2. model matematis sistem dinamik - modul ajar

1 |2. Model Matematis Sistem Dinamik

MODUL AJAR

2. MODEL MATEMATIS SISTEM DINAMIK

MK. SISTEM PENGENDALIAN OTOMATIS

4 SKS – TEKNIK FISIKA ITS

MK. DARING TERBUKA DAN TERPADU


pditt.belajar.kemdikbud.go.id

2. MODEL MATEMATIKA SISTEM DINAMIK

Gambaran Umum Kerangka Bahasan Bagian terpenting dalam menganalisis dan merancang sistem pengendalian adalah mengetahui model plant yang akan dikendalikan. Model plant bisa dalam bentuk mekanik, listrik, elektrik, fluida, thermal, dll. Pada bagian BAB 2 ini, dijelaskan bagaimana membangun model matematik dari model-model plant tersebut diatas. Serta disajikan bagaimana menentukan variabel masukan-keluaran, serta memilih parameter yang akan menggambarkan karakteristik sistem. Dibahas bagaimana menggambarkan dinamika sistem dalam bentuk fungsi alih. Fungsi matematik yang merupakan perbandingan antara keluaran sistem dan masukan sistem. Fungsi alih inilah yang pada bab-bab selanjutnya akan digunakan untuk menjelaskan dasar pemilihan strategi pengendalian, analisis respon sistem, dan perlakuan perbaikan kinerja sistem pengendalian. Pada Bab ini juga akan disajikan beberapa contoh program MATLAB beserta SIMULINK untuk meningkatkan daya imajinasi Anda, dan Anda bisa belajar pada BAB ini secara interaktif

1. Model Sistem Mekanik, 2. Model Sistem Listrik, 3. Model Sistem Elektronik, 4. Model Sistem Fluida, 5. Model Sistem Thermal, 6. Linierisasi Model Non-linier, 7. Fungsi Alih, 8. Model Matematika Sistem Non-linier.

Tujuan Pembelajaran 1. Mampu menurunkan model matematik berbagai sistem dinamika, mulai dari

fenomena sistem sampai pada pemodelan sistem secara matematik, 2. Mampu menjelaskan variabel-variabel dan parameter-parameter yang

mempengaruhi dinamika sistem, 3. Mampu menggunakan program MATLAB dan SIMULINK untuk menggambarkan

karakteristik sistem dinamik, 4. Mampu membedakan sistem linier dan sistem non-linier yang sering dijumpai dalam

system pengendalian otomatis 5. Mampu meningkatkan ketrampilan otak, terkait dengan potensi otak untuk

menganalisis dan berlogika.


Pengantar

Pemodelan sistem fisis dengan menggunakan persamaan matematika, sangat diperlukan dalam

perancangan sistem pengendalian. Sistem yang ditinjau biasanya sistem mekanika, elektrika, fluida,

termodinamika. Dalam pemodelan sistem, sebagai representasi sifat internal digunakan model

matematika. Model matematika ini diturunkan berdasarkan hokum-hukum yang berlaku pada sistem

mekanika, elektrika, fluida dan thermodinamika dalam bentuk persamaan differensial. Hukum dasar

yang digunakan dalam pemodelan adalah hukum kekekalan energi dan massa. Beberapa klasifikasi dari

model sistem, dinyatakan sebagai model sistem mekanik, sistem listrik, sistem elektromekanik, sistem

termal, sistem fluida. Bentuk persamaan differensial ini memerlukan linierisasi bila menyangkut sistem

komplek yang cenderung dinyatakan dalam bentuk persamaan non linier. Bila dinyatakan dalam bentuk

linier maka, transformasi Laplace dapat dimanfaatkan untuk menyederhanakan penyelesaian.

Linierisasi dilakukan dengan cara pengabaian faktor – faktor yang berkaitan, dan asumsi-asumsi yang

diambil. Dengan menggunakan alat matematik, dapat dilakukan penyelesaian yang menggambarkan

cara kerja sistem tersebut.

Berikut merupakan penggambaran perlunya model matematik suatu sistem, dimana pada sistem

dinamika, dengan adanya eksitasi terhadap sistem maka akan berdampak pada respon yang dihasilkan.

Gambar 2.1 Blok diagram eksitasi pada suatu sistem

Salah satu bentuk model matematis sebuah sistem dinyatakan dalam bentuk persamaan differensial

(PD). Beberapa bentuk dari PD yaitu :

1. PD Biasa (Odinary Differential Equation = ODE)

2. PD Parsial (Partial Differential Equation = PDE)

3. PD Perubah Waktu (time variable)

4. PD Koeffisien konstan (Time invariant)

5. PD Linier

6. PD Non Linier

Sistem

Kon

In

Ga

Re


vi

R

C

Gambar PD-1

Rangkaian RLC

i(t)

L

vc

vr

2.1 Persamaan Differensial Linier Koefisien Konstan Langkah pertama dalam analisis sistem adalah mendapatkan model matematik dari sistem, yaitu

mendapatkan suatu persamaan matematik yang dapat menggambarkan perilaku sistem. Salah satu

bentuk model matematik suatu sistem adalah persamaan diferensial (PD) input-output.

Banyak sistem fisik yang responnya dapat dinyatakan dengan persamaan diferensial, misalnya

rangkaian listrik yang tersusun atas resistor, kapasitor dan induktor, sistem mekanik yang terdiri atas

pegas, dumper dan lain-lain. Berikut ini dipaparkan sistem yang dinyatakan dalam bentuk persamaan

diferensial linier koefisien konstan.

Secara umum, suatu sistem LTI (Linear Time Invariant) waktu kontinyu, dapat dinyatakan dalam bentuk

persamaan diferensial linier koefisien konstan sebagai berikut :

1

0 0

)()()( N

i

M

ii

i

ii

i

iN

N

dt

txdb

dt

tyda

dt

tyd

(2.1)

dengan i =1,2,3, . . . ,N-1 , bj , j=1,…M adalah bilangan nyata dan N >M. Dalam bentuk operator D

persamaan diatas dapat ditulis :

)()(0

1

0

txDbtyDaDM

i

ii

N

i

iiN

(2.2)

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial tersebut diperlukan N kondisi awal :

)(),...,('),( 0)1(

00 tytyty N

dengan t0 adalah waktu dimana input x(t) mulai diberikan pada sistem dan y’(t) adalah turunan dari

y(t) . Bilangan bulat N merupakan derajat atau dimensi sistem.

Untuk mendapatkan PD input-output dari suatu sistem, langkah pertama yang harus dilakukan adalah

menentukan variabel input dan output. Setelah itu dicari persamaan dari sistem sedemikian hingga yang

muncul sebagai variabel hanya input dan output.

Contoh 3.18

Tinjau sistem yang ditunjukkan pada Gambar 2.1. Untuk sistem tersebut misalkan input dan outputnya

masing-masing adalah iv dan cv .


Gambar 2. 1 Rangkaian RLC

Variabel output tersebut bersesuaian dengan apa yang ingin diketahui dari sistem. Jika yang ingin

diketahui adalah arus yang mengalir, maka variabel output yang dipilih adalah )(ti . Bila yang ingin

diketahui adalah tegangan di R maka dipilih rv sebagai output.

Persamaan yang berlaku untuk rangkaian Gambar 2.1 adalah :

idtCdt

diLiRvi

1

(2.3)

1

idtC

vc

(2.4)

sehingga

ci vdt

diLiRv

(2.5)

Persamaan (2.3) bukan persamaan PD input-output, karena di dalamnya masih terdapat variabel lain

yaitu )(ti . Karena itu, variabel )(ti harus dieliminir.

Dari Persamaan (2.4) diperoleh :

dt

dvCi c

(2.6)

sehingga Persamaan (2.3) dapat ditulis kembali sebagai berikut

ccc

i vdt

vdLC

dt

dvRCv

2

2

atau

ccc

i vdt

dvRC

dt

vdLCv

2

2

(2.7)

Persamaan (2.7) merupakan PD input-output.

2.2 Persamaan Keadaan Sistem Dinamik


Pada teori pengendalian konvensional, yang menjadi penting adalah sinyal masukan, sinyal keluaran

dan sinyal kesalahan. Dalam menganalisa sinyal keluaran, maupun kesalahan melalui fungsi alih.

Kelemahan dalam teori ini adalah hanya dapat diterapkan pada sistem linier dengan parameter konstan

dengan satu masukan dan satu keluaran. Teori ini tidak dapat diterapkan pada sistem dengan parameter

yang berubah (time varying), sistem non linier maupun sistem dengan multi masukan dan multi

keluaran. Hal ini tidak bisa kita lakukan untuk merancang sistem pengendalian adaptif dan optimal,

karena kedua metode tersebut sebagian besar diaplikasikan pada sistem dengan parameter berubah

dan sistem non linier.

Suatu pendekatan baru dalam teori pengendalian modern, dimana teori ini berkembang sejak

diketemukannya perangkat komputer. Pendekatan baru ini didasarkan pada konsep keadaan (state).

Sebelum kita membahas persamaan ruang keadaan, terlebih dahulu dibahas beberapa istilah yang akan

digunakan dalam bab ini. Hal – hal yang penting untuk dipahami adalah mengenai Keadaan (state),

Variabel keadaan, Vektor keadaan .

Keadaan (state), keadaan suatu sitem dinamik adalah himpunan terkecil dari variabel-variabel (disebut

variabel keadaan) sedemikian rupa sehingga dengan mengetahui varibel-variabel ini pada t=to,

bersama-sama dengan masukan untuk tto, dapat menentukan secara lengkap perilaku sistem untuk

setiap waktu tto. Jadi, keadaan suatu sistem dinamik pada saat t secara unik ditentukan oleh keadaan

tersebut pada t=to dan masukan untuk tto, tidak tergantung pada keadaan dan masukan sebelum to.

Perhatikan bahwa dalam membahas sistem linier parameter konstan, biasanya dipilih waktu acuan to

sama dengan nol.

