27 edicion para el docente

7/25/2019 27 Edicion Para El Docente

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Matemáticas 7

AUTORA

Anneris del Rocío Joya Vega

Edición para el docente



Lenguaje 9Matemáticas 7

EQUIPO EDITORIAL

Diana Constanza Salgado Ramírez. Editora ejecutivaCarlos David Sánchez. Editor júnior

Edgar Alexander Olarte Chaparro. Editor júnior

Daniel Rojas Ruiz. Editor TIC

Juan Gabriel Aldana Álvarez. Asistente editorial

Óscar Fernando Cruz, Isabel Hernández Ayala.Revisores de contenidos

AUTORA EDICIÓN DOCENTE

Anneris del Rocío Joya VegaEspecialista en matemáticas Aplicada. Universidad Sergio

Arboleda. Magíster en Docencia de la Matemática. Universidad

Pedagógica Nacional.

AUTORES LIBRO DEL ESTUDIANTELudwig Gustavo Ortiz Wilches

Especialista en docencia e investigación. Universidad Sergio Arboleda.

Licenciado en Matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional.

Marysol Ramírez RincónLicenciada en Matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional.

Especialista en Matemática Aplicada. Universidad Sergio Arboleda.

Anneris del Rocío Joya VegaEspecialista en matemáticas Aplicada. Universidad Sergio Arboleda.

Magíster en Docencia de la Matemática. Universidad Pedagógica

Nacional.

EQUIPO GRÁFICO Y TÉCNICO

Iván Merchán Rodríguez. Coordinador de arte creativo y diseñador del modelo gráfico

Pep Carrió. Creador gráfico de las carátulas

Mauricio García Duque. Coordinador de contenidos digitales

Martha Jeanet Pulido Delgado, Orlando Bermúdez. Correctores de estilo

Alveiro Javier Bueno Aguirre. Analista de soporte técnico

Luis Nelson Colmenares Barragán. Documentalista y operador de escáner

Lady Midlennis Sánchez Yopazá, Claudia Marcela Jaime. Asistentes de documentación

Sandra Patricia Acosta Tovar, Juan Carlos López Gómez. Diseñadores

Teresa Alcira Vanegas Chaves. Digitadora

Diomedes Guilombo Ramírez, Edwin Hernando Cruz Delgado, Danilo Ramírez Parra, Juan Wiesner. Ilustradores

Repositorio Santillana, Editora Moderna Ltda., Archivo Santillana, Getty images, Corel professional Photos,Images provided by Photodisc, Inc., Corbis Images, Archivo Santillana. Fotografía

Francisco Rey González. Jefe de producción

para educación básica secundaria, es una obra colectiva concebida, diseñada y creada porel Departamento Editorial de Santillana S. A., bajo la dirección de Fabiola Nancy Ramírez Sarmiento.

Edición para el docente

Valeria Celi RojasLicenciada en Matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional. Magíster

en matemáticas. Universidad Nacional de Colombia.

Martha Lucía AcostaLicenciada en Matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional.

Especialista en computación para la docencia. Universidad Antonio

Nariño. Magíster en docencia de la Matemática. Universidad

Pedagógica Nacional.

Andrea Constanza Perdomo PedrazaMagíster en edición. Universidad de Salamanca, España. Licenciada

en Matemáticas. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.

Dorys Jeannette Morales JaimeDoctora en Ingeniería Informática. Universidad Pontificia de Salamanca.

Especialista en Enseñanza de la Matemática. Universidad

de Cundinamarca.

Jeinsson Giovanni Gamboa SulvaraLicenciado en Física. Universidad Distrital Francisco José de Caldas.

© 2013 E DITORIAL SANTILLANA S. A.Carrera 11A No. 98-50Bogotá, ColombiaISBN 978-958-24-2267-7 Obra completaISBN 978-958-24-2327-8 Edición para el alumnoISBN 978-958-24-2328-5 Edición para el docente

Este libro está elaborado de acuerdo con las normas ICONTEC NTC-4724 y NTC-4725para textos escolares.Depósito legal en trámite.Impreso en Colombia porProhibida la reproducción total o parcial, el registro o la transmisión por cualquier medio

de recuperación de información, sin permiso previo por escrito de la Editorial.

Debido a la naturaleza dinámica de la Internet, las direcciones y los contenidos de los sitios web, a los que se hace referencia en estelibro, pueden sufrir modificaciones o desaparecer. El uso de Internet debe ser supervisado por los padres de familia, tutores y docentes.

La especialista encargada de avalar este texto desde el punto de vista de la

disciplina específica y desde su pedagogía fue Lucía Victoria Cabrera Díaz. Licenciada en Matemáticas. Pontificia Universidad Javeriana. Magíster

en Economía. Universidad de Los Andes.

La especialista encargada de avalar este texto desde la equidad de género

y de su adecuación a la diversidad cultural fue María Ivonne WilchesMahecha. Psicóloga. Universidad Nacional de Colombia. Magíster en

estudios de género. Universidad Nacional de Colombia.

Se han hecho todos los esfuerzos para ubicar a los propietarios de los derechos de autor. Sin embargo, si es necesario hacer alguna

rectificación, la Editorial está dispuesta a hacer los arreglos necesarios.



3

Competencias generales parael grado séptimoInterpretativa

1. Reconocer los diferentes métodos usados para solucionar situaciones algorítmi-

cas.2. Comprender los conceptos estudiados en cada conjunto numérico y relacionarlos

con situaciones reales.

3. Determinar si las soluciones que resultan al resolver algoritmos y problemas tienensentido en los contextos cotidianos que han sido planteados.

Argumentativa

4. Justificar, utilizando modelos matemáticos, las soluciones planteadas a diferentesproblemas.

5. Escribir en forma coherente, clara y concreta las conclusiones de un hecho real enel cual se han usado algoritmos y conceptos matemáticos.

Propositiva6. Utilizar los conceptos matemáticos para plantear y resolver problemas en contex-

tos cotidianos.

7. Inventar situaciones en las cuales tiene sentido proponer y solucionar conceptosmatemáticos.

8. Aplicar los conceptos, algoritmos y representaciones aprendidas.



4

Pensamiento numérico y sistemas numéricos Resuelvo y formulo problemas en contextos de medidas relativas y de variaciones en las

medidas.

Utilizo números racionales en sus distintas expresiones (fracciones, razones, decimales oporcentajes) para resolver problemas en contextos de medida.

Justifico la extensión de la representación polinomial decimal usual de los números natu-rales a la representación decimal usual de los números racionales, utilizando las propieda-des del sistema de numeración decimal.

Reconozco y generalizo propiedades de las relaciones entre números racionales (simé-trica, transitiva, etc.) y de las operaciones entre ellos (conmutativa, asociativa, etc.) endiferentes contextos.

Resuelvo y formulo problemas utilizando propiedades básicas de la teoría de números,como las de la igualdad, las de las distintas formas de la desigualdad y las de la adición,sustracción, multiplicación, división y potenciación.

Justifico procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las opera-ciones.

Formulo y resuelvo problemas en situaciones aditivas y multiplicativas, en diferentes con-textos y dominios numéricos.

Resuelvo y formulo problemas cuya solución requiere de la potenciación o radicación.

Justifico el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionali-

dad directa e inversa. Justifico la pertinencia de un cálculo exacto o aproximado en la solución de un problema

y lo razonable o no de las respuestas obtenidas.

Establezco conjeturas sobre propiedades y relaciones de los números, utilizando calcula-doras o computadores.

Justifico la elección de métodos e instrumentos de cálculo en la resolución de problemas.

Reconozco argumentos combinatorios como herramienta para interpretación de situa-ciones diversas de conteo.

Pensamiento espacial y sistemas geométricos Represento objetos tridimensionales desde diferentes posiciones y vistas.

Identifico y describo figuras y cuerpos generados por cortes rectos y transversales deobjetos tridimensionales.

Clasifico polígonos en relación con sus propiedades.

Predigo y comparo los resultados de aplicar transformaciones rígidas (traslaciones, rota-ciones, reflexiones) y homotecias (ampliaciones y reducciones) sobre figuras bidimensio-nales en situaciones matemáticas y en el arte.

Resuelvo y formulo problemas que involucren relaciones y propiedades de semejanza ycongruencia usando representaciones visuales.

Estándares básicos de competenciasen MatemáticasSexto a séptimo Al terminar séptimo grado…

Estándares básicos de competenciasen Matemáticas



5

Resuelvo y formulo problemas usando modelos geométricos.

Identifico características de localización de objetos en sistemas de representación carte-siana y geográfica.

Pensamiento métrico y sistemas de medidas Utilizo técnicas y herramientas para la construcción de figuras planas y cuerpos con me-

didas dadas.

Resuelvo y formulo problemas que involucren factores escalares (diseño de maquetas,mapas).

Calculo áreas y volúmenes por medio de composición y descomposición de figuras ycuerpos.

Identifico relaciones entre distintas unidades utilizadas para medir cantidades de la mis-ma magnitud.

Resuelvo y formulo problemas que requieren técnicas de estimación.

Pensamiento aleatorio y sistemas de datos

Comparo e interpreto datos provenientes de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión,experimentos, consultas, entrevistas).

Reconozco la relación entre un conjunto de datos y su representación.

Interpreto, produzco y comparo representaciones gráficas adecuadas para presentardiversos tipos de datos (diagramas de barras, diagramas circulares).

Uso medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para interpretar el comporta-miento de un conjunto de datos.

Uso modelos (diagramas de árbol, por ejemplo) para discutir y predecir la posibilidad deocurrencia de un evento.

Conjeturo acerca del resultado de un experimento aleatorio usando proporcionalidad ynociones básicas de probabilidad.

Resuelvo y formulo problemas a partir de un conjunto de datos presentados en tablas,diagramas de barras, diagramas circulares.

Predigo y justifico razonamientos y conclusiones usando información estadística.

Pensamiento variacional y sistemas algebraicos y analíticos Describo e interpreto situaciones de variación relacionando diferentes representaciones

(diagramas, expresiones verbales generalizadas y tablas).

Reconozco el conjunto de valores de cada una de las cantidades variables ligadas entre síen situaciones concretas de cambio (variación).

Analizo las propiedades de correlación positiva y negativa entre variables, de variación

lineal o de proporcionalidad directa y de proporcionalidad inversa en contextos aritméti-cos y geométricos.

Utilizo métodos informales (ensayo y error, complementación) en la solución de ecuacio-nes.

Identifico las características de las diversas gráficas cartesianas (de puntos, continuas,formadas por segmentos, etc.) en relación con la situación que representan.



6

Desempeño superior Desempeño alto

P e n s a m i e n t o n u m é r i c o

Formula, plantea y resuelve problemas en situaciones aditivasy multiplicativas en diferentes contextos y dominios numéricos(naturales, enteros y racionales).

Realiza correctamente la representación decimal de los númerosracionales utilizando las propiedades del sistema de numeracióndecimal.

Comprende y aplica las propiedades de las operaciones entrenúmeros racionales (conmutativa, asociativa, etc.) en diferentescontextos.

Justifica procedimientos aritméticos utilizando las relaciones ypropiedades de las operaciones de los números racionales.

Formula, plantea y resuelve problemas cuya solución requiere dela potenciación o radicación.

