1 2dewipurnawati1.weebly.com/.../fisika_matematika_2.docx · web viewderet fourier f(x) = + + bila...

DERET FOURIER

Bila f adalah fungsi periodic yang berperioda p, maka f adalah fungsi periodic. Berperiode n, dimana n adalah bilangan asli positif (+). Untuk setiap bilangan asli positif fungsi yang

didefinisikan oleh sin ( nπxL ) dan cos ( nπxL ) juga berperioda 2L, maka :

n = bilangan asli (1,2,3,4,5,….)

dimana :

L = pertemuan titik

Bilangan-bilangan untuk a0,a1 , a2, …b0,b1 , b2, … disebut koefisien fourier dari f(x) dalam (-L,L)

Contoh :

1. Ekspansikan ke dalam deret fourier f(x) = [ −88 2< x<4

0< x<2

jawab :

a0 = 1L ∫

−L

L

f ( x )dx

=12 ∫

0

2

8 dx + 12 ∫

0

2

−8dx

= 12 8 x ]2

0 + 12 8 x ]4

2

= ( 12

.8 .2−12

.8 .0)+(−12

.8 .2−(−12

.8.0))= 8 + (-16) + 8

= 0

FISIKA MATEMATIKA II

F(x) = 12a0 + ∑

n=1an cos (nπxL ) + bn sin( nπxL )

a0 = 1L ∫

−L

L

f ( x ) dx

an = 1L ∫

−L

L

f ( x ) cos(nπxL )dx

= 1L ∫

−L

L

f ( x ) sin( nπxL )dx

an =1L ∫

−L

L

f ( x ) cos(nπxL )dx

=12 ∫

0

2

8cos ( nπx2 )dx+ 12

∫2

4

−8 cos( nπx2 )dx

( nπx2 )disubtitusikanmisal t=( nπx2 )dtdx

=nπ2

dx= 2nπ

dt

=12 ∫

0

2

8 cos t 2nπ

dt+12

∫2

4

−8 cos t 2nπ

dt

=12.8 . 2

nπ ∫0

2

cos t dt+12. (−8 ) . 2

nπ ∫

2

4

cos t dt

= 8nπ

sin nπx2

] 20−¿

8nπ

sin nπx2

]42¿

= 8nπ (sin nπ2

2−sin nπ 0

2 )− 8nπ (sin nπ 4

2−sin nπ 2

2 )=

8nπ

(0 .0 )− 8nπ

(0 .0 )

= 0

an =1L ∫

−L

L

f ( x ) sin(nπxL )dx

¿ 12 ∫

0

2

8 sin ( nπx2 )dx+ 12

∫2

4

−8sin( nπx2 )dx

¿ 12 ∫

0

2

8 sin t 2nπ

dt+ 12

∫2

4

−8 sin t 2nπ

dt


¿12.8 . 2

nπ ∫0

2

sin t dt+ 12. (−8 ) . 2

nπ ∫

2

4

sin t dt

= 8nπ

−cos t ] 20−¿

8nπ

−cos t ]42¿

= −8nπ (cos nπ 2

2−cos nπ 0

2 )+ 8nπ (cos nπ 4

2−cos nπ 2

2 )=

−8nπ [ (−1 )n−(1 )n ]+ 8

nπ [ (1 )n− (−1 )n ]

=−16nπ

(−1 )n+ 16nπ

(1 )n

F(x) = 12a0 + ∑

n=1an cos ( nπxL ) + bn sin( nπxL )

=12.0 + ∑

n=10 cos ( nπxL ) + [−16

nπ(−1 )n+ 16

nπ(1 )n] sin( nπxL )

= [−161π

(−1 )1+ 161 π

(1 )1] sin( 1πx2 ) + [−16

2π(−1 )2+ 16

2 π(1 )2] sin( 2 πx

2 ) + …

= [16π

+ 16π ] sin( πx2 ) + [−16

nπ+ 16nπ ] sin( 2 πx

2 )+…

=32π

sin( πx2 )+0+ 323π

sin( 3πx2 )+0+ 32

5 πsin( 5 πx

2 )+0+…

SOAL

1. f ( x )=¿¿

2. f ( x )=x−π ≤0≤π(x)

Jawab.


1. 𝑎0 = 1L∫−L

L

f (x )dx

¿ 14∫−4

0

−xdx=+14

∫0

4

x dx

¿−14 .

12x2¿¿

¿−18x2¿−4

0 + 18x2 ¿0

4

¿¿ (-4) ) - (18

( 4 ) – 18

(0 )¿

¿2+2 =4

a0=1L∫−ll f (x ) cos nπx

L dx

=14∫ 4

0−x cos nπx4

dx+ 14 ∫ 0

4x cos nπx4 dx

intergal persial :∫

misal : u=-x dv=∫cos

du=dx →misal : t : nπx4

v=∫cos nπx4

dx

=∫cos L 4nπ

dt=sin nπx4

=4

nπxsi n nπx

x

=(uv-∫v du)+(uv-∫vdu)

=[-x4nπ

sin nπx4

¿40− ∫−4

0 4nπx

sin nπx4

−dx ¿+[x 4nπ

sin nπx4

¿04−∫ 0

4 4nπ

sin nπx4

dx ]

=[−x 4nπ

sin nπx4

¿−40 + 4

nπ∫−4

0 sin nπx4 dx]+[

4 xnπ

sin nπx4

¿04− 4

nπ∫ 0

4 sin nπx4

dx¿

=[(−04nπ

sin nπx4

¿−(− (−4 ) 4nπ

sin nπ (−4 )4 )+ 4

nπ− 4

nπ−cos nπx

4¿−4

0 +¿ ¿04


=[0+ 16−cosnπ

nπx4

¿−40 ¿+[0+ 16

nπcos nπx

4¿0

4]

=[(−16nπ cos

nπ .04

¿−¿cosnπ (−4)

4¿¿+¿cos

nπ .44

¿−¿)]

=[-16nπ

+ 16nπ

¿+[ 1−1 ]