Variabel keadaan, variabel keadaan suatu sistem dinamik adalah himpunan terkecil dari variabel-

varibel yang menentukan keadaan sistem dinamik. Jika paling tidak diperlukan n variabel

x1(t),x2(t),…,xn(t) untuk melukiskan secara lengkap perilaku suatu sistem dinamik (sedemikian rupa

sehingga setelah diberikan masukan untuk tto dan syarat awal pada t=to maka keadaan sistem yang

akan datang telah ditentukan secara lengkap), maka n variabel x1(t),x2(t),…,xn(t) tersebut merupakan

suatu himpunan variabel keadaan. Variabel keadaan tidak perlu merupakan besaran yang secara fisis

dapat diukur atau diamati. Meskipun demikian sebaiknya dipilih variabel keadaan yang merupakan

besaran dapat diukur secara mudah, karena hukum pengendalian optimal memerlukan umpan balik

semua variabel keadaan dengan pembobotan yang sesuai.

Vektor keadaan, jika diperlukan n variabel keadaan untuk menggambarkan secara lengkap perilaku

suatu sistem yang diberikan, maka n variabel keadaan ini dapat dianggap sebagai n komponen suatu

vektor x(t). Vektor semacam ini disebut vektor keadaan. Jadi vektor keadaan adalah suatu vektor yang


menentukan secara unik keadaan sistem x(t) untuk setiap tto, setelah ditetapkan masukan u(t) untuk

tto.

Ruang keadaan, ruang n dimensi yang sumbu koordinatnya terdiri dari sumbu x1, sumbu x2,…, sumbu

xn disebut ruang keadaan. Setiap keadaan dapat dinyatakan dengan suatu titik pada ruang keadaan.

Contoh Soal 2-1:

Perhatikan sistem rangkaian RLC yang ditunjukan pada Gambar 2.1 di atas. Perilaku dinamika sistem

dapat dilihat secara lengkap untuk tto jika harga-harga awal dari arus i(to),tegangan kapasitor vc(to),

dan tegangan masukan v(t) untuk tto diketahui. Jadi keadaan rangkaian tersebut untuk tto secara

dinyatakan sebagai i(t), vc(t) dan tegangan masukan v(t) untuk v(t) untuk tto. Maka dari itu, i(t) dan

vc(t) merupakan suatu himpunan variabel keadaan dari sistem tersebut. Pemilihan variabel keadaan

tunak suatu sistem adalah tidak unik, sebagai contoh, pada sistem ini bisa dipilih sebagai himpunan

variabel keadaan adalah x1(t )= vc(t)+Ri(t) dan x2(t) = vc(t).

Jawab :

Misalkan dipilih i(t) dan vc(t) sebagai variabel keadaan, maka persamaan yang menggambarkan

dinamika sistem elektrik RLC adalah,

idt

dvC

vvRidt

diL

c

c

dalam notasi matrik-vektor, dituliskan sebagai berikut,

vLv

i

C

LL

R

v

i

cc

0

1

01

1

ini merupakan penyajian persamaan ruang keadaan dari sistem rangkaian RLC.

Soal Latihan 2-1:

Perhatikan rangkaian listrik RLC seperti Gambar 5.2 di bawah. Bila ditentukan sebagai variabel

keadaan adalah arus yang melalui induktor dan tegangan pada kapasitor C1 dan C2. Tentukan

persamaan ruang keadaan sistem.


Gambar 2. 2 Rangkaian RLC dengan loop lebih dari satu.

Analisis sistem komplek, sistem modern yang komplek mungkin mempunyai beberapa masukan dan

beberapa keluaran, dan ini mungkin saling terkait secara komplek pula. Untuk menganalisis sistem

seperti ini, perlu penyederhanaan model matematik. Untuk perhitungan yang berulang-ulang sangat

membantu jika menggunakan komputer. Berdasarkan pandangan ini maka pendekatan yang paling

sesuai pada analisis sistem adalah pendekatan ruang keadaan.

Teori pengendalian konvensional adalah berdasarkan pada hubungan masukan dengan

keluaran sistem atau fungsi alih, sedangkan teori pengendalian modern berdasarkan pada diskripsi

persamaan sistem dalam bentuk n persamaan diferensial orde pertama, yang dapat digunakan menjadi

persamaan diferensial matrik-vektor orde pertama. Penggunaan notasi matrik-vektor akan sangat

menyederhanakan penyajian model matematika dari persamaan sistem.

Penggunaan metode ruang keadaan untuk analisis suatu sistem, sangat sesuai jika menggunakan

komputer digital, karena pendekatannya adalah wawasan waktu. Sehingga terhindar dari kebosanan

dan kesulitan pada saat terjadi perhitungan berulang dan lebih mudah untuk menyelesaikan sistem-

sistem yang berorde tinggi, ini adalah salah satu keunggulan penggunaan metode ruang keadaan.

Hal lain penting untuk diperhatikan, bahwa variabel keadaan tidak perlu menyatakan besaran-

besaran fisis dari sistem. Variabel yang tidak menyatakan besaran fisis, yang tidak dapat diukur atau

diamati, dapat dipilih sebagai variabel keadaan. Kebebasan dalam memilih varibel keadaan ini

merupakan keunggulan lain dari metode ruang keadaan.

Persamaan Ruang Keadaan Orde-n, dengan fungsi penggerak u.

Suatu sistem persamaan diferensial orde-n dinyatakan sebagai berikut,

uyayayay nn

nn

1

)1(

1

)(

..... … (2.8)

dengan perolehan data sebelumnya : )0(),...0(),0()1( n

yyy bersama dengan masukan u(t) untuk t0,

menentukan secara lengkap perilaku yang akan datang dari sistem, maka dapat dipilih

)(),...(),()1(

tytytyn

sebagai himpunan n variabel keadaan. Secara matematis, pemilihan varibel keadaan

semacam itu adalah cukup mudah. Akan tetapi secara praktis, karena ketidak telitian bentuk turunan

orde tinggi yang disebabkan oleh pengaruh noise inhern pada setiap kondisi praktis, maka pemilihan

variabel keadaan semacam itu tidak diinginkan. Selanjutnya didefinisikan,

)1(

2

1

..........

n

n yx

yx

yx


selanjutnya persamaan 9.1 dapat dituliskan kembali sebagai berikut,

uxaxax

xx

xx

xx

nnn

nn

11

1

32

21

...

...........

atau dalam bentuk persamaan ruang keadaan (matrik-vektor),

BuAxx …(2.9)

dimana,

1

0

:

0

0

,

..

1000

:::

0..100

0..010

,

.

:

121

2

1

BAx

aaaax

x

x

nnnn

persamaan keluaran menjadi,

n

n

x

x

x

x

y

1

2

1

0...01

atau,

Cxy …(2.10)

dimana, C=[1 0 …0]

Persamaan (2.9) adalah persamaan diferensial orde pertama yang disebut dengan persamaan keadaan,

sedangkan persamaan (2.10) disebut persamaan keluaran.

Contoh Soal 2-2:

Sistem didefinisikan oleh persamaan diferensial sebagai berikut :

uyyyy 66116 …(2.11)

dimana y adalah keluaran dan u adalah masukan sistem. Tentukan penyajian ruang keadaan dari sistem

yang dinyatakan pada persamaan (2.11) tersebut di atas.

Jawab :


Dipilih variabel keadaan sebagai berikut,

yx

yx

yx

3

2

1

Selanjutnya diperoleh,

uxxxx

xx

xx

66116 3213

32

21

Persamaan terakhir dari dari tiga persamaan ini diperoleh dengan menyelesaikan persamaan

diferensial asal (persamaan 5.4) untuk suku turunan yang tertinggi dan kemudian mensubtitusikan

persamaan yang kedua ke persamaan yang ketiga. Dengan menggunakan notasi matrik-vektor, tiga

persamaan diferensial orde pertama ini dapat digabungkan menjadi satu sebagai berikut,

u

x

x

x

x

x

x

6

0

0

6116

100

010

3

2

1

3

2

1

…(2.12)

persamaan keluaran dinyatakan oleh,

3

2

1

001

x

x

x

y …(2.13)

persamaan (5.5)dan (5.6) dapat ditulis dalam bentuk standar sebagai berikut,

Cx

BAxx

y

u …(2.14)

dimana 001,

6

0

0

,

6116

100

010

CBA

Gambar 2.3 menunjukkan penyajian diagram blok dari persamaan keadaan dan persamaan keluaran

(2.12) di atas. Perhatikan bahwa fungsi alih dari blok-blok umpan balik tersebut identik dengan

koefisien negatif dari persamaan diferensial asal persamaan (2.12),


Gambar 2. 3 Penyajian diagram blok sistem contoh soal

Soal Latihan 2.2:

Sistem didefinisikan oleh persamaan diferensial sebagai berikut :

uyyyy 108642

dimana y adalah keluaran dan u adalah masukan sistem. Tentukan penyajian ruang keadaan dari sistem

tersebut diatas.

2.3 Model Sistem Mekanik

Sistem mekanik terdiri dari komponen yang mempunyai sifat seperti pegas, disipasi energi

(damper – peredam), beban dengan massa tertentu, inersia, dan torsi. Sebagai contoh pada mobil, yang

mempunyai respon dinamik seperti kecepatan, lintasan, putaran pada roda. Sistem suspensi dan badan

mobil mempunyai respon dinamik berupa perubahan posisi saat mobil tersebut mengenai lonjakan

pada jalan. Bentuk ini menggambarkan pemodelan sistem mekanik yang bisa dinyatakan dengan

persamaan differensial orde-n. Besaran dari sistem mekanik dalam SI – Satuan Internasional seperti

pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1 Satuan SI untuk besaran Mekanika

Besaran Satuan (SI)

Panjang Meter – m

Massa Kilogram – kg

Waktu Detik – dt

Gaya Newton = kg.m/s2

Energi Joule = N.m

Daya Watt = N.m/dt

Tiga elemen dasar yang membentuk sistem mekanik yaitu : elemen inersia, pegas dan peredam. Elemen

inersia menyangkut massa dan momen inersia. Pada inersia massa dan momen inersia merupakan

perubahan gaya / torsi yang diperlukan untuk membuat perubahan satu satuan percepatan /

percepatan sudut. Elemen pegas adalah elemen mekanik yang dapat berubah akibat adanya gaya luar,

dimana perubahan bentuk ini berbanding langsung dengan gaya / torsi yang digunakan. Sedangkan

elemen peredam merupakan elemen mekanik yang menghilangkan energi dalam bentuk panas dan

tidak menyimpannya.


Gambar 2. 4 Sistem translasi mekanik.

