1

Peluang & Aturan Bayes

MA 2081 STATISTIKA DASAR

06 SEPTEMBER2012

Utriweni Mukhaiyar

2

EksperimenCiri-ciri eksperimen acak (Statistik):• Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiriCiri-ciri eksperimen acak (Statistik):• Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendiriDapat dulangi baik oleh si pengamat sendiri

maupun orang lain.• Proporsi keberhasilan dapat diketahui dari

Dapat dulangi baik oleh si pengamat sendirimaupun orang lain.

• Proporsi keberhasilan dapat diketahui darip phasil-hasil sebelumnya.

• Bisa diukur (diamati).

p phasil-hasil sebelumnya.

• Bisa diukur (diamati).• Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya

galat/error.• Hasilnya tidak bisa ditebak karena adanya

galat/error.

3

Ruang Sampel

Ruang sampel S , yaitu himpunan g p , y pdari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak (statistik)percobaan acak (statistik).

4

Ruang Sampel DiskritA. Diskrit: banyaknya (number) anggota pada

S tsb dapat dihitung/dicacah (countable)S tsb dapat dihitung/dicacah (countable). Hasil pencacahannya mungkin saja berhingga atau tidak berhingga.

Contoh 1. S pada (percobaan) pemeriksanp (p ) pproduksi sepatu boot di pabrik AAA. Setiap pasang sepatu dipilih (secara acak), diperiksa, lalu digolongkan sebagai pasangan sepatu g g g p g prusak atau tidak .

Ruang Sampel Kontinu5

g p

B K ti t d i S t b d l h b iB. Kontinu: anggota dari S tsb adalah bagian dari suatu interval. Contoh 2. S pada percobaan pengukurantinggi pasang maksimum setiap hari disuatu selat (satuan m) misalnya S = {x: 2suatu selat (satuan m), misalnya S {x: 2< x < 4}.Jika kita pilih hari-hari secara acak, makamungkin ditemukan hari hari dengan tinggimungkin ditemukan hari-hari dengan tinggipasang 2,1 m atau 3,5 m atau 2,75 m ataunilai lainnya yang berkisar antara 2 < x < 4.

6

Kejadian (Event)j ( )• Himpunan bagian (subset) dari suatu

ruang sampel Sruang sampel S . • Notasi untuk even (kejadian) umumnya

huruf kapital misal A B dan lain-lainhuruf kapital, misal A, B, dan lain-lain. Jika kejadiannya banyak, bisa ditulis sebagai barisan misal E E dstsebagai barisan, misal E1, E2, ......dst.

7

Ruang Sampel dan KejadianRuang Sampel dan Kejadian

• Ruang sampel, dinotasikan SRuang sampel, dinotasikan SRuang Sampel Diskrit

S = { , , ... , }Ruang Sampel Kontinu

E t (k j di )

S { , , ... , }

Event (kejadian)

E = { }7

E { , , }

Populasi dan sampel8

Populasi dan sampel

• Pada Contoh 1: Semua pasang sepatu boot• Pada Contoh 1: Semua pasang sepatu boot yang ada di pabrik AAA disebut populasi, sedangkan beberapa pasang sepatu boot

di bil di b t l Ryang diambil disebut sampel. Ruang sampel pada contoh ini adalah semua keadaan pasang sepatu boot yang mungkin, p g p y g g ,yaitu {rusak, tidak rusak} dan termasuk jenis diskrit, karena banyaknya elemen pada S ini dapat dihitung yaitu ada 2 buah n(S) = 2dapat dihitung, yaitu ada 2 buah, n(S) 2.

Contoh 3 Menentukan Ruang Sampel & Kejadian

9

Kejadian

• Dua lokasi eksplorasi memulai aktifitas pengeboran. Sukses atau tidaknya pengeboran untuk tiap lokasi dilihat apabila ditemukannya minyak setelah satu bulan di lokasi yang bersangkutan. Tentukan ruang y g g gsampelnya dan berilah contoh kejadian/eventnya.

