USAHA dan

ENERGI

USAHA OLEH GAYA KONSTAN

F F

F cos

sUsaha yang dilakukan oleh sebuah gaya didefinisikansebagai hasil kali komponen gaya pada arah pergeserandengan panjang pergeseran benda.

sFW )cos( (5.1)

sFW (5.2)

F

mg

N

f

fsW f 1)180cos( 0

Usaha oleh gaya F : cosFsW

Usaha oleh gaya gesek f :

Usaha oleh gaya normal N : 0NW

Usaha oleh gaya berat mg : 0mgWMengapa ?

Usaha total : fsFsW cos (5.3)

Usaha oleh Gaya yang Berubah

Fx

xx

Fx

x

Fx

Luas = A =Fxx

W = Fxx

f

i

x

xx xFW

xi xf

xi xf

Usaha

f

i

x

x xdxFW

f

i

x

xx

xxFW lim

0

(5.4)

Usaha dan Energi Kinetik

sFW x Untuk massa tetap :Fx = max tvvs fi )(2

1

t

vva if

x

Untuk percepatan tetap :

tvvt

vvm fi

if )(21

2212

21

if mvmvW

221 mvK

Energi kinetik adalah energi yang terkait dengan gerak benda.

Teorema Usaha-Energi

KKKW if

Usaha yang dilakukan oleh suatu gaya untuk menggeser bendaadalah sama dengan perubahan energi kinetik benda tersebut.

(5.5)

(5.6)

(5.7)

f

idW sF

Bagaimana jika gaya berubah terhadap posisi ?

f

i

x

x xnet dxFW )( f

i

x

xdxma

dt

dva

dt

dx

dx

dv

dx

dvv

f

i

x

xdx

dx

dvmv f

i

x

xdvmv

2212

21

if mvmv (5.4) f

i

x

x xdxFW

(5.8)

kjiF zyx FFF

kjis dzdydxd fff

iii

zyx

zyx zyx dzFdyFdxFW,,

,,)( (5.9)

Satuan :

SI m)(Nmeter newton joule (J)

cgs cm)(dyne centimeterdyne erg1 J = 107 erg

Dimensi : 22TML

sF ddW

DAYA

Energi yang ditransfer oleh suatu sistem per satuan waktu

t

WP ratarata

dt

dW

t

WP

t

lim0

dt

d

dt

dWP

sF vF

(5.10)

(5.10)

Satuan : watt (W)

1 W = 1 J/s 32 /mkg 1 s

s) 3600)(W(10 kWh 1 3 J10 3.6 6

Gaya Konservatip

P

Q1

2

Gaya disebut konservatip apabila usaha yang dilakukan sebuah partikel untuk memindahkannya dari satu tempat ke tempat lain tidak bergantung pada lintasannya.

WPQ(lintasan 1) = WPQ(lintasan 2)

P

Q1

2

WPQ(lintasan 1)

P

= - WQP(lintasan 2)

WPQ(lintasan 1) + WQP(lintasan 2) = 0

Usaha total yang dilakukan oleh gaya konservatip adalah nol apabila partikelbergerak sepanjang lintasan tertutupdan kembali lagi ke posisinya semula

Contoh : Wg= - mg(yf - yi)2

212

21

fis kxkxW

Usaha oleh gaya gravitasi

Usaha oleh gaya pegas

Gaya Tak-Konservatip

Gaya disebut tak-konservatip apabila usaha yang dilakukan sebuah partikel untuk memindahkannya dari satu tempat ke tempat lain bergantung pada lintasannya.

A

dB

s WAB(sepanjang d) WAB(sepanjang s)

Usaha oleh gaya gesek :

fsfd

f

i

x

x fixc UUUdxFW

Untuk F konservatip :

Usaha yang dilakukan oleh gaya konservatip sama dengan minus perubahan energi potensial yang terkait denga gaya tersebut.

f

i

x

x xif dxFUUU

Energi Potensial

Hukum Kekekalan Energi Mekanik

F Gaya konservatip

KWc

Usaha oleh gaya konservatip :

UWc

UK

0)( UKUK Hukum kekekalan energi mekanik

ffii UKUK

Ei = Ef

UKE

Energi mekanik suatu sistem akan selalau konstanjika gaya yang melakukan usaha padanya adalah gaya konservatip

Perambahan (pengurangan) energi kinetik suatu sistem konservatipadalah sama dengan pengurangan (penambahan) energi potensialnya

ffii UKUK Untuk sistem dengan lebih dari satu gaya konservatip

Potensial Gravitasi di Dekat Permukaan Bumi

B

A Qyf

Pyi

y

x

mg h

mgh

BQPBPBQ WWW AQPAPAQ WWW

mgh

n

ng ymgW mgh

if yyh

fig mgymgyW

Usaha oleh medan gaya gravitasi adalah konservatip

Energi Potensial Gravitasi : mgyU g Ug = 0 pada y = 0

gfig UUUW

Hukum Kekekalan Energi Mekanik : ffii mgymvmgymv 2212

21

vp m(9-1)

xx mvp

yy mvp

zz mvp

(9-2)

