11. peluang

28
Agus Sirojudin Agus Sirojudin

Upload: jejen-abdul-fatah

Post on 02-Aug-2015

215 views

Category:

Education


0 download

TRANSCRIPT

Agus SirojudinAgus Sirojudin

Kelas / semester : XI/1

Mata Pelajaran : MATEMATIKA

Program : IPA , IPS dan Bahasa

Materi : Peluang

Jumlah Pertemuan : 2 kali Pertemuan

NILAI KARAKTER : Rasa Ingin Tahu, Jujur, Tanggung

Jawab, Pantang Menyerah

EKONOMI KREATIF : Ulet,Tanggung Jawab, Komitmen

Peluang

Menggunakan aturan perkalian, permutasi

dan kommbinasi

Aturan perkalian

Sejarah

Menentukan peluang kejadian dan penafsiran

Menentukan ruang sampel suatu

percobaan

Permutasi kombiana

si

Aturan pengisian tempat

Notasi faktorial

Notasi permutasi

Permutasi siklis

Permutasi jika ada unsur yang sama

evaluasi

Teori peluang menyangkut dengan cara menentukan hubungan antara sejumlah kejadian khusus dengan jumlah kejadian sebarang. Misalnya pada kasus pelemparan uang sebanyak seratus kali, berapa kali akan munculnya gambar.

Teori peluang awalnya diinspirasi oleh masalah perjudian. Awalnya dilakukan oleh matematikawan dan fisikawan Itali yang bernama Girolamo Cardano (1501-1576). Cardano lahir pada tanggal 24 September 1501. Cardano merupakan seorang penjudi pada waktu itu. Walaupun judi berpengaruh buruk terhadap keluarganya, namun judi juga memacunya untuk mempelajari peluang. Dalam bukunya yang berjudul Liber de Ludo Aleae (Book on Games of Changes) pada tahun 1565,  Cardano banyak membahas konsep dasar dari peluang yang berisi tentang masalah perjudian. Sayangnya tidak pernah dipublikasikan sampai 1663. Girolamo merupakan salah seorang dari bapak probability.

Di bukunya Cardano menulis tentang permasalahan peluang, yaitu:

Jika 3 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu minimal 1,1 pada setiap lemparan.

Jika 2 buah dadu dilempar bersamaan sebanyak 3 kali, berapa peluang untuk mendapatkan mata dadu 1,1 paling sedikit dua kali.

Pada tahun 1654, seorang penjudi lainnya yang bernama Chevalier de Mere menemukan sistem perjudian. Ketika Chevalier kalah dalam berjudi dia meminta temannya Blaise Pascal (1623-1662) untuk menganalisis sistem perjudiannya. Pascal menemukan bahwa sistem yang dipunyai oleh Chevalier akan mengakibatkan peluang dia kalah 51 %. Pascal kemudian menjadi tertarik dengan peluang, dan mulailah dia mempelajari masalah perjudian. Dia mendiskusikannya dengan matematikawan terkenal yang lain yaitu Pierre de Fermat (1601-1665). Mereka berdiskusi pada tahun 1654 antara bulan Juni dan Oktober melalui 7 buah surat yang ditulis oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat yang membentuk asal kejadian dari konsep peluang.

Blaisé Pascal bekerjasama dengan Fermat menyelesaikan soal-soal yang diberikan oleh Chevalier de Mere, diantaranya:• Berapa kali kita harus melemparkan dua buah dadu, sehingga minimal separuh  mata dadu yang muncul keduanya angka 6.• Dalam permainan dadu, dadu dilempar sebanyak 8 kali, permainan berakhir bila seorang gagal mendapat  mata dadu 1 sebanyak tiga kali.

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita mendengar

istilah semua kemungkinan yang terjadi dalam suatu percobaan.

Misalnya, seorang siswa tiap kali ulangan nilainya selalu kurang baik,

adakah kemungkinan siswa itu naik kelas?