J b R l d l h S Jawab: Ruang sampelnya adalah S = {SS,ST,TS,TT}, dimana S = Sukses; T = Tidak sukses (nominal) ( )

Contoh kejadian, mis kejadian E1 dimana dua aktifitaspengeboran tersebut sukses, maka E1 ={SS}; dan E2dimana salah satu lokasi masih belum menemukandimana salah satu lokasi masih belum menemukan minyak, maka E2={ST,TS}.

Contoh 410

• Dilakukan survey dan pencatatan tingkat curah hujan setiap hari yang terjadi di suatu daerah pegununganpegunungan.

Jawab: Misalkan X : tingkat curah hujan g j(mm), ruang sampel S = { x | 0 x 600, x R} dan E2 adalah kejadian tingkat curah hujan lebih dari 200 mm makahujan lebih dari 200 mm, makaE2 = {x | 200 < x 600, x R}Perhatikan bahwa E2 SPerhatikan bahwa E2 S

G b

11

Gabungan

U i d i ti E d E dit li E E• Union dua peristiwa E1 dan E2 ditulis E1E2, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E atau di dalam E (termasuk didi dalam E1 atau di dalam E2 (termasuk di dalam keduanya jika ada).

Contoh. Perhatikan Contoh 3.Misal E1 adalah kejadian salah satu lokasi b h il k i k d E d l hberhasil menemukan minyak, dan E2 adalah kejadian tidak ada lokasi yang berhasil. Maka E1 E2 = {ST TS TT}E1 E2 {ST,TS,TT}.

12

Irisan

• Irisan dua peristiwa E1 dan E2, ditulis E1∩E2, adalah himpunan semua elemen yang ada di dalam E1 dan di dalam E2.

Contoh. Perhatikan Contoh 2.Misalkan E1: himpunan tinggi pasangMisalkan E1: himpunan tinggi pasang maksimum lebih dari 2,65 m, dan E2: himpunan tinggi pasang maksimum kurang dari 3,70 m. Maka E1 ∩ E2 = {x | 2,65 < x < 3,70}.

13

Komplemen• Komplemen suatu peristiwa E1, ditulis E1

c, adalah himpunan semua elemen yang tidakadalah himpunan semua elemen yang tidak di dalam E1.

Contoh. Perhatikan Contoh 4.E c= {0 ≤ x ≤ 200} yaitu himpunan tingkatE2 = {0 ≤ x ≤ 200}, yaitu himpunan tingkat curah hujan 0 sampai dengan 200.

14

Peluang Suatu Kejadiang j• Prinsip dasar : frekuensi relatif• Jika suatu ruang sampel mempunyai n(S )

elemen, dan suatu event E mempunyai n(E) elemen maka probabilitas E adalah:elemen, maka probabilitas E adalah:

( )E( )( )( )

n EP En S

C h

15

Contoh 5• Seorang pengusaha sukses merencanakan untuk berlibur keliling

Indonesia 1 bulan penuh (terhitung tanggal 1 sampai tanggal terakhir bulan ybs) tahun 2010. Perusahaannya mewajibkan setiap anggotanya membuat surat izin tertulis dengan menyertakan lama waktu izin (dalam h i) K t t t h t b t b k j 7 h i d l 1 ihari). Kantor tempat pengusaha tersebut bekerja 7 hari dalam 1 minggu. Berapa peluang bahwa pengusaha sukses tersebut mengajukan izin 31 hari?

Jawab: n(S) = 12 (banyak bulan dalam 1 thn). Misal E : kejadian bulan dengan 31 hari maka n(E) = 7 yaitu E =

( ) 7E

kejadian bulan dengan 31 hari, maka n(E) = 7 yaitu E = {Jan, Mar, Mei, Jul, Agt, Okt, Des}

( ) 7( )( ) 12

n EP En S

16

Aksioma Peluang1. 0 ≤ P(E) ≤ 1.2 P(S) = 12. P(S) = 1.3. Jika E1 dan E2 adalah dua kejadian yang saling

lepas maka berlaku:lepas,maka berlaku:P(E1E2 ) = P(E1) + P(E2)

4 Jika E E E adalah kejadian yang saling lepas4. Jika E1, E2,…,En adalah kejadian yang saling lepas mutual, maka berlaku :P(E E E ) P(E ) + P(E ) + + P(E )P(E1E2…En) = P(E1) + P(E2) +…+ P(En)

Peluang Bersyarat17

• Peluang bersyarat (conditional probability) dikatakan bersyarat karena eventnya sudah y ydibatasi.