Misalnya sebagai contoh sistem translasi mekanik, terdiri dari sebuah pegas dengan tetapan K, sebuah

damper dengan koeffisien B, diberi beban secara parallel dengan massa M seperti pada Gambar 2.8 di

atas. Dengan menggunakan hukun Newton II, gaya yang bekerja pada sistem dapat dinyatakan dengan

persamaan differensial sebagai berikut,

)(2

2

tfKxdt

dxB

dt

xdM …(2.30)

Perhatikan persamaan (2.1), suku di sebelah kiri mengandung variable x(t). x(t) yaitu variable

displacemen dari sistem mekanis. Variabel ini merupakan variable keluaran sistem. Dan suku di sebelah

kanan merupakan f(t) sebagai variable masukan sistem.

Sebuah blok diagram hubungan Antara masukan dengan keluaran dari system mekanis, dapat

ditunjukkan pada gamber berikut ini.

Pada persamaan (2.1), apabila diambil xx 1 dan dt

dxx 2 , maka diperoleh dua

persamaan yang dikatakan sebagai bentuk persamaan keadaan 1 (x1) dan persamaan

keadeaan 2 (x2) sebagai berikut,

21 x

dt

dx …(2.31)

122 )(

1KxBxtf

Mdt

dx …(2.32)

Sistem me

f(

x(t)


Persamaan (2.31) dan (2.32) merupakan bentuk persamaan ruang keadaan (state space), dengan

variable keadaan x1 dan x2. x1 adalah displacement dan x2 adalah laju displacemen. Kedua variable

keadaan ini bias menjadi keluaran sebuah sistem mekanis.

Contoh Soal 2-7 :

Jika benda dengan massa M=1 Kg mula-mula diam, kemudian pada saat t = 0

dikenai gaya sebesar 25 Newton dan masing-masing tetapan diketahui K=12 N/m , B =

5 N/m/det. Maka benda dengan massa M akan bergerak berpindah posisi dengan

kecepatan yang bervariasi.

Program MATLAB Dengan menggunakan MATLAB tanggapan sistem untuk contoh soal 2.1 dapat

diperoleh. Fungsi sistem dituliskan dalam M-file mechsys.m sebagai berikut,

function xdot = mechsys(t,x); % returns the state

derivatives

F = 25; % Step input

M =1; B = 5; K = 25;

xdot = [x(2) ; 1/M*( F - B*x(2) - K*x(1) ) ];

Sedangkan simulasi tanggapan sistem dalam interval waktu 0 s/d 3 detik, dituliskan

dalam M-file ch2ex01.m dengan menggunakan ode23 sebagai berikut,

t0= 0; tfinal = 3; % time interval

x0 = [0, 0]; % initial conditions

tol = 0.001; % accuracy

trace = 0; % if nonzero, each step is

printed

[t,x] = ode23('mechsys',t0,tfinal,x0,tol,trace);

subplot(211),plot(t,x)

title('Time response of mechanical translational sistem')

xlabel('Time - sec.')

text(2,1.2,'displacement')

text(2,.2,'velocity')

d= x(:,1); v = x(:,2);

subplot(212), plot(d, v)

title('velocity versus displacement ')

xlabel('displacement')

ylabel('velocity')

meta ch2ex01 % create meta file containg

graph

subplot(111)


Gambar 2. 5 Tanggapan sistem mekanik pegas-damper pada contoh soal 2.1.

Soal Latihan 2-6 :

Tinjau sistem damper – massa - pegas yang dipasang pada kereta seperti pada Gambar 2.10 di bawah.

Damper adalah alat yang memberikan gesekan liat atau redaman (damping), terdiri dari sebuah torak

dan selinder yang berisi minyak. Pada saat t<0, kereta diam, dan selanjutnya pada saat t = 0, kereta

digerakkan dengan kecepatan tetap u. Perpindahan (relatif terhadap tanah) y(t) dari massa adalah

keluaran dari sistem. Diberikan tetapan K untuk pegas dan B untuk damper.

Carilah :

(a). Model matematika yang menggambarkan dinamika sistem.

(b). Gambarkan dengan menggunakan program MATLAB tanggapan sistem, seperti pada contoh

diatas.

Gambar 2. 6 Sistem damper-massa-pegas diatas kereta.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

0

1

2

3Time response of mechanical translational system

Time - sec.

displacement

velocity

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-1

0

1

2

3velocity versus displacement

displacement

ve

locity


2.4 Model Sistem Listrik. Sistem elektrik terdiri dari komponen tahanan, induktor dan kapasitor yang bisa dihubungkan secara

serial mapun pararel maupun kombinasi keduanya. Pada bagian ini dibahas sistem rangkaian listrik

yang melibatkan tahanan, kapasitor dan induktor. Rangkaian elektrik termasuk pula transistor dan

amplifier. Sebuah televisi menghasilkan respon dinamik berupa berkas pada layar, atau perubahan

tuning frekuensi akan merubah apa yang tampak di layar. Pada umumnya suatu sistem elektrik yang

terdiri dari komponen tahanan R, Induktor – L dan kapasitor – C, dalam menurunkan model

matematisnya digunakan hukum dasar adalah hukum arus dan tegangan Kirchhoff. Model matematika

dari sistem dapat diperoleh dengan menggunakan kedua hukum tersebut.

Contoh Soal 2.8 :

Rangkaian R-L-C yang disusun secara seri seperti pada gambar 2.11 di bawah, rangkaian tersebut terdiri

dari suatu induktansi L (henry), tahanan R (ohm) dan kapasitor C (farad). Rangkaian diberi masukan

berupa tegangan Vs= 1 volts (t=0). Mula-mula arus di induktor nol, dan tegangan di capasitor 0.5 volts.

Tentukan tanggapan sistem : arus yang mengalir i(t) dan tegangan capasitor vc(t). diketahui R=1,4,

L=2H dan C=0,32F.

Gambar 2. 7 Rangkaian RLC domain waktu.

Berdasarkan hukum Kirchhoff persamaan sistem adalah,

sc Vvdt

diLRi dan

dt

dvCi c …(2.33)

ambil cvx 1 dan ix 2 , maka diperoleh,

…(2.34)

Program MATLAB

Dua fungsi sistem dituliskan dalam M-file electsys.m sebagai berikut,

212

21

1

1

RxxVL

x

xC

x

s


function xdot = electsys(t,x); % returns the

state derivatives

V = 1; % Step input

R =1.4; L = 2; C = 0.32;

xdot = [x(2)/C ; 1/L*( V - x(1) - R*x(2) ) ];


dalam M-file ch2ex02.m dengan menggunakan orde23 sebagai berikut,

clg

t0= 0; tfinal =15; % time interval

x0 = [0.5, 0]; % initial conditions


trace = 0; % if nonzero, each

step is printed

[t,x] = ode23('electsys',t0,tfinal,x0,tol,trace);


title('Time response of an RLC series circuit')


text(8,1.15,'Capacitor voltage')

text(8, .15,'current')

vc= x(:,1); i = x(:,2);

subplot(212),plot(vc, i)

title('current versus capacitor voltage ')

xlabel('capacitor voltage')

ylabel('current')

subplot(111)

Gambar 2. 8 Tanggapan arus dan tegangan kapasitor pada rangkaian seri RLC.

Soal Latihan 2-7 :

Tinjau rangkaian RLC yang tersusun seperti gambar dibawah. Mula-mula arus di induktor nol, dan

tegangan di kapasitor 0.5 volts. Tentukan tanggapan sistem : arus yang mengalir i(t) dan tegangan vcr(t).

Diketahui R=1, L=2H dan C=0,32F. Ddiberikan masukan berupa tegangan Vs= 1 volts (t=0).

Carilah :

(a). Model matematika yang menggambarkan sistem rangkaian RLC.

(b). Gambarkan dengan menggunakan program MATLAB tanggapan sistem, seperti pada

contoh diatas.

0 5 10 15-0.5

0

0.5

1

1.5Time response of an RLC series circuit

Time - sec.

Capacitor voltage

current

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3-0.1

0

0.1

0.2

0.3current versus capacitor voltage

capacitor voltage

curre

nt


Gambar 2. 9 Rangkaian Listrik RLC.

2.5 Model Sistem Elektromekanik.

Sistem elektromekanika merupakan sistem gabungan antara alektrik dengan mekanik. Sistem

elektromekanika yang akan dibahas adalah servomotor arus searah (servomotor dc) dan servomotor

dua fasa. Servomotor dc atau disebut motor-dc dengan daya rendah, biasanya digunakan untuk

komputer dan instrumentasi seperti misalnya disk drive, tape drive, dll. Sedangkan yang berdaya

menengah digunakan untuk sistem lengan robot, mesin pemintal yang dikendalikan secara numerik.

Tinjau motor arus searah, dengan arus jangkar magnetik dibuat konstan dan kecepatan dikendalikan

dengan tegangan medan, motor dc tersebut dinamakan motor dc dikendalikan medan. Perhatikan

diagram skematik motor dc sebagai berikut,

Gambar 2. 10 Sistem pengendali motor DC jangkar-magnet[2]. Pada sistem servomotor ini,

Ra = tahanan kumparan jangkar (ohm)

La = induktansi kumparan jangkar (henry)

ia = arus kumparan jangkar (ampere)

if = arus medan (ampere)

ea = tegangan yang dikenakan pada jangkar (volt)

eb = ggl - gaya gerak listrik balik (volt)

θ = perpindahan sudut dari poros motor (radian)

T = torsi yang diberikan oleh motor (N.m)

J = momen inersia ekivalen dari motor dan beban pada poros motor (kg.m2)

b = koefisien gesekan viskos ekivalen dari motor dan beban pada poros motor

(N.m/rad.dt)


Torsi T yang dihasilkan motor adalah berbanding lurus dengan hasil kali dari arus

kumparan ia dan fluks celah udara berbanding lurus dengan arus medan,

ff iK …(2.35)

Kf adalah konstanta, sehingga T dapat dituliskan sebagai berikut,

aff iKiKT 1 …(2.36)

dengan K1 konstan.

Perhatikan bahwa untuk medan arus konstan, fluks juga konstan dan torsi mempunyai

arah sesuai arus kumparan magnet, sehingga

aKiT …(2.37)

dengan K adalah konstanta torsi motor. Dari persamaan tersebut, terlihat bahwa apabila

tanda arus ia dibalik maka tanda dari torsi T akan terbalik pula. Hal ini akan menyebabkan

berbaliknya arah putaran motor.