=0+0 =0

bn=il∫−ll f (x ) sin nπx

4dx

=14∫−4

0 −x sin nπxl

dx+ 14∫ 0

4 x sin nπxl

dx

Parsial→u=−x ; du =-dx ; t=nπxl

du=sindx ;v= ∫ sin nπx4

dx ; dx=4nπ

dt

=−4nπ

cos nπx4

=(uv∫v du)+(uv-∫v du)

=[-x ·−4nn

cos nnx4 ∫

−4

0

−∫−4

0−4nn

cos nnx4

dx ¿+¿ cos nnx4

¿04−∫

0

4−4nn

cos nnx

4 ]

=[ 4 xnn

cos nnx4

¿−40 + 4

nn∫−4

0

cos nnx4

dx] + [−4 xnn

cos nnx4

¿04+ 4

nn ∫0

4

cos nnx4

dx¿

=[(4.0nn

cos nn.04

¿−¿ )+ 4nn ·

4nn sin

nnx4

¿−40 ] +

[(−4.4nn

cos nn .44

¿−(−4.0nn

cos nn .o4 )+ 4

nn· 4nn

sin nnx4

¿04 ¿¿

=[( 4nn

−16nn

¿+( 16nn

sin nn .04

−16nn

sin nn (−4 )4

)¿+( 16nn

+ 4nn

)+¿

=[−12nn

=(0−0)¿+[ 20nn

+(0−0)]


= −12nn

+ 20nn

=−8nn

f(X)=⥤ 12ao+∑

n=1ancos nπx

l=bn sin nπx

l

=12

4+0+ 8nπ sin

nπx4

=2+8nπ

sin nπx4

a. Deret fourier dari fungsi genap dan ganjilDeret fourier dari fungsi genap dan periode dua sukunyahanyalah terdiri dari konstans dan kosinus, dan sebaliknya fungsi ganjil hanyalah sinus saja.

Untuk fungsi genap/kosinus

a0=2L∫0

L

f ( x ) dx

an=2L∫0

L

f ( x )cos nπxL

dx

∴ f ( x )=a0

2+∑

n+1an cos nπx

L

Untuk fungsi ganjil/sinus

bn=2L∫0

L

f ( x )sin nπxL

dx

∴ f ( x )=∑n+1

bn sin nπxL

Contoh :

f ( x )=x−π ≤0≤π

Jawab :

Fungsi genap

a0=2L∫0

L

f ( x ) dx

¿ 2π ∫−π

π

x dx

¿ 2π. 12x2 π

−π


¿ 2π.( 1

2π2−1

2(−π )2)

¿0

atau

a0=2L∫0

L

f ( x ) dx

¿ 2π [∫– π

π

xdx−∫−π

π

x dx]¿ 2π

.0

¿0


an=2L∫0

L

f ( x )cos nπxL

dx

¿ 2π ∫−π

π

x cosnx dx

parsialu=xdv=cosnx dx

du=dx v=1n

sin nx

¿ 2π (uv−∫ v du)

¿ 2π (x . 1

nsin nx π

−π−∫

−π

π1n

sin nxdx )¿ 2π ( xn sin nx π

−π−1

n ∫−π

π

sin nxdx )Misal : t=nx

dt=ndx

d x=dtn

¿ 2π ( xn sin nx π

−π−1

n ∫−π

π

sin t dtn )

¿ 2π ( xn sinnx π

−π−1

n. 1n∫–π

π

sin t dt)¿

2π ( xn sinnx π

−π−

1n2 −cos t π

−π )¿ 2π

¿

¿ 2π (0−0+( 1

n2 (−1 )n− 1n2 (1 )n))

¿ 2π ( 1

n2 (−1 )n− 1n2 (1 )n)

¿ 2π n2 (−1 )n− 2

π n2 (1 )n


∴ f ( x )=a0

2+∑

n+1an cos nπx

L= 2

π n2 (−1 )n− 2π n2 (1 )n cosnx+…

¿( 2π n2 (−1 )n− 2

π n2 (1 )n cos1x )+( 2π n2 (−1 )n− 2

π n2 (1 )ncos 2x )+( 2π n2 (−1 )n− 2

π n2 (1 )ncos3 x )¿( 2

n−2

ncos x)+0+(−2

9 π− 2

9πcos3 x)+0+…

¿ −4π

cosx+0−−49π

cos3 x+0. −425 π

cos5 x+0−…

Fungsi ganjil

2. f ( x )=0−π<¿ x<020< x<π

ao = 1L∫−L

L

f (x ) dx

= 1n∫−n

0

0dx+ 1n∫0

π

2dx

= 0 + 2 xπ ]π0

= ( 2ππ

−2.0π )=2

an = ∫−L

L

f ( x ) cos nπxL

dx

= 1π ∫

−π

0

0cos nπxπ

dx+ 1π∫0

π

2 cos nπxπ

dx

= 0 + 2π∫0

π

cosnx dx

Misal: t=nx

dtdx= n

dx=dtn

= 2π∫0

π

cos t ∙ 1ndt


= 2nπ∫0

π

cos t dt

= 2nπ

sin t ] π0

= 2nπ

sin n (π )− 2nπ

n (0 )

= 0-0 = 0

bn = 1L∫−L

L

f (x ) sin nπxL

dx

= 1π ∫

−π

0

0sin nπxπ

dx+ 1π∫0

π

2sin nπxπ

dx

= 0 + 1π

2sin nx dx

Misal: t=nx

dtdx= n

dx=1ndt

= 2π∫0

π

sin t ∙ 1ndt

= 2nπ∫0

π

sin t dt

=- 2nπ

cos t ] π0

= (−2nπ

cos n (π )+ 2nπ

cosn(0))=

−2nπ

(−1)n+ 2nπ

(−1)n

f ( x )= 12a0+∑

n=1

∞

(an cos nπxL

+bnsin nπxL )

=12∙2+0+( 2

nπ(1)n− 2

nπ(−1)n)sin nπx

π


= 1 +

( 21π

(1)1− 21 π

(−1)1)sin 1 x+( 22π

(1)2− 22 π

(−1)2)sin 2 x+( 23π

(1)3− 23π

(−1)3)sin 3 x

= 1 + 4π

sin x+0+ 43 π

sin 3 x+0+…

DERET FOURIER KOMPLEK

Bentuk cos nx dan sin nx dapat dinyatakan dalam bentuk eksponensial dengan menghubungkan euler.

