11. peluang

11. PELUANG

A. Notasi Faktorial a. n! = 1 × 2 × 3 × … × (n – 1) × n b. n! = n × (n – 1)! c. 1! = 1 d. 0! = 1

B. Permutasi Permutasi adalah pola pengambilan yang memperhatikan urutan (AB ≠ BA), jenisnya ada 3, yaitu:

a) Permutasi dari beberapa unsur yang berbeda; )!kn(

!nPrn −

=

b) Permutasi dengan beberapa unsur yang sama; !n!n!n

!n,,P nnnn

111321= , n1 + n2 + n3 + … ≤ n

c) Permutasi siklis (lingkaran); )!n(Psiklisn 1−= C. Kombinasi

Kombinasi adalah pola pengambilan yang tidak memperhatikan urutan (AB = BA).

Kominasi dari beberapa unsur yang berbeda adalah !r)!rn(

!nC rn ⋅−

=

D. Peluang Suatu Kejadian a) Kisaran nilai peluang : 0 ≤ P(A) ≤ 1

b) P(A) = )S(n

)A(n, n(A) banyaknya kejadian A dan n(S) banyaknya ruang sampel

c) Peluang komplemen suatu kejadian : P(Ac) = 1 – P(A) d) Peluang gabungan dari dua kejadian : P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) e) Peluang dua kejadian saling lepas : P(A∪B) = P(A) + P(B) f) Peluang dua kejadian saling bebas : P(A∩B) = P(A) × P(B)

g) Peluang kejadian bersyarat ( A dan B tidak saling bebas) : P(A/B) = )B(P

)BA(P ∩

E. Frekuensi Harapan Fh Frekuensi harapan kejadian A dari n kali percobaan adalah : Fh(A) = n × P(A)

F. Binom Newton

a) ∑=

−=+n

i

iinni

n baCba0

)(

= nnn

nnnnnn bCbaCbaCaC ++++ −− ...222

1110

b) suku ke – r dari binom Newton

Ur = 111

−+−−

rrnnr baC

Soal dan Pembahasan UN Matematika SMA Prog. IPA http://www.soalmatematik.com

Cermati secara seksama cara pengerjaannya lalu cobalah mengerjakan sendiri menggunakan e-book kumpulan soal UN

88

SOAL PENYELESAIAN

1. Nilai !16

4!15

10!14

1 +− = …

a. !16

114

b. !16

108

c. !16

84

d. !16

9

e. !16

4

Karena bentuknya pecahan, maka penyebut harus disamakan dengan penyebut yang terbesar yaitu 16!

!164

!1510

!141 +− =

!164

!15161016

!1415161516 +− ⋅

⋅⋅⋅

⋅

= !16

4!16

160!16

240 +− ⋅

= !16

84 …………………………….(c)

2. Dari angka-angka : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 akan disusun suatu bilangan yang terdiri dari 3 angka dengan tidak ada angka yang berulang. Banyak bilangan yang dapat disusun lebih dari 320 adalah … a. 60 b. 80 c. 96 d. 109 e. 120

Angka yang disediakan yaitu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 Masalah ini diselesaikan dengan aturan perkalian Bilangan yang lebih besar dari 320 kemungkinannya adalah: (i) ratusan : 3…………………………ada 1 pilihan

puluhan : 2 ………………….……..ada 1 pilihan satuan : x > 0, x ≠ {3, 2}..……….ada 4 pilihan

1 1 4 : 1 × 1 × 4 = 4 (ii) ratusan : 3………………………...ada 1 pilihan

puluhan : x1 > 2, x1 ≠ 3……….……ada 3 pilihan satuan : x2 ≠ {3, x1}, …………….ada 5 pilihan

1 3 5 : 1 × 3 × 5 = 15 (iii) ratusan : x1 > 3………………….ada 3 pilihan

puluhan : x2 ≠ x1……….………...ada 6 pilihan satuan : x3 ≠ { x1, x2}, ………….ada 5 pilihan

3 6 5 : 3 × 6 × 5 = 90 Jadi, jumlah seluruh bilangan yang mungkin adalah: 4 + 15 + 90 = 109

3. Dari angka-angka 1,2,3,4,5, dan 6 akan disusun suatu bilangan terdiri dari empat angka. Banyak bilangan genap yang dapat tersusun dan tidak ada angka yang berulang adalah … a. 120 b. 180 c. 360 d. 480 e. 648

Angka yang tersedia : 1, 2, 3, 4, 5, 6 Bilangan yang terbentuk: bilangan genap ribuan.

Ribuan |ratusan |puluhan| satuan 3 4 5 3 : 3×4×5×3 = 180 x4 x3 x2 x1

Keterangan Jika bilangan yang dikehendaki adalah genap/ganjil, maka pengisian kotak dimulai dari belakang (x1) karena bilangan genap/ganjil ditentukan oleh angka satuannya. x1 : bilangan genap {2, 4, 6} ………… ada 3 pilihan x2 : 6 pilihan – 1 ………………………ada 5 pilihan x3 : 5 pilihan – 1 ………………………ada 4 pilihan x4 : 4 pilihan – 1 ………………………ada 3 pilihan



89

SOAL PENYELESAIAN 4. Banyaknya segitiga yang dapat dibentuk

dari 8 titik yang diketahui dengan tidak ada 4 titik yang sebidang adalah … a. 336 b. 326 c. 70 d. 56 e. 46

Sebuah segitiga terbentuk dari 3 buah titik, pada saat menarik garis urutan tidak diperhatikan. Sehingga kasus ini dapat diselesaikan dengan metode kombinasi, yaitu kombinasi 3 dari 8.

83C =

)!38(!3

!8

−⋅ =

!523

!5678

⋅⋅⋅⋅⋅

= 8 · 7 = 56 …………………...(d)

5. Pada sebuah bidang datar terdapat 15 titik yang berbeda. Melalui setiap 2 titik yang berbeda dibuat sebuah garis lurus. Jumlah garis lurus yang dapat dibuat adalah … a. 210 b. 105 c. 90 d. 75 e. 65

Pada saat membuat garis lurus, orang tidak akan memperhatikan urutannya, yang penting dua titik dihubungkan maka akan terbentuk sebuah garis lurus Maka kasus ini diselesaikan dengan metode kombinasi, yaitu kombinasi 2 dari 15.

152C =

)!215(!2

!15

−⋅ =

!132

!131415

⋅⋅⋅

= 15 · 7 = 105 ……………...(b)

6. Dari 10 orang finalis suatu lomba kecantikan akan dipilih secara acak 3 yang terbaik. Banyak cara pemilihan tersebut ada … cara a. 70 b. 80 c. 120 d. 160 e. 220

Karena dalam pemilihan tidak menyebutkan peringkat, maka kasus ini dapat diselesaikan dengan metode kombinasi, yaitu kombinasi 3 dari 10.

103C =

)!310(!3

!10

−⋅ =

!7!3

!78910

⋅⋅⋅⋅

= 23

8910

⋅⋅⋅

= 10 · 3 · 4 = 120 ……………(c)

7. Seorang peserta ujian harus mengerjakan 6 soal dari 10 soal yang ada. Banyak cara peserta memilih soal ujian yang harus dikerjakan adalah … a. 210 b. 110 c. 230 d. 5.040 e. 5.400

Dalam mengerjakan soal, nomor urut pengerjaan tidak diperhatikan, dimulai dari nomor berapapun asal pengerjaannya betul nilainya akan tetap bagus. Maka kasus ini diselesaikan dengan metode kombinasi, yaitu kombinasi 6 dari 10.

106C =

!6)!610(

!10

⋅− =

!6!4

!678910

⋅⋅⋅⋅⋅

= 234

78910

⋅⋅⋅⋅⋅

= 10 · 3 · 7 = 210 …………...(a)

8. Ada 5 orang anak akan foto bersama tiga-tiga di tempat penobatan juara I, II, dan III. Jika salah seorang diantaranya harus selalu ada dan selalu menempati tempat juara I, maka banyak foto berbeda yang mungkin tercetak adalah … a. 6 b. 12 c. 20 d. 24 e. 40

Kasus ini dapat diselesaikan dengan aturan perkalian

I II III 1 4 3 : 1×4×3 = 12 ……….(b)

Keterangan I. hanya ada 1 orang ………………………1 pilihan II. 5 orang – 1 ……. ………………….….. 4 pilihan III. 4 orang – 1 ……. ………………….…..3 pilihan



90

SOAL PENYELESAIAN 9. Dari 7 orang pria dan 5 orang wanita akan

dipilih 4 orang yang terdiri dari 3 orang pria dan seorang wanita. Peluang terpilihnya 4 orang tersebut adalah …

a. 1986

b. 998

c. 39635

d. 9935

e. 9937

S = 12 (7p + 5w) A = 4 (3p + 1w)

