21
22
2
21
1 mp
mpP
MmP
MmpP
Mm
m1pP
Mm
m1 rrrr
( ) 2
212
2
21
22
2
21
1
pm1
m1
MPmmpP
Mm
m1pP
Mm
m1 ′⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′+
rrrr
2
212
222
2
21
1
pm1
m1
MPMpP
Mm
m1pP
Mm
m1 ′⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′+
rrrr
2
21
222
2
21
1
pm1
m1
MPpP
Mm
m1pP
Mm
m1 ′⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′+
rrrr (24)
Subtitusi persamaan (23) dan (24) kedalam persamaan (18),
2
2
2
21
1
22
2
21
1
pPMm
m1pP
Mm
m1pP
Mm
m1pP
Mm
m1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′−+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ′+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
rrrrrrrr
2
21
22
21
2
pm1
m1
MPp
m1
m1
MP ′⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
2
21
2
21
pm1
m1p
m1
m1 ′⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
22 pp ′=
TUMBUKAN BINER
L. Muhammad Musafar K 302 10 009
3-2-20
atau
pp ′= (24)
Ini mengimplikasikan bahwa tumbukan tidak mengubah besar dari kecepatan relatif atau
momentum relatif. Hal tersebut dapat diartikan bahwa proses tumbukan hanya merotasikan
arah momentum atau kecepatan relatif tanpa mengubah besar.
Andaikan sudut antara pr dan p′r adalah θ, dan sudut azimutal p′r terhadap pr adalah φ. Sudut
ini secara lengkap mencirikan kinematika tumbukan. Sudut θ dan φ secara kolektif
dilambangkan oleh Ω dan disebut sebagai sudut hamburan. Jika potensial yang berperan dalam
hamburan adalah potensial terpusat yaitu potensial yang hanya bergantung pada jarak antar-
molekul maka hamburan tidak bergantung pada φ.
Aspek dinamis daripada tumbukan digambarkan oleh penampang lintang differensial (differential
cross-section) yang didefenisikan sebagai berikut. Tinjau beam partikel-2 yang datang menuju
partikel-1. Dalam hal ini, partikel-1 merupakan target. Fluks partikel yang datang I didefenisikan
sebagai jumlah partikel yang datang melewati suatu elemen luas tiap detik diamati dari partikel target:
|vv|nI 21rr
−= (25)
dimana n adalah kerapatan partikel beam yang datang. Penampang lintang diferensial dσ/dΩ
didefenisikan sebagai jumlah molekul datang yang dihamburkan tiap detik dalam elemen
sudut-permukaan (solid-angle) dΩ di sekitar arah Ω dan dituliskan sebagai
ΩΩΩσ d
d)(dI ××
TUMBUKAN BINER
L. Muhammad Musafar K 302 10 009
3-2-21
Penampang lintang diferensial memiliki dimensi luas. Jumlah molekul terhambur dalam dΩ
tiap detik sama dengan jumlah molekul dari beam yang datang melewati luasan dσ/dΩ tiap detik.
Luas total penampang lintang menyatakan jumlah molekul terhambur tiap detik,
∫= ΩΩσΩσ
d)(ddtot (26)
atau persamaan (26) dapat dituliskan sebagai,
∫= )(dtot ΩσΩσ (27)
Dalam mekanika klasik penampang lintang diferensial dapat dihitung dari potensial molekular
dengan cara berikut. Pertama, lakukan transformasi sistem koordinat terhadap sistem pusat
massa, dimana momentum total adalah nol. Karena yang ditinjau hanya domain non-relativistik
maka hal ini memasukkan translasi seluruh kecepatan dengan besar konstan. Jadi, kita hanya
perlu mengikuti trayektori satu molekul yang bergerak di sepanjang satu orbit tertentu saat
partikel tersebut dihamburkan oleh pusat gaya/massa tetap. Andaikan partikel datang
mendekati pusat gaya/massa dengan momentum relatif pr dan ketika menjauhi titik pusat gaya
tersebut partikel memiliki momentum p′r , maka momentum relatif tersebut hanya mengalami
rotasi memenuhi persamaan (24). Jarak normal antara garis lintasan partikel ke garis titik pusat
gaya disebut sebagai impact parameter.