f ( x )=ao

2+∑

n=1

∞ (an( einx+e−inx

2 )+bn( einx+e−inx

2 )) =

ao

2+∑

n=1

∞ (an(an+i bn

2 )e inx+∑n=1

∞

bn( an−i bn

2 )e−inx)Dimana:a0= 1

2L∫−L

L

f ( x ) dx

an= 12L∫−L

L

f ( x ) einπxL dx

bn=1

2L∫−L

L

f ( x ) e−inπx

L dx

Contoh soal:

1. f ( x )=0−π<¿ x<010< x<π

Jawab:

a0= 12L∫−L

L

f ( x ) dx


= 12π ∫−π

0

0dx+ 12 π∫0

π

1dx

=1

2π (0+ 12π

x) = 0+( 1

2π∙ π− 1

2π∙0)

= 12

an= 12L∫−L

L

f ( x ) einπxL dx

` = 12π [∫

−π

0

0einπxπ +∫

0

π

1 einπxπ dx]

= 12π [0+∫

0

π

e inx dx ] = 1

2π [∫0π

einx dx ]Misal : t=nx

dtdx

=¿

dx=dt¿

= 12π∫0

π

et dx

= 12π

∙ 1¿∫

0

π

et dt

= 1

2πin∙ e t ] π

0

= 1

2πin∙ e inx ] π

0

= 1

2πin(einπ−e¿ 0)


= 1

2πin(einπ−1)

bn=1

2L∫−L

L

f ( x ) e−inπx

L dx

= 12π [∫

−π

0

einπxπ dx+∫

0

π

1e−inπx

π dx ] = 1

2π [∫0π

e−inxdx]Misal:t=−inx

dtdx

=−¿

dx= 1−¿ dt

= 12π [∫0

π

et ∙ 1−¿ dt ]

= −1

2πin∙e t ] π

0

= −1

2πin∙ e−inx ] π

0

=−1

2πin(e−inπ−e−¿0)

= - 1

2πin(e−inπ+1)

∴ f ( x )=

122

+∑n=1

∞ 12πin

(e inπ−1 ) [ e inx+ e−inx

2 ]+ −12πin

(e−inπ+1)[ e inx−e−inx

2 ] =

14+

12πi .1

(e i1π−1 )[ e i1x+e−i1 x

2 ]− 12πi

(e−i1π+1 )[ e i1x−e−i1x

2 ]+ 12πi .2

(ei 2π−1 ) [ e i2x+e−i2x

2 ]− 12 πi .2

(ei2π+1 )[ ei 2x−e−i2 x

2 ]+ 12πi .3

(e i3π−1 )[ ei3 x+e−i3 x

2 ]− 12πi .3

(ei3π+1 )[ ei3x−e−i3 x

2 ]+…


“FUNGSI-FUNGSI”

1. FUNGSI GAMMA

Fungsi gamma (n) yang lazimnya di sajikan dalam symbol γ (n) di definisikan


γ (n )=∫0

∞

xn−1 e−x dx untuk n>0 keberadaan fungsi ini untuk setiap n>0 tidak dapat

disanksikan mengingat integral di ruas kanan konvergen jika n>0.Beberapa sifat dasar fungsi gamma :

Memenui γ (n+1 )=n. γ (n) γ (1 )=1, jika n bulat positif , maka γ (n+1 )=! sebat itu fungsi , gamma sering

dinamakan fungsi factorial

Untuk n>0 , γ (n) memiliki asimtot tegak n=0 , artinya limn→∞

γ (n )=∞

γ ¿)= √φ

Perluasan analitik untuk n<0 γ (n )= γ(n+1)n

Contoh : 1. γ (1 )=n>0

γ (1 )=∫0

∞

xn−1e− xdx

¿∫0

∞

x1−1 e− xdx

¿∫0

∞

. e−x dx

¿∫0

∞

1.e−x dx

¿−e−x|∞0 ¿¿ -(-e−0 ¿=−e−∞+e0=0+1=1

2. γ=(−2 12 )=n<0

γ (n )= γ (n+1)n

γ (−2 12 )=

γ (−2 12+1)

−2 12


γ (−1 12 )=

γ (−1 12+1)

−2 12.−1 1

2

γ (−12 )=

γ ( 12+1)

−2 12.−1 1

2.−1

2

γ ( 1

2 )= √π−52

.−32.−1

2

¿ √π−15

8

= -8

15 √π

3. ∫0

∞

e−3 xdx => mis: t=3 x↔ x= t3

dtdx

=3

dx=dt3

∫0

∞

¿¿

∫0

∞

¿¿

∫0

∞

¿¿

¿¿dt

¿¿

¿1

2187.6 .5 .4 .3 .2.1


¿720

2187=0,329

4. γ (3 ) . γ ( 3

2 )γ( 9

2 )=2 ! 1

2 γ ¿¿¿

¿ 2

1058

¿0,15

2. FUNGSI BETA

Fungsi beta β (m,n ) , untukm>0dan n¿0 adalah :

β (m ,n)= ∫0

1

xm−1(1−x )n−1dx

Hubungan antara F . beta dan gamma:

Fungsi γ (m ) = ∫0

∞

xm−1 . exdx

Dapat γ (n ) = 2 ∫0

∞

x2m−1 .e xdx

Sebab jika x = u2 maka

∫0

∞

xm−1 . e−x dx = ∫0

∞

u2m−2 . e−u2

. (2u ) .du

= 2 ∫0

∞

u2m−1 . e−u

. du

Demikian pula :

γ (n )=∫0

∞

xn−1 .e− xdx


= 2 ∫0

∞

xn−1 . e−xdx

= 2 ∫0

∞

y2n−1 . e− y2

dy

Demikian pula:

γ (m ) . γ (n ) = 4 ∫0

∞

x2m−1 .e− x2

dx

= ∫0

∞

y2n−1 . e− y2

dy

= 4 ∫0

∞

∫0

∞

x2m−1 . y2n−1 . e−(x2+ y2)dxdy.