Establece conjeturas sobre las propiedades y relaciones de losnúmeros utilizando calculadoras o computadores.

Plantea y resuelve problemas en situaciones aditivas y multiplicati-vas en diferentes contextos y dominios numéricos (naturales, ente-ros y racionales).

Realiza la representación decimal de los números racionales. Comprende las propiedades de las operaciones entre números ra-cionales (conmutativa, asociativa, etc.) en diferentes contextos.

Justifica algunos procedimientos aritméticos mediante las relacio-nes y propiedades de las operaciones de los números racionales.

Plantea y resuelve problemas cuya solución requiere de la potencia-ción o la radicación.

Establece algunas conjeturas sobre propiedades y relaciones de losnúmeros utilizando calculadoras o computadores.

P e n s a m i e n t o

e s p a c i a l

Identifica, describe y representa figuras y cuerpos geométricos.

Clasifica, describe y construye polígonos en relación con sus pro-piedades.

Formula, plantea y resuelve problemas en contexto usando mo-delos geométricos.

Localiza puntos y objetos en el plano cartesiano.

Identifica y describe figuras y cuerpos geométricos.

Clasifica y describe polígonos en relación con sus propiedades.

Plantea y resuelve problemas en contexto usando modelos geomé-tricos.

Localiza puntos y algunos objetos en el plano cartesiano.


m é t r i c o

Construye figuras planas y cuerpos geométricos con medidas da-das.

Calcula áreas (de las bases, total y lateral) y volúmenes, y los aplicaen la solución de problemas.

Identifica relaciones entre distintas unidades utilizadas para me-dir cantidades de la misma magnitud.

Construye algunas figuras planas y cuerpos geométricos con medi-das dadas.

Calcula áreas y volúmenes y los aplica en la solución de algunosproblemas.

Conoce relaciones entre distintas unidades utilizadas para medircantidades de la misma magnitud.

P e n s a m i e n t o v a r i a c i o n a l

Reconoce, describe e interpreta situaciones de variación median-te diferentes tipos de representaciones (diagramas, expresionesverbales generalizadas y tablas).

Analiza las propiedades de correlación entre variables en situa-ciones de variación lineal o de proporcionalidad directa y de pro-porcionalidad inversa en contextos aritméticos y geométricos.

Utiliza métodos de solución de ecuaciones y los aplica en la solu-ción de problemas.

Identifica las características de las diversas gráficas cartesianas(de puntos, continuas, formadas por segmentos, etc.) en relación

con la situación que representan.

Reconoce y describe situaciones de variación mediante diferentestipos de representaciones (diagramas, expresiones verbales gene-ralizadas y tablas).

Conoce las propiedades de correlación entre variables en situacio-nes de variación lineal o de proporcionalidad directa y de propor-cionalidad inversa en contextos aritméticos y geométricos.

Utiliza métodos de solución de ecuaciones y en ocasiones los aplicacorrectamente en la solución de problemas.

Conoce las características de las diversas gráficas cartesianas (depuntos, continuas, formadas por segmentos, etc.) en relación con

la situación que representan.


a l e a t o r i o

Interpreta, construye, analiza y compara representaciones gráfi-cas para presentar diversos tipos de datos (diagramas de barras,diagramas circulares).

Usa las medidas de tendencia central (media, mediana, moda)para interpretar el comportamiento de un conjunto de datos.

Usa algunas técnicas de conteo para determinar la posibilidad deocurrencia de un evento.

Realiza conjeturas acerca del resultado de un experimento alea-torio usando proporcionalidad y nociones básicas de probabili-dad.

Interpreta, construye y analiza representaciones gráficas para pre-sentar diversos tipos de datos (diagramas de barras, diagramas cir-culares).

Usa las medidas de tendencia central (media, mediana, moda) parainterpretar el comportamiento de algunos conjuntos de datos.

Conoce técnicas de conteo para determinar la posibilidad de ocu-rrencia de un evento.

Realiza algunas conjeturas acerca del resultado de un experimentoaleatorio usando proporcionalidad y nociones básicas de probabili-dad.

Escala de valoraciónEstándar



7

Desempeño básico Desempeño bajo

Resuelve problemas en situaciones aditivas y multiplicativas endiferentes contextos y dominios numéricos (naturales, enteros yracionales).

Realiza la representación decimal de algunos números racionales. Comprende las propiedades de las operaciones entre números ra-cionales (conmutativa, asociativa, etc.).

Identifica algunos procedimientos aritméticos mediante las relacio-nes y propiedades de las operaciones de los números racionales.

Resuelve problemas cuya solución requiere de la potenciación o laradicación.

Identifica algunas conjeturas sobre propiedades y relaciones de losnúmeros utilizando calculadoras o computadores.

Resuelve algunos problemas en situaciones aditivas y multiplicativas,y en algunos contextos y dominios numéricos (naturales, enteros oracionales).

Presenta dificultades para representar números racionales. Tiene dificultades para comprender las propiedades de las operacio-nes entre números racionales (conmutativa, asociativa, etc.).

Se le dificulta justificar procedimientos aritméticos mediante las rela-ciones o propiedades de las operaciones de los números racionales.

Presenta dificultades para resolver problemas cuya solución requierede la potenciación o la radicación.

Se le dificulta establecer conjeturas sobre propiedades y relaciones delos números utilizando calculadoras o computadores.

Describe figuras y cuerpos geométricos.

Clasifica polígonos con relación a sus propiedades.

Resuelve problemas en contexto usando modelos geométricos.

Localiza puntos en el plano cartesiano.

Describe algunas figuras y algunos cuerpos geométricos.

Clasifica polígonos.

Presenta dificultades para resolver problemas en contexto usandomodelos geométricos.

Localiza algunos puntos en el plano cartesiano.

Construye algunas figuras planas con medidas dadas.

Calcula áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.

Conoce algunas relaciones entre distintas unidades utilizadas paramedir cantidades de la misma magnitud.

Se le dificulta construir figuras planas con medidas indicadas.

Calcula algunas áreas y volúmenes de cuerpos geométricos.

Presenta dificultades para establecer relaciones entre distintas unida-des utilizadas para medir cantidades de la misma magnitud.

Reconoce situaciones de variación mediante algunos tipos de re-presentaciones (diagramas, expresiones verbales generalizadas ytablas).

Conoce algunas de las propiedades de correlación entre variables,en situaciones de variación lineal o de proporcionalidad directa.

Resuelve algunas ecuaciones y las aplica en la solución de algunosproblemas.

Conoce las características de las diversas gráficas cartesianas (depuntos, continuas, formadas por segmentos, etc.) en relación con lasituación que representan.

Reconoce algunas situaciones de variación mediante representacio-nes como diagramas y tablas.

Identifica las propiedades de correlación entre variables en situacio-nes de variación lineal o de proporcionalidad directa.

Resuelve ecuaciones aunque presenta dificultades para aplicarlas enla solución de problemas.

Describe algunas gráficas cartesianas (de puntos, continuas, formadaspor segmentos, etc.).

Interpreta y construye representaciones gráficas para presentar di-versos tipos de datos (diagramas de barras, diagramas circulares).

Calcula las medidas de tendencia central (media, mediana, moda).

Conoce algunas técnicas de conteo para determinar la posibilidadde ocurrencia de un evento.

Calcula la probabilidad de algunos eventos en experimentos alea-torios usando proporcionalidad y nociones básicas de probabili-dad.

Construye representaciones gráficas para presentar diversos tipos dedatos (diagramas de barras, diagramas circulares).

Presenta dificultades para calcular las medidas de tendencia central(media, mediana, moda).

Se le dificulta utilizar técnicas de conteo para determinar la posibili-dad de ocurrencia de un evento.

Presenta dificultades para calcular la probabilidad de algunos eventosen experimentos aleatorios usando proporcionalidad y nociones bási-cas de probabilidad.



8

PLAN DE TRABAJO POR BIMESTRES

Bimestre Pensamiento numérico y pensamiento variacional Tiempo estimado en semanas

Primero

Unidad 1. Números enteros

1. El conjunto de los números enteros2. Operaciones entre números enteros

3. Polinomios aritméticos con números enteros

4. Ecuaciones con números enteros

Segundo

Unidad 2. Números racionales

1. El conjunto de números racionales

2. Operaciones entre números racionales

3. Polinomios aritméticos con números racionales

4. Ecuaciones con números racionales

5. Planteamiento y solución de problemas

Tercero

Unidad 3. Proporcionalidad

1. Razones y proporciones

2. Proporcionalidad directa

3. Proporcionalidad inversa

4. Aplicaciones de la proporcionalidad

Cuarto

Unidad 4. Introducción al álgebra

1. Expresiones algebraicas2. Operaciones entre expresiones algebraicas

1 2 3 4

1 2 3 4

5 6 7 8

1 2 3 4

5 6 7 8

1 2 3 4



9

Pensamiento espacialy pensamiento métrico

Tiempo estimadoen semanas

Pensamiento aleatorioTiempo estimado

por semanas

Unidad 5. Figuras planas

1. Polígonos2. Circunferencia y círculo

Unidad 7. Estadística

y probabilidad1. Conceptos iniciales

Unidad 5. Figuras planas

3. Longitud4. Área


y probabilidad

2. Caracterización devariables cuantitativas

Unidad 6. Cuerpos

geométricos

1. Volumen2. Poliedros


y probabilidad

3. Teoría de la probabilidad

Unidad 6. Cuerpos

geométricos3. Cuerpos redondos4. Capacidad


y probabilidad4. Caracterización de datos

y probabilidad

5 6 7 8

5 6 7 8

5 6 7 8

1 2 3 4

5 6 7 8

5 6 7 8

5 6 7 8

5 6 7 85 6 7 8



10

Matriz de desempeño

ESTÁNDARES: PENSAMIENTOS NUMÉRICO Y VARIACIONAL

Números enterosPlan de trabajo El conjunto de los números enteros Operaciones entre números enteros Polinomios aritméticos con números enteros Ecuaciones con números enteros

1

S a b e r y

s a b e

r h a c e r

Logro Indicador de desempeño

Identifica claramente las característicasdel conjunto de los números enteros.

Reconoce el signo de un número entero. Encuentra el opuesto de un número entero.

Establece las relaciones entre númerosenteros de manera precisa.

Escribe los símbolos ., , o 5 entre dos números enteros. Ordena un conjunto de números enteros. Ubica números enteros en la recta numérica y puntos en el plano

cartesiano.

Efectúa con precisión operaciones bási-cas con números enteros aplicando las

propiedades correspondientes.

Resuelve operaciones aditivas y multiplicativas entre números ente-ros.

Identifica y realiza las operaciones de potenciación y radicación connúmeros enteros.

Identifica y aplica las propiedades de las operaciones y las relacionesentre números enteros.

Resuelve correctamente polinomios connúmeros enteros.

Reconoce el orden en las operaciones. Suprime correctamente los signos de agrupación. Soluciona polinomios con operaciones aditivas y multiplicativas.

Resuelve de forma acertada, situacionesproblemáticas con números enteros.

Comprende los pasos del proceso de resolución de problemas. Identifica información adicional necesaria para resolver problemas. Resuelve problemas mediante la aplicación de relaciones y opera-

ciones básicas entre números enteros y sus propiedades. Aplica habilidades de pensamiento propias de las matemáticas para

resolver juegos, acertijos y situaciones lúdicas.

