1

PROBABILITAS

Pengertian Probabilitas adalah besarnya

kemungkinan terjadinya suatu peristiwa

Nilai probabilitas: dari 0 sampai dengan 1

Jika probabilitas suatu peristiwa bernilai 0 menunjukkan bahwa peristiwa tersebut pasti tidak akan terjadi

Jika probabilitas suatu peristiwa bernilai 1 menunjukkan bahwa peristiwa tersebut pasti akan terjadi

2

BEBERAPA ISTILAH

Events: satu atau lebih kemungkinan hasil dari melakukan suatu tindakan

Experiment: Suatu tindakan yang akan menghasilkan peristiwa (event).

Sample space: Kumpulan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan (experiment).

TIGA PENDEKATAN

Pendekatan KlasikPendekatan ini didefinisikan:

Secara simbolis: Jika a adalah banyaknya peristiwa A dan b adalah banyaknya peristiwa bukan A, maka pobabilitas peristiwa A dapat dinyatakan sebagai berikut:

ba

aP(A)

3

hasiln kemungkinaSeluruh

percobaansuatu hasil Banyaknya hasilsuatu Prob

LANJUTAN ….

Pendekatan Frekuensi Relatif Observasi dari suatu kejadian dg

banyak percobaan Proporsi suatu kejadian dlm jk

panjang pada saat kondisi stabil Pendekatan Subyektif

Pendekatan ini berdasarkan kepercayaan seseorang dalam membuat pernyataan probabilitas suatu peristiwa. 4

ATURAN-ATURAN PROBABILITAS

Simbol probabilitasP(A) = probabilitas kejadian A akan terjadi

Probabilitas marjinal Probabilitas yang hanya ada 1 peristiwa Contoh:

Probabilitas seorang peserta memperoleh gelar juara 1 dari 20 peserta dalam suatu turnamen

5

LANJUTAN….

Diagram VennMutually exclusive events Nonmutually exclusive events

6

AB B

A

HUKUM PENJUMLAHAN

Mutually Exclusive Events Probabilitas di mana 2 atau lebih

peristiwa/kejadian/hasil tidak dapat terjadi secara bersamaan

P(A atau B) = P(AB) = P(A) + P(B) Contoh:

Misalnya dalam sebuah kelompok mahasiswa beranggotakan Ani, Budi, Candra, dan Eko. Berapa probabilitas terpilih menjadi ketua kelompok adalah:a. Anib. Budi atau Eko

P(ABC) = P(A) + P(B) + P(C)8

LANJUTAN….

Non Mutually Exclusive Events Probabilitas di mana dua atau lebih

kejadian dapat terjadi bersama-sama P(A atau B) = P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB) Contoh:

1. Jika sebuah kartu remi diambil sebuah kartu secara acak, maka berapa probabilitas kartu yang terambil adalah kartu yang:a. berangka 8.b. berangka 5 atau yang bergambar hati

9

2). Suatu tranmiter membutuhkan energi yang berasal dari 2 sumber yaitu power supply A dan B. Probabilitas power supply A rusak (peristiwa A) adalah 2/3 dan probabilitas power supply B(peristiwa B) rusak adalah 4/9. Bila probabilitas kedua sumber itu rusak adalah ¼, maka probailitas paling sedikit satu sumber rusak adalah :

)()()()( BAPBPAPBAP

= 2/3+4/9-1/4

HUKUM PERKALIAN

Independent Events: peristiwa yang satu tidak berhubungan dengan peristiwa yang lain Marginal Probability

Probabilitas sederhana dari terjadinya suatu peristiwa

P(A) Contoh:

Jika kita melempar sebuah dadu sebanyak 1 kali, berapa probabilitas muncul sisi dadu yang bermata dua? 11

LANJUTAN….

Joint Probability untuk peristiwa yang independen

Simbol joint probability: P(A dan B) = P(AB) = P(A). P(B)P(A B C) = P(A) . P(B) . P(C)

Contoh:Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 2 bola biru, dan 3 bola hijau. Jika dari kotak tersebut diambil sebuah bola berturut-turut sampai 3 kali pengambilan dengan pengembalian, tentukan probabilitas akan terambil bola hijau, biru, dan merah masing-masing satu buah?

12

13

LANJUTAN….

Conditional probability Probabilitas yang terjadinya dipengaruhi

oleh kejadian sebelumnya. Untuk peristiwa yang independen, prob

terjadinya peristiwa B dgn syarat peristiwa A sudah terjadi terlebih dahulu, adalah probabilitas peristiwa B itu sendiri

P(B/A) = P(B) Contoh :

Brp prob muncul sisi gambar pd koin dg syarat muncul sisi angka pd pelemparan sebelumnya?

14

FAKTORIAL, PERMUTASI, DAN KOMBINASI

n! = n x (n-1) x (n -2) x ….. x 1 Permutasi adalah banyaknya cara

untuk menyusun x obyek yang dipilih dari n obyek dengan memperhatikan urutannya

Formulasinya:

Contoh: Dari 3 calon pemimpin,yaitu A, B, C akan dipilih 2 orang untuk menduduki jabatan ketua dan wakil ketua. Berapa kemungkinan yang dapat terjadi? 15

x)!-(n

n! Pn

x

KOMBINASI

Kombinasi adalah banyaknya cara untuk menyusun x obyek yang dipilih dari n obyek dengan mengabaikan urutannya.