Jika kita gunakan transpormasi koordinat y=γ cosθ, y=γ sin θ, maka:

∫0

∞

∫0

∞

xm−1 . y2n−1 . e−(x2+ y2 )dxdy .

Menjadi:

∬R

G(γ ,θ)|d (x , y )d (γ , θ)|dγdθ , dengan G ((γ , θ)

γ ¿ γ ¿ . e−r2

= r2 (m+n)−2 cos2 m−1θsin2m−1θ .

Pada daerah pengintegralan pada sistem coordinat (γ ,θ¿ yang sesuai dengan 0

≤ x<∞;0≤ y≤∞ dan yacorbian transformasi d (x , y )d (γ , θ) adalah :

|d (x , y )d (γ , θ)|=|dx /dγdy /dγ

dx /dθdy /dθ| = |cosθ γ sin θ

sinθ γ cosθ| = γ

Karna itu,

γ (m ) . γ (n )=4∫0

π2

γ 2 (m+n)−2 cos2m−1θ sin 2n−1θe−γ 2

( γ )dγdθ¿

¿

¿4∫0

π2

∫0

∞

γ 2(m+n )e−r 2

cos2m−1θsin2n−1θdγdθ

¿ [2∫0∞

r2 (m+n)−1e−γ 2

dγ ] . [2∫0

π2

cos2m−1θ sin2n−1θdθ]


¿2∫0

∞

γ 2(m+n )−1e−γ 2

dγ ¿¿ β (m ,n)

Mengingat γ (m+n )=∫0

∞

xm+n−1e− xdx

= ∫0

∞

¿¿¿

= 2 ∫0

∞

z2 ¿¿

Maka kita peroleh hub antara fungsi beta dan gamma.γ (m ) . γ (n )=γ (m+n ) β(m.n)atau ,

β (m.n )=γ (m ) . γ (n)γ (m+n)

Contoh:

1. β (3,5 )

Jawab: γ (3 ) . γ (5)γ (3 )+γ (5)

=2 !4 !

7 ! =2! .4,3,2,1

7,6,5,4,3,2,1=2

210=1

105 .

2. ∫0

1

√ 1−xx

dx

Jawab: ∫0

1

√ 1−x√x

dx = ∫0

1

√1−x . ( x )12dx

= ∫0

1

(1−x )12dx

= γ ( 32 ) . γ (1

2)

= 12γ ( 1

2 ) .√ π

= 12 √π . √π

= 12 √π .

Aplikasi Deret Fourier


Persoalan fisika, terutama yang menyangkut tentang vibrasi getaran biasanya membawa kita

kepada besaran fisis berupa frekuensi, pannjang gelombang dan jenisnya.

Sebuah partikel bergerak dengan laju konstan sehingga lintasannya berupa lingkaran dengan

jari-jari A. Pada saat bersamaan partikel Q bergerak ke atas dan ke bawah sepanjang garis

lurus RS yang merupakan pencerminan terhadap sumbu y.

θ=ω. t

dimana : ω = kecepatan anguler (rad/s)

t = waktu (s)

simpangannya : Y=A sinω.t

simpangan dapat didefinisikan sebagai jarak partikel dari titik keseimbangan, sehingga untuk

gerak P terhadap sumbu x dan sumbu y dapat ditulis :

x=A cos ω.t dan y=A sin ω.t

karena dalam bidang komplek

z=x+i y

z = A cos ω.t + i A sin ω.t

z = A ( cos ωt + i sin ωt )

z=A . eiωt dzdt

=A .eiωt iω

dzdt

=A .iω .eiωt


Dalam bentuk lain, maka simpangan Y dapat dinyatakan sebagai bentuk gelombang yang

bergerak ke kanan/ ke kiri.

Y=A sin 2πT

( x−vt )

Menyatakan simpangan Y merupakan fungsi periodik dari x ( untuk t yang sesuai ) dan

fungsi t ( dari x yang sesuai ).


Line dan Surface Integral

1) Line Integral

F = gaya

F=f ( x , y )

x=P ( x , y )

y=Q ( x , y )

j=limn→ 0

∑i=1

n

F (δ ,n )∆ li

j=∫AB

Fdl

Dalam bentuk skalar : j=∫AB

x dx+ y dy

j=∫AB

P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy

Line integral : j=∫AB

P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy

j=∫L

P ( x , y )dx+Q ( x , y )dy

Dimana :

Fungsi P (x,y) dan Q (x,y)

Cara menghitung line integral :

x = Q (t)

y = P (t)

dxdt

=QI ( t ) dydt

=QI ( t )

x=Q I (t ) y=Q I (t )

j=∫L

P(x , y¿)dx+Q ( x , y )dy ¿

j=∫

[P Q (t ) .Q ( t ) Q I dt+Q Q (t ) .Q (t ) QI dt ]


j=∫α

β

[P (Q ( t ) .Q ( t ) )+Q (Q ( t ) .Q ( t ) ) ]Q I dt

Contoh soal :

1. Hitung line integral ∫AB

y2dx+2 xydy dimana L = busur lingkaran radius, R=a.

Jawab :

x=acos t y=a sin t

dxdt

=−acos t dydt

=asin t

dx=−acos t dt dy=a sin dt

0 ≤ t ≤ 2π

j=∫0

2π

y2dx+2 xy dy

j=∫0

2π

¿¿¿

j=∫0

2π

a2 sin2t .−asin t dt+2a3cos2t sint dt

j=∫0

2π

−a3 sin3 t dt+2a3 cos2 t sin t dt

j=∫0

2π

a3 sin t (−sin2t+2cos2t )dt

j=a3∫0

2π

sin t (2cos2 t−sin2 t )dt

Misal :

u=sin t

du=cos t dt

dv=2cos2t−sin2t dt

∫ dv=∫ (2 cos2 t−sin2 t )dt

v=4 cos t sin t−2 sin t cos t


v=2 cos t sin t

j=a3 [uv−∫ v du ]

j=a3[sin t 2cos t sin t−∫0

2 π

2 cos t sint cos t dt ]j=a3[2cos t sin 2t−∫

0

2π

2cos2 t sin t dt ]Misal :