Contoh soal:

1. Agus mempunyai 3 buah baju berwarna putih, cokelat dan batik.

Ia juga memiliki 2 buah celana berwarna hitam dan biru yang

berbeda. Ada berapa pasang baju dan celana dapat dipakai dengan

pasangan yang berbeda?

a. Aturan Pengisian Tempat

Penyelesaian:hitam putih, hitam

Putihbiru putih, biru

hitam cokelat, hitamCokelat

biru cokelat, biru

hitam batik, hitamBatik

biru batik, biru

Jadi banyaknya pasangan baju dan celana secara bergantian sebanyak 3 x 2 = 6 cara

Dengan aturan jumlah:Warna atau jenis baju warna celana pasangan baju dan celana.

hitam (h) putih, hitam (p, h)

Putih (p)biru (b) putih, biru (p,

b)

hitam (h) cokelat, hitam (c, h)

Cokelat (c)biru (b) cokelat, biru (c,

b)

hitam (h) batik, hitam(ba, h)

Batik (ba)biru (b) batik, biru

(ba, b)

Jadi banyaknya pasangan baju dan celana secara bergantian sebanyak 2 + 2 + 2 = 6 cara

2. Alan ingin membuat kode produk barang buatannya yang terdiri dari 4 angka dan dalam kode produk barang itu tidak boleh ada angka yang sama. Berapa banyak kode produk yang dapat dibuat?

Penyelesaian:Untuk menjawab pernyataan tersebut marilah kita pakai pengisiana tempat kosong seperti terlihat pada bagan berikut.

Dibuat 4 buah kotak kosong yaitu kotak (a), (b), (c) dan (d) sebab kode produksi yang diinginkan dari

4 angka.

kotak (a) dapat diisi angka 0,1,2,3,4,5,6,7,8 atau 9 sehingga ada 10 cara.

A B C D

A B C D10

kotak (b) hanya dapat diisi angka 10 – 1 = 9 cara karena 1 cara sudah diisikan dikotak (a).

kotak (c) hanya dapat diisi angka 10 – 2 = 8 cara karena 2 cara sudah diisikan dikotak (a) dan (b).

kotak (d) hanya dapat diisi angka 10 – 3 = 7 cara karena 3 cara sudah diisikan dikotak (a), (b) dan (c).

Jadi, Alan dapat membuat kode produksinya sebanyak 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 kode produksi.

Dari contoh tersebut dapat disimpulkan, jika persoalan pertama dapat diselesaikan dengan a cara yang berlainan dan persoalan kedua dapat diselesaikan dengan b cara yang berlainan, maka persoalan pertama dan kedua dapat diselesaikan dengan a x b cara.

A B C D10 9

A B C D10 9 8

A B C D10 9 8 7

b. Notasi FaktorialFaktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n.

Definisi:n! = 1 x 2 x 3 x … x (n – 2) x (n – 1) x n ataun!= n (n - 1) x ( n – 2 ) x . . . x 3 x 2 x 1

Untuk lebih memahami tentang faktorial, perhatikan contoh berikut.

Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan:n! = 1 x 2 x 3 x … x (n – 2) x (n – 1) x nlambang atau notasi n! dibaca sebagai n faktorial untuk n > 2.

Hitunglah nilai dari:

1.3! x 2!

Penyelesaian:

1.3! x 2! = (3 x 2 x 1) x (2 x 1)

= 6 x 2

= 9.33

Permutasi atau perubahan urutan sejumlah obyek adalah penyusunan sejumlah obyek tersebut dalam suatu urutan tertentu. Permutasi dapat digunakan untuk melihat perubahan susunan yang terjadi dalam suatu organisasi, manajemen, maupun proses produksi.

Pengertian Permutasi

Seorang pengusaha mebel ingin menulis kode nomor pada kursi buatannya yang terdiri dari 3 angka, padahal pengusaha itu hanya memakai angka – angka 1, 2, 3, 4, dan 5. Angka – angka itu tidak boleh ada yang sama. Berapakah banyaknya kursi yang akan diberi kode nomor?

