11. peluang
TRANSCRIPT
Kelas / semester : XI/1
Mata Pelajaran : MATEMATIKA
Program : IPA , IPS dan Bahasa
Materi : Peluang
Jumlah Pertemuan : 2 kali Pertemuan
NILAI KARAKTER : Rasa Ingin Tahu, Jujur, Tanggung
Jawab, Pantang Menyerah
EKONOMI KREATIF : Ulet,Tanggung Jawab, Komitmen
Peluang
Menggunakan aturan perkalian, permutasi
dan kommbinasi
Aturan perkalian
Sejarah
Menentukan peluang kejadian dan penafsiran
Menentukan ruang sampel suatu
percobaan
Permutasi kombiana
si
Aturan pengisian tempat
Notasi faktorial
Notasi permutasi
Permutasi siklis
Permutasi jika ada unsur yang sama
evaluasi
Teori peluang menyangkut dengan cara menentukan hubungan antara sejumlah kejadian khusus dengan jumlah kejadian sebarang. Misalnya pada kasus pelemparan uang sebanyak seratus kali, berapa kali akan munculnya gambar.
Teori peluang awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Itali yang bernama Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. Dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565, Cardano banyak membahas konsep dasar dari peluang yang berisi tentang masalah perjudian. Sayangnya tidak pernah dipublikasikan sampai 1663. Girolamo merupakan salah seorang dari bapak probability.
Di bukunya Cardano menulis tentang permasalahan peluang, yaitu:
Jika 3 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu minimal 1,1 pada setiap lemparan.
Jika 2 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu 1,1 paling sedikit dua kali.
Pada tahun 1654, seorang penjudi lainnya yang bernama Chevalier de Mere menemukan sistem perjudian. Ketika Chevalier kalah dalam berjudi dia meminta temannya Blaise Pascal (1623-1662) untuk menganalisis sistem perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang.
Blaisé Pascal bekerjasama dengan Fermat menyelesaikan soal-soal yang diberikan oleh Chevalier de Mere, diantaranya:• Berapa kali kita harus melemparkan dua buah dadu, sehingga minimal separuh mata dadu yang muncul keduanya angka 6.• Dalam permainan dadu, dadu dilempar sebanyak 8 kali, permainan berakhir bila seorang gagal mendapat mata dadu 1 sebanyak tiga kali.
Dalam kehidupan sehari-hari sering kita mendengar
istilah semua kemungkinan yang terjadi dalam suatu percobaan.
Misalnya, seorang siswa tiap kali ulangan nilainya selalu kurang baik,
adakah kemungkinan siswa itu naik kelas?
Contoh soal:
1. Agus mempunyai 3 buah baju berwarna putih, cokelat dan batik.
Ia juga memiliki 2 buah celana berwarna hitam dan biru yang
berbeda. Ada berapa pasang baju dan celana dapat dipakai dengan
pasangan yang berbeda?
a. Aturan Pengisian Tempat
Penyelesaian:hitam putih, hitam
Putihbiru putih, biru
hitam cokelat, hitamCokelat
biru cokelat, biru
hitam batik, hitamBatik
biru batik, biru
Jadi banyaknya pasangan baju dan celana secara bergantian sebanyak 3 x 2 = 6 cara
Dengan aturan jumlah:Warna atau jenis baju warna celana pasangan baju dan celana.
hitam (h) putih, hitam (p, h)
Putih (p)biru (b) putih, biru (p,
b)
hitam (h) cokelat, hitam (c, h)
Cokelat (c)biru (b) cokelat, biru (c,
b)
hitam (h) batik, hitam(ba, h)
Batik (ba)biru (b) batik, biru
(ba, b)
Jadi banyaknya pasangan baju dan celana secara bergantian sebanyak 2 + 2 + 2 = 6 cara
2. Alan ingin membuat kode produk barang buatannya yang terdiri dari 4 angka dan dalam kode produk barang itu tidak boleh ada angka yang sama. Berapa banyak kode produk yang dapat dibuat?
Penyelesaian:Untuk menjawab pernyataan tersebut marilah kita pakai pengisiana tempat kosong seperti terlihat pada bagan berikut.
Dibuat 4 buah kotak kosong yaitu kotak (a), (b), (c) dan (d) sebab kode produksi yang diinginkan dari
4 angka.
kotak (a) dapat diisi angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9 sehingga ada 10 cara.
A B C D
A B C D10
kotak (b) hanya dapat diisi angka 10 – 1 = 9 cara karena 1 cara sudah diisikan dikotak (a).
kotak (c) hanya dapat diisi angka 10 – 2 = 8 cara karena 2 cara sudah diisikan dikotak (a) dan (b).
kotak (d) hanya dapat diisi angka 10 – 3 = 7 cara karena 3 cara sudah diisikan dikotak (a), (b) dan (c).
Jadi, Alan dapat membuat kode produksinya sebanyak 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 kode produksi.
Dari contoh tersebut dapat disimpulkan, jika persoalan pertama dapat diselesaikan dengan a cara yang berlainan dan persoalan kedua dapat diselesaikan dengan b cara yang berlainan, maka persoalan pertama dan kedua dapat diselesaikan dengan a x b cara.