z=2 cos2t

dz=−4 cos t sin t dt

dt= dz−4 cos t sin t

j=a3[2cos t sin2t−∫0

2π

z sin t dz−4 cos t sin t ]

j=a3[2cos t sin 2t+ 14cos t∫0

2π

z dz]j=a3|2cos t sin 2t+ 1

4cos t12z2|

0

2π

j=a3 ¿¿

j=a3[2cos t sin 2t+ 18 cos t

4 cos4 t ]0

2π

j=a3[2cos t sin 2t+ 12

cos3 t ]0

2π

j=a3[(2 cos2π sin2 2π+ 12

cos32π )−(2 cos0 sin2 0+ 12

cos30)]j=a3[(2.1.0+ 1

21)−(2.1.0+ 1

21)]


j=a3( 12−1

2 )j=a3 .0

j=0

2. Hitunglah line intergral ∫L

y dx−x dy

T = seluruh busur elips x2

a2 + y2

b2 =1

b

a

jawab :

x = a cos t

dxdt

=−asint

dx = -a sint t dt

0≤ +≤ 2 π

J = ∫0

2π

y dx−x dy

=∫0

2π

(b sin t .−a sin t )dt−(acos t . bcos t )dt

=∫0

2π

−ab sin t dt−abcos t dt

= ∫0

2π

−ab (sin t+cos t )dt

= −ab∫0

2π

1dt

= -ab . t ¿02 π

= -ab (2π – 0 )


Y = b sin t

dydt

=bcos t

dy = b cos t dt

= -ab . 2π – (-ab) . 0

= -ab . 2π

3. Dari soal 2 dengan L garis lurus yang menghubungkan m ( 1,1) dan n ( 3,3 )

1 30

0.51

1.52

2.53

3.5

Column1Column2Column3

y− y1

x−x1=

y2− y1

x2−x1

y−1x−1

=3−13−1

y−1x−1

=22

2 y−2=2 x−22 y=2 xy=x→dy=du

Jawaban :

∫1

3

y dx−x dy atau∫1

3

y dx−x dy

¿∫1

3

y dy−x dx

¿ 12y2−1

2x2 ¿1

3

¿( 12

32−12

32)−( 12

02−12

02)¿0

2) Surface Integral

F=F P ( x , y , z ) . q ( x , y , z ) . R ( x , y , z )

fungsi continudi v P=( x , y , z )Q= (x , y , z )R=( x , y , z )

Bidang permukaan λada di dalam v dibatasi L jadi P,Q,R continu pada bidang λ


z

n=satuan normal

n=n cos (n , x )cos (n , y )cos (n , z )

y |n|=1

x

F i=F=P ( x , y , z ) .Q ( x , y , z ) . R ( x , y , z )

ni=ni cos (n i , y i ) . cos (ni , yi) . cos (ni , z i )

∑n=1

1

F i ni∆T i ;dimana∆T i (L=11,2 ,…. L )

limλ=0

∑i=1

l

Fi ni dλ=∬λ

Fnidλ

Rumus


→ disebut dengan permukaan ( surface integral)

Integral permukaan adalah integral lipatan yang dibatasi oleh tiga parameter yaitu koordinat kortesian, silinder dan bola.

a. Koordinat kartesian z s permukaan s yang normal terhadap bidang xy

y

x

untuk pernyataan element vector luasnya

F ns ∆ s=n .d s;n=vektor normal

d s=luas permukaan

Cara perhitungan

1. Untuk menghitung vector normal satuan n permukaan s yaitu ; untuk mencari batas ( titik potong0 ∅ (x , y , z )=c

N=v .∅ maka n= v∅|v∅|

n ( x , y , z )

2. Pecahkan persamaan permukaan ∅ (x , y , z )=0 bagi variable z hingga di peroleh z=z ( x , y )

3. Nyatakan vector u (x,y,z)=u (x,y,z (x,y)) = v (x,y)n ( x , y , z )=n (x , y , z ( x , y ) )=w ( x , y )

4. Elemen luas d s dinyatakan dalam dxdy secara geometri dxdy adalah proyeksi d s

jadi d s= (dx , dy )n . k

= (dx , dy )w (x , y ) . k

5. Hitung integral lipat dua I=∬dxdy

[ v ( x , y ) .w ( x , y )w ( x , y ) k ]dxdy ataul=∬

l

F .nds

Contoh soal


∬λ

Fndλ

1. Jika F=(x+ y2 ) i−2x j+2 yz k dan s adalah bidang 2 x+ y+2 z=6 hitung integral

∬s

Fnds dalam oktan pertama.

Jawaban: 2 x+ y+z=6

2 z=6−2 x− y

z=3−x−12y

∅=2 x+ y+2 z

V ∅=i ddx

(2 x+ y+2 z )+ j ddy

(2x+ y+2 z )+k ddz

(2x+ y+2 z )

¿ i (2 )+ j (1 )+k (2 ) |V .∅|=√22+12+22=√3=3

n= (V .∅ )|V .∅|

↔

¿ 2i+ j+2k3

ds=dxdyn.k

=dxdy23

=32dxdy

I=∬s

f . n ds

¿∫0

3

∫0

6−2x

[ (x+ y2 ) i−2 xj+2 yz k ] 2i+ j+2k3

. 32dxdy

¿∫0

3

∫0

6−2x

[( x+ y2 ) i−2 xj+2 y (3−x−12y )k ]2i+ j+2k . 1

2dxdy

¿ 12 [∫0

3 [ ∫06−2 x

2 (x+ y2 )−2 x+4 y (3−x−12y )]dxdy

¿ 12∫0

3 [ ∫06−2x

2 x+2 y2−2x+12 y−4 xy−2 y2] dxdy ¿ 1

2∫03 [ ∫0

6−2x

(12 y−4 xy )dy ]dx ¿ 1

2∫03

[12 . 12y2−4 x . 1

2y2¿0

6−2x ]dx ¿ 1

2∫03

[6 y2−2 x y2 ¿06−2 x ]dx


2 x+ y+0=6

y=6−2 x

2 x+0+0=6

2 x=6

x=3

nk= k⌈V ∅ ⌉=

23

¿ 12∫0

3

[6 (6−2x )2−2 x (6−2 x )2 ]dx

¿ 12∫0

3

[6 (36−24 x+4 x2 )−2x (36−24 x+4 x2 ) ]dx

¿ 12∫0

3

(216−144 x+24 x2−72x+48 x2−8 x3 )dx

¿ 12∫0

3

(216−216 x+72 x2−8 x3 )dx

¿12

216 x+ 2162

x2+ 723

x3+ 84x4 ¿0

3

¿12 [ (216 .3+108 .32+24 .33−2 .34 )−0 ]