Bila kumparan magnet berputar, maka tegangan akan sebanding dengan hasil kali fluks

dan kecepatan sudut yang diinduksikan pada kumparan magnet. Untuk fluks yang konstan,

tegangan induksi eb berbanding lurus dengan kecepatan sudut d/dt, atau

dt

dKe bb

…(2.38)

dimana eb adalah emf balik dan Kb konstanta emf balik.

Kecepatan jangkar magnet servomotor dc dikendalikan oleh tegangan kumparan magnet

ea. Persamaan diferensial rangkaian kumparan magnet adalah,

abaaa

a eeiRdt

diL …(2.39)

Arus jangkar magnet menghasilakan torsi yang bekerja terhadap inersia dan gesekan,

sehingga

aKiTdt

db

dt

dJ

2

2

…(2.40)

dengan transformasi Laplace ketiga persamaan terakhir (2.38), (2.39) dan (2.40) dapat

dirubah sebagai berikut,


)()( sEsK bb …(2.41)

)()()()( sEsEsIRsL abaaa …(2.42)

)()()()( 2 sKIsTsbsJs a …(2.43)

Dengan menyusun persamaan (2.41), (2.42) san (2.43) diperoleh fungsi alih,

baaaaa KKbRsJKbLJsLs

K

sE

s

)()(

)(2

…(2.44)

atau dapat disederhanakan, dengan mengabaikan La, karena biasanya sangat kecil,

sehingga diperoleh fungsi alih sistem sebagai berikut,

)1()(

)(

sTs

K

sE

s

m

m

a

…(2.45)

dimana )/( bam KKbRKK

)/( aaam KKbRJRT

Gambar 2. 11 Diagram blok dari gambar 2.14.

Soal Latihan 2.8:

Sebuah sistem elektromekanik seperti yang ditunjukan pada gambar di bawah, yaitu sebuah

servomotor dc dengan pengendali jangkar magnet, menggerakkan beban yang terdiri dari momen

inersia JL. Torsi yang dikembangkan motor adalah T. Perpindahan sudut dari rotor motor dan elemen

beban adalah m dan , secara berurutan. Rasio roda gigi adalah n = /m. Dapatkan fungsi alih dari

sistem (s)/Ei(s).


Gambar 2. 12 Sistem servomotor DC yang dikendalikan jangkar-magnet[2].

Sistem elektromekanik yang telah diuraikan di atas merupakan salah satu contoh dari sistem campuran.

Tidak hanya servomotor, tetapi loudspeaker yang berada pada sistem stereo, aktuator solenoid juga

termasuk sistem elektromekanik. Pada loudspeaker, arus listrik dari amplifier ditransformasikan untuk

menggerakkan kerucut speaker dan fluktuasi udara yang menyebabkan suara dikuatkan.

2.6 Model Sistem Fluida. Dalam analisis sistem aliran zat cair, perlu dibedakan antara aliran laminar dan turbulen, sesuai dengan

besar bilangan Reynoldnya. Bila bilangan Reynold lebih besar dari 4000 maka termasuk aliran turbulen.

Aliran dikatakan laminar bila bilangan Reynold lebih kecil dari 2000. Sistem aliran turbulen biasanya

dinyatakan dengan persamaan differensial taklinier, sedangkan aliran laminar dinyatakan dengan

persamaan differensial linier. Di industri, dimana cairan mengalir dalam pipa biasanya tidak laminar,

dan ini perlu dianalisa terlebih dahulu mengenai tipe aliran yang terjadi pada sistem perpipaan di

industri.

Anggap sistem fluida adalah aliran laminar, sehinga kita dapat memandang persamaannya adalah linier

atau dilinierkan, persamaan differensial sistem dapat diperoleh dengan mengetahui terlebih dahulu

konsep mengenai tahanan aliran, kapasitansi, dimana didefiniskan sebagai :

Tahanan suatu aliran - R, perubahan beda tinggi muka yang diperlukan untuk menimbulkan satu

satuan perubahan laju aliran.

R = dtmaliranlajuperubahan

mmukatinggibedaperubahan

/,

,3

Kapasitasnsi - C, perubahan jumlah cairan yang tersimpan , yang diperlukan untuk menimbulkan satu

satuan potensial (tinggi tekan).

C = mtekantinggiperubahan

mtersimpanyangcairanperubahan

,

, 3

Karena aliran masuk dikurangi aliran keluar dalam tangki selama selang waktu dt kecil sama dengan

jumlah tambahan air dalam tangki, kita dapatkan persamaan,

dtqqCdh oi )( dan R

hqo …(2.46)

maka persamaan differensial sekarang menjadi,


iRqhdt

dhRC …(2.47)

dengan transformasi Laplace diperoleh,

1)(

)(

RCs

R

sQ

sH

i

dan R

sHsQo

)()( …(2.48)

dimana R adalah resistansi termal tetap. Maka fungsi alih bisa dituliskan antara aliran

fluida keluar dan fluida masuk sebagai berikut,

1

1

)(

)(

RCssQ

sQ

i

o …(2.49)

Gambar 2. 13 (a) Sistem pengendalian permukaan fluida cair. (b) Kurva laju aliran versus permukaan fluida cair[2].

Contoh Soal 2.8:

Bila sistem yang digambarkan pada Gambar 2.14 diatas, saat kondisi steady pada laju aliran 4 x 10-4

m3/dtk dan ketinggian fluida dalam tangki kondisi steady adalah 1 m. Pada saat t = 0, valve masukan

dibuka sehingga menyebabkan laju perubahan fluida menjadi 4,5 x 10-4 m3/dtk. Tentukan resistansi R

pada valve keluaran, bila kapasitansi tangki C=0,02 m2. Tentukan respon dari ketinggian fluida pada

sistem tersebut.

Laju aliran yang melalui valve keluaran dapat diasumsikan sebagai fungsi yang

dinyatakan :

HKQ

Dengan Q = 4 x 10-4 m3/dtk dan H = 1 meter, maka K = 4 x 10-4.

Saat laju aliran berubah menjadi 4,5 x 10-4 m3/dtk, kondisi tinggi fluida tangki saat steady

menjadi :

H44 10.410.5,4 , H = 1,266 meter

Ini berarti terjadi perubahan tinggi fluida : 1,266 – 1 = 0,266 m. Resistansi rata rata dari

valve keluaran adalah :


24

4/10.552,0

10.45,4

1266,1mdtk

dQ

dHR

Dari persamaan 2.18, 1

)()(

RCs

sQsH i , dengan masukan laju fluida tetap,

)1)02,010.532,0((

266,0)(

4

sxssH

Dengan program MATLAB

num = [0.266]; den = [106.4 1]; step (num, den); subplot (111);

Keluaran dari program seperti tampak pada gambar di bawah ini.

Gambar 2. 14 Grafik respon dinamika sistem untuk contoh soal 2.8.

Model Simulink : Pengendalian level pada tangki.

Mari kita memperhatikan sebuah model sistem pengendalian fluida dalam sebuah tangki.

Tujuan dari pengendalian ini adalah untuk menjaga ketinggian permukaan fluida dalam

tangki seperti yang diinginkan. Silahkan Anda membuka Program

MATLAB>Demo>Simulink, selanjutnya akan tertampil layar sebagai berikut,


Gambar 2. 15 Layar program Simulink-MATLAB.

Pilih model ‘Tank Fill and Empty with Animation’, dan klik pada tulisan ‘Open this

model’ yang berada pada pojok atas sebelah kanan layar, akan tampil layar simulink

dalam bentuk blok diagram berikut,

Gambar 2. 16 Gambar blok diagram simulasi pengendalian level pada tangki.

Bisa juga Anda menampilkan simulasi proses dalam bentuk GUI. Dengan tampilan dalam bentuk GUI ini,

Anda bisa merubah-rubah besar bilangan ; 2 variabel proses ‘Flow Rate-Out’ dan ‘Flow Rate-In’,

Parameter sistem ‘Tank Base Area’ dan 2 parameter setting ‘Maximum Height Limit’ dan ‘Minimum

Height Limit’. Sebagai contoh Anda merancang sistem dengan harga bilangan sebagai berikut,

Gambar 2. 17 Gambar model simulasi pengendalian level pada tangki.


Langkah selanjutnya untuk menjalankan simulasi proses ini, silahkan anda klik pada

kotak ‘START SIM’, selanjutnya Anda akan melihat simulasi dari hasil rancangan yang

telah Anda tentukan. Fluida akan mengalir dari valve atas masuk ke tangki, dan keluar

melalui valve bagian bawah dengan kesetimbangan yang telah diatur. Grafik hasil

simulasi dapat diperhatikan pada layar berikut ini,

Gambar 2. 18 Grafik simulasi pengendalian level pada tangki.

Soal Latihan 2.8 :

Dengan menggunakan gambar yang sama seperti diatas, diketahui bahwa

meter3H , det/02,0 3mQ , dan daerah potongan melintang dari tangki sama

dengan 5 m2, dapatkan konstanta waktu dari sistem tersebut pada titik operasi ( H ,Q ).

Anggap arus fluida melalui katup adalah turbulen.

2.7 Model Sistem Termal. Sistem termal adalah sistem yang melibatkan perpindahan panas dari bahan yang satu ke yang lain.

Sistem termal dapat dianalisis dalam bentuk tahanan dan kapasitansi, meskipun kapasitansi termal dan

tahanan termal tidak dapat digambarkan secara tepat sebagai parameter yang utuh, karena sebenarnya

terdistribusi diseluruh bahan yang bersangkutan. Untuk menyederhanakan pembahasan, sistem termal

dapat digambarkan dengan model parameter yang utuh, bahwa bahan yang dikarakterisasi sebagai

kapasitansi panas mempunyai tahanan yang dapat diabaikan terhadap arus panas. Ada tiga cara panas

dialirkan, yaitu konduksi, konveksi dan radiasi.

Tahanan termal R dan kapasitansi termal C untuk perpindahan panas antara dua benda dapat

didefinisikan sebagai :


R= Wpanasaliranlajuperubahan

Ctemperaturbedaperubahan o

,

,

C = Ctemperaturperubahan

Jtersimpanyangkalorperubahano,

,

Contoh Soal 2.9 :

Tinjau sistem termal seperti gambar di bawah. Anggap bahwa tangki diisolasi untuk mencegah

kehilangan panas ke udara sekitar. Anggap pula bahwa tidak terdapat panas masuk dan zat cair dalam

tangki pada suhu yang seragam. Sehingga suhu tunggal dapat digunakan untuk menggambarkan suhu

cairan dalam tangki dan aliran keluar tangki.