S a b e r s e r Cumple, adecuadamente, las reglas esta-

blecidas para el trabajo en clase. Escucha atentamente las explicaciones dadas en clase. Pide la palabra para participar en clase. Escucha y respeta las ideas de los compañeros. Realiza las actividades propuestas en orden y con calidad.



1 1



Números racionalesPlan de trabajo

El conjunto de números racionales Operaciones enQ Polinomios aritméticos con números racionales Ecuaciones con números racionales Planteamiento y solución de problemas2

S a b e r y

s a b e r h a c e r


Reconoce claramente las característicasde los números racionales.

Explica cómo se compone el conjunto de los números racionales. Reconoce y utiliza la representación fraccionaria de un número ra-

cional. Reconoce y utiliza la representación decimal de un número racional. Determina cuál debe ser la ubicación de un número racional en la

recta numérica y la ubicación de puntos en el plano cartesiano.

Identifica y establece, de manera ade-cuada, relaciones entre los números ra-cionales.

Establece relaciones de orden entre fracciones. Establece relaciones de orden entre decimales. Ordena un conjunto de números racionales en cualquiera de sus

representaciones.

Reconoce, correctamente, los númerosdecimales como números racionales.

Realiza conversiones de fracción a decimal. Realiza conversiones de decimal a fracción.

Plantea y resuelve, con precisión, opera-ciones aditivas y multiplicativas con nú-meros racionales.

Plantea y resuelve situaciones aditivas y multiplicativas con núme-ros fraccionarios.

Plantea y resuelve situaciones aditivas y multiplicativas con núme-ros decimales.

Identifica y aplica las propiedades de las

operaciones entre números racionales.

Reconoce el módulo, el inverso y el opuesto de un número racional.

Utiliza la propiedad asociativa para resolver operaciones con núme-ros racionales. Utiliza las propiedades de la potenciación y la radicación de núme-

ros racionales.

Reconoce y aplica el orden en las ope-raciones en la simplificación de polino-mios con números racionales.

Resuelve polinomios con operaciones aditivas. Resuelve polinomios con operaciones aditivas y multiplicativas. Simplifica, hasta su mínima expresión, operaciones con números

racionales.



12



S a b e r y

s a b e r h a c e r Resuelve problemas mediante la

aplicación de relaciones y operacio-nes básicas entre números raciona-les y de sus propiedades.

Aplica la estrategia “hacer un dibujo” para resolver problemas.

Aplica la estrategia “extraer datos de una tabla, texto o diagrama” pararesolver problemas.

Aplica habilidades de pensamiento propias de las matemáticas pararesolver juegos, acertijos y situaciones lúdicas.

S a b e r s e r Realiza las actividades de clase en

forma organizada y con calidad. Resuelve los ejercicios y actividades de manera ordenada. Revisa los procedimientos y corrige cuando es necesario. Presenta sus trabajos y talleres con pulcritud.



13


S a b e r y

s a b e r h a c e r


Identifica razones y proporciones. Identifica y explica qué es una razón aritmética. Identifica y explica qué es una proporción. Aplica las propiedades de las proporciones.

Identifica y discrimina magnitudes direc-tamente proporcionales e inversamenteproporcionales.

Identifica la gráfica de un par de magnitudes directamente propor-cionales.

Identifica la gráfica de un par de magnitudes inversamente propor-cionales.

Determina si dos magnitudes son directamente proporcionales. Determina si dos magnitudes son inversamente proporcionales.

Comprende y aplica el proceso de reglade tres. Aplica la propiedad fundamental de las proporciones en la soluciónde problemas. Explica qué son proporcionalidad simple y compuesta, y establece

relaciones entre ellas. Plantea una regla de tres simple a partir de una situación problemá-

tica dada. Plantea una regla de tres compuesta a partir de una situación pro-

blemática dada.

Aplica los conceptos de proporcionali-dad en la solución de problemas.

Realiza repartos directa e inversamente proporcionales. Resuelve problemas de porcentaje. Resuelve problemas con el concepto de interés.

Identifica problemas que se resuelven mediante proporcionalidad.

S a b e r s e r Escucha y comparte sus ideas con el gru-

po como un medio de crecimiento per-sonal.

Escucha respetuosamente las ideas de sus compañeros. Participa activamente en clase respetando su turno. Llega a acuerdos con sus compañeros. Facilita el trabajo en grupo.


ProporcionalidadPlan de trabajo

Razones y proporciones Proporcionalidad directa Proporcionalidad inversa Aplicaciones de la proporcionalidad

3



14


S a

b e r y

s a b e r h a c e r


Reconoce las características de las expre-siones algebraicas.

Comprende el concepto de expresión algebraica. Reconoce los elementos de una expresión algebraica. Clasifica expresiones algebraicas de acuerdo con el número de tér-

minos. Determina cuándo dos términos son o no son semejantes. Escribe enunciados del lenguaje común mediante expresiones al-

gebraicas.

Realiza operaciones aditivas entre expre-siones algebraicas.

Reduce términos semejantes en una expresión. Resuelve la suma de monomios semejantes. Realiza la resta de monomios semejantes.

Halla la suma y resta de binomios. Aplica las operaciones aditivas entre expresiones algebraicas para

resolver situaciones.

Realiza la multiplicación entre expresio-nes algebraicas.

Halla el producto de dos o más monomios. Halla la multiplicación de expresiones algebraicas. Aplica la multiplicación de expresiones algebraicas en la solución de

situaciones problema.

S a b e r s e r Cumple de manera responsable con las

tareas asignadas y prepara adecuada-

mente las evaluaciones.

Entrega las tareas propuestas a tiempo. Realiza sus trabajos con los procedimientos correctos y con calidad.

Estudia previamente en casa para preparar sus evaluaciones. Realiza preguntas con antelación para despejar sus dudas.

Introducción al álgebraPlan de trabajo Expresiones algebraicas Operaciones entre expresiones algebraicas


4



15

ESTÁNDARES: PENSAMIENTOS ESPACIAL Y MÉTRICO

S a b e r y

s a b e r

h a c e r


Reconoce claramente las característi-cas generales de los polígonos.

Identifica y nombra lados, ángulos y vértices en un polígono. Identifica y traza diagonales en un polígono. Calcula el número de diagonales de un polígono mediante la fórmula. Determina la medida de los ángulos internos de un polígono. Determina la suma de los ángulos exteriores representados en un po-

lígono.

Determina la clasificación de un polí-gono a partir de sus elementos y suspropiedades.

Clasifica polígonos según su forma. Clasifica polígonos según su número de lados. Clasifica polígonos según la medida de sus lados y de sus ángulos

interiores.

Identifica y clasifica triángulos. Identifica las características, las clases, las relaciones y las propiedadesde los triángulos.

Calcula la medida del ángulo que se desconoce en un triángulo. Identifica y clasifica cuadriláteros. Identifica y clasifica las clases, las relaciones y las propiedades de los

cuadriláteros. Construye y clasifica cuadriláteros. Construye polígonos regulares con regla y compás.

Comprende con claridad los conceptosde círculo y circunferencia.

Define el concepto de circunferencia y lo diferencia con el conceptode círculo.

Identifica los elementos de la circunferencia. Establece relaciones entre una recta y una circunferencia. Construye una circunferencia que pasa por dos puntos dados. Realiza construcciones que tienen circunferencias y círculos o parte

de ellos.


Figuras planasPlan de trabajo

Polígonos Circunferencia y círculo Longitud Área

5



16


S a b e r y

s a b e r h a c e

r


Reconoce las unidades básicas de longi-

tud y superficie.

Determina la unidad de medida adecuada que se debe utilizar en

una situación concreta. Reconoce y utiliza los múltiplos y los submúltiplos de la unidad de

medida dada en el Sistema Métrico Decimal. Realiza conversiones entre unidades de longitud. Realiza conversiones entre unidades de área. Utiliza medidas del sistema inglés de medida. Realiza conversiones entre las unidades del sistema inglés y el Siste-

ma Métrico Decimal. Resuelve situaciones problema que involucran medidas de longitud

y medidas de área en los dos sistemas de medida.

S a b e r s e

r

Usa estrategias de estudio para afianzarsus conocimientos. Realiza ejercicios adicionales en casa para mejorar su fluidez y exac-titud en el cálculo. Resuelve problemas y hace resúmenes para repasar los temas vistos. Realiza esquemas para estudiar los conceptos vistos.



17


S a b e r y

s a b e r h a c e r


Reconoce, con precisión, las unidadesbásicas de volumen.

Comprende el concepto de volumen de un cuerpo. Reconoce y utiliza los múltiplos y los submúltiplos del m3 para medir

el volumen en el Sistema Métrico Decimal. Realiza conversiones entre unidades de volumen.

Identifica, correctamente, las caracterís-ticas de un poliedro.

Reconoce poliedros y los diferentes elementos que posee. Nombra correctamente los elementos de un poliedro. Establece diferencias entre los poliedros según sus características. Construye poliedros a partir de su desarrollo.

Determina, de manera adecuada, el área

lateral, el área total y el volumen de po-liedros.

Calcula el área total y el volumen de un paralelepípedo.

Calcula las áreas lateral, de la base, total y el volumen de un prisma. Calcula las áreas lateral, de la base, total y el volumen de una pirámide. Resuelve problemas relacionados con las áreas y el volumen de polie-

dros.

Comprende, con claridad, el conceptode poliedro regular.

Examina la forma y clasificación de los polígonos que forman un po-liedro para, a su vez, clasificarlo.

Reconoce las diferencias entre los poliedros regulares y los poliedrosirregulares.

Reconoce las características de los poliedros regulares más conocidos.

Identifica, correctamente, las caracterís-ticas de un cuerpo redondo. Define qué es un cuerpo redondo. Clasifica los cuerpos redondos según sus características.

Realiza, de manera adecuada, el estudiode los cilindros.

Conoce y ubica correctamente los elementos de un cilindro. Calcula el área lateral y el área total de un cilindro. Calcula el volumen de un cilindro. Resuelve problemas que involucran la medida de la superficie y el vo-

lumen de un cilindro.


6

Cuerpos geométricosPlan de trabajo

Volumen Poliedros Cuerpos redondos Capacidad



18


S a b e r y

s a b e r h a c e r


Realiza, correctamente, el estudio de los

conos.

Conoce y ubica correctamente los elementos de un cono.

Calcula el área lateral y el área total de un cono. Calcula el volumen de un cono. Resuelve problemas que involucran la medida de la superficie y el

volumen de un cono.

Estudia las esferas con precisión. Conoce y ubica correctamente los elementos de una esfera. Calcula la superficie de una esfera. Calcula el volumen de una esfera. Resuelve problemas que involucran la medida de la superficie y el

volumen de una esfera.

Reconoce, correctamente, las unidadesbásicas de capacidad.

Comprende el concepto de capacidad. Reconoce y utiliza los múltiplos y los submúltiplos del litro para me-

dir la capacidad de un recipiente. Realiza conversiones entre unidades de capacidad.

S a b e r s e r

Utiliza adecuadamente sus elementosde trabajo.