¿12

[ 648−972+648−162 ]

¿12

.162

¿0

b. Koordinat Silinder

Misal s adalah permukaan silinder x2+ y2=a2 dengan z sebagai sumbu simetrinya, maka koordinat sudut Ѳ dan z dapat dipilih sebagai parameter dengan r=a adalah x=a cosѲ; y=asinѲ; z=z. Sehingga kedudukan vektor

r (Ѳ , z)=(a cosѲ) i+(a sinѲ) j+ z k .... (1)

Sehingga

drdѲ

=(−a sinѲ ) i+ (acosѲ ) j ; drdz

=k

Karena itu vektor elemen luas permukaan silinder s adalah:

n . dA=[ drdѲx drdz ]dѲdz

¿ [ i j k−asinѲ acosѲ 0

0 0 1] dѲdz

¿a (cosѲi+sinѲ j )dѲdz


n . dA=(x i+ y j ) (adѲdz )…(2)

Untuk menyederhanakan perhitungan , hitung dahulu F . n dalam sistem koordinat kartesian yang menghasilkan medan saklar Ѳ(x , y , z)=F . n, kemudian sisipkan persamaan paramer.

Contoh soal:

F=z i+x j−3 y2 z k dan s adalah permukaan silinder x2+ y2=16 yang terdapat didalam oktan pertama abtara z=0 ; z=5. Hitunglah ∬ F . n . dA

Jawab:

x2+ y2=a2

x2+ y2=16→ a2=16

a=√16=4

x=a cosѲ=4cosѲ ; y=asinѲ=4 sinѲ ; z=z

n . dA=a (x i+ y j)dѲ dz

¿4 (x i+ y j )dѲdz

¿ ( 4 x i+4 y j )dѲdz

n . dA=( z i+x j−3 y2 z k ) ( 4 x i+4 y j )dѲdz

¿ (4 xz+4 xy )dѲd z

∫0

5

∫0

π2

F .n . dA=∫0

5 [∫0

π2

( 4 xz+4 xy )dѲ ]dz¿∫

0

5 [∫0

π2

4 (4 z cosѲ+4cosѲ 4 sinѲ )dѲ ]dz¿∫

0

5 [∫0

π2

4 (4 z cosѲ+16 cosѲsinѲ )dѲ ] dz¿∫

0

5 [∫0

π2

4(4 z cosѲ+16 12

sin 2Ѳ)dѲ ]dz


¿∫0

5 [∫0

π2

4 (4 z cosѲ+8sin 2Ѳ ) dѲ ]dz¿4∫

0

5 [(4 z sinѲ+8 12−cos 2Ѳ)|π20 ]dz

¿4∫0

5

¿¿

¿4∫0

5

[4 z (1−0 )−4 (−1−1)] dz

¿4∫0

5

[4 z (1−0 )−4 (−1−1)] dz

¿4∫0

5

[ 4 z+8 ] dz

¿4 [4 12z2+8 z|50 ]

¿4 [(2 (52 )+8.5 )−(2 (02 )+8.0)]¿4 (90)

¿360

c. Koordinat Bola

Misal s permukaan bola x2+ y2+z2=a2 dengan pusat simetri dititik asal 0 (0,0,0) maka koordinat sudut Ѳ dan ф dengan r=a. x=a sinѲcosф; y=asinѲ sinф; z=acosѲ.

Vektor kedudukan:

r (Ѳ ,ф )=a [ ( sinѲcosф ) i+(sinѲsinф) j+cosѲ¿k ]

drdѲ

=a [ (cosѲcosф ) i+(cosѲ sinф) j±sinѲ¿ k ]

drdф

=a [ (cosѲ−sinф ) i+(cosѲcosф) j ]


Vektor elemen luas permukaan bola s:

n . dA=[ drdѲx drdф ]dѲdф

¿ [ i j ka cosѲcosф a cosѲsinф −sinѲ

−acosѲsinф acosѲcosф 0 ]dѲdф

¿a2¿

n . dA=(x i+ y j+z k ) (a sinѲdѲdz )

Medan vektor s (x,y,z) pada permukaan bola z adalah x (Ѳ,ф ) , y (Ѳ ,ф ) , z (Ѳ)=v (Ѳ ,ф)

Untuk menyederhanakan perhitungan , hitung dahulu F . n dalam sistem koordinat kartesian yang menghasilkan medan saklar Ѳ(x , y , z)=F . n

Contoh soal:

Hitung ∬ F . n . dA jika (x2+ y2+z2 ¿ ( xi+ yj+zk ) dan s adalah seluruh permukaan bola

x2+ y2+z2=25.

Jawab:

x2+ y2+z2=a2

x2+ y2+z2=25→a=5

∬ F . n . dA=∫0

π

∫0

2π

( x2+ y2+z2 ) (xi+ yj+zk ) ( xi+ yj+zk ) 5 sinѲ dѲdф

¿∫0

π

∫0

2π

5 (x2+ y2+z2 ) (x2+ y2+z2 ) sinѲ dѲdф

¿∫0

π

∫0

2π

5 (x2+ y2+z2 )2 si nѲ dѲdф

¿∫0

π

∫0

2π

5 (25 )2 sinѲdѲdф

¿∫0

π [3125∫0

2π

sinѲ dѲ ]dф¿∫

0

π

[3125−cosѲ|2π0 ] dф


¿∫0

π

¿¿

¿∫0

π

[3125(−1+1)] dф

¿∫0

π

0dф

¿0

Persamaan Diferensial BiasaDefinisi: suatu persamaan yang mengandung turunan atau diferensial dinamakan persamaan

diferensial.