(i) n(S) = memilih 4 dari 12 = 124C

124C =

)!412(!4

!12

−⋅ =

!8234

!89101112

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

= 11 · 5 · 9 (ii) n(A) = memilih 3 dari 7 dan memilih 1 dari 5

= 73C · 5

1C = 5)!37(!3

!7 ⋅−

= 5!423

!4567 ⋅⋅⋅

⋅⋅⋅ = 7 · 5· 5

(iii) P(A) = )(

)(

Sn

An =

9511

557

⋅⋅⋅⋅

= 911

57

⋅⋅

= 99

35

……..……………(d)

10. Dalam seleksi UMPTN, peluang lulus seleksi siswa A dan siswa B berturut-turut

adalah 1514 dan

76 . Peluang siswa A lulus,

tetapi siswa B tidak lulus adalah …

a. 1051

b. 1056

c. 1058

d. 10514

e. 10522

P(A) = 1514

P(B) = 76 ⇒ P(Bc) =

76

77 − =

71

Soal menggunakan kata tetapi/dan sehingga peluangnya adalah P(A∩Bc) • P(A∩B) = P(A) × P(Bc)

= 7

1

15

14× = 105

14

11. Dua dadu dilempar bersama. Peluang muncul mata dadu berjumlah 7 adalah …

a. 121

b. 91

c. 61

d. 31

e. 21

• S = 2 dadu, dadu memiliki 6 buah sisi (1,2,3,4,5,6)

n(S) = 62 = 36 • A = muncul mata dadu berjumlah 7

= {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)} n(A) = 6

• P(A) = )(

)(

Sn

An =

36

6 =

6

1 ……………………(c)



91

SOAL PENYELESAIAN 12. Dua buah dadu dilempar undi satu kali.

Peluang munculnya mata dadu jumlah 5 atau 9 adalah …

a. 181

b. 365

c. 92

d. 41

e. 31

• S = 2 dadu, dadu memiliki 6 buah sisi (1,2,3,4,5,6)

n(S) = 62 = 36

• A = muncul mata dadu berjumlah 5 = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} n(A) = 4

• B = muncul mata dadu berjumlah 9 = {(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)} n(B) = 4

pada soal, peluangnya menggunakan kata atau sehingga peluangnya adalah P(A∪B) • P(A∪B) = P(A) + P(B)

= )(

)(

Sn

An +

)(

)(

Sn

Bn

= 36

4

36

4 + = 9

1

9

1 + = 9

2 ………..(c)

13. Sebuah keluarga merencanakan mempunyai tiga orang anak. Peluang keluarga tersebut mempunyai paling sedikit dua anak laki-laki adalah …

a. 81

b. 31

c. 83

d. 21

e. 43

• S = 3 orang anak, jenis kelamin ada 2 (pria P, dan wanita W)

n(S) = 23 = 8 • A = lahir paling sedikit 2 pria (P)

= {PPW, WPP, PWP, PPP} n(A) = 4

• P(A) = )(

)(

Sn

An =

8

4 =

2

1 ……………………(d)

14. Dari setumpuk kartu bridge yang terdiri dari 52 kartu, diambil sebuah kartu secara acak. Peluang munculnya kartu raja (king) atau kartu wajik adalah …

a. 524

b. 5213

c. 5216

d. 5217

e. 5218

n(S) = 52, dengan komposisi sbb n(A) = raja = 4 (wajik, love, keriting, daun) n(B) = wajik = 13 n(A∩B) = raja wajik = 1 pada soal, peluangnya menggunakan kata atau sehingga peluangnya adalah P(A∪B) • P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

= )(

)(

)(

)(

)(

)(

Sn

BAn

Sn

Bn

Sn

An ∩−+

= 52

1

52

13

52

4 −+ = 52

16 ……………(c)



92

SOAL PENYELESAIAN 15. Tiga keeping uang dilempar undi bersama-

sama satu kali. Peluang munculnya paling sedikit 1 gambar adalah …

a. 81

b. 41

c. 21

d. 43

e. 87

• S = 3 keping uang, uang memiliki 2 buah sisi (angka A, dan gambar G)

n(S) = 23 = 8 • A = muncul paling sedikit 1 gambar (G)

= {GAA, AGA, AAG, GGA, AGG, GGG} n(A) = 6

• P(A) = )(

)(

Sn

An =

8

6 =

4

3 ……………………(d)

16. Tiga buah mata uang logam dilepar undi bersama-sama sebanyak 40 kali. Frekuensi harapan munculnya dua angka dan satu gambar adalah … a. 12 b. 13 c. 15 d. 37 e. 38