Gambar 2. 19 Skema sistem pemanas fluida dengan pemanas steam

Blok diagram dari sistem Gambar 2.23 di atas seperti terlihat pada Gambar 2.224.

Gambar 2. 20 Blok diagram Gambar 2.13

Diasumsikan bahwa suhu aliran zat cair yang masuk dijaga tetap, dan laju panas masuk sistem (kalor

dari pemanas) tiba-tiba dirubah dari H menjadi H +hi. Dengan hi menyatakan perubahan kecil laju

panas masuk. Laju aliran panas keluar kemudian dirubah secara perlahan dari H menjadi H +ho. Suhu

H(

(


aliran zat cair yang keluar juga akan berubah dari o menjadi o + . dalam hal ini ho, C dan R berturut-

turut diperoleh,

GchRMcCGh

o

co

1,,

…(2.50)

persamaan differensial sistem,

iRhdt

dRC

…(2.51)

Dengan melakukan transformasi laplace untuk persamaan (2.51), dan ditulis

dalam bentuk fungsi alih,

1)(

)(

RCs

R

sH

s

i

…(2.52)

dimana )(s ℒ[(t)] dan Hi(s)= ℒ[hi]

2.8 Linierisasi Model Non-linier. Sebagian besar sistem fisis adalah non-linier yang kemudian dilinierisasi pada range variabel tertentu.

Proses linierisasi persamaan nonlinier sangat penting, berkaitan dengan metode-metode yang akan

digunakan dalam perancangan sistem pengendalian. Linierisasi sering dilakukan, dengan menggunakan

ekspansi deret Taylor disekitar titik operasi dan mempertahankan hanya bagian yang linier saja.

Contoh Soal 2.4 :

Sebuah pendulum dengan berat W=mg Kg digantungkan pada engsel dengan panjang lengan L meter

(berat lengan diabaikan). Persamaan sistem secara nyata adalah persaman non-linier. Pada saat

pendulum mengayun terjadi redaman oleh gesekan, faktor redaman B Kg/m/det. Pendulum mengayun

dengan sudut ayun , perhatikan Gambar 2.19 berikut,

Gambar 2.19 Sistem pendulum diayun.

Sudut ayun , makin besar akibat adanya gaya tangensial , sehingga hukum Newton II:

W=


BLWFT sin. …(2.23)

dari hukum Newton untuk dinamika rotasi,

mLFT …(2.24)

Kombinasi dari kedua persamaan tersebut diatas diperoleh persamaan linier,

0sin WBLmL …(2.25)

ambil 1x dan 2x (kecepatan angular) maka,

)( 122

1

xSinmL

Wx

m

Bx

xx

…(2.26)

Program MATLAB Dua fungsi sistem dituliskan dalam M-file pendulum.m sebagai berikut,

function xdot = pendulum(t,x); % returns the state

derivatives

W =2; L = .6; B = 0.02; g = 9.81; m =W/g;

xdot = [x(2) ; -B/m*x(2)-W/(m*L)*sin(x(1)) ];


dalam M-file ch2ex03.m dengan menggunakan ode23 sebagai berikut,

clg

t0= 0; tfinal =5; % time interval

x0 = [1, 0]; % initial conditions


trace = 0; % if nonzero, each step is

printed

[t,x] = ode23('pendulum',t0,tfinal,x0,tol,trace);


title('Time response of pendulum on rigid rod')


text(3.2,3.1,'Velocity')

text(3.2,1.2,'Angle-Rad.')

th= x(:,1); w = x(:,2);

subplot(212),plot(th, w)

title('Phase plane plot of pendulum')

xlabel('Position - Rad.')

ylabel('Angular velocity')

subplot(111)


Gambar 2.20 Respon ayunan pendulum dalam sudut ayun dan kecepatan angular.

Linierisasi Sistem Non-Linier

Sistem nonlinier sering kali dilinierkan dengan anggapan kondisi sinyal sangat kecil.

Persamaan differensial nonlinier yang menggambarkan gerakan ayunan pendulum

seperti telah dijelaskan didepan, dapat dilinierisasi jika sudut simpangan mula-mula

sangat kecil. Sudut simpangan o , sehingga persamaan pendulum dapat

dituliskan kembali sebagai berikut,

0)()()( WSinBLmL …(2.27)

Dengan anggapan kecil Sin 0, Cos 1, maka suku sinus dapat dihilangkan,

sehingga dapat diperoleh persamaan linier sebagai berikut,

0 WBLmL …(2.28)

Persamaan ini akan menghasilkan tanggapan yang sama dengan persamaan linier yang

tealah dibahas berikutnya.

2.9 Fungsi Transfer / Fungsi Alih

0 1 2 3 4 5-4

-2

0

2

4Time response of pendulum on rigid rod

Time - sec.

Velocity

Angle-Rad.

-1 -0.5 0 0.5 1-4

-2

0

2

4Phase plane plot of pendulum

Position - Rad.

An

gu

lar

ve

locity


Transformasi-Laplace memainkan peranan yang sangat penting dalam analisis dan representasi sistem

LTI waktu kontinyu. Salah satu sifat transformasi-Laplace yang sangat penting dan telah dibahas pada

pokok bahasan Sifat-Sifat Transformasi-Laplace adalah sifat konvolusi. Sifat ini memberikan

kemudahan dalam perhitungan untuk mendapatkan respon sistem. Pada pokok bahasan ini akan

dieksploitasi sifat ini lebih jauh.

2.9.1 Fungsi Transfer dari Respon Impuls.

Output suatu sistem yang memiliki respon impuls )(th dan input )(tx diberikan oleh :

dthxty )()()( (2.15)

Dengan melakukan transformasi Laplace pada kedua sisi Persamaan (2.15) dan menggunakan sifat

konvolusi, diperoleh

dthxty )()()( LL

)()()( sXsHsY (2.16)

Fungsi transfer didefinisikan sebagai perbandingan output/input sistem dalam doman-s , yaitu

)(

)()(

sX

sYsH

(2.17)

Dari Persamaan (2.15) dan (2.16), dapat disimpulkan bahwa )()( thsH L .

Akar-akar dari pembilang dan penyebut fungsi transfer )(sH masing-masing disebut zero dan pole

dari fungsi transfer. Untuk js , )(sH tidak lain merupakan respon frekuensi dari sistem. Gambar

(2.4) menunjukkan diagram blok hubungan input-output dan fungsi transfer suatu sistem .

H(s))(sX )(sY

Gambar FTs-1

Hubungan Input-Output dan

Fungsi Transfer Gambar 2. 21 Hubungan input-output dan fungsi transfer

Contoh Soal 2.4

Dapatkan fungsi transfer untuk sistem yang memiliki respon impuls

)(25)( 102 tueeth tt

Penyelesaian :


)()( thsH L )(25 102 tuee tt L

)10)(2(

547

10

2

2

5)(

ss

s

sssH

Fungsi transfer memiliki peran yang sangat penting dalam analisis sistem. Beberapa sifat sistem LTI

dapat dikaitkan dengan fungsi transfer dalam bidang-s , khususnya dengan lokasi pole dan daerah

konvergensi. Sebagai contoh, untuk sistem LTI kausal, respon impulsnya nol untuk 0t , jadi respon

impulsnya merupakan sisi kanan. Sehingga ROC- Radius of Convergence dari fungsi transfer untuk

sistem kausal mencakup seluruh bidang-s di sebelah kanan pole paling kanan. Sebaliknya untuk sistem

antikausal, maka ROC-nya berada di sebelah kiri pole yang paling kiri. Relasi kausalitas dan ROC ini tidak

berlaku sebaliknya. Jadi jika ROC berada di sisi kanan pole yang paling kanan , tidak berarti sistemnya

kausal, yang pasti bahwa respon impulsnya sisi kanan.

ROC dari )(sH juga dapat dikaitkan dengan stabilitas sistem. Sebagaimana telah dibahas bahwa

transformasi Fourier dari respon impuls sistem LTI yang stabil adalah konvergen. Jadi untuk sistem LTI

yang stabil, ROC dari )(sH harus mencakup sumbu j (yaitu 0)Re( s ).

Untuk suatu sistem LTI dengan fungsi transfer rasional yang kausal dan stabil, maka semua pole-nya

harus berada di sebelah kiri setengah bidang-s. Hal ini konsekuensi dari kausalitas, yaitu ROC di sebelah

kanan pole yang paling kanan, dan dari stabilitas, ROC harus mencakup sumbu j .

Contoh Soal 2.3

Suatu sistem memiliki fungsi transfer

)4)(2(

2)(

ss

ssH

Karena ROC-nya tidak dispesifikasikan, maka ada beberapa ROC yang berbeda untuk sistem tersebut,

dan konsekuensinya respon impulsnya juga berbeda. Jika informasi tentang stabilitas dan kausalitas

sistem diberikan, maka ROC yang sesuai dapat ditentukan.


Bidang s

Im

Re

(a) (b)

XX42-2

Bidang s

Im

Re

XX42-2

Bidang s

Im

Re

XX42-2

(c)

Gambar FTs-2

ROC untuk Contoh 1

(a). kausal, tidak stabil (b). nonkausal, stabil (c). nonkausal, tidak stabil

Gambar 2. 22 ROC untuk contoh 2.3, (a) Kasual, tidak stabil, (b) Nonkasual, stabil, (c) nonkasual, tidak

stabil

Misalkan, jika sistemnya diketahui kausal, maka ROC-nya ditunjukkan pada Gambar (2.5a). Jika

sistemnya diketahui stabil, maka ROC-nya ditunjukkan pada Gambar (2.5 b). Sedangkan Gambar (2.5c)

adalah ROC untuk sistem yang tidak stabil

Contoh Soal 2.4

Fungsi transfer sistem kausal orde-2 dengan pole kompleks konjugate diberikan oleh :

22

2

2)(

nn

n

sssH

dimana 10 , dan polenya terletak di 21 nn js .

Lokasi pole untuk 10 ditunjukkan pada Gambar (2.6). Karena sistemnya kausal, maka ROC-nya

berada di sebelah kanan pole yang paling besar, yaitu ns dan dari syarat stabilitas, ROC dari

)(sH harus mencakup sumbu j . Jadi untuk 10 , sistem tersebut stabil.