Bilamanapun perubahan terbaik dalam suatu persamaan diferensial adalah suatu fungsi satu

perubahan bebas, maka turunan yang muncul adalah turunan biasa dan persamaan anini

merupakan persamaan diferensial biasa. Orede tingkat suatu persamaan diferensial adalah

tingkat atau pangkat tinggi turunan yang adalah persamaan.

Contoh soal:

1. d3 yd x3 +sin x d2 y

d x2 + y=cos x→ordo3

2. d2vd x2 +

d2 vd y2 =0→ordo2


Jawabanya mana??

Ga ada….

1. Persamaan Diferensial dengan Variabel Terpisah

Jika diberikan suatu fungsi f, dengan batas y ¿ f ( x ) merupakan solusi suatu persamaan diferensial (jika persamaan itu menjadi suatu kesamaan). Jika y dan turunan digantikan dengan f ( x ) dan turunannya yang menjadi perbedaan turunan y.Contoh soal:1. y=x ln x−x

Jawab:

Solusi dari persamaan diferensial: dydx= x+ yx

dydx

=(u1v+v1 )−x1

dydx

=( ln x+ 1xx)− x

dydx

=ln x+1−1= ln x

Substitusi y=x ln x−x, kedalam persamaan:

dydx

= x+ yx

⇔d ¿¿

u1. v+v1 . u−xdx

= xx+ x ln x

x− x

x

(1 ∙ ln x+ 1x∙ x )=ln x

ln x+1−1= ln x

ln x=ln x

2. Persamaan Diferensial Orde 1

a) Persamaan Diferensial Eksak

Missal M dan N fungsi dua peubah sehingga M, N, My, dan Nx continu pada

suatu daerah siku R, M (x,y) dx + N (x,y) dy …………..(1)Adalah diferensial eksak suatu fungsi f yang nilainya Z = f

(x,y) dan hanya jika: dMdy =dNdx


Jika syarat dipenuhi, maka persamaan diferensial:

M ( x,y ) dx + N ( x,y ) dy = 0, disubuteksak dan solusi umum: f ( x,y ) = cUntuk memenuhi fungsi F:

dz= dfdx

.dx+ dfdy

. dy

Dan ruas kiri dz = 0,dfdx

=m¿) : dfdy=n ( x , y )

Contoh soal:1. Tentukan solusi dari persamaan

(3 x2−2 y+ex+ y)dx+(ex+ y−2 x+4 )dy=0

Jawab:

Menguji ke eksakan dMdy

=dNdx

dMdy

(3 x2−2 y+ex+ y )=−2 ex+ y=−2+e−x + y

dNdx

(ex+ y−2x+4 )=−2+e−x+ y

dMdy

=dNdx

→−2 x+ex+ y=−2+ex+ y (eksak)

Untuk memenuhi fungus F

dfdx

=(3 x2−2 y+ex+ y )

df =(3 x2−2 y+ex+ y )dx

∫ df=∫ (3 x2−2 y+ex+ y)dx

f=x3−2 y+ex+ y+C

¿ x3- 2yx +ex + y+C

dfdy

=ex+ y−2x+4

df = ex + y−2 x+4dy

∫ df=∫ex + y−2 x+4dy

f= ex + y−2 xy+4 y+C

dz = dfdx

dx+ dfdy

dy


dz= (x3−2 yx+ex+ y+C )+(ex+ y−2 xy+4 y )+C

dz=x3−2 yx+e x+ y+ex+ y−2xy+4 y+C

b) Persamaan Diferensial Orde 1 Ruas Kanan ≠ 0

Bentuk umumnya adalah: dydx

+ p ( x ) y=Q(x)

Untuk mencari solusi maka ruas kanan = 0

Mula-mula kita anggap Q (x) = 0

dydx

+ p ( x ) y=0 →dydx

=−p ( x ) y (dipisahkan variable)

Dimana p (x) = I

dyy

=−p ( x )dx

∫ dyy

=−∫ p ( x )dx→ ln y=∫−p ( x )dx+C

Selanjutnya d (e∫ p ( x )dx)dx

y=e∫−p ( x ) dx+C=e− I

dydx

=dydx

eI+ yeI dIdx

dydx

=e I ( dydx + y . dIdx )

dydx

=eI ( dydx +P (x ) . y)ddx

( ye−I )=eI Q(x )

y=e−I∫ e IQ ( x )dx+De−I …………..(2)

Contoh soal:

1. x2 y '−2 xy=1x

Jawab:

x2 y '−2 xy=1x

Dibagi dengan x2, sehingga menjadi:

y '−2 yx

= 1x3


Dan 1x3 =Q ( x )

y '−2 yx

=0→ y '=2xy

I=∫P ( x )dx

I=∫P(−2x )dx=−2 ln x

Untuk I=e−2 ln x

e−1=x2

Jadi, y=e−1∫Q ( x ) eI dx+Ce−1

y=x2∫ 1x3 .

1x2 dx+Cx2

y=x2∫ 1x5 dx+Cx2=∫ x−3dx+Cx2

y=−12

x−2+Cx2

¿−1

2 x2 +Cx2

Persamaan Diferensial Ordo 2

a. Persamaan difererensial orde 2 dengan rumus kanan = 0

Persamaan diferensial orde 2 dikatakan linier jika persamaan

Y ' '+P ( x )Y '+Q ( x )Y=r (x )

Dimana r ( x ) = 0 maka, Y ' '+P ( x )Y '+Q ( x )Y=0

Contoh:

Selesaikan persamaan orde 2 dari d2YdX2 +3 dY

dX+2Y=0

Jawab:

d2YdX2 +3 dY

dX+2Y=0

[ (D+2 ) (D+1 ) ]Y=0

Maka,

(D+2 )Y=0 , (D+1 )Y=0


D= ddx

Integralkan (D+2 )Y=0

ddx

Y +2Y=0

dYdX

=−2Y

∫ dY=∫−2Ydx

∫ dYY

=¿−∫2dx¿

Ln Y = -2X

Y=e−2x

(D+1 )Y=0↔( ddx

+1)Y=0

dydx

+Y=0

dYdX

=−Y ↔dy=−Ydx

dYY

=−dx

∫ dyy

=−∫dx Ln y = -x y=e−x

Aplikasi dalam fisika


Dalam kehidupan sehari-hari sering ditemukan masalah fisika dalam bentuk persamaan

diferensial.