Emplea los elementos para realizar dibujos geométricos. Maneja correctamente el computador para realizar actividades rela-

cionadas con informática.



19

ESTÁNDAR: PENSAMIENTO ALEATORIO

S a b e r y

s a b e r h a c e r


Comprende los conceptos básicos deestadística.

Determina la población y la muestra en una situación planteada. Define correctamente la muestra representativa dentro de una pobla-

ción dada. Comprende los conceptos de fuente de datos, encuesta, período de

referencia de una encuesta, censo, inferencia estadística, estrato, estra-tificación, estadístico o estadígrafo e IPC.

Conoce el proceso correcto para carac-terizar variables cuantitativas discretas.

Caracteriza variables cuantitativas de forma agrupada mediante dia-grama de tallo y hojas, tabla de distribución de frecuencias, histogra-ma, polígono de frecuencias y ojiva.

Construye correctamente las tablas de distribución de frecuencias.

Realiza análisis de las gráficas para caracterizar variables cuantitativasde forma agrupada.

Toma decisiones a partir del análisis de datos. Caracteriza variables cuantitativas de forma no agrupada mediante las

medidas de tendencia central. Calcula correctamente las medidas de tendencia central. Comprende las ventajas y desventajas en el uso de las medidas de

tendencia central.

Desarrolla correctamente la teoría de laprobabilidad.

Comprende el concepto de probabilidad simple. Utiliza la fórmula para hallar la probabilidad de un evento.

Conoce y aplica las propiedades de la probabilidad de un evento. Determina el número de elementos de un experimento aleatorio me-diante el principio de multiplicación.

Utiliza el diagrama de árbol para conocer cuáles son los posibles resul-tados o elementos de un experimento aleatorio.


7

Estadística y probabilidadPlan de trabajo Conceptos iniciales Caracterización de variables cuantitativas Teoría de la probabilidad Caracterización de datos y probabilidad



20

ESTÁNDAR: PENSAMIENTO ALEATORIO


S a b e r

y

s a b e r h a

c e r Utiliza algunos elementos que se

usan en la caracterización de va-riables para aplicarlos en el cálcu-lo de la probabilidad.

Emplea la frecuencia relativa para calcular la probabilidad de un evento.

Realiza tablas marginales para calcular la probabilidad de un evento querelaciona dos variables.

Aplica los conceptos de probabilidad en la solución de situaciones y en latoma de decisiones.

S a b e r s e r Realiza sus actividades demos-

trando tolerancia. Realiza sus procedimientos correctamente. Insiste en la consecución de la resolución de un problema por varios mé-

todos.



2

Organizador conceptualUNIDAD 1

D o s n ú m e r o s e n t e r o s q u e

e s t á n a l a m i s m a d i s t a n c i a d e l

c e r o y t i e n e n d i f e r e n t e s i g n o .

z a z y e s l a d i s t a n c i a q u e e x i s t e

e n t r e a y 0

.

N Ú M E R O S E N T E R O S

2

<

{ 0 } <

1

0

1

2

3

4

5

� 1

� 2

� 3

�

4

� 5

O p u e s t o s

V a l o r a b s o l u t o

D e o

r d e n

a ,

b , s i a e s t á a

l a i z q u i e

r d a d e b .

a .

b , s i a e s t á a

l a d e r e c h a d e b .

D e s i g u a

l d a d e s e

i n e c u a

c i o n e s

I g u a l d a d e s y

e c u a c i o n e s

D e e q u i v a l e n c i a

a 5

b , s i a

y b

e s t á n u b i c a d a s e n

e l m i s m o l u g a r .

R e l a c i o n e s

s e s i m b o l i z a n c o m o

s e f o

r m a n p o r

s u r e p r e s e n t a c i ó n g r á fi c a e s

p r e s e n t a n

q u e s o n

s e l e s

d e t e r m i n a

q u e s e s i m b o l i z a c o m o

e n t r e e l l o s s e e s t a b l e c e n

q u e p u e d e n s e r

c o m o

s e e x p r e s a n m e d i a n t e

c o m o

s e e x p r e s a n

m e d i a n t e



22


O P E R A C I O N E S E

N T R E N Ú M E R O S E N T E R O S

P r o p i e d a d e s


P r o p i e d

a d e s


S i s o n d e l m i s m o s i g n o

s e s u m a n l o s v a l o r e s

a b s o l u t o s y s e p o n e e l

m i s m o s i g n o .

S i s o n d e d i f e r e n t e

s i g n o s e r e s t a n l o s

v a l o r e s a b s o l u t o s y

s e p o n e e l s i g n o d e l

q u e t i e n e m a y o r v a l o r

a b s o l u t o .

E n a ? b 5 c , a

y b s o n f a c t o r e s y

c e s e l p r o d u c t o .

S i a y b s o n d e i g u a l s i g n o , e

l

p r o d u c t o e s p o s i t i v o .

S i a y b s o n d e d i f e r e n

t e s i g n o ,

e l p r o d u c t o e s n e g a t i v o .

S i a , b [

,

e n t o n c e s ,

a 2 b 5 a

1 ( 2

b )

a 4 b 5 c

c o n

b

0 , s i y

s ó l o

s i a 5

b ? c

a n 5 m

c o n

m 5 a

3 a

3 a … a

n

v e c e s

b

a

a

b

5

5

n

n

+

; a , b [

`

n [

N ;

n

2

; a , b

y c [

C l a u s u r a t i v a : a 1

b [

C o n m u t a t i v a :

a 1 b 5 b

1 a

A s o c i a t i v a :

( a 1 b

) 1

c 5

a 1

( b 1 c

)

E l e m e n t o n e u t r o :

a 1

0 5

0 1 a 5 a

E l e m e n t o o p u e s t o :

a 1

( 2 a

) 5

0

; a , b

y c [

C l a u s u r a t i v a : a ? b [

C o n m u t a t i v a : a ? b 5 b ? a

A s o c i a t i v a :

( a ? b ) ? c 5 a ?

( b ? c

)

E l e m e n t o n e u t r o :

a ?

1 5 1 ? a 5 a

D i s t r i b u t i v a :

a ( b 1 c

) 5

a ? b 1 a ? c

; a , b [

`

n , m [ N

a m ?

a n 5 a

m 1 n

a m 4 a

n 5

a m 2 n

( a ? b ) m

5 a

m ?

b m

( a n ) m 5

a n

? m

1 0

5 1

a 0

5 1

; a ?

0

; a , b [

`

n [

N ;

n

2

:

:

a

b

a

b

5

n

n

n

;

a

b

a

b

b

0 �

�

n

n

n

!

(

)

a

a

a

5

5

m

n

n

m

n m

:

a

a

5

m

n

n

m

A d i c i ó n

S u s t r a c c i ó n

M u l t i p l i c a c i ó n

D i v i s i ó n

P o t e n c i a c i ó n

R a d i c a c i ó n

d e l a s i g u i e n t e

f o r m a

q u e s e d e fi n e

c o m o


c o m o


c o m o

q u e s e d

e fi n e

c o m

o


c o m o

c u m p l e

c u m p l e

q u e c u m p l e

q u e c u m p l e

q u e s o n

q u e s o n

q u e s

o n

q u e s o n

c o m o



2


Q

Q 1

< { 0

} <

Q 2

N ú m e r o s d e c i m a l e s

�

0

b a

/ a , b

, b

5

!

!

%

/

N Ú M E R O S R A C I O

N A L E S

s e s i m b o l i z a n

c o n

s e d e fi n e n

c o m

o

s e f o r m a n p o r

s e p u e d e n

e x p r e s a r c o m o

e n e l l o s s e e s t a b l e c e n

m e d i a n t e

L a d i v i s i ó n d e l

n u m e r a d o r e n t r e

e l d e n o m i n a d o r

R e l a c i o n e s

q u e p u e d e n s e r

D e s i g u a l d a d e s e

i n e c u a c i o n e s

I g u a l d a d e s y

e c u a c i o n e s

s e e x p

r e s a m e d i a n t e

s e e x p r e s a m e d i a n t e

b a

d c

,

s i y

s ó l o s i a ? d , b ? c

b a

d c

5

s i y

s ó l o s i a ? d 5 b

? c

s e d e fi n e

s e d e fi n e

D e o r d e n

D e e q u i v a l e n c i a



24


O P E R A C I O N E S E N T R E N Ú M E R O S R A C I O N A L E S

c o m o

:

:

:

b a

d c

b

d

a

d

b

c

�

�

:

:

:

b a

d c

b

d

a

d

b

c

�

�

:

: :

b a

d c

b

d

a

c

5

:

b a

d c

b a

c d

�

b a

b a

5

n n

n

a

k

b a

d c

5

n

s i y

s ó l o s i d c

b a

5 n

a

k

q u e s e e f e c t ú a


q u e s e

e f e c t ú a




A d i c i ó n

S u s t r a c c i ó n

M u l t i p

l i c a c i ó n

D i v i s i ó n

P o t e n c i a c i ó n

R a d i c a c i ó n



2


PROPORCIÓN

es su propiedad fundamental es

una otras propiedades son

La igualdad entredos razones

Razón

b

a

d

c 5 si y sólo si a ? d 5 b ? c

Sib

a

d

c 5 , entonces,

b

a

b

a

d

c

d

c

� �

Sib

a

d

c 5 , entonces,

b

a

d

c b d �

Sib

a

d

c 5 , entonces, a

d

c

a b

b

c

d �

�

Sib

a

d

c 5 , entonces, a

c d

b5 y

b

c d

a5

Sib

a

d

c 5 , entonces,

a

a b

c

c d �

se define como se simboliza

El cociente indicadoentre dos cantidades b

a o a : b

LAS MAGNITUDES

pueden ser

que se definen como que se definen como

Magnitudes directamenteproporcionales

Magnitudes inversamenteproporcionales

Si x es la medida de una magnitud A y y es la medida

de una magnitud B, A es directamente proporcional a B

si x y

k 5 , donde k es la constante de proporcionalidad.

Si x es la medida de una magnitud A y y es la medida de

una magnitud B, A y B son inversamente proporcionalessi x ? y 5 k , donde k es la constante de proporcionalidad.

Si m y n son medidas de una magnitud A; p y q son sus correspondientes medidas de la magnitud

B, A y B son directamente proporcionales, entonces,

n

m

q

p5

Si m y n son medidas de una magnitud A; p y q son sus correspondientes medidas de la magnitud

B, A y B son inversamente proporcionales, entonces,

n

m

p

q5 .

en consecuencia en consecuencia



26


EXPRESIÓN ALGEBRAICA

La combinación de númerosy letras relacionadas pormedio de una o varias

operaciones matemáticas

es se clasifica enestá formada por

que tienen

Signo

que es que es

Monomio

Expresiónmatemática que

consta de un solotérmino.

Expresiónmatemática queconsta de dos omás términos.

Polinomio

Coeficiente

Términosalgebraicos

Parte literal

LAS OPERACIONES ADITIVAS ENTRE

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Entre polinomios, al primerpolinomio se le suma el

opuesto aditivo del segundo.

Entre monomios, al primermonomio se le suma el

opuesto aditivo del segundo.

Se reducen los términossemejantes en las

expresiones dadas.

así así

son

RestaSuma



2


LAS OPERACIONES MULTIPLICATIVASENTRE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Cuando se multiplican dos potencias conla misma base, el resultado es una potencia

de igual base cuyo exponente es la sumade los exponentes.