Bidang s

Re

Gambar FTs-3

Lokasi pole dan ROC untuk sistem kausal orde-2

Im

X

X

n

Gambar 2. 23 Lokasi pole dan ROC system kausal orde-2

2.9.2 Fungsi Transfer dari PD Input – Output

Untuk sistem dinyatakan dalam bentuk persamaan PD input-output dimana semua kondisi mula=0 :

M

kk

k

k

N

kk

k

kdt

txdb

dt

tyda

00

)()( (2.18)

maka fungsi transfernya dapat diperoleh dengan mengambil transformasi-

Laplace pada kedua sisi

M

kk

k

k

N

kk

k

kdt

txdb

dt

tyda

00

)()(LL (2.19)

Dengan menggunakan sifat linieritas , Persamaan (2.19) dapat ditulis

M

kk

k

k

N

kk

k

kdt

txdb

dt

tyda

00

)()(LL (2.20)

dan dari sifat diferensial terhadap waktu, diperoleh

M

k

kk

N

k

kk sXsbsYsa

00

)()( (2.21)

atau ekivalen dengan

M

k

kk

N

k

kk sbsXsasY

00

)()( (2.22)

sehingga diperoleh fungsi transfer


N

k

kk

M

k

kk

sa

sb

sX

sYsH

0

0

)(

)()( (2.23)

sedangkan respon impuls dari sistem dapat diperoleh dari

)()( 1 sHth L (2.24)

Jelas bahwa pole dari fungsi transfer sistem sama dengan akar-akar persamaan karakteristik dari sitem

tersebut.

Contoh Soal 2.5

Dapatkan fungsi transfer dan respon impuls dari sistem yang dinyatakan oleh PD input-output :

)(5)(4)(

5)(

2

2

txtydt

tdy

dt

tyd

dimana )(tx dan )(ty masing-masing merupakan input dan output sistem, dan semua kondisi mula=0 :

Penyelesaian :

Dengan mengambil transformasi-Laplace pada kedua sisi PD input-output diperoleh

)(6)(4)(

5)(

2

2

txtydt

tdy

dt

tydLL

)(6)(452 sXsYss

Jadi fungsi transfernya :

45

6

)(

)()(

2

sssX

sYsH

Untuk mendapatkan respon impuls, maka fungsi transfer tersebut diuraikan dalam bentuk pecahan

parsial :

)4(

2

)1(

2

45

6)(

2

sssssH

)(22)()( 41 tueesHth tt

L

2.9.3 Fungsi Transfer dari Persamaan dalam Domain s

Proses mendapatkan PD input-output memerlukan eliminasi variable dalam domain waktu. Proses

eliminasi akan lebih mudah dilakukan jika dilakukan dalam domain-s. Untuk mendapatkan fungsi

transfer dengan cara ini dapat dilakukan dengan cara melakukan transformasi Laplace pada persamaan

dalam sistem dan melakukan eliminasi dalam domain-s.

Contoh Soal 2.6


Dapatkan fungsi transfer dan respon impuls untuk sistem yang ditunjukkan pada Gambar FTs-5, dimana

input dan output dari sistem masing-masing adalah )(tei dan )(tvrc . Misalkan

FCHLR 1,1,1 dan semua kondisi mula=0 !

Gambar 2. 24 Rangkaian RLC

Penyelesaian :

Untuk sistem tersebut berlaku persamaan :

dttiC

Rtidt

tdiLtei )(

1)(

)()(

(2.25)

dan

dttiC

Rtitvrc )(1

)()( (2.26)

Untuk mengeliminir )(ti dalam domain waktu dari Persamaan (2.26) sulit dilakukan. Ambil

transformasi Laplace dari Persamaan (2.25) dan (2.26), diperoleh

sC

sIRsIsLsIsEi

)()()()(

(2.27)

dan

)(1)(

)()( sICs

RCs

sIRsIsVrc

(2.28)

Jelas bahwa eliminasi I(s) menjadi mudah, yaitu

)(11

)()( sV

RCs

sC

sCR

sVsI rc

rc

(2.29)

Jika Persamaan (2.29) disubstitusikan ke Persamaan (2.27) diperoleh

sC

sIRsIsLsIsEi

)()()()(

)(1

1)(

1)(

1)( sV

sCRCs

sCRsV

RCs

sCsV

RCs

sCLssE rcrcrci

)(1

1)(

2

sVRCs

sRCLCssE rci

sehingga


1

1

1

1

)(

)()(

22

ss

s

sRCLCs

RCs

sE

sVrsH

i

c

Fungsi transfer ini memiliki pole kompleks konjugate, yaitu 32

1

2

1js . Untuk mendapatkan

respon impuls, maka fungsi transfer tersebut ditulis dalam bentuk berikut :

2222

2

35.05.0

3/35.0

35.05.0

5.0

1

1)(

ss

s

ss

ssH

)(35.0sin3

1)35.0cos()()( 5.05.01 tutetesHth tt

L

Ringkasan

1. Fungsi Transfer : )()( thsH L dteth st

0

)(

2. Fungsi Transfer untuk sistem dalam bentuk :

M

kk

k

k

N

kk

k

kdt

txdb

dt

tyda

00

)()(

diberikan oleh

N

k

kk

M

k

kk

sa

sb

sX

sYsH

0

0

)(

)()(

Latihan 2.6

Dapatkan fungsi transfer dan respon impuls dari sistem berikut :

vi

R

C

Gambar FTs-4

Rangkaian RLC

i(t)

L

vc

vr

dimana )(tvi dan )(tvc masing-masing merupakan input dan output sistem, sedangkan nilai

perbadingan 2L

R dan 2

1

LC, serta semua kondisi mula=0 !


Fungsi alih linier, time-invariant, sistem persamaan differensial didefinisikan sebagai perbandingan

transformasi Laplace variabel keluaran terhadap transformasi Laplace variabel masukan, dengan

anggapan kondisi mula-mula sama dengan nol. Persamaan karakteristik dapat diperoleh dengan

mengambil polinomial denumerator (penyebut) sama dengan nol. Akar akar denumerator adalah pole

dari sistem, dan akar-akar dari numerator adalah zero / nol dari sistem.

Perhatikan persamaan differensial linier, time-invariant dinyatakan sebagai berikut,

)(1

)1(

1

)(

01

)1(

1

)(

0 mnxbxbxbxbyayayaya mm

mm

nn

nn

…(2.29)

nol awalkeadaan ][

][)(Alih Fungsi

masukanTL

keluaranTLsG

nn

nn

mm

mm

asasasa

bsbsbsb

sX

sYsG

1

1

10

1

1

10

)(

)()(

…(2.30)

Beberapa hal penting tentang fungsi alih :

1. Fungsi alih suatu sistem adalah model matematika yang menghubungkan variabel keluaran dengan

variabel masukan.

2. Fungsi alih adalah sifat dari sistem, tidak tergantung dari besaran dan sifat dari masukan atau fungsi

penggerak.

3. Fungsi alih tidak memberikan informasi apapun mengenai struktur fisik dari sistem (fungsi alih dari

banyak sistem yang secara fisik berbeda dapat identik).

4. Fungsi alih dengan masukan yang berbeda, tanggapan dari sistem dapat ditelaah untuk mengetahui

sifat dari sistem.

5. Fungsi alih sistem dapat diperoleh berdasarkan data operasi masukan-keluaran sistem.

Program MATLAB :

Program MATLAB dapat digunakan untuk mencari akar polinomial denumerator, yang merupakan pole

dari sistem, dengan M-file roots(p), dan dapat juga digunakan untuk menentukan koeffisien polinomial

dengan menggunakan M-file poly(r).

Contoh Soal 2.5 :

Cari akar-akar polinomial dari persaman berikut,

01575,1475,6725,6125,319 23456 ssssss

dengan menggunakan program roots(p).

Jawab :


Barikut dua baris progam MATLAB dalam M-file,

p = [ 1 9 31.5 61.25 67.75 14.75 15 ]

r = roots(p)

Hasil akar-akar polinomial adalah sebagi berikut, r =

-4.0000

-3.0000

-1.0000 + 2.0000i

-1.0000 - 2.0000i

0.0000 + 0.5000i

0.0000 - 0.5000i

Contoh Soal 2.6 :

Diketahui akar polinomial –1, -2, -3j4 tentukan persamaan polinomialnya.

Jawab :

dengan menggunakan program poly(r) sebagai berikut,

i = sqrt(-1)

r = [-1 -2 -3+4*i -3-4*i ]

p = poly(r)

Koefisien persamaan polinomial diperoleh sebagai berikut, p =

1 9 45 87 50

Maka persamaan polinomialnya adalah,

05087459 234 ssss

Contoh Soal 2.7 :

Dari suatu sistem yang dinyatakan dengan matrik 3x3 sebagai berikut,

5116

6116

110

A

cari persamaan karakteristik (menggunakan poly) dan akar persamaan (menggunakan

roots) sistem.

Jawab :

dengan menggunakan program poly(A) dan roots(p) sebagai berikut,

A = [0 1 -1; -6 -11 6; -6 -11 5];

p = poly(A)

r = roots(p)


diperoleh koefisien dan akar-akar polinomial sebagai berikut,

p =

1.0000 6.0000 11.0000 6.0000

r =

-3.0000

-2.0000

-1.0000

Contoh Soal 2.8 :

Cari pole dan zero dari fungsi alih berikut,

5087459

3011)(

234

23

ssss

ssssH

Jawab :

Dengan menggunakan program MATLAB tf2zp(num,den) diperoleh hasil sebagai

berikut,

num = [ 1 11 30 0];

den = [ 1 9 45 87 50];

[z,p,k]=tf2zp(num,den)

Diperoleh zero (nol), pole, dan gain sebagai berikut,

z =

-6.0000

-5.0000

0.0000

inf

p =

-3.0000 + 4.0000i

-3.0000 - 4.0000i

-2.0000

-1.0000

k =

1

Sehinga diperoleh fungsi alih yang baru sebagai berkut,

)43)(43)(2)(1(

)6)(5()(

jsjsss

ssssH


Contoh Soal 2.9 :

Diketahui zero suatu sistem adalah –6,-5,0 dan pole sistem adalah -3j4,-2,-1 dan gain 1,

cari fungsi alih sistem.

Jawab :

Dengan menggunakan program MATLAB zp2tf(num,den) diperoleh hasil sebagai

berikut,

z = [-6; -5; 0]; k=1;

i = sqrt(-1);

p = [-3+4*i; -3-4*i; -2; -1];

[num,den]=zp2tf(z,p,k)

Hasil progam diatas adalah sebagai berikut,

num =

1 11 30 0

den =

1 9 45 87 50

Sehinga diperoleh fungsi alih yang baru,

5087459

3011)(

234

23

ssss

ssssH

Contoh Soal 2.10 :

Perhatikan fungsi

321

35

sss

ssG

Yang ditulis dalam bentuk uraian parsial :

321

321

s

K

s

K

s

KsG

Koefisien K-1, K-2, dan K-3 pada bentuk persamaan di atas ditentukan sebagai berikut :

11312

3151

11

sssK

7

2321

3252

22

sssK

6

3231

3353

33

sssK

Maka persamaan menjadi


3

6

2

7

1

1

ssssG

Contoh Soal 2.11 :

Suatu bentuk fungsi alih G(s) dengan Orde Banyak. Jika sebanyak r buah pole dari n buah

pole G(s) identik (sama), atau dikatakan bahwa pole pada s = -si berkelipatan r, G(s)

ditulis,

rirn ssssssss

sQ

sP

sQsG

...21

(i ≠ 1,2, …, n-r) Kemudian G(s) dapat diuraikan sebagai

ri

r

iirn

nsss

ss

A

ss

A

ss

A

ss

K

ss

K

ss

KsG

......

2

211

2

2

1

1 (2-

52)

diulangyangpolebagianrsederhanapolebagianrn

(n – r ) buah koefisien, Ks1, Ks2, …, Ks(n-1) yang merupakan pole sederhana, dapat dievaluasi

dengan metode yang akan diuraikan di bawah ini. Penentuan koefisien untuk bagian

yang mempunyai pole orde banyak diuraikan sebagai berikut :

sis

r

ir sGssA (2-

53)

sis

r

ir sGssds

dA 1

(2-

54)

sis

r

ir

r

sGssds

d

rA

1

1

1!1

1 (2-

55)

sis

r

ir

r

sGssds

d

rA

1

1

1!1

1 …(2-56)

Contoh soal 2.12

Tinjau persamaan diferensial

tuty

dt

tdy

dt

tyds523

)(2

2


dengan us(t) adalah fungsi undak satuan. Kondisi awal adalah y(0) = -1 dan y(1)(0) =

dy(t)/dt | t=0 = 2. Untuk menyelesaikan persamaan diferensial tersebut, pertama kita

melakukan transformasi Laplace pada kedua sisi dari persamaan.

s2Y(s) – sy(0) – y(1)(0) – 3sY(s) – 3y(0) + 2Y(s) = 5/s

Dengan mensubstitusi nilai kondisi awal ke persamaan di atas didapat Y(s) sebagai

berikut :

21

5

23

5 2

2

2

sss

ss

sss

sssY

Persamaan di atas diuraikan dengan uraian pecahan parsial yang kemudian

menghasilkan

22

3

1

5

2

5

ssssY

Dengan melakukan transformasi Laplace balik dari persamaan diatas, kita mendapatkan

solusi lengkap yaitu

tt eety 2

2

35

2

5 t > 0

Bagian pertama dari persamaan di atas merupakan solusi keadaan tunak atau integral

khusus; dua bagian terakhir merupakan solusi transient atau solusi homogen. Tidak

seperti pada metode klasik, yang meminta dua tahap terpisah untuk mendapatkan solusi

transient dan keadaan tunak, metode transformasi Laplace memberikan seluruh solusi

dalam datu operasi.

Jika hanya magnitude solusi keadaan tunak y(t) yang menjadi perhatian, teorema nilai

akhir dapat diterapkan. Yaitu :

2

5

23

52)(

200

ss

sslimssYlimtyimlttt

Dengan syarat kita terlebih dahulu telah memeriksa dan menemukan bahwa fungsi sY(s)

hanya mempunyai pole di sebelah kiri bidang-s, sehingga teorema nilai akhir berlaku.

Contoh Soal 2.13

Tinjau persamaan diferensial linear

tutydt

tdy

dt

tyds100010005,34

2

2


Nilai awal y(t) dan dy(t)/dt adalah nol. Dengan melakukan transformasi Laplace pada

kedua sisi dari persamaan di atas didapat Y(s) sebagai berikut :

22

2

2 210005,34

1000

nn

n

sssssssY

Dengan = 0,5455 dan n = 31,62. Transformasi Laplace balik dari persamaan tersebut

dapat dicari dengan beberapa cara. Hasilnya adalah

01sin1

1)( 2

2

tte

ty n

tn

dengan

= cos-1 = 56,94o

Maka,

y(t) = 1-11,193e-17,25t sin ((26,5t+56,94o) t > 0

Persamaan Y(s) dapat diperoleh dengan membentuk uraian pecahan parsial dengan

mengetahui bahwa pole berada pada s=0, - + j, dan - - j, dengan

- = n = 17,25

= n 21 =26,5

Uraian pecahan parsial dari Y(s) dapat ditulis

js

K

js

K

s

KsY

jj

0

dengan

K0 = sY(s) |s=0 = 1

K = (sY(s)|s = 212

j

e j

K = (s+Y(s)|s = 212

j

e j

Sudut ф adalah

ф = 180o – cos -1ζ

dan diilustrasikan pada gambar di bawah.

Transformasi Laplace balik dari Y(s) sekarang dapat ditulis


tej

eeej

ty

nt

tjtjt

n

n

2

2

2

1sin12

11

12

11

...(2.57)

Dengan mensubstitusi untuk mendapatkan ф, didapat

0cos1sin12

11 12

2

tte

jty n

tn

Atau

y(t) = 1-1,193e-17,25t sin (26,5t + 56,94o) t > 0 (2-96)

Gambar 2.21 Lokasi akar pada bidang-s

Contoh soal 2.14

Nilai determinan pada suatu matrik A adalah

Det A = |A| = a11A11+a12A12+a13A13

= a11 (a22a23 – a23a32) –a12(a21a33-a23a31)+a13(a21a32-a22a31)

Matriks Singular, Suatu matriks dikatakan singular jika nilai-nilai determinannya sama

dengan nol. Jika suatu matriks bujur sangkar mempunyai determinan yang tidak nol,

matriks tersebut matriks nonsingular. Ketika suatu matriks singular, maka berarti tidak

semua baris atau tidak semua kolom matriks bebas antara satu dengan lainnya. Ketika

matriks digunakan untuk merepresentasikan sekumpulan persamaan aljabar,

kesingularan matriks berarti bahwa persamaan ini tidak bebas antara satu dengan

lainnya.

Contoh Soal 2.15 : Penyederhanaan fungsi alih

Suatu sistem orde tiga yang dinyatakan dalam fungsi alih berikut :

bi

wn=


3

612

61123 1

1

6116

6)(

sssssssH

Fungsi alih tersebut dapat disederhanakan menjadi bentuk orde dua, dengan cara

berikut ini.

2

211

1)(

sdsdsL

Andaikan 2

211)( sdsdsM dan 2

612

6111)( ssss

Dengan menjadikan 2

21

0 1)( sdsdsM dan turunan nya :

sddsdsdds

dsM 21

2

21

1 2)1()(

Dari kondisi : M1(0) = d1, dan menentukan untuk keadaan yang lain sebagai berikut :

0)0(

2)0(

)0(

1)0(

3

2

2

1

1

0

M

dM

dM

M

1)0(

2)0(

)0(

1)0(

3

2

6111

0

Kita samakan M2q = Δ2q untuk q = 1 dan 2. Kita dapatkan bahwa untuk q = 1,

2

)0()0()1(

1

)0()0(

2

)0()0()1(

221120

2

MMMMMMM

2

122

2

12 2 ddddd

Dan persamaan seripa :

2

)0()0()1(

1

)0()0(

2

)0()0()1(

221120

2

36

491

36

1211

Karena M2 = Δ2, akan didapatkan :

36492

12 dd

Dengan melengkapi proses ini untuk M4 = Δ4 dan q = 2 kita peroleh :

1872

2 d

Penyelesaian L(s) adalah : d1 = 1,615 dan d2 = 0,625 (yang lain ditolak, karena

menghasilkan kutub kutub yang tidak stabil), dan fungsi alih yang baru dinyatakan

sebagai :


6,1584,2

6,1

625,0615,11

1)(

2

2

ss

sssL

2.10 Model Matematika Sistem Non-linier Dalam kondisi riil, suatu sistem alami selalu dalam perilaku non-linier. Ada beberapa contoh

kasus diantaranya, model pada pembakaran di ruang bakar, sistem pengkondisian udara, pengendalian

furnace, boiler, motor, dll. Prilaku non-linier inilah kemudian berusaha digambarkan dalam bentuk

model matematika non-linier.

2.10.1 Model pada Mesin berbahan bakar Bensin

Persamaan dinamika model mesin dinyatakan dalam state :

nhmn RfRdRtRuRxtuxfx ,,,,),,,( …(2.58)

dengan x : state, u : input pengendali dan d adalah bilangan skalar yang berkaitan dengan

gangguan, f adalah pemetaan nonlinier. Dua persamaan state model mesin:

N = kN (Ti – TL) …(2.59a)

)()()( tmtmKtP aoaiP …(2.59b)

dimana :

mai = ( 1 + 0,907 θ + 0,0998 θ2 ) g ( P ) …(2.60a)

mao = -0,0005968 N – 0,1336 P + 0,0005341 N P + 0,000001757 N P2 …(2.60b)

Ti = -39,22 + 22 )60/2(000675,00112,0124

325024 Nm

Nao

+ 0,63522 )60/2(000102,0)60/2(0216,0 NN …(2.60c)

TL = ( N / 263,17 )2 + Td …(2.60d)

dan : g(P) = 66,501

66,502/1)2325,101(0197,0

P

PPP …(2.61)

dengan :

P = Tekanan manifold (kPa)

N = Kecepatan putar mesin (rad/det)

= derajad sudut engkol (derajad)

= sudut bukaan katup throttle (antara 5 sampai dengan 35 derajad)

Td = beban antara 0 sampai dengan 61 Nm

mai = laju aliran massa masuk manifold (kg/det)


mao = laju aliran massa keluar manifold (kg/det)

Ti = Torsi yang terjadi pada silinder (Nm)

TL = Torsi beban (Nm) yang terdiri dari torsi beban pelengkap dan torsi lengan

torak

g(P) = fungsi yang berubah terhadap tekanan manifold

kP = konstanta dinamik manifold, yang tergantung pada kapasitas volumetric

manifold, tekanan atmosfir, temperatur udara ambient, berat molekul gas,

dan panas spesifik daru udara dalam manifold.

kN = konstanta dinamik putaran mesin

Kemudian didefinisikan state vektor x 2R dan vektor sinyal pengendali u

2R

x =

P

N

x

x1

2

…(2.62a)

u = 1

2

u

u …(2.62b)

dengan titik kesetimbangan pada P = Po dan N = No

Linierisasi terhadap model plant (2.60a dan 2.60b) dilakukan berdasar input pengendali pada

sistem adalah sinyal valve yang mengendalikan aliran udara (massa) yang masuk manifold. Sedangkan

output adalah tekanan udara pada manifold (P(t)). Pada ruang manifold terjadi pengaturan suplai bahan

bakar dan udara, sehingga pada ruang manifold ini diasumsikan tidak bocor dan aliran bahan bakar

diabaikan untuk menerapkan prinsip kontinuitas aliran massa pada input dan output manifold.

Gambar 2.22 Model Internal Combuntion Engine.

Pada throttle (C) yang merupakan bagian pangkal dari ruang manifold berfungsi untuk

mengatur masuknya suplai udara pada ruang manifold. Sedangkan pada pengisap manifold (M) yang


merupakan bagian ujung ruang manifold berfungsi untuk mengatur masuknya udara pada ruang

silinder. Hubungan antara valve throttle (A) )(t dan aliran massa yang masuk manifold dapat

direpresentasikan oleh konstanta K1 yang menghubungkan dengan )(t . Pada sistem manifold ini

engine bisa dianggap sebagai pompa udara untuk keperluan pemodelan. Perubahan positif rpm pada

engine akan meningkatkan )(tmao yang akan mengakibatkan penurunan )(tP . Fenomena ini biasa

dikenal sebagai pumping feedback dan direpresentasikan dengan umpan balik negatif dari output

kecepatan engine N(t) ke input manifold melalui konstanta K3. Selanjutnya ada proses integrasi dengan

konstanta waktu 1/K2 (besarnya tergantung pada kP) yang menghubungkan )(tP dengan P(t), sehingga

dinamika manifold (Pers. 2.59b) dimodelkan dengan fungsi alih orde satu :

P(s) = )()(1

31

2

sNKsKKs

…(2.63)

Torsi engine Ti (Pers. 2.60c) dapat dinyatakan dengan :

Ti(s) = )()()()( 654 sKsFKsNKsPKe uf

sd …(2.64)

Adapun torsi beban di luar engine diperoleh dari beban gesekan mekanis dan beban

asesoris (misal dari AC, power steering, fan, pompa air atau alternator) yang berbanding

lurus dengan kecepatan putar mesin.

Time delay pada manifold chamber tidak langsung memberi pengaruh pada proses pembakaran.

Fenomena ini biasa disebut induction-to-power stroke (IP) delay - d. Efek delay ini hanya berpengaruh

pada variabel-variabel suplai bahan bakar dan tekanan manifold, dimana menyatakan selisih waktu saat

aliran udara masuk ke ruang bakar (keluar dari manifold chamber) dengan timbulnya torsi engine.

Spark-advance atau derajad sudut engkol tidak dipengaruhi oleh delay ini. Besarnya delay tergantung

pada kecepatan engine dan jumlah silinder n, dan dinyatakan dalam bentuk :

nN

d

120 …(2.65)

Untuk engine dengan 6 silinder pada set point 800 rpm, besarnya d mendekati 0,025

detik.

Pada dinamika rotasi engine, momen inersia rotasi :

J N(t) = Ti(t) – TL(t) – K7 N(t) …(2.66)

Sehingga persamaan kecepatan putar engine (Pers. 2.59a) dapat dinyatakan dalam

bentuk,

N(s) = )()(1

7

sTsTKJs

Li

…(2.67)


Tabel 2.2 Tipe model dinamika sistem.

Tipe Model Dinamika Sistem Kriteria klasifikasi Contoh sederhana

LTI – Linear Time Invariant Aplikasi superposisi Persamaan diferensial linier, persamaan

dengan koefisien konstan

201052

2

xdt

dx

dt

xd

LTV – Linier Time varying Parameter model

berubah terhadap

waktu

Persamaan diferensial dengan parameter

berubah terhadap waktu

5)2cos(12

2

xtdt

xd

Non linier Prinsip superposisi

tidak bisa digunakan,

banya sistem phisik

merupakan sistem

non linier

Persamaan diferensial non linier

051 22

2

2

xdt

dxx

dt

xd

Tabel 2.3 Pasangan Transformasi Laplace

No f(t) F(s)

1 Impulsa satuan δ (t) 1

2 Tangga satuan 1(t)

s

1

3 T 2

1

s

4 e-at

as

1

5 te-at

2

1

as

6 Sin ωt 22

s

7 Cos ωt 22 s

s

8 tn (n= 1,2,3...) 1

!ns

n


9 tn e-at

1

!

n

as

n

10 btat eeab

1

bsas

1

11 atbt aebeab

1

bsas

s

12

btat aebe

baab

11

1

bsass

1

13 e-at Sin ωt

22

as

14 e-at Cos ωt

22 as

s

15 ateata

11

2

ass 2

1

16 te n

tn n 2

21sin

1

22

2

2 nn

n

ss

17 )1sin(

1

1 2

2

te n

tn

2

1 1tan

22 2 nnss

s

18 )1sin(

1

11 2

2

te n

tn

2

1 1tan

)2( 22

2

nn

n

sss

Ringkasan :

Bab ini telah membahas bagaimana cara memodelkan sistem dinamik dalam bentuk model matematika.

Sistem yang dimodelkan adalah sistem mekanik, listrik, elektrik, fluida, termal, linier da non-linier

dalam bentuk fungsi alih. Pemodelan dalam bentuk fungsi alih ini dimaksudkan untuk mengetahui

karakteristik dinamika sistem. Juga telah dibahas beberapa program MATLAB yang menggambarkan

dinamika sistem, serta program SIMULINK untuk dapat menggambarkan secara interaktif setiap

perubahan variabel dan parameter untuk dapat dipelajari dan diamati. Simulasi pengendalian level


permukaan air dalam tangki, simulasi kendaraan (mobil) dalam gerakan lurus dan simulasi suspensi

kendaraan (mobil) dalam keadaan berjalan.

Sebagian besar sistem fisis adalah non-linier yang kemudian dilinierisasi pada range variabel tertentu.

Proses linierisasi persamaan non-linier sangat penting, berkaitan dengan metode-metode yang akan

digunakan dalam perancangan sistem pengendalian. Linierisasi sering dilakukan, dengan menggunakan

ekspansi deret Taylor disekitar titik operasi dan mempertahankan hanya bagian yang linier saja. Tentu

linierisasi sistem non-linier ini disertai dengan terjadinya penambahan besarnya error. Penambahan

besarnya error inilah nanti yang harus mampu diatasi oleh sistem pengendalian dengan perancangan

kompensator.

Pustaka utama : 1. Kuo,B.C.,”Automatic Control Sistem”,6th ed., Printice-Hall, Englewood Cliffs,NJ.,1998, halaman 21

s/d 57. 2. Ogata,K.,”Modern Control Engineering”, 4th ed., Printice-Hall, Englewood Cliff,NJ.,1997, halaman

1 s/d 176.

Pustaka penunjang : 1. Bahram Shahian, Michael Hassul,”Control Sistems Using MATLAB”, International Editions,

Printice-Hall, 1997. 2. Lewis, F. L.,“Applied Optimal Control & Estimation”, Prentice Hall,1992. 3. The MathWorks, Inc.,”Control Sistem Toolbox”, Printice-Hall, 1997. 4. Syamsul Arifin, ”Kontrol Automatik II”, Jurusan Teknik Fisika-FTI-ITS, 1997. 5. Raven, F. H., (1995), “Automatic Control Engineering”, Fifth Ed., Mc Graw Hill Ed., Mechanical

Engineering Series.

Soal-Soal Asesmen :

1. Sebuah sistem massa–pegas–damper yang terlihat pada gambar di bawah, dengan gerak linier

adalah pada arah horizontal. Tentukan fungsi alih dari sistem tersebut.

Gambar 2.31 Model pegas-massa-damper bergerak horizontal

Jawab :

KBsMssF

sX

2

1

)(

)(

M

x(

f(


2. Tentukan model matematik dari motor DC dengan magnet permanen, dimana secara elektrik

dinyatakan dalam bentuk diagram berikut.

Gambar 2.32 Model motor dc yang dieksitasi secara terpisah

Jawab

sBRKKsLBJRsJL

K

sE

s

maibammama

i

a

23)(

)(

Dengan :

ia(t) = arus jangkar La = Induktansi jangkar

Ra = hambatan jangkar ea(t) = tegangan terpasang

Ebt) = emf terbalik Kb = konstanta emf balik

Tl(t) = torsi beban Φ = fluks magnetik pada pemisah udara

Tm(t) = torsi motor ωm (t) = kecepatan sudut motor

m (t) = perpindahan rotor Lm = inersia rotor

Ki = konstanta torsi Bm= koefisien gesekan viskos

3. Perhatikan suatu sistem mekanik pada gambar di bawah ini :

Gambar 2.33 Model mekanik pegas-massa-damper

Dimana : m1, m2 = massa yang konstan

k1, k2 = konstanta pegas

c = konstanta redaman

u1, u2 = variabel masuakan sistem

y1, y2 = variabel keluaran sistem

Tm

m

m TL

Fl

ia

B0

M1

M2


Tentukan persamaan dinamika dari sistem yang digambarkan di atas.

Jawab :

0

0

1222222

1211111

yycuykym

yycyukym

4. Sebuah filter pasif yang digambarkan di bawah ini

Gambar 2.34 Rangkaian listrik RLC

Dengan e : masukan pada sistem, dan x1 dan x2 merupakan variabel keadaan sistem,

sedangkan i1 dan i2 diasumsikan sebagai arus pada loop 1 dan loop 2.

Jawab :

)(

)(

211222

2111

teixRiRx

teixRdt

dxm

2. model matematis sistem dinamik - modul ajar

Documents