Contoh :

1. Tentukan bentuk persamaan gerak dari sebuah benda bila kepadanya dikerjakan gaya F

yang tetap dalam arah sumbu x.

Jawab:

H. Newton II F = m.a

a = percepatan a= vt=dv

dt=

dxdtdt

=dx2

dt 2

maka, F=m . dx2

dt 2 Fdt 2=mdx2

2. Tentukan posisi sebagai fungsi waktu dari sebuah benda jatuh bebas. Diketahui

percepatan pada gerak jatuh bebas sama dengan percepatan gravitasi bumi g.

Jawab:

a = g

d2Ydt2 =g d

dt ( dydt )=g

dydt

=g . ddt

dydt

=g .t

dy = g.t.dt

∫ dy=∫¿+Cdt y=12g t 2+Ct

Hukum fisika gerak jatuh bebas y=12g t 2

Latihan

Selesaikan persamaan diferensial linier :

1. y '+ y=e x

jawab :

rubahbentuk y ' menjadibentuk diferensial :

dy+ ydx=ex dx

y=e−I∫ eIQ ( x )dx+D.eI P ( x )=I

y=e−∫ex

∫ e∫ dxex dx+C .e−∫ex dx

¿e− x∫ex . exdx+C .ex


¿e− x∫e2x dx+exC

misal , t=2x

dtdx

=2

dx=12dt

¿e− x∫e t 12dt+exC

¿e− x 12e t+exC

¿ 12e−x e2x+exC

¿ 12ex+exC=ex (1

2+C)

2. Selesaikan PDF berikut cara terpisah

a. x3dx+( y+1 )2dy=0

Jawab:

Menguji keeksakan

dNdy

=x3=0

dNdy

=( y+1 )2=0

dNdy

=dNdx

=0↔eksak

Fungsi F :

dfdx

=x3df =x3dx

∫ df=∫ x3dx

f=14x4+C

dfdy

=( y+1 )2= y2+2 y+1

df =( y2+2 y+1 )dy

∫ df=∫ ( y2+2 y+1 )dy

f=13y3+ y2+ y+C


Jadi,

dz= dfdx

dx+ dfdy

dy

¿( 14x4+C)+( 1

3y3+ y2+ y+C)

¿ 14x4+ 1

3y3+ y2+ y+C

3.dydx

= 4 y(x ( y−3 ) )

jawab ∶

x ( y−3 )dy=4 y dx

x ( y−3 )dy−4 y dx=0

ke eksakan∶

dMdy

=−4 y=−4

dNdx

=x ( y−3 )=xy−3 x=x−3

dMdy

=dNdx

−4=x−3⟹ tidak eksak

Funfsi f

dfdx

=−4 y

df =−4 ydx

∫ df=−∫ 4 y dx

f=−4 yx+∁

dfdy

=x ( y−3 )

df =( xy−3 x )dy

∫ df=∫ ( xy−3 x )dy


f=12x y2−3xy+∁

∴dz=−4 yx+∁+12x y2−3 xy+∁

¿−4 yx+∁ +12x y2−3 xy+∁

PenerapanPersamaan Diferensial Biasa DalamFisika

a . PersamaanBernoulli

adalah pengembangan dariPersamaanDiferensia l Biasa Linier .Persamaan Diferensial

BiasaBernoulli ini ruaskirinya samadenganruas kiri PDB Linier dan ruaskanannya

adalah ruaskanan PDB Linier yangdikalikandengan yn , jadi bentuk PDB Bernoulli :

dydx

+P ( x ) y=Q (x ) yn

dari rumusdiatas ini bukan PDB Linierorde satu , tapi dapat diubahmenjadi persamaan

linier orde satudenganmelakukan substitusi ∶ Z= y1−n

dzdy

=(1−n ) . y1−n−1

¿ (1−n ) y−n

dz= (1−n ) y−ndy

∴ dydx

+P ( x ) y=Q ( x ) yndikali (1−n ) y−ndy

(1−n ) y−ndy+ (1−n ) y1−nP ( x )dx=(1−n )Q (x )dx

atau

dz+(1−n )Z P ( x )dx=(1−n )Q ( x )dx

contoh :

1.Selesaikan PDB z x y y1= y2−2 x3

jawab :

z x y y1= y2−2 x3

zxy dy= y2dx−2 x3dx dibagi2xy


dy=12yx

−1

dx− x2

ydx

dy−12yx

−1

dx−x2 y−1dx

Z= y1−n

Z= y1−(−1)= y2⇔ dzdy

=2 y⇔dz=2 ydy

∴dy−12yx

−1

dx−x2 y−1dx=−x2 y−1dx dikali2 y

2 ydy− y2 x−1dx=−2 x2dx

dz−zx−1dx=−2 x2dx

y=e−IQ ( x )dx+De−I

Z= y2 e−∫x−1dx∫ e∫ x−1 dx

(−2 x2)dx+∁ . e∫ x−1

dx

y2=x∫ x−1 (−2 x2 )dx+∁ x

¿ x∫−2 x dx+∁ x

¿−x .=x2+∁ x

¿−x3+∁ x

b. Cara Langrage

f ( x ) dydx

+ yϕ ( x )=ψ (x)

Persamaan tereduksi (ruas kiri)

f ( x ) dydx

+ yϕ ( x )=0

dydx

+ϕ (x )f ( x)

dx=0

∫ dyy

+∫ ϕ( x)f (x)

dx=0

Lny+∫ ϕ( x)f (x)

dx= lnC


y=C .e−∫ ϕ (x)

f ( x)dx

Merupakan penyelesaian umum dari persamaan tereduksi, C1 dalam penyelesaian umum persamaan tereduksi dipandang sebagai fungsi dari x.

1ydydx

+Φ(x )f (x)

= 1C

dCdx

f ( x ) dydx

+ yϕ ( x )= y f (x)C

dCdx

Didapat

f ( x ) dydx

+ yϕ ( x )=f ( x ) e−∫ϕ ( