2014220009

7/24/2019 2014220009

http://slidepdf.com/reader/full/2014220009 1/6

UJIAN AKHIR SEMESTERPENGETAHUAN DASARKOMPUTER I

Figure 1:

Oleh: Mordekhai Williem LehaNim: 2014220009

Program Studi Pendidikan Matematika

Semester II/Genap

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas DR. SOETOMO, Surabaya

Tahun Ajaran 2014/2015

1

7/24/2019 2014220009


1 1.1.1 ATURAN-ATURAN ILMU HITUNG

MATRIKS

Teorema berikut, yang kita nyatakan tanpa bukti, menunjukkan bahwahukum-hukum yang sudah dikenal dari eksponen adalah sahih.

Jika A adalah matriks kuadrat dan r serta s adalah bilangan bulat, maka

ArAs = Ar+s (Ar)s = Ars (1)

Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka:(a). A−1 dapat dibalik dan (A−1)−1 = A

(b). An dapat dibalik dan (An)−1 = (A−1)n untuk n = 0, 1, 2, 3, ....

(c). Untuk setiap skalar k = 0, maka kA dapat dibalik dan (kA)−1 = 1

kA−1

Bukti:Karena AA−1 = A−1A = I , maka A−1 dapat dibalik (A−1)−1 = A

Jika k adalah sebarang skalar yang taksama dengan nol, maka hasil (l) danhasil (m) memungkinkan kita untuk menuliskan

(kA)( 1k

A−1) = 1k

(kA)A−1 = ( 1k

k)AA−1 = (1)I = I (2)

Demikian juga ( 1

kA−1)(kA) = I

sehingga kA dapat dibalik (kA)−1 = 1

kA−1

Kita simpulkan dengan sebuah teorema yang menyenaraikan sifat-sifat utamadari operasi transpos.

Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat dilakukan, maka (a). (At) = A

(b). (A + B)t = At + Bt

(c). (kA)t = kAt, dimana k adalah sebarang skalar (d). (AB)t = B t · At

Walaupun kita tidak dapat membuktikannya, namun bagian (d) dari teoremaini dapat diperluas yang mencakup tiga faktor atau lebih.

2

7/24/2019 2014220009


Contoh:

1. Tinjaulah matriks 2 × 2

A =

a b

c d

Jika ad − bc = 0, maka

A−1 = 1

ad − bc

d −b

−c a

=

d

ad−bc − b

ad−bc

− c

ad−bc

a

ad−bc

Karena AA−1 = I 2 dan A−1A = I 2

→ (Terbukti).

2. Matriks yang diperbesar adalah

1 2 3 b1

2 5 3 b21 0 8 b3

Dengan mereduksi ini terhadap bentuk eselon baris terredukasi akan meng-hasilkan (Buktikan):

1 0 0 −40b1 16b2 +9b3

0 1 0 13b1 −5b2 −3b30 0 1 5b1 −2b2 −b3

Dalam kasus ini tidak ada pembatasan pada b1, b2, dan b3: bahwa sistemyang diberikan oleh AX = B mempunyai pemecahan yang unik

x1 = −40b1 + 16b2 + 9b3, x2 = 13b1 − 5b2 − 3b3, x3 = 5b1 − 2b2 − b3untuk semua B

3

7/24/2019 2014220009


7/24/2019 2014220009


3 1.1.3 BENTUK KUTUB ; TEOREMA DEMOIVRE

Dalam pasal ini kita akan membahas beberapa tambahan sifat dasar daribilangan kompleks.Jika z = x + iy adalah bilangan kompleks taknol, r = |z |, dan θ mengukursudut dari sumbu riil positif ke vektor z .

x = r cos θ

y = r sin θ (3)

sehingga dengan demikian z = x + iy dapat dituliskan sebagai

z = r cos θ + ir sin θ (4)

atauz = r(cos θ + i sin θ) (5)

Sudut θ disebut argumen z dan dinyatakan oleh

θ = arg z (6)

Argumen z tidak ditentukan secara unik karena kita dapat menambahkanatau mengurangkan sembarang kelipatan 2π dari θ untuk menghasilkan nilaiargumen yang lain. Namun demikian, hanya terdapat satu nilaiargumendalam radian yang memenuhi

−π < θ ≤ π (7)

Ini disebut argumen utama z dan dinyatakan oleh

θ = arg z (8)

contoh:

Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + √ 3i dalam bentuk kutubdengan memakai argumen-argumen utamanya:

Penyelesaian:

Nilai r adalah

r = |z | =

12 + (

√ 3)2 =

√ 4 = 2

5

7/24/2019 2014220009


dan karena x = 1 dan y =√

3, menyusul dari (3) bahwa

1 = 2 cos θ√ 3 = 2 sin θ

sehingga cos θ = 1

2 dan sin θ =

3

2. Satu-satunya nilai θ yang

memenuhi hubungan ini dan persyaratan −π < θ ≤ π adalahθ = θ

3 = (600). Jadi bentuk kubus z adalah

z = 2(cos

π

3 + i sin

π

3 )

Figure 2:

SEKIAN DAN TERIMA KASIH

6

2014220009

Documents