LATIHAN SOAL PENCERMINAN

1. Diketahui dua titik A dan B. Lukislah garis g sehingga Mg(A) = B. Tentukan pula

Mg(B).

● ●

A B

Mg(A) = B dan Mg(B) = A

2. Apabila pada V ada sistem sumbu ortogonal dan A (1,3) sedangkan

B (-2,-1). Tentukan persamaan sebuah garis g sehingga Mg(A) = B!

Diket : A (1,3), B (-2,-1)

Ditanya: Persamaan garis g sehingga Mg(A) = B

Jawab :

Persamaan garis AB

0534

4493

)1(4)3(3

12

1

31

3

12

1

12

1

yx

xy

xy

xy

xx

xx

yy

yy

Gradien m = 3

4

Gradien yang tegak lurus garis AB, m2 = -4

3

Titik tengah AB = )1,2

1(

2

)2,1(

2

)1,2()3,1(

Persamaan garis yang melalui )1,2

1( dengan m = 3 adalah

y – y1 = m (x – x1)

y – 1 = - 4

3(x +

2

1)

X 1 -1

-1 -2

1

2

3

Y

y = - 4

3x -

8

3 + 1

y = - 4

3x +

8

5

8y + 6x – 5 = 0

6x - 8y – 5 = 0

Jadi persamaan garis g adalah 6x - 8y – 5 = 0

3. Diketahui: g = -3x, yx

Ditanya:

a. Mg(A), bila A(2,1).

b. Bila Mg(C) = (-1,7), maka C = . . .

c. P(x,y), maka Mg(P) = . . .

Jawab:

a. Persamaan garis yang melalui A(2,1) dan tegak lurus g adalah y = 1.

B (-3,1) adalah titik tengah 'AA ,

Maka (-3,1) =

2

1,

2

2

2,

2

''' AAAAAA yxyyxx

Jelas )2,2(2,6 '' AA yx

1,8, '' AA yx

Jadi A’ = (-8,1)

b. Persamaan garis yang melalui Mg(C) = (-1,7) dan tegak lurus g adalah y = 7.

D(-3,7) adalah titik tengah 'AA ,

Maka (-3,7) =

2

7,

2

1

2,

2

'' CCCCCC yxyyxx

Jelas )7,1(14,6 CC yx

7,5, CC yx

Jadi C = (-5,7)

c. Persamaan garis yang melalui P(x,y) dan tegak lurus g adalah y = yp.

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .

Jelas Q = (-3, yp) =

2,

2

'' pppp yyxx

pppp

ppppp

yxyx

yyxxy

,6,

),(2,6

'

''

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-6 – x,y).

4. Diketahui g = 2y, yx

Ditanya:

a. Jika A = 2,3 , tentukan A’ = Mg(A).

b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta D’ oleh Mg.

c. Jika P(x,y). Tentukan Mg(P)

Jawab:

a. Persamaan garis yang melalui A 2,3 dan tegak lurus g adalah x = 3.

Misal B (3,2) adalah titik tengah 'AA ,

Maka (3,2) =

2

2,

2

3

2,

2

''' AAAAAA yxyyxx

Jelas )2,3(4,6 '' AA yx

24,3, '' AA yx

Jadi A’ = (3, 24 )

b. Persamaan garis yang melalui D’ = (2,-4) dan tegak lurus g adalah x = 2.

Misal C(2,2) adalah titik tengah 'DD ,

Maka (2,2) =

2

)4(,

2

2

2,

2

'' DDDDDD yxyyxx

Jelas )4,2(4,4 DD yx

8,2, DD yx

Jadi Prapeta D oleh Mg = (2,8)

c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah x = xp.

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .

Jelas Q = (xQ, 2) =

2,

2

'' pppp yyxx

pppp

ppppp

pppp

p

yxyx

yyxxx

yyxxx

4,,

,4,2

)2

,2

(2,

''

''

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (-x, 4 - y).

5. Diketahui h = xy, yx

Ditanya:

a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mh(A).

b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mh.

c. Jika P(x,y). Tentukan Mh(P)

Jawab:

a. Dicari gradien garis y = x, yaitu m = 1

Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah

1

32

)2(13

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

Mencari perpotongan y = x dan y = -x – 1 dengan mensubstitusikannya.

y = y

x = -x – 1

2x = -1

x = -2

1

substitusikan x = -2

1 ke persamaan y = x

diperoleh y = -2

1.

Jadi titik tengah 'AA (-2

1,-

2

1).

Jelas (-2

1,-

2

1) titik tengah 'AA , maka

2

3,

2

2

2,

22

1,

2

1 ''' AAAAAA yxyyxx

Jelas )3,2(1,1 '' AA yx

2,3, '' AA yx

Jadi A’ = (-3,2)

b. Gradien garis y = x, yaitu m = 1

Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = -1 adalah

2

53

)3(15

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

Mencari perpotongan y = x dengan y = -x +2 dengan cara substitusi.

y = y

x = -x + 2

2x = 2

x = 1

substitusikan x = 1 ke persamaan y = x

diperoleh y = 1.

Jadi titik tengah 'BB (1,1).

Jelas (1,1) titik tengah 'BB , maka

2

5,

2

)3(

2,

21,1 '' BBBBBB yxyyxx

Jelas )5,3(2,2 BB yx

3,5, '' AA yx

Jadi A’ = (5,-3)

c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus g adalah

pp

pp

yxxy

xxmyy

)(

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .

Jelas Q = (xQ, yQ) =

2,

2

'' pppp yyxx

QpQppp

ppppQQ

yyxxyx

yyxxyx

2,2,

),(2,2

''

''

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).

6. Diketahui k = 0yx, yx

Ditanya:

a. Jika A = (2,-3), tentukan A’ = Mk(A).

b. Jika D’ = (2,-4), tentukan prapeta dari B’ oleh Mk.

c. Jika P(x,y). Tentukan Mk(P)

Jawab:

a. Dicari gradien garis k xyyx 0

Jadi mk = -1

Maka persamaan garis yang melalui A(2,-3) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah

5

32

)2(13

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

Mencari perpotongan y = -x dengan y = x - 5 dengan cara substitusi.

y = y

-x = x – 5

2x = 5

x = 2

5

substitusikan x = 2

5 ke persamaan y = -x

diperoleh y = -2

5.

Jadi titik potongnya (2

5, -

2

5)

Karena (2

5, -

2

5) titik tengah 'AA , maka

2

3,

2

2

2,

22

5,

2

5 '''' AAAAAA yxyyxx

Jelas )3,2(5,5 '' AA yx

2,3, '' AA yx

Jadi A’ = (3,-2)

b. Gradien garis y = -x, yaitu m = -1

Maka persamaan garis yang melalui B’(-3,5) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah

8

53

)3(15

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

Mencari perpotongan y = -x dengan y = x +8 dengan cara substitusi.

y = y

-x = x + 8

2x = -8

x = -4

substitusikan x = -4 ke persamaan y = -x

diperoleh y = 4.

Jadi titik potongnya (-4,4).

Karena (-4,4) titik tengah 'BB , maka

2

5,

2

)3(

2,

24,4 '' BBBBBB yxyyxx

Jelas )5,3(8,8 BB yx

3,5, '' AA yx

Jadi A’ = (-5, 3)

c. Persamaan garis yang melalui P(xp,yp) dan tegak lurus k dengan m = 1 adalah

pp

pp

yxxy

xxmyy

)(

Misal Q = (xQ,yQ) adalah titik tengah 'PP .

Jelas Q = (xQ, yQ) =

2,

2

'' pppp yyxx

QpQppp

ppppQQ

yyxxyx

yyxxyx

2,2,

),(2,2

''

''

Jadi apabila P (x,y) maka Mg(P) = P’ = (x – 2xQ, y – 2yQ).

7. Diketahui g = 1y x, yx

Ditanya:

a. Mg(0)

b. Mg(A) dengan A(1,2).

c. Jika P(x,x+1). Tentukan Mg(P)=P.

Jawab:

a. Dipunyai g = 1y x, yx , dari x + y = 1 y = 1 – x.

Gradien dari g adalah m = -1, dan gradien yang tegak lurus dengan g adalah m = 1

Maka persamaan garis h yang melalui O(0,0) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah

xy

xy

xxmyy

)0(10

)( 11

Jadi xyh

Titik potong antara g dan h adalah titik O, yaitu

y = y

1 – x = x

2x = 1

x = 2

1

substitusikan x = 2

1 ke persamaan y = x

diperoleh y = 2

1.

Jadi titik potongnya (2

1,

2

1)

Karena (2

1,

2

1) titik tengah 'OO , maka

2

0,

2

0

2,

22

1,

2

1 '0'0'00'00 yxyyxx

Jelas ),(1,1 '0'0 yx

1,1, '0'0 yx

Jadi Mg(O) = (1,1)

b. Maka persamaan garis h yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah

1

12

)1(12

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

Jadi xyh +1

Mencari perpotongan g dengan h.

y = y

1 - x = x + 1

2x = 0

x = 0

substitusikan x = 0 ke persamaan y = 1 - x

diperoleh y = 1.