• S = 3 uang logam, uang memiliki 2 buah sisi (angka A, dan gambar G)

n(S) = 23 = 8

• A = muncul 2 angka 1 gambar = {AAG, AGA, GAA}

n(A) = 3

• P(A) = )(

)(

Sn

An =

8

3

• Fh(A) = P(A) × n

= 8

3 × 40 = 3 × 5 = 15 ………………..(c)

17. Dalam sebuah kotak terdapat 10 bola lampu yang 4 diantaranya rusak. Jika dipilih 3 bola lampu, maka peluang terpilih lampu yang tidak rusak adalah …

a. 61

b. 212

c. 121

d. 201

e. 301

S = 10 (4 rusak + 6 hidup) A = 3 hidup

(i) n(S) = mengambil 3 dari 10 = 103C

103C =

)!310(!3

!10

−⋅ =

!723

!78910

⋅⋅⋅⋅⋅

= 10 · 3 · 4 = 120

(ii) n(A) = mengambil 3 dari 6 = 63C

63C =

)!36(!3

!6

−⋅ =

!323

!3456

⋅⋅⋅⋅⋅

= 2 · 5 · 2 = 20

(iii) P(A) = )(

)(

Sn

An =

120

20 =

6

1 …………………(a)



93

SOAL PENYELESAIAN 18. Dalam sebuah kotak berisi 7 kelereng

merah dan 5 kelereng putih. Dari kotak itu diambil 3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil sekurang-kurangnya 1 kelereng putih adalah …

a. 447

b. 4410

c. 4434

d. 4435

e. 4437

S = 12 (7m + 5p) A = 3 (sekurang-kurangnya 1p)

(i) n(S) = memilih 3 dari 12 = 123C

123C =

)!312(!3

!12

−⋅ =

!923

!9101112

⋅⋅⋅⋅⋅

= 2 · 11 · 10 (ii) n(A) = mengambil 3, minimal 1 putih,

kemungkinannya yaitu

• 1p dan 2m = 72

51 CC × =

!52

!5675

⋅⋅⋅×

= 5 · 7 · 3 = 105

• 2p dan 1m = 71

52 CC × = 7

!32

!345 ×⋅

⋅⋅

= 5 · 2 · 7 = 70

• 3p dan 0m = 70

53 CC × = 1

!32

!345 ×⋅

⋅⋅

= 5 · 2 = 10 jadi, n(A) = 105 + 70 + 10 = 185

(iii) P(A) = )(

)(

Sn

An =

10112

185

⋅⋅ =

2112

37

⋅⋅

= 44

37 …………(e)

19. Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola putih. Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5 bola biru. Dari masing-masing kotak diambil 2 bola sekaligus secara acak. Peluang terambilnya 2 bola merah dari kotak I dan 2 bola biru dari kotak II adalah …

a. 101

b. 283

c. 154

d. 83

e. 14057

• SI = 5 (3m + 2p)

n(SI) = ambil 2 dari 5 = 52C =

!32

!345

⋅⋅⋅

= 10

• n(SII) = 8 (3h + 5b)

n(SI) = ambil 2 dari 8 = 82C =

!62

!678

⋅⋅⋅

= 28

• A = ambil 2 bola merah dari kotak I

n(A) = 32C = 3

• B = ambil 2 bola biru dari kotak II

n(B) = 52C =

)!25(!2

!5

−⋅

!32

!345

⋅⋅⋅

= 10

pada soal, peluangnya menggunakan kata dan sehingga peluangnya adalah P(A∩B) • P(A∩B) = P(A) × P(B)

= )(

)(

ISn

An ×

)(

)(

IISn

Bn

= 28

10

10

3 × = 28

3 ……………….(b)



94

SOAL PENYELESAIAN 20. Dalam sebuah kotak terdapat 4 bola

merah, 8 bola kuning, dan 3 bola biru. Jika dari kotak diambil satu bola secara acak, peluang terambil bola kuning atau biru adalah … a. 1

b. 154

c. 157

d. 158

e. 1511

• n(S) = 15 (4m + 8k + 3b) • A = kejadian terambilnya 1 bola kuning

n(A) = 8 • B = kejadian terambilnya 1 bola biru

n(B) = 3 pada soal, peluangnya menggunakan kata atau sehingga peluangnya adalah P(A∪B) • P(A∪B) = P(A) + P(B)

= )(

)(

)(

)(

Sn

Bn

Sn

An +

= 15

3

15

8 + = 15

11 …………………(e)