Formulasinya :

Contoh:Jika ada 3 orang pemain bulu tangkis akan dijadikan pemain ganda. Berapa kombinasi yang dapat disusun?

16

x)!-(n x!

n! Cn

x

BEBERAPA ATURAN PELUANG

1. Saling berkomplemen dari definisi P(E) = n/N, jika E menyatakan bukan

peristiwa E maka P(E) = 1-P(E) atau P(E) + P(E) = 1Contoh Undian dgn sebuah dadu mis E= mendapatkan mata 6

maka P(E) = 1/6. jelas E= bukan mata 6 yg nampak shg P(E) = 5/6 Peluang mendapatkan hadiah = 0,61 maka peluang

tidak mendapatkan hadiah = 0,39

2. SALING EKSKLUSIF ATAU SALING ASING

JIKA K BUAH PERISTIWA E1,E2,…..EK SALING EKSKLUIF ATAU TERJADINYA PERISTIWA E MENGHINDARKAN TERJADINYA E DAN SEBALIKNYA MAKA P(E1 ATAUE2 ATAU E3.. ATAU EK) = P(E1) + P(E) +….P(EK)CONTOH :1. WAKTU MELAKUKAN UNDIAN DGN SEBUAH MATA UANG , MUKA G ATAU MUKA ANGKA (HURUF) H JADI P(G ATAU H) = P(G) + P(H) = 1

2. sebuah kotak berisi 20 kelereng merah, 28 kelereng hijau dan 22 kelereng kuning kecuali warna lainnya identik. Isi kotak diaduk dengan baik oleh seseorang yang matanya ditutup dan mengambil kelereng secara acak, berapa peluang terambilnya kelereng merah atau kuning ?

Mis A = terambil kelereng merah B = terambil kelereng hijau C = terambil kelereng kuningketiga peristiwa saling eksklusif maka P(A) = 20/20+28+22 =P(B) = 28/20+28+22=P(C)= 22/20+28+22=

3. ADA 100 LEMBAR KUPON BERHADIAH DGN SEBUAH HADIAH PERTAMA, 5 HADIAH KEDUA, 20 HADIAH KETIGA DAN SISANYA TAK BERHADIAH. SESEORANG MEMBELINYA SELEMBAR . BERAPA PELUANG ORANG ITU AKAN MEMENANGKAN HADIAH PERTAMA DAN HADIAH KEDUA

PROBABILITAS BERSYARAT

Probabilitas suatu peristiwa A seringkali harus dimodifikasikan bila ada informasi bahwa terdapat peristiwa b yang berkaitan dengan peristiwa a tersebut telah terjadi sebelumnya.Perubahan nilai probabilitas peristiwa A bila diketahui bahwa peristiwa b telah terjadi disebut sebagai probabilitas bersyarat a bila diketahui b terjadi dan dinotasikan dengan P(A|B).

0)(;)(

)()/(

BbilaP

BP

BAPBAP

JADI:

Rumus dapat ditulis kembali sebagai :

)/().()( BAPBPBAP dan dinyatakan sebagai aturan perkalian, bila terdapat tiga peristiwa A,B, dan C maka sesuai dengan aturan perkalian didapatkan:

)....|()....|()|()()....( 121213121321 kkk AAAAPAAAPAAPAPAAAAP

Apabila terdapat suatu kondisi dimana probabilitas P(A/B) menjadi bernilai sama dengan P(A), maka dalam hal ini peristiwa B tidak mempunyai pengaruh terhadap terjadinya peristiwa A, sehingga :

P(B/A)=P(B)Atau P(A/B)=P(A)

Kondisi ini dinamakan sebagai peristiwa yang saling bebas(independent) antara A dan B,Sesuai dengan aturan perkalian maka kondisi saling bebas tersebut :

P(B/A)=P(B)Atau P(A/B)=P(A)

)()()( BPAPBAp

Dengan demikian, bila terdapat peristiwa A1, A2,.....,Ak yang saling bebas maka:

)().....().()....( 21321 kk APAPAPAAAAP

CONTOH: Misalkan ruang sampel menyatakan populasi media penyimpanan

data(disket dan CD) pada suatu kantor POLITANI Pangkep .Media penyimpan data tersebut dikelompokan menurut kondisinya:

Diadakan audit untuk mengetahui kondidi media penyimpanan data dikantor tsb.

Dengan cara mengambil sampel secara acak pada kotak media penyimpanan.Bila media yang terpilih ternyata mempunyai kondisi baik, berapakah peluang yang terpilih itu media CD?

Jawab : Bila M=CD yang terpilih E=Kondisi media CD yang terpilih baik :

2.Dalam sebuah kotak terdapat 10 gulungan film, dan diketahui bahwa 3 diantaranya rusak. Hitung peluang bila 2 buah gulungan filem diambil acak satu persatu secara berurutan.Jawab:Misal A: peristiwa terambil gulungan pertama rusak B: peristiwa terambil gulungan kedua rusakMaka peluang kedua gulungan rusak adalah :