Jadi titik potongnya (0,1).

Karena (0,1) titik tengah 'OO , maka

2

2,

2

1

2,

21,0 '''' BBoooo yxyyxx

Jelas )2,1(2.0 '' oo yx

0,1, ' oo yx

Jadi A’ = (-1,0)

c. Dipunyai p = (x, x + 1) dan g = 1y x, yx

Karena Mg(P) = P, maka P )1,( xxP

Diperoleh x + y = 1 01)1(1 xxxyx

Dan y = 0 + 1 = 1

Jadi Mg(P) = (0,1).

8. Diketahui g = 013y-x, yx , dan A (2,k).

Ditanya: Tentukan k bila Mg(A) = A

Jawab : Dipunyai x – 3y +1 = 0,

Karena Mg(A) = A, maka A terletak pada g.

Nilai k dapat dicari dengan mensubstitusikan titik A ke persamaan garis g.

Untuk x = 2 maka x – 3y +1 = 0 2 - 3y = -1 3y = 3 y = 1

Jadi nilai k = 1.

9. Diketahui k = 013-ax, yyx , B = (3,-1)

Tentukan a apabila Mk(B) = B!

Karena Mk(B) = B, maka

B = (3,-1) terletak pada garis k.

Diperoleh a.3 – 3(-1) + 1 = 0

3a +3 +1 = 0

3a = - 4

a = - 3

4

Jadi nilai a = - 3

4.

10. Dipunyai T(P) = (x-5, y+3)

P = (x, y) V

Ditanya: Selidiki apakah T suatu isometri?

Jawab: Akan ditunjukkan apakah T suatu isometri.

Menurut definisi, T suatu isometri jika P1, P2 V maka P1‘P2’ = P1P2

Ambil sebarang titik P1, P2 V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)

T(P1) = P1’ = (x1-5, y1+3)

T(P2) = P2’ = (x2-5, y2+3)

2

12

2

1221P yyxxP

2

12

2

1221

2

12

2

1221

2

12

2

1221

2

12

2

1221

''P

)3355''P

)3()3()5()5(''P

''''''P

yyxxP

yyxxP

yyxxP

yyxxP

Maka P1‘P2’ = P1P2.

karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri.

Apa syarat tersebut dapat diperluas?

Jawab:

Ambil sebarang titik P1, P2 V dengan P1=(x1,y1) dan P2=(x2,y2)

T(P1) = P1’ = (x1 + a, y1 +b)

T(P2) = P2’ = (x2 + a, y2 + b)

2

12

2

1221P yyxxP

2

12

2

1221

2

12

2

1221

2

12

2

1221

2

12

2

1221

''P

)''P

)()()()(''P

''''''P

yyxxP

bybyaxaxP

bybyaxaxP

yyxxP

Diperoleh P1‘P2’ = P1P2.

Karena P1‘P2’ = P1P2, maka T suatu isometri.

Jadi sifat tersebut dapat diperluas secara umum.

11. Sebuah transformasi T didefinisikan untuk semua titik P(x,y) sebagai T(P)=(2x, y-

1), Selidiki apakah T suatu isometri?

Bukti:

Pikirkan sebarang titik P,Q V dengan P=(Xp,Yp) dan Q=(Xq,Yq)

Menurut definisi 22

pqpq yyxxPQ

222

pqpq yyxxPQ

Menurut definisi 1,2)( pp yxPT dan 1,2)( qq yxQT

22)1()1(22)()( pqpq yyxxQTPT

224 pqpq yyxx

22 )()( QTPT 224 pqpq yyxx

Jelas )()( QTPT ≠ PQ

Jadi transformasi T tidak mengawetkan jarak

Jadi T bukan isometri.