A B C D10 9
A B C D10 9 8
A B C D10 9 8 7
b. Notasi FaktorialFaktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n.
Definisi:n! = 1 x 2 x 3 x … x (n – 2) x (n – 1) x n ataun!= n (n - 1) x ( n – 2 ) x . . . x 3 x 2 x 1
Untuk lebih memahami tentang faktorial, perhatikan contoh berikut.
Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan:n! = 1 x 2 x 3 x … x (n – 2) x (n – 1) x nlambang atau notasi n! dibaca sebagai n faktorial untuk n > 2.
Permutasi atau perubahan urutan sejumlah obyek adalah penyusunan sejumlah obyek tersebut dalam suatu urutan tertentu. Permutasi dapat digunakan untuk melihat perubahan susunan yang terjadi dalam suatu organisasi, manajemen, maupun proses produksi.
Pengertian Permutasi
Seorang pengusaha mebel ingin menulis kode nomor pada kursi buatannya yang terdiri dari 3 angka, padahal pengusaha itu hanya memakai angka – angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Angka – angka itu tidak boleh ada yang sama. Berapakah banyaknya kursi yang akan diberi kode nomor?
Untuk menjawab hal tersebut marilah kita gambarkan 3 tempat kosong yang akan diisi dari 5 angka yang tersedia.
a b c5 4 3
Kotak (a) dapat diisi dengan 5 angka yaitu angka 1,2,3,4, atau 5.
Kotak (b) dapat diisi dengan 5 angka karena 1 angka sudah diisikan di kotak
(a).
Adapun kotak (c) hanya akan diisi dengan 3 angka, sehingga banyaknya kursi
yang akan diberi kode adalah 5 x 4 x 3 = 60 kursi.
Susuna semacam ini disebut permutasi karena urutannya di perhatikan, sebab
125 tidak sama dengan 215 ataupun 521 .
a b c5 4 3
Permutasi contoh ini disebut permutasi tiga – tiga dari 5 unsur dan di notasikan
dengan atau atau , sehingga:
= 5 x 4 x 3
= 5 x (5 - 1) x (5 - 2)
= 5 x (5 - 1) x ….. x (5 – 3 + 1),
Secara umum dapat di peroleh kesimpulan sebagai berikut.
Banyaknya permutasi dan n unsur diambil r unsur dinotasikan:
= n(n - 1) (n - 2) (n - 3) … (n – r + 1)
b. Permutasi Siklis
Permutasi siklis adalah permutasi yang cara menyusunnya melingkar sehingga
banyaknya n unsur yang berlainan dalam lingkaran ditulis :
= ( n – 1)(n – 2) …3.2.1 = (n-1)!
Atau
Contoh soal :
Pada rapat pengurus himatika dihadiri oleh 6 orang yang duduk mengelilingi
sebuah meja bundar .
Berapakah susunan yang dapat terjadi ?
Penyelesaian:
= 5! =5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
Jadi, susunan yang dapat terjadi adalah 120 susunan.
c. Permutasi jika ada unsur yang sama
Untuk menghitung banyaknya permutasi jika ada unsur yang sama marilah kita
lihat ontoh berikut.
Berapa banyakah bilangan yang dapat disusun dari angka 2275 apabila tidak
boleh ada angka-angka yang sama?
Untuk menjawab soal tersebut dapat dipergunakan bagan dibawah ini.
2
2 2
2
sama
sama
sama
sama
sama
Sehingga banyaknya permutasi 2275 ada 12 cara.
Dari contoh dapat dijabarkan 4x3 = 12 atau permutasi 4 unsur dengan 2
unsur sama ditulis : secara umum permutasi n unsur dengan p unsur sama
dan q unsur sama ditulis : banyaknya permutasi n unsur yang memuat
k,l, dan m unsur yang sama dan ditulis dengan rumus : p =
Contoh soal :
Berpa banyak kata yang dapat ditulis dari kata MATEMATIKA?
Penyelesaian
MATEMATIKA mempunyai banyaknya huruf = 10 , banyaknya m = 2, T =
2,
A = 3
= 151.200
Evaluasi1. Pengurus suatu organisasi yang terdiri dari ketua, wakil ketua dan
sekretaris dipilih dari 7 orang calon. Banyak cara yang mungkin untuk
memilih pengurus organisasi itu dengan tidak ada jabatan rangkap
adalah…
2. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8
orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu
duduk di kursi tertentu?
Penyelesaian :
soal di atas adalah urutan yang diperhatikan
karena dari ke 7 calon tersebut dapat menduduki ke 3 posisi
yang berbeda, sehingga digunakan permutasi.
n = 7 dan r = 3
Jadi banyak cara yang mungkin untuk memilih pengurus organisasi itu dengan tidak ada jabatan rangkap sebanyak 210 cara.
Penyelesaian:
Jika salah seorang selalu duduk di kursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan
3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada:
7P3 =
Jadi banyaknya 210 cara.