Cuando se dividen potencias de la misma base,el resultado es una potencia de igual base cuyoexponente es la diferencia entre el exponente

del dividendo y el exponente del divisor.

teniendo en cuenta que teniendo en cuenta que

son

aplicando la

se realizan entre

Multiplicación División

Monomios Polinomios y monomios

Propiedad distributiva

Polinomios



28

Organizadores conceptualesUNIDAD 5

F I G U R A S P L A N A S

P o l í g o n o

S u f o r m a

E l n ú m e r o s d e l a d o s

L a m e d i d a d e s u s l a d o s

y á n g u l o s i n t e r i o r e s

C o n v e x o

C ó n c a v o

C u a d r i l á t e r o

T r i á n g u l o

E q u i l á t e r o

A c u t á n g u l o

L a m e d i d a

d e s u s l a d o s

L a m e d i d a d e

s u s á n g u l o s

I s ó s c e l e s

R e c t á n g u l o

P a r a l e l o g r a m o

T r a p e c i o

T r a p e z o i d e

E s c a l e n o

O b t u s á n g u l o

( n 2

2 ) 3

1 8 0 °

N i n g u n o d e s u s

á n g u l o s i n t e r i o r e s

m i d e m á s d e 1 8 0 ° .

U n o d e s u s

á n g u l o s i n t e r i o r e s

m i d

e m á s d e 1 8 0 ° .

U n p o l í g o n o d e

c u a t r o l a d o s

U n p o l í g o n o d e

t r e s l a d o s

:

(

)

n

3

n

2 2

, d o n d e n

e s e l n ú m e r o d e l a d o s

P o r c i ó n d e l p l a n o l i m i t a d a p o r

u n a l í n e a p o l i g o n a l c e r r a d a .

P o r c i ó n d e l p l a n o l i m i t a d

a p o r

u n a c i r c u n f e r e n c i a .

C í r c u l o

a l g u n a s s o n

e n

a l g u n o s d e e l l o s s o n

e n

c u a n d o

c u a n d o

q u e s e d e fi n e c o m

o

q u e s e d e fi n e c o m o

R e g u l a r e s

I r r e g u l a r e s

T o d o s s u s l a d o s y

á n g u l o s t i e n e n l a

m i s m a m e d i d a

L a m e d i d a d e s u s

l a d o s y á n g u l o

s

n o e s i g u a l

c u a n d o

c u a n d o

l o s c o n v e x o s s e

c l a s i fi c a n e n

s e c l a s i fi c a s e g ú n

s u n ú m e r o d e d i a g o n a l e s e s

y l a s u m a d e l o s

á n g u l o s i n t e r i o r e s e s


s e c l a s i fi c a s e g ú n




2

Organizadores conceptualesUNIDAD 5

SISTEMA MÉTRICO DECIMAL

Longitud Área

Número que indica ellargo de un objeto

Número que indica lamedida de una superficie

Metro: mKilómetro: kmHectómetro: hm

Decámetro: damDecímetro: dmCentímetro: cmMilímetro: mm

km2

hm2

dam2

m

2

dm2

cm2

mm2

Pulgada: 2,54 cmPie: 30,48 cmVara: 80 cmYarda: 91,44 cm

Milla: 1.600 mMilla náutica: 1.852 m

Hectárea: ha 5 100 a,Área: a 5 100 m2

Centiárea: ca 5 1 m2

Fanegada: 6.400 m2

Sistema de medidas cuya unidad patrón es elmetro y las unidades aumentan de 10 en 10

que se define como que se define como

cuyas unidades básicas son cuyas unidades básicas son

y otras unidades son

y otras unidades son

se define como

se aplica en la medición de



30


Círculos Polígonos Triángulos Cuadriláteros Polígonosregulares

Círculo

C 5 2pr ,donde C es lalongitud de lacircunferencia

y r es el radio

La suma delas medidasde sus lados

:

2

base altura A 5

Rectángulo:

A 5 base ? altura

Cuadrado:

A 5 lado ? lado

Paralelogramo

general o

romboide:

A 5 base ? altura

Trapecio:

:( )2 A

B b h

�

Rombo:

:

2 A D d

5

Trapezoide

simétrico:

:

2 A D d

5

:

2 A p a

5 A 5 pr 2

En todo triángulo rectángulode catetos a y b e hipotenusa c ,

se verifica que: a2

1 b2

5 c 2

El teorema dePitágoras

mediante la

expresiónmediante mediante

mediante

mediantemediante

y si es necesario

se aplica

que se enuncia

MAGNITUDES

pueden ser

La longitud del contornode la figura

Perímetro

se puede hallar en

que se define como

La medida de la superficiede una figura

Área

se puede hallar en

que se define como



3

cuando cuando cuando

cuando

y son

cuando

algunos son


CUERPOS GEOMÉTRICOS

son

que se clasifican en

Porciones de espacio limitadaspor polígonos o caras curvas

Cilindro Cono Esfera

Regulares Irregulares

que se definen como

que pueden ser

Poliedros

Porciones de espaciolimitadas por polígonos

que se definen como

por ejemplo

Cuerpos redondos

Sólidos limitados poralguna cara curva

cuando cuando

pueden ser

Cóncavos Convexos

Alguna de sus carases un polígono

cóncavo

Todas sus caras sonpolígonos convexos

Sus caras son polígonos regularescongruentes y todos sus vértices son

del mismo orden

Tetraedro Cubo Octaedro

Dodecaedro Icosaedro

Es un cuerpolimitado por una cara

curva y dos carasplanas circulares

Es un cuerporedondo limitado poruna superficie curva

y una cara planacircular

cuando

Prismas

Tienen dos bases paralelas que soncaras poligonales congruentes y caras

laterales que son paralelogramos.

cuando

Pirámides

Tienen un polígono de base ysus caras laterales son triángulos

con un vértice común.

Es un cuerporedondo limitado

por una solasuperficie curva

Sus caras no son congruentes o no concurreel mismo número de caras por vértice



32


Cubo:V 5 l 3

Cilindro:

V 5 pr 2 ? h

Cono:

:

3

1V r h�

2

Esfera:

3

4V r �

3

Pirámide:

:

3

1 A hV 5

b

Prisma:V 5 A

b ? h

Paralelepípedo: V 5 l ? a ? h

Tetraedro regular:

12

2V

l 5

3

Octaedro regular:

3

2V

l 5

3

Tronco de la pirámide:

:

31

( )V h A A A A � �B b B b

VOLUMEN

se define como

La medida delespacio que ocupa

un cuerpo

km3

hm3

dam3

m3

dm3

cm3

mm3

Cuerpo redondos

mediante

sus unidades básicas sonse puede hallar en

Poliedros

mediante



3


LA ESTADÍSTICA

es se trabaja en

La ciencia encargada dediseñar, recolectar y analizarinformación para encontrar

las principales característicasde un grupo de individuos

Variables cualitativas

Caracterizar

Variables cualitativas

que son

se puede

una o dos

Aquellas variables que

estudian gustos, cualidades,opiniones o preferencias

Caracterizar

Variables cuantitativas

se puede

que son

Aquellas variables cuyos

datos brindan informaciónen una escala numérica

Diagrama de talloy hojas

Medidas detendencia central

Tabla defrecuencias

Histogramas ypolígonos de

frecuencias

Ojiva

Media

Mediana

Moda

Datosagrupados

Datos noagrupados

mediante mediante

que son



34

TEORÍA DE LA PROBABILIDAD

define

que es que son

La probabilidad de que ocurra un evento dentro de

un experimento aleatorio

( )( )

( )

##

A A

P S

5

A es un evento

#( A) es el número de elementos del evento A

#(S) es el número de elementos del espacio muestral

La probabilidad simple Propiedades de la probabilidad

Propiedad 1: la probabilidad de ocurrencia de

un evento es un número entre 0 y 1.

Propiedad 2: la probabilidad del eventoimposible es 0.

Propiedad 3: si el evento definido es igual alespacio muestral, su probabilidad es 1.

Propiedad 4: dado un evento A definido enun experimento aleatorio, se puede definir el

evento llamado el evento complemento de A ysu probabilidad es P ( Ac ) 5 1 2 P ( A).




3

Sugerencias metodológicasUNIDAD 1

El conjunto de los números enteros

Proponga a los estudiantes que realicen las activi-dades de la sección Lo que sabes de la página 8, queson preconceptos, para dar inicio a la unidad. Revise, junto con ellos, las respuestas y corrija en los casos enque se equivocan.

Motive a los estudiantes comentándoles las aplica-ciones que tienen los números enteros. Presente lasección Y esto que vas a aprender, ¿para qué te sirve? dela página 9 e invite a continuar su lectura en la página48.

Trabaje con sus estudiantes la cronología de los nú-

meros enteros de la página 9. Pídales que consultenotros trabajos diferentes a los que se presentan aquísobre los números enteros.

Realice la siguiente lectura denominada: La dificultad

de explicar los números negativos:

Hacia los siglos VI y VII, los hindúes fueron los pionerosen el uso de las cantidades negativas como un mediopara representar las deudas. Sin embargo, la acepta-ción del concepto de número negativo en Occidentefue un proceso de una lentitud sorprendente, pues,por varios siglos, los números negativos no fueron

considerados como cantidades verdaderas, dada laimposibilidad de representarlos en el mundo físico.

En Europa, por ejemplo, los matemáticos utilizaron elcero desde el siglo XIV, pero fue preciso esperar hastafinales del siglo XV para ver aparecer cifras no positi-vas. El matemático De Morgan aconsejaba reescribirun problema si la resolución conducía a una soluciónnegativa.

Con mucha dificultad, los números negativos fueronfinalmente considerados en la resolución de ecuacio-nes, según se refleja en los escritos del matemático

italiano Gerolamo Cardano: “olvidad las torturas men-tales que estos producirán e introducid estas cantida-des (las negativas) en la ecuación”.

Aún a principios del siglo XIX persistía, entre los mate-máticos de Occidente, la desconfianza en el manejode las cantidades negativas. Pero, a mediados delmismo siglo, Weierstrass hizo la construcción formalde los números enteros, a partir de los números natu-rales.

Después de realizar la lectura, complemente conotras concepciones asociadas a los números enteros

negativos. Por ejemplo, explíqueles que un enteronegativo puede considerarse como una diferencia en

la que el minuendo es cero. Así,0 2 85 28 1 05 28

Trabaje con los estudiantes el modelo de vectorespara representar un número entero. Para esto, dibujeflechas de igual longitud y con diferente sentido,como se muestra a continuación.

8765321012345678 4

�5

5

8765321012345678 4

�2

2

Proponga el juego Competencia numérica. Para este juego deben usar una ficha y dos dados de colores,uno rojo y otro verde. El dado rojo indicará el movi-miento hacia la izquierda. Las instrucciones del juegoson las siguientes:

— Los jugadores ubican sus fichas en el cero.

— Cada jugador, a su turno, lanza el par de dados y

realiza los dos desplazamientos de manera con-secutiva, de acuerdo con el color de cada dado y apartir de la última posición que tenga.

— Cada jugador tiene diez turnos para jugar.