15. Diketahui sebuah garis g. T sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap titik P pada

bidang V sebagai berikut:

Jika Pg maka T(P) = P

Jika P g maka T(P) = P’ sehingga P’ adalah titik tengah ruas garis orthogonal dari P

ke g.

a. Apakah T suatu transformasi?

b. Apakah T suatu isometri?

c. Apabila ada dua titik A dan B sehingga A’B’ = AB dengan A’ = T(A), B’= T(B),

apakah dapat anda katakan tentang A dan B’?:

Jawab:

a. Ditunjukkan T suatu transformasi

Ditunjukkan T surjektif

Pikirkan sebarang titik P’V

Jika P’ g jelas PVg T(P)=P’

Oleh karena V bidang euclide maka ada P tunggal dengan P’ px dengan P’

adalah titik tengah px dan P’ adalah satu-satuny titik tengah px

Jadi P’V memiliki prapeta

Jadi T surjektif

Ditunjukkan T injektif

Pikirkan sebarang titik P,QV dengan P≠Q

)()()(,')(,

)()(')(,)(,

QTPTQQTQPPTgQgP

QTPTPQQTPPTgQgP

Pg, Qg. jelas ruas garis orthogonal p ke g tidak sama dengan ruas garis

orthogonal Q ke g.

Ditunjukkan P ≠Q=> T(P)≠T(Q)

Andaikan T(P)=T(Q)

Maka T(P) adalah titik tengah ruas garis orthogonal Q ke g dan P ke g dan T(Q)

adalah titik tengah ruas garis orthogonal P ke g dan Q ke g

Titik tengah adalah tunggal untuk masing-masing ruas garis.

Ruas garis orthogonal P ke g berpotngan dengan ruas garis orthogonal Q ke g.

Ruas garis orthogonal hanya dapat ditarik sebuah garis dari suatu titik .

Jadi P = Q

Kontradiksi dengan P≠Q

Haruslah P≠Q => T(P) ≠T(Q)

Jadi T injektif

Dapat disimpulkan T suatu transformasi

Ditunjukkan T suatu isometri

Pilih Pg dan Q g

Jelas T(P)=P dan T(Q)=Q’≠P

Jelas T(Q)=Q’ dengan Q’ adalah titik tengah

ruas garis orthogonal dari Q ke Q’

Jelas PQ≠P’Q’=PQ’

Jadi T bukan Isometri

b. T isometri jika

i) Ag, Bg

ii) A g ,B g

Jadi AB = A’B’ jika

i) Ag, Bg

ii) A g ,B g

16. Andaikan h = 3xy , yx , Apabila A = (4,3)

Ditanya: tentukan koordinat – koordinat A’ =Mh(A).

Jawab: persamaan garis yang tegak lurus h dan melalui titik A,

dengan m = 3

1 .

P≠Q

P

y = mx + n

3 = 3

1 .4 + n

3 = 3

4 + n

n = 3

13

19. Pada V ada system sumbu orthogonal X O Y.

Ada g = 1yx, yx .

a. Jika A = (1,2), maka Mg(A) = . . .

b. Jika B = (-2,4), tentukan C sehingga Mg(C) = B

c. Jika P = (P1,P2), tentukan Mg(P)!

Jawab:

a. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1

Maka persamaan garis yang melalui A(1,2) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah

1

21

)1(12

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

Mencari perpotongan x + y = 1 dengan y = x + 1 dengan mensubstitusikannya.

y = y

1 – x = x + 1

2x = 0

x = 0

substitusikan x = 0 ke persamaan y = x + 1

diperoleh y = 1.

Jadi titik tengah 'AA (0,1).

Jelas (0,1) titik tengah 'AA , maka

2

2,

2

1

2,

21,0 ''' AAAAAA yxyyxx

)2,1(2,0 '' AA yx

0,1, '' AA yx

Jadi A’ = (-1,0)

b. Dicari gradien garis x + y = 1, yaitu m = - 1

Maka persamaan garis yang melalui B(-2,4) dan tegak lurus g dengan m = 1 adalah

6

42

)2(14

)( 11

xy

xy

xy

xxmyy

Mencari perpotongan y = 1 - x dengan y = x +6 dengan cara substitusi.

y = y

1 – x = x + 6

2x = 1 - 5

x = -2

substitusikan x = -2 ke persamaan y = 1 - x

diperoleh y = 3.

Jadi titik tengah BC (-2,3).

Jelas (-2,3) titik tengah BC , maka

2

4,

2

2

2,

23,2 CCCBCB yxyyxx

)4,2(6,4 CC yx

2,2, CC yx

Jadi A’ = (-2,2)

b. Persamaan garis yang melalui P(P1,P2) dan tegak lurus g adalah

21

21 )(

PPxy

PxmPy

Misal Q = (Q1,Q2) adalah titik tengah 'PP .

Jelas Q = (Q1,Q2) =

2,

2

'22'11 PPPP

2211'2'1

'22'1121

2,2,

),(2,2

QPQPPP

PPPPQQ

Jadi apabila P (P1,P2) maka Mg(P) = P’ = 2211 2,2 QPQP