21. Dalam kotak I terdapat 3 bola merah dan 4 bola putih, dalam kotak II terdapat 2 bola merah dan 7 bola hitam. Dari setiap kotak diambil satu bola secara acak. Peluang terambilnya bola putih dari kotak I dan bola hitam dari kotak II adalah …

a. 635

b. 636

c. 6328

d. 6321

e. 635

• n(SI) = 7 (3m + 4p) • n(SII) = 9 (2m + 7h) • A = ambil satu bola putih dari kotak I

n(A) = 4 • B = ambil satu bola hitam dari kotak II

n(B) = 7 pada soal, peluangnya menggunakan kata dan sehingga peluangnya adalah P(A∩B) • P(A∩B) = P(A) × P(B)

= )(

)(

ISn

An ×

)(

)(

IISn

Bn

= 9

7

7

4 × = 63

28 ………..(c)

22. Pada sebuah lemari pakaian tersimpan 5

baju putih dan 3 baju biru. Jika diambil dua baju secara acak satu persatu berturut-turut tanpa pengembalian, maka peluang terambil pertama baju putih dan kedua baju biru adalah …

a. 6415

b. 5615

c. 145

d. 158

e. 43

Kasus pada soal ini adalah kejadian tidak saling bebas, karena setelah melakukan pengambilan obyeknya tidak dikembalikan lagi. • n(S1) = jumlah obyek mula-mula = 8 (5p + 3b)

n(A) = jumlah baju putih mula-mula = 5

• n(S2) = sisa obyek setelah pengambilan pertama = 7 (4p + 3b) …………..sisa baju putih 4

…………..baju biru tetap 3 n(B/A) = sisa baju biru setelah pengambilan

pertama = 3

• P(A∩B) = P(A) × P(B/A)

= )(

)(

1Sn

An ×

)(

)/(

2Sn

ABn=

7

3

8

5 ×

= 56

15………..(c)



95

SOAL PENYELESAIAN 23. Dalam suatu ujian terdapat 10 soal, dari

nomor 1 sampai nomor 10. Jika soal nomor 3, 5, dan 8 harus dikerjakan dan peserta ujian hanya diminta mengerjakan 8 dari 10 soal yang tersedia, maka banyak cara seorang peserta memilih soal yang dikerjakan adalah … a. 14 b. 21 c. 45 d. 66 e. 2.520

Jumlah soal yang harus dikerjakan 8 dari 10 nomor yang ada, tapi 3 soal harus dikerjakan sehingga untuk mencapai 8 soal harus memilih lagi 5 soal dari 7 soal yang tersisa. Banyaknya cara memilih adalah:

75C =

!5)!57(

!7

⋅− =

!52

!567

⋅⋅⋅

= 7 · 3 = 21 …………………(b)

24. Seorang peneliti memprediksikan dampak kenaikan harga BBM terhadap kenaikan harga sembako dan kenaikan gaji pegawai negeri. Peluang harga sembako naik adalah 0,92 sedangkan peluang gaji pegawai negeri tidak naik hanya 0,15. Bila prediksi ini benar, maka besar peluang gaji pegawai negeri dan harga sembako naik adalah … a. 0,78 b. 0,75 c. 0,68 d. 0,65 e. 0,12

P(A) = 0,92 P(Bc) = 0,15 ⇒ P(B) = 1 – 0,15 = 0,85 Soal menggunakan kata dan sehingga peluangnya adalah P(A∩B) • P(A∩B) = P(A) × P(B)

= 0,92 × 0,85 = 0,78 ………………………………(a)

25. Berdasarkan survey yang dilakukan pada wilayah yang berpenduduk 100 orang diperoleh data sebagai berikut: 20% penduduk tidak memiliki telepon 50% penduduk tidak memiliki komputer 10% penduduk memiliki komputer, tetapi tidak memiliki telepon.

Jika dari wilayah itu diambil satu orang secara acak, peluang ia memiliki telepon, tetapi tidak punya komputer adalah … a. 0,2 b. 0,4 c. 0,5 d. 0,6 e. 0,8

• A = penduduk yang memiliki telepon = 100% - 20% = 80%

• Bc = penduduk yang tidak memiliki computer = 50%

soal menggunakan kata tetapi/dan, sehingga peluangnya adalah P(A∩Bc) • P(A∩Bc) = P(A) × P(Bc)

= 100

50

100

80 ×

= 1001010

100104

××××

= 0,4 ……………………………….(b)

11. peluang

Documents