— Gana el jugador que después de los diez lanza-mientos quede en la posición que tenga el núme-ro mayor.

Operaciones entre números enteros Analice con los estudiantes los posibles resultados

encontrados en el juego Competencia numérica y

propongan colectivamente diferentes estrategiaspara sumar números enteros.

Proponga el método de vectores para realizar dife-rentes sumas con números enteros.

Explique a los estudiantes la siguiente manera de rea-lizar sumas con enteros:

Pídales que construyan tres rectas numéricas ver-ticales paralelas y con el origen al mismo nivel.La primera y la tercera rectas deben tener las divisio-nes de los números a la misma distancia; la segunda



36

recta debe tener las divisiones de los números, equi-

valente a la mitad de la distancia de las otras dos rectas.

Comience el trabajo a partir del siguiente ejemplo,

que consiste en obtener el resultado de la operación

(23) 1 1. Para esto, una los puntos correspondientes

en las rectas exteriores, el resultado se mostrará en la

recta intermedia, así:

el signo es positivo. Luego, debe hacer un desplaza-

miento de tantos pasos como indique ese factor. Por

ejemplo, en el producto 4 3 (23), el factor 4 indica

que debe girar hacia la derecha y disponerse a dar

cuatro pasos.

2

3

1

0

�1

�2

�3

4

3

6

5

2

1

0

�1

�4

�5

�6

�2

�3

2

3

0

�1

�2

�3

1

Proponga el juego Multiplicando pasos. Este juego

consiste en calcular multiplicaciones de números

enteros, realizando movimientos sobre una recta nu-

mérica dibujada en el piso. Para ello, tenga en cuentalas siguientes instrucciones:

— Cada estudiante, a su turno, debe ubicarse en el

cero de la recta numérica como se indica a conti-

nuación.

4321�1�210�5�6�7�8�9�10�11�12 0

43210�1�2�3�4�5�6�7�8�9�10�11�12

43210�1�2�3�4�5�6�7�8�9�10�11�12

El segundo factor indica la cantidad de unidades

que se debe desplazar en cada paso y la dirección

del movimiento, de tal manera que si el número es

positivo, debe caminar hacia adelante, y si el número

es negativo, debe caminar hacia atrás. En el producto

4 3 (23), el factor (23) indica que debe moverse

hacia atrás. La posición final del estudiante sobre la recta numé-

rica indica el resultado de la multiplicación. En este

caso es 212.

Polinomios aritméticos

con números enteros

Explique a los estudiantes la manera para resolver po-

linomios aritméticos con números enteros. Dígales

que si los polinomios no tienen signos de agrupación

deben resolver primero las potencias y raíces, luego,

las multiplicaciones y divisiones, y después deben

realizar las sumas y restas de izquierda a derecha. Pida,

que resuelvan los siguientes polinomios aritméticos:

— 2 64 ( 169 1 )� 3 4

— 120 4 21 456 2 23 72 16

Ecuaciones con números enteros

Proponga a sus estudiantes que resuelvan las si-

guientes ecuaciones.

a. 23n 1 515 233

b. 27a 2 285 256

— Luego, un compañero de clase propone una mul-

tiplicación de números enteros.— El estudiante debe desplazarse teniendo en cuen-

ta los factores del producto dado, así:

El primer factor indica que debe girar 90° hacia la

izquierda si el signo es negativo o hacia la derecha, si



3


El conjunto de números racionales

Proponga a los estudiantes que resuelvan las activi-dades de la sección Lo que sabes de la página 52. Lue-go, presente las soluciones de los ejercicios y aclarelas dudas sobre los preconceptos de los estudiantespara dar inicio a la unidad.

Motive a sus estudiantes contándoles las aplicacio-nes de los números racionales, para ello lea la secciónY esto que vas a aprender, ¿para qué te sirve? que sepresenta en la página 53. Esta información es unaintroducción para que los estudiantes aprendan másacerca de los números reales.

Comente a los estudiantes que el tangrama es un juego chino muy antiguo llamado “Chi Chiao Pan”que significa juego de los siete elementos o tabla dela sabiduría. Para construirlo se parte de un cuadradoy se divide en siete piezas: un cuadrado y un parale-logramo que ocupan cada uno la octava parte; cincotriángulos: dos ocupan cada uno la dieciseisava parte,dos ocupan cada uno la cuarta parte y uno que ocupala octava parte.

Dígales que revisen la cronología de los númerosracionales de la página 53. Luego, pídales que con-

sulten más información acerca de la historia de losnúmeros racionales.

Explique a sus estudiantes la forma en que los egip-cios escribían números racionales, empleando comonumerador el número 1. Por ejemplo, para repre-

sentar la fracción6

5 , los egipcios escribían2

1 ,3

1 ,

que significaba2

1

3

11 . Pida a los estudiantes que

encuentren y expliquen una estrategia para repre-sentar los siguientes números racionales en la forma

usada por los egipcios.

10

8 8

7

Enseñe a los estudiantes las diferentes formas de ex-presar el mismo número racional. Muestre medianterepresentaciones gráficas, cómo el número racional

5

3 puede expresarse como10

6 ,100

60 , 0,60 o 60%.

Explique que el número 3.284,569 se puede expresaren forma desarrollada de la siguiente manera:

3 (10) 2 (10) 8 (10) 4 (10) 5

10

1

610

19

10

1

1 1 1 1

1 1

3 2 1 0

2 3

aa a kk k

Operaciones enQ Para el trabajo con las operaciones entre números

racionales, recuerde los algoritmos de las operacio-nes con números enteros y con números fraccio-narios trabajados en el curso anterior. Por ejemplo,proponga ejercicios en los cuales cambie solamentelos signos, como se muestra en las siguientes opera-

ciones.a.

5

4

3

11

b. 5

4

3

12 2

c. 5

4

3

12 22 a k

d. 5

4

3

12

e. 5

4

3

1 �

Proponga las siguientes actividades para afianzar elconcepto de fracción utilizando el Chi Chiao Pan:

— ¿Qué fracción del cuadrado grande es cada una delas piezas del tangrama?

— ¿Qué fracción del cuadrado representa cada una delas siguientes figuras?



38

Realice actividades en las que los estudiantes estimenlos posibles resultados de varias operaciones iguales,pero expresadas de distintas formas. Para esto pro-ponga que realicen cálculos como los siguientes:

a. 50% de 628,4 c. 0,5 3 628,4

b. 1

2 de 628,4 d. 6

3

de 628,4

Pida a los estudiantes que propongan un algoritmopara realizar multiplicaciones entre números raciona-les, utilizando la notación desarrollada de cada factory la propiedad distributiva.

Proponga el siguiente juego, lo puede realizar engrupos de dos, tres o cuatro participantes. Cada equi-po debe diseñar fichas en cartulina de 3 cm 3 5 cm.Cada ficha deben dividirla en dos partes, en una escri-ben las operaciones y en la otra dibujan las fracciones,como se muestra a continuación:

Polinomios aritméticoscon números racionales Proponga los siguientes polinomios para que sus

estudiantes los resuelvan.

a. 10

3

5

7

6

5

3

24 �a k9 C

b. 47

2

4

5

2

9

1

11 � a k9 C

c. 4

3

4

7

5 2

1 5

10

9 � a ak k9 C

d.

2

9

4

7

3

8

8

7

6

5

9

4

�

Planteamiento y solución de problemas Explique el planteamiento y la solución de proble-mas. Luego, plantee el siguiente problema a los estu-diantes:

Camilo está haciendo los acabados de su nueva casa.Observa el plano y responde:

Los estudiantes deben repartir las fichas entre todoslos participantes. Por sorteo deciden quién empiezael juego. Quien empieza propone una ficha y, porturnos, los demás van poniendo fichas que coincidancon el valor que se representa en uno de los lados decada ficha.

El juego finaliza cuando completan el circuito y nohay más fichas.

1. En los pisos de los baños Camilo desea colocar ce-rámica italiana. Si el metro cuadrado vale $25.000,¿cuánto debe pagar por los pisos del baño?

2. En los pisos de los dormitorios, quiere colocarparqué. Si el metro cuadrado cuesta $35.000 y la

instalación $2.000 por metro cuadrado, ¿cuántocuestan los pisos de los dormitorios, incluyendo lainstalación?

3. En la sala, Camilo desea colocar una alfombra de2,60 m 3 1, 80 m, ¿cuánto mide la superficie de lasala que quedará sin cubrir por la alfombra?

4. En la cocina desea colocar una cenefa alrededorde la pared, si el metro lineal cuesta $26.000,¿cuánto debe pagar por la cenefa?

4,25 m 1,9 m 2,6 m 3,25 m

3,25 m

2,5 m2,7 m2,3 m2,75 m1,7 m2,55 m

2,75 m

,25 m Dormitorio 1 Dormitorio 2Baño 1

Baño 2 Vestidor Escritorio

Sala

ComedorCocina

Dormitorio 3

22,5 ? 0,4 0,5

1,25 2 0,5

(0,31 2

0,26) ? 5

0, 6 0,1 31# !

0, 6 0,1 31# !

:0, 6 0,5!

0, 3 0, 5

0,16

1

1

!

!20,75

21,5(3,42 2,9) 0, 3

!

3,5 2 2,5 1,5 2 0,5

:

3

2

2

142a k

:

(0, 6 0, 5)

74

1!

0,75 0, 6!

2 ? 4,6 2 10,2

0,8 4 4



3


Razones y proporciones

Evalúe a los estudiantes con las actividades de la sec-ción Lo que sabes de la página 109. Luego, revise lasrespuestas y aclare las dudas relacionadas con simpli-ficación, solución de ecuaciones y plano cartesiano.

Motive a sus estudiantes contándoles las aplicacio-nes de la proporcionalidad de los números raciona-les. Para ello, lea la sección Y esto que vas a aprender,

¿para qué te sirve? que se presenta en la página 110.Esta información es una introducción para que los es-tudiantes aprendan más acerca de las proporciones.

Pídales que revisen la cronología de los números ra-

cionales de la página 109. Luego, dígales que expon-gan los principales acontecimientos relacionadoscon proporcionalidad.

Analice, junto con sus estudiantes, los diferentes usosdel concepto de razón en contextos reales. Por ejem-plo, propóngales que determinen cuál es la mejorcompra de acuerdo con los datos dados:

Una crema de 300 gramos que cuesta $9.000, unacrema de la misma calidad de 250 gramos con unvalor de $8.000.

Haga ver a los estudiantes que al establecer la razón

entre el precio y la cantidad de gramos, se determinael costo por gramo para así poder seleccionar el valormás económico.

.

300

9 000305 .000

3250

825

Plantee la siguiente actividad:

La densidad de población es la cantidad de personasque habita 1 km2 de superficie. A continuación semuestran algunos departamentos, sus superficies enkm2 y el número de habitantes correspondiente:

Departamento Antioquia Boyacá La Guajira

Número dehabitantes

5.682.276 1.265.222 681.575

Superficieen km2 63.612 23.189 20.848

Pida que determinen la densidad de población decada uno de los departamentos y luego señalen cuáltiene la mayor densidad de población y cuál la menor.

Proporcionalidad directa

Comente a los estudiantes que los enanos y los gi-gantes son personajes que aparecen frecuentemen-te en los libros infantiles.

En Los viajes de Gulliver , del escritor inglés JonathanSwift, el protagonista visita países donde los habi-tantes son una reproducción a escala de los huma-nos. Primero visitó Liliput, donde observó que sushabitantes tenían una altura 12 veces menor que lade los humanos. Después visitó Brobdingnag, cuyoshabitantes tenían una altura 12 veces mayor que lanuestra.

Pida que realicen las siguientes actividades:

— Completar la siguiente tabla que relaciona las di-ferentes estaturas de los humanos con la estaturaque tienen los habitantes de Brobdingnag.

Estatura de loshumanos (cm)

Estatura de los habitantesde Brobdingnag (cm)

130

144

172180

196

— Realizar la gráfica que relaciona las estaturas de loshumanos con las estaturas de los habitantes deBrobdingnag.

— Puesto que la razón de semejanza entre los huma-nos y los liliputienses es 12. ¿Cuál sería la estaturamedia de un liliputiense si se toma 168 cm comoestatura media de los humanos?



40

Proporcionalidad inversa Comente a los estudiantes algunas situaciones en las

que se trabaja la correlación inversa, como la que semuestra a continuación:

Dos ángulosa y b son complementarios si su suma es

90° y se dicen suplementarios si su suma es de 180°. Por ejemplo, los ángulos 20 y 70 son complementa-

rios ya que su suma es 908.

Con relación a la información anterior, pida a los estu-diantes que realicen lo que se indica:

— Completar la tabla que relaciona las medidas deángulos teniendo en cuenta que son comple-mentarios.

Medidade a en

grados

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Medidade b engrados

— ¿Qué le sucede al ángulo b si el ángulo a se au-menta en 10°?

— ¿Las medidas de a y b son inversamente propor-cionales? ¿Por qué?

— Cuando los ángulos son complementarios, ¿larelación entre sus medidas es inversamente pro-

porcional?

— Realizar la gráfica que muestra la relación entre lasmedidas de parejas de ángulos complementarios.

Pida a los estudiantes que propongan otras situacio-nes en las que la proporcionalidad sí sea inversa.

Aplicaciones de la proporcionalidad Explique algunas aplicaciones de la proporcionali-

dad. Luego, comente a los estudiantes en qué consis-te el método Lincon.

El método Lincon es uno de los más utilizados porlos biólogos cuando desean estimar la cantidad deanimales que habitan un ecosistema. Un ejemplo dela utilización de este método es el siguiente:

Para conocer la cantidad de tilapias de un estanqueartificial se capturan, sin dañar, un número de tilapiasy se les coloca a cada una un anillo para identificarlas.Luego, se liberan de nuevo en el estanque.

Pasados unos días se captura un número importantede tilapias y se verifica cuántas de ellas tienen anillo.Las que lo tienen son una fracción del total de tilapias

marcadas. Estadísticamente se estima que la propor-ción de estos dos números es la misma que la queexiste entre el total de tilapias capturadas y el total detilapias del estanque, es decir:

M

m

N

n5 , donde:

m: marcados capturados la segunda vez.

M: total de animales marcados por primera vez.

n: total de animales capturados.

N : población total.

— Un biólogo captura y marca 350 tilapias en elestanque de un criadero. Unos días después cap-tura 290 tilapias de las cuales 35 están marcadas,¿cuántas tilapias hay en el estanque?

Explique a los estudiantes que el IVA o impuestoagregado es un impuesto que se cobra en Colombia

por algunos artículos, entre los cuales están: las llan-tas para carros, los zapatos, las cámaras fotográficas,los celulares, la ropa, los pasajes de avión. El IVA co-rresponde al 16% del valor de cada artículo. Luego,pídales que calculen el valor del IVA de los siguientesartículos.

Un par de zapatos$198.000

Vestido$679.000

Buzo$79.658

Cámara fotográfica$560.000 Bolso$130.000 Tenis$176.000

Proponga a los estudiantes la siguiente actividad paraque apliquen a los porcentajes.

Los perfumes se fabrican con esencias que puedenser de origen animal, sintético y vegetal. Estas esen-cias se mezclan con alcohol en grandes recipientesde acero inoxidable. La tabla muestra cómo se defineel tipo de producto según la cantidad de esencia quecontenga:

Producto EsenciaColonia 2% a 4%

Eau de toilette 5% a 12%

Eau de parfum 13% a 20%

Parfum 21% a 25%

— Si un frasco tiene 4 mL de esencia y 46 mL de alco-hol, ¿qué tipo de producto contiene el frasco?

— Si otro frasco tiene 6 mL de esencia y 38 mL dealcohol, ¿qué tipo de producto contiene?



4


Expresiones algebraicas

Motive a sus estudiantes contándoles las aplicacio-nes del álgebra, para ello lea la sección Y esto que vas

a aprender, ¿para qué te sirve? que se presenta en lapágina 157.

Pídales que revisen la cronología de las expresionesalgebraicas de la página 157. Luego, dígales que con-sulten otros hechos diferentes a los que aparecen allípara que complementen la cronología.

Comente otros hechos con relación al álgebra, comolos siguientes:

La palabra álgebra deriva del árabe Al-jabr , que signi-

fica restauración o restitución. Es la parte de las ma-temáticas que trata de las cantidades desconocidas,sirviéndose de letras y otros signos para representar-las. Está considerada como una generalización de laaritmética.

El álgebra tuvo sus primeros avances en la civilizacio-nes de Babilonia y Egipto, entre los siglos XVII y XVIa. C. Estas civilizaciones usaban primordialmente elálgebra para resolver problemas cotidianos que te-nían que ver con la repartición de víveres, cosechas ymateriales.

Los griegos usaron el álgebrapara expresar ecuaciones y teo-remas. Los matemáticos másdestacados de esos tiempos (si-glo III a. C.) fueron Arquímedes,Herón y Diofanto. Arquímedescompuso sus tratados de físicay geometría del espacio; Herón se basó en ellas parahacer algunos de sus inventos, como la primera má-quina de vapor, y Diofanto recopiló todo el conoci-miento del álgebra existente hasta entonces.

En el siglo IX, las obras del matemático y astrónomomusulmán Al-Juarismi fueron fundamentales para elconocimiento y desarrollo del álgebra.

Investigó y escribió acerca de los números, de los mé-todos de cálculo y de los procedimientos algebraicospara resolver ecuaciones. Su nombre latinizado dioorigen a la palabra algoritmo. En cuanto a la palabraálgebra, deriva del título de su obra más importante,que presenta las reglas fundamentales del álgebra Al-

jabr wal muqabala.

Alrededor del si-glo I d. C., los ma-

temáticos chinosescribieron el libro Jiu Zhang suan shu (que significa elarte del cálculo),en el que plantearon diversos métodos para resolverecuaciones de primer y segundo grado, así comosistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Consu ábaco (suan zi) tenían la posibilidad de representarnúmeros positivos y negativos.

Explique que un polinomio es homogéneo cuando

todos sus términos tienen el mismo grado absoluto. Proponga a sus estudiantes el juego Calculando el

grado de los polinomios:

Forme grupos de cuatro estudiantes. Cada uno debe-rá realizar en cartulina la siguiente tabla:

Polinomio GA GR x

GR y

¿Es polinomiohomogéneo?

x 4 1 x 3 y 1 x 2 y 4

x 5 1 x 3 y 2 1 y 5

x 6 1 x 3 y 4 1 x 2 y 3

x 4 y 1 x 3 y 2 1 x 2 y 2

x 6 y 2 1 x 4 y 1 x 2

Pida a los alumnos que completen todas las columnasde la tabla.

Gana el grupo que llene correctamente el cuadro y justifique por qué el polinomio es o no es homogéneo.

Pida a los estudiantes que completen la siguientetabla como tarea en la casa.

Polinomio Clasifi-cación

P (1) P (P (1)) P (P (P (1)))

P ( x ) 5 2

P ( x ) 5 x 2 2 1

P ( x ) 5 x

P ( x ) 5 x 2 1 x 2 1

P ( x ) 5 2 x 1 1

P ( x ) 5 x 2 2 2 x 1 1



42

Trabaje con los estudiantes actividades en las queapliquen el valor numérico a diversas situaciones.

La superficie corporalPara realizar una cirugía, el médico cirujano necesitasaber cuánta sangre bombea el corazón de su paciente.Esta variable depende de la superficie corporal.

Un corazón normal bombea 2.400 litros por metrocuadrado de superficie por minuto. La superficie cor-poral de una persona se calcula según su peso p, con lasiguiente fórmula:

s p

p

90

4 7

�

�

El segundo miembro de esta igualdad es una expresiónalgebraica. Al remplazar p por el peso (en kg) de unapersona, el valor numérico que se obtiene es su super-

ficie corporal (en m2).

— ¿Cuál es la superficie corporal de un adulto que tie-ne 75 kg de peso?

— ¿Cuál es la superficie corporal de un bebé que pesa6 kg?

Pida a los estudiantes que calculen el valor numéricode los siguientes polinomios teniendo en cuenta que x 5 1 y y 5 2.

Y, luego, que busquen el resultado en la sopa de le-tras.

x 2 1 2 x

x 3 1 4 y 2 8

x 2 2 2 x 1 1

x 4 1 2 y

2 x 2 y 3 2 5 x 2

2 x 2 y 1 3 x

Operaciones entreexpresiones algebraicas Antes de iniciar las operaciones proponga que, en la

siguiente pirámide, escriban los términos que faltan,teniendo en cuenta que al sumar los dos de abajo seobtiene el de arriba.

Ya que para algunos estudiantes es más claro asociarlas operaciones entre expresiones algebraicas conrepresentaciones geométricas, asocie gráficas a algu-nas de estas situaciones. Por ejemplo, la suma de ex-presiones se puede asociar con una suma de trazos ocon situaciones lineales, aquí se realiza la suma entre2 x y 3 x en forma gráfica:

C A U N O T

T R E S C R

O S D I U I

C E C E R O

H I I T T N

O S N E R C

N U C V E E

R A O C E O

2 xy

2 xy 2 xy 4 xy

Para encontrar el producto de expresiones algebrai-cas, se puede trabajar con el cálculo de áreas.

Por ejemplo, para encontrar el producto de las ex-presiones 2m y 3n, se puede plantear el ejercicio dedeterminar el área de un rectángulo tal que su largomide 2m y su ancho mide 3n.

Proponga a los estudiantes que reduzcan los térmi-nos semejantes en los siguientes polinomios.

— 2ab 1 4ab 2 7ab 1 8ab

— 3ab3 1 4ab3 2 7ab3 1 8ab3

— 27 xz 2 1 2 x 2 z 2 8 xz 2 1 4 zx 2

— , ,ab c ab c ab c b ac 0 2 5 6

4

3

4

1 � �

4 4 4 42 2 2 2

—

4,3 1

, 1

a b c a b c b c a c b a5

1 951

� �2 4 2 4 4 2 43 3 3 23

— 3 2 3 7 3 4 3abc bca acb cba�

2 x 1 3 x 5 5 x

6 mn3 n

2 m



4


Figuras planas

Polígonos Realice la siguiente lectura ante sus estudiantes:

Los enigmas de la matemática

Uno de los objetivos fundamentales de las matemá-ticas ha sido la interpretación del mundo que nosrodea. Decía Galileo Galilei, refiriéndose a la interpre-tación del universo: “El universo es un libro escrito enel lenguaje de las matemáticas, siendo sus caracterestriángulos, círculos y otras figuras geométricas, sin lascuales es humanamente imposible comprender unasola palabra; sin ellos solo se conseguiría vagar por un

oscuro laberinto”. La geometría como parte de las matemáticas, y se-

gún las palabras de Galileo, también ha ayudado a lainterpretación del universo. Sin embargo, algunas in-terpretaciones han resultado algo abstractas y se hanescapado, posiblemente, de la realidad, aunque handespertado el interés de muchas personas a lo largode la historia.