Untuk menjawab hal tersebut marilah kita gambarkan 3 tempat kosong yang akan diisi dari 5 angka yang tersedia.

a b c5 4 3

Kotak (a) dapat diisi dengan 5 angka yaitu angka 1,2,3,4, atau 5.

Kotak (b) dapat diisi dengan 5 angka karena 1 angka sudah diisikan di kotak

(a).

Adapun kotak (c) hanya akan diisi dengan 3 angka, sehingga banyaknya kursi

yang akan diberi kode adalah 5 x 4 x 3 = 60 kursi.

Susuna semacam ini disebut permutasi karena urutannya di perhatikan, sebab

125 tidak sama dengan 215 ataupun 521 .

a b c5 4 3

Permutasi contoh ini disebut permutasi tiga – tiga dari 5 unsur dan di notasikan

dengan atau atau , sehingga:

= 5 x 4 x 3

= 5 x (5 - 1) x (5 - 2)

= 5 x (5 - 1) x ….. x (5 – 3 + 1),

Secara umum dapat di peroleh kesimpulan sebagai berikut.

Banyaknya permutasi dan n unsur diambil r unsur dinotasikan:

= n(n - 1) (n - 2) (n - 3) … (n – r + 1)

Atau dapat juga ditulis:

= n(n - 1) (n - 2) … (n – r + 1)

=

=

=

=

1. Tentukan nilai:

Penyelesaian

= 24

= 8.7.6 = 336

b. Permutasi Siklis

Permutasi siklis adalah permutasi yang cara menyusunnya melingkar sehingga

banyaknya n unsur yang berlainan dalam lingkaran ditulis :

= ( n – 1)(n – 2) …3.2.1 = (n-1)!

Atau

Contoh soal :

Pada rapat pengurus himatika dihadiri oleh 6 orang yang duduk mengelilingi

sebuah meja bundar .

Berapakah susunan yang dapat terjadi ?

Penyelesaian:

= 5! =5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Jadi, susunan yang dapat terjadi adalah 120 susunan.

c. Permutasi jika ada unsur yang sama

Untuk menghitung banyaknya permutasi jika ada unsur yang sama marilah kita

lihat ontoh berikut.

Berapa banyakah bilangan yang dapat disusun dari angka 2275 apabila tidak

boleh ada angka-angka yang sama?

Untuk menjawab soal tersebut dapat dipergunakan bagan dibawah ini.

2

2 2

2

sama

sama

sama

sama

sama

Sehingga banyaknya permutasi 2275 ada 12 cara.

Dari contoh dapat dijabarkan 4x3 = 12 atau permutasi 4 unsur dengan 2

unsur sama ditulis : secara umum permutasi n unsur dengan p unsur sama

dan q unsur sama ditulis : banyaknya permutasi n unsur yang memuat

k,l, dan m unsur yang sama dan ditulis dengan rumus : p =

Contoh soal :

Berpa banyak kata yang dapat ditulis dari kata MATEMATIKA?

Penyelesaian

MATEMATIKA mempunyai banyaknya huruf = 10 , banyaknya m = 2, T =

2,

A = 3

= 151.200

Evaluasi1. Pengurus suatu organisasi yang terdiri dari ketua, wakil ketua dan

sekretaris dipilih dari 7 orang calon. Banyak cara yang mungkin untuk

memilih pengurus organisasi itu dengan tidak ada jabatan rangkap

adalah…

2. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8

orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu

duduk di kursi tertentu?

Penyelesaian :

soal di atas adalah urutan yang diperhatikan

karena dari ke 7 calon tersebut dapat menduduki ke 3 posisi

yang berbeda, sehingga digunakan permutasi.

n = 7 dan r = 3

Jadi banyak cara yang mungkin untuk memilih pengurus organisasi itu dengan tidak ada jabatan rangkap sebanyak 210 cara.

Penyelesaian:

Jika salah seorang selalu duduk di kursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan

3 kursi kosong.

Maka banyaknya cara duduk ada:

7P3 =

Jadi banyaknya 210 cara.