Jika event pembatas itu A dan event yangJika event pembatas itu A dan event yang probabilitasnya ingin dihitung adalah B, maka peluang bersyaratnya adalah:

( )( ) P A BP B A

p g y y

( )( )

P B AP A

Peluang Bersyarat18

g y

• Dalam P(B|A), event A adalah kejadian yang terjadi terlebih dahulu atau yang diamati lebih dulu, baru kemudian B.

Jika A dan B adalah dua kejadian yang saling bebas makabebas, maka

P(B|A) = P(B)

C t h 6

19

Contoh 6

Warna pasir Jenis pasirHalus Kasar

Hitam 2 3Abu-abu 2 4

Terang (putih, kuning)

1 2

P(Halus Hitam) 2 5 2P(Halus| Hitam) = :P(Hitam) 14 14 5

P(Hitam) 14 14 5

20

Kejadian Saling Bebas dan Saling Lepas

• Dua kejadian E dan F dikatakan saling bebas (independent) jika berlaku:

• Dua kejadian E dan F dikatakan saling bebas (independent) jika berlaku:bebas (independent) jika berlaku: bebas (independent) jika berlaku:

( ) ( ) ( )P EF P E P F( ) ( ). ( )P EF P E P F

Dua kejadian E dan F dikatakan salingDua kejadian E dan F dikatakan salingDua kejadian E dan F dikatakan saling lepas jika berlaku:

Dua kejadian E dan F dikatakan saling lepas jika berlaku:

( ) 0P EF

Contoh 7--21

Contoh 7

S• Sebuah kartu dipilih secara acak dari serangkai

kartu bridge yang berjumlah 52 kartu. Jika E adalah

kejadian terpilih kartu As dan F adalah kejadian

t ilih b h ti T j kk b h E d Fterpilih gambar hati. Tunjukkan bahwa E dan F

saling bebas. Apakah E dan F saling lepas?

--Contoh 722

Contoh 7( ) 1/ 52P EF Jawab:

( ) 4 / 52P E

karena hanya terdapat satu As yang bergambar hati.

( ) 4 / 52P E

karena terdapat 4 As dalam kartu bridge

( ) 13 / 52P F

karena terdapat 13 kartu bergambar hati

4 13 52 1( ). ( ) . ( )52 52 52.52 52

P E P F P EF

Jadi E dan F saling bebas, tapi tidak saling lepas.

Peluang Bersyarat23

Banyak kejadian

AB5B1

A B5A B

B4A B2

5A B1

A B3

A B4

SB2 B3

Peluang Bersyaratk k d

24

Banyak kejadian

Aturan Bayes25

Contoh 826

Suatu perusahaan besar menggunakan tiga hotel sebagaiSuatu perusahaan besar menggunakan tiga hotel sebagai tempat menginap para langganannya. Dari pengalaman yang lalu diketahui bahwa 20% langganannya di tempatkan di Hotel I 50% di Hotel B dan 30% di Hotel Stempatkan di Hotel I, 50% di Hotel B, dan 30% di Hotel S. Bila 5% di Hotel I kamar mandi tidak berfungsi dengan baik, 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel S, berapa peluang bahwa,a. Seseorang langganan mendapat kamar yang kamar

mandinya tidak baik.yb. Seseorang yang mendapat kamar mandi yang tidak

baik ditempatkan di Hotel S.

Solusi27

R f i

28

Referensi Dekking F.M., et.al., A Modern Introduction to Probability and g y

Statistics, London : Springer, 2005. Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and

Analysis of Data USA: Duxbury Press 1997Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997. Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan

Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: P bit ITB 1995Penerbit ITB, 1995.

Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering, 8th Ed., 2007.

Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.

Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.