Tal es el caso de los “tres problemas clásicos” de lamatemática griega, los cuales se han mantenidovigentes desde su misma formulación. Uno era laduplicación del cubo, el otro era la trisección de unángulo y el tercero era la cuadratura del círculo, estosproblemas, según los griegos, debían ser resueltosutilizando solamente, regla y compás.

El tercer problema, lacuadratura del círculo,consiste en construir uncuadrado de igual áreaa la de un círculo dado.Desde que Anaxágoras(siglo V a. C.) se plantea-ra por primera vez esteproblema, han sido mu-chos los hombres quehan tratado de resolverlo;por ejemplo, el famoso artista e inventor Leonardo daVinci, quien trató de resolverlo pero todos sus inten-tos resultaron infructuosos.

Debieron pasar más de 2.000 años para que el ma-temático alemán Ferdinand von Lindemann (1852-1939) acabara con el sueño de calcular la cuadratura

del círculo. A pesar de esto, actualmente se siguetratando de resolver este gran enigma matemático.

Organice a los estudiantes en grupos y propóngalesque construyan un tangrama de cinco piezas como elque se muestra a continuación:

Sugiera que cada estudiante tome una medida dife-rente de lado.

Pídales que caractericen cada pieza del tangramaanterior enunciando sus propiedades. Por ejemplo, lafigura D es un triángulo rectángulo e isósceles, tieneun ángulo de 45° y dos lados de igual medida.

Proponga a los estudiantes que construyan los si-guientes polígonos usando las piezas que se indican.Luego, sugiérales que realicen una clasificación aten-diendo a sus semejanzas y diferencias.



44

cómo a

da

cada

cada

2 a 135°1 90°5

Circunferencia y círculoa a

como

y y

(p

p

cada

1 2 3 cm y

a

a. c.

b. d.

Longitud

Un laberinto de unidades

como

codo

7 y 28

como

a

y

a

como

o

y

dad

y

Área

y

cho y 20 1 cm2

y

1 cm2

20

40cm2

1 cm2

2



4

Volumen

Proponga a los estudiantes las actividades de la sec-ción Lo que sabes del inicio de la unidad en la página217. Luego, revise las respuestas y aclare algunas du-das acerca de los preconceptos trabajados allí.

Pida a los estudiantes que realicen algunas conver-siones de unidades de medida, para ello haga quecompleten el siguiente cuadro con equivalencias.

m3 dm3 cm3 mm3

0,007

1,027

3422.500.000

Proponga los siguientes problemas para que los estu-diantes los resuelvan por parejas.

— Un motor extrae 75 m3, 15 dm3 de agua de un ríoen una hora. Si se necesitan 1 dam3, 275 m3 y 255dm3, ¿cuántas horas tardará en extraerse esta can-tidad de agua?

— El volumen de una piscina es de 12 dam3, 27 m3 y75 dm3, hallar el volumen de la piscina en dm3.

— Un frasco contiene 0,3 dm3 de medicina. Si unapersona debe tomar una dosis de 5 cm3 cada vez,¿cuántas dosis consumirá en total si debe acabarel contenido del frasco?

Poliedros Proponga a los estudiantes diferentes modelos tri-

dimensionales para que los construyan utilizandocubos. A continuación se dan algunos ejemplos.

material realizado en cartón permite articular las figu-ras utilizando bandas de caucho.


Haga énfasis en que los estudiantes tengan en cuen-ta que cada cubo tiene seis caras y que, dependiendode su ubicación en el modelo, algunas de ellas que-dan ocultas.

Facilíteles diferentes polígonos regulares e irregula-res, de tal manera que se puedan articular entre ellospara obtener construcciones cerradas. El siguiente

Oriente a los estudiantes para que descubran regu-laridades al realizar las construcciones; por ejemplo,utilizando solo hexágonos no puede hacerse unaconstrucción cerrada. Sugiérales que realicen des-cripciones verbales de cada poliedro. Para ello, pída-les que tengan en cuenta aspectos como: todas sus

caras son iguales, sus caras laterales son iguales, todaslas caras son regulares, todas las caras tienen la mismaforma: triangulares, cuadradas…; tienen el mismonúmero de caras, de vértices o de aristas, sus vérticesson del mismo orden, es decir que a todos los vérticesdel poliedro concurren el mismonúmero de caras; están inclina-dos u oblicuos, tienen bases, esdecir, dos caras iguales que seunen a una banda de polígonospara formar el poliedro, tienenuna cara donde es fácil apoyarse.

Por ejemplo, el anterior poliedro está formado por26 caras, de las cuales 18 son cuadradas y ocho sontriángulos equiláteros. Tiene además 48 aristas y 24vértices. En cada vértice concurren cuatro caras, trescuadrados y un triángulo.

Utilizando los modelos de la actividad anterior, or-ganice a los estudiantes en grupos y realicen clasi-ficaciones de poliedros a partir de sus semejanzas ydiferencias.

Por ejemplo, al comparar los siguientes poliedros se

puede afirmar que los dos son poliedros convexoscuyas caras son polígonos regulares y tienen el mis-mo número de aristas. Varían en el número de caras(12-20), en el número de vértices (20-12) y en el ordende sus vértices, pues en el dodecaedro es tres y en elicosaedro es cinco.

Dodecaedro Icosaedro



46

Cuerpos redondos

a y

la

y

a

El

la

lo y

y

lo

a

lo

y

la

o

la a

la

Capacidad

la

a

a

la

Tabla con las dimensiones de los tetrabriks

Producto Capacidad Largo Ancho Alto

la la

y

la a

1 a 200 y coloca

a

hay

mm

mm2

la la

1 mm3

8,2 cm

24 cm



4


Conceptos iniciales

Pida a sus estudiantes que revisen la cronología quese presenta en la página 245, para conocer los oríge-nes de la estadística.

Dígales que realicen una exposición mostrando losavances en estadística y probabilidad a través deltiempo.

Realice preguntas relacionadas con preconceptoscomo los siguientes: estadística, población, muestra,variables, variables cualitativas, variables cuantitati-vas, diagramas, tablas.

Plantee la siguiente situación con el fin de determinar

si los estudiantes manejan algunos preconceptos. Un diario de la capital realizó una encuesta sobre la

necesidad de que los estudiantes tengan tareas envacaciones. La encuesta fue realizada a 400 personasde cinco capitales del país. Los resultados se presen-tan en el siguiente diagrama de barras horizontal.

Se preguntó a los estudiantes de séptimo grado delGimnasio Galileo sobre la cantidad de horas de estu-dio, a la semana, en casa y se obtuvieron los siguien-tes datos:

42, 36, 25, 28, 29, 35, 37, 47, 49, 31, 20,40, 47, 38, 29, 47, 38, 28, 39, 17, 30, 48,45, 38, 26, 28, 46, 46, 35.

— Realizar las tablas de frecuencia absoluta, relativa yporcentual.

— Elaborar el diagrama circular correspondiente.

Caracterización de variables cuantitativas Comente a los estudiantes que las variables cuantita-

tivas se pueden caracterizar para datos en forma noagrupada o para datos agrupados.

Pida que construyan el diagrama de tallo y hojas en lasiguiente situación:

Luego, pida que escriban dos conclusiones despuésde realizar dicho diagrama.

Organice a los estudiantes en grupos de dos o tres,luego, resuelvan las siguientes situaciones:

1. Un grupo de mercaderistas está planteando unestudio para determinar cuánto dinero emplea

una ama de casa en lo necesario para hacer undesayuno para tres personas. A continuación seregistraron los datos:

10.500 11.500 15.400

20.400 21.400 12.300

16.700 9.700 18.500

17.800 20.100 18.600

21.600 16.900 17.800

19.800 21.000 10.000

14.500 11.300 16.300

16.400 9.800 20.500 10.500 21.100 11.400

— Elaborar una tabla de distribución de frecuen-cias que organice los gastos de las amas decasa.

— Dibujar el histograma y el polígono correspon-dientes a la situación.

— Escribir algunas conclusiones teniendo encuenta el histograma, el polígono y la tabla dedistribución de frecuencias.

Son necesarias para

que los niños no olvidenlo que aprendieron 42%

18%

28%

6%

6%

Cree usted que las tareasen vacaciones...

Interfieren con el adecuadodescanso de los niños

Otro

Ninguna de lasanteriores

Ns / Nr



2. En una prueba de salto largo, las distancias en

centímetros logradas por 40 estudiantes fueron

las siguientes:

257 248 220 318 240

260 293 190 253 224

229 190 310 253 273

249 281 315 317 251

360 328 317 285 341

335 216 225 324 326

227 348 353 300 260

299 325 255 291 357

— Construir la tabla de frecuencias y determinar

el intervalo que contiene el porcentaje más

alto de estudiantes.

— Escribir dos conclusiones a partir de los datos

presentados.

Teoría de la probabilidad

a los estudiantes que diseñen un dado de

tal manera que la probabilidad de obtener 6 sea3

1.

las situaciones junto con sus estudiantes.

Aclare dudas en todos los casos.

1. El siguiente juego consiste en lanzar una moneda

sobre el tablero.

— Se lanza tres veces una moneda.

(tres caras seguidas)

(dos sellos)

(dos caras)

(una sola cara)

(un solo sello)

— De una caja que contiene tres cartas numera-

das con los dígitos 1, 2 y 3 se extraen dos cartas,

una a una, observando el número y poniéndo-

la nuevamente en la caja.

(dos números diferentes)

(dos números iguales)

(solo una tarjeta con el número 2)

(dos tarjetas con el número 3)

el experimento anterior, pero sin repo-ner la primera tarjeta.

(dos números iguales)

(dos tarjetas con el número 2)

(dos números consecutivos)

(solo una tarjeta con el número 3)

Caracterización de datos y probabilidad

cómo resolver la siguiente situación, relacio-

nando los grados, la frecuencia relativa y la teoría de la

probabilidad.

Se realizó una encuesta sobre las preferencias en

comidas de un grupo de personas. Los resultados se

registraron en el siguiente diagrama circular.

De acuerdo con la información dada, responder cada

pregunta.

— ¿Cuál es la probabilidad de caer en la zona

verde?

— ¿Cuál es la probabilidad de caer en la zona

clara?

— Variar las condiciones del juego para que la

probabilidad de caer en la zona verde sea 25%.

2. Martha y Andrea anotaron cada letra del alfabeto

en una carta. Martha saca una carta. Si la letra es

una vocal, Martha gana, de lo contrario, Andrea

gana. — ¿Cuál es la probabilidad de que la gente prefiera

d ?

Verduras

Carnes

Pastas108°

30°

27 edicion para el docente

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