Hukum Newton II :dt

dpF (9-3)

Laju perubahan momentum

Bagaimanakah momentum benda yang terisolasi, yaitu tidak ada

gaya yang bekerja pada benda tersebut ?

dtd Fp (9-4) Impuls

Momentum Linear :

f

i

t

tif dtFppp(9-5)

Impuls :

pFI f

i

t

tdt(9-6)

Impuls suatu gaya F sama denganperubahan momentum benda.

Teorema Impuls-MomentumF

tti tf

f

i

t

tdt

tFF

1(9-7)

Gaya rata-rata :

Untuk F konstan :

t FpI (9-9)

t FpI (9-8)

KEKEKALAN MOMENTUM LINIERUNTUK SISTEM DUA PARTIKEL

m1

p1 = m1v1

m2 p2 = m2v2

p1

p2

F21

F12

dtd 1

12

pF

dt

d 221

pF

02112 FF

2112 FF Hukum Newton III

021 dt

ddt

d pp 0)( 21 ppdtd

konstan21 ppP (9-10)

fxix PP fyiy PP fziz PP

21 ppP

Momentum partikel di dalam suatu sistem tertutup selalu tetap

Hukum kekekalan momentum

ffii mmmm 22112211 vvvv (9-11)

(9-12)ffii 2121 pppp

TUMBUKAN

+

++

F12

F21

p

He4

F12 F21

m1 m2

Interaksi antar partikel yang berlangsung dalam selang waktu yang sangat singkat Gaya impulsiv

Diasumsikan jauh lebih besar

dari gaya luar yang ada Kontak langsung

Proses hamburan

F

t

F12

F21

2

1 212tt dtFp

dt

dpF (9-3)

2

1 121tt dtFp

2112 FF Hukum Newton III

21 pp

021 pp

0)( 21 pp konstan21 ppP

Pada setiap tumbukan jumlah momentum sistem sesaat sebelum tumbukan adalah sama dengan jumlah momentumnya sesaat setelah tumbukan

Hukum kekekalan momentum berlaku pada setiap tumbukan

Klasifikasi Tumbukan

Tumbukan Lenting Sempurna Berlaku hukum kekekalan momentum dan kekekalan energi

Tumbukan Lenting Sebagian Energi mekanik berkurang(tak berlaku hukum kekekalan energi mekanik)

Tumbukan Tak Lenting sama sekali Setelah tumbukan kedua partikel menyatu

v1iv2i

m1m2

Sebelum tumbukan

vf

m1 + m2

Setelah tumbukan

Hukum kekekalan momentum :

Untuk tumbukan tak lenting sama sekali dalam satu dimensi

fii vmmvmvm )( 212211 (9-13)

21

2211

mmvmvm

v iif

(9-14)

Untuk tumbukan lenting sempurna dalam satu dimensi

v1iv2i

m1m2

Sebelum tumbukan

v1f

m1

Setelah tumbukan

m2

v2f

Hukum kekekalan momentum :

ffii vmvmvmvm 22112211 (9-15)2222

12112

12222

12112

1ffii vmvmvmvm (9-16)

)()( 22

222

21

211 iffi vvmvvm

))(())(( 2222211111 ififfifi vvvvmvvvvm (9-17)

)()( 222111 iffi vvmvvm (9-18)

iffi vvvv 2211

)( 2121 ffii vvvv (9-19)

21

121

21

12

2mmmm

vmm

mv if

(9-21)

21

21

21

211

2mm

mv

mmmm

v if (9-20)

TUMBUKAN DALAM DUA DIMENSI

v1i

m1

m2

Sebelum tumbukan Setelah tumbukan

v1f

v2f

m1

m2

v1f sin

v1f cos

v2f cos

-v2f sin

Komponen ke arah x : coscos 221111 ffi vmvmvm (9-24a)

sinsin0 2211 ff vmvm (9-24b)

Jika tumbukan lenting sempurna : 2222

12112

12112

1ffi vmvmvm (9-24a)

v

M+m

vp )( mMi

M

v+v

m

ve

Kecepatan bahan bakar relatip terhadap roket

v - ve

)()()( emMmM vvvvv

mM e vv

Untuk interval waktu yang sangat pendek :

dmvMdv e

dMdm

Massa bahan bakaryang terbakar

Pengurangan massa roketdMMd evv

f

i

f

i

M

Me M

dMd

v

vvv

f

ieif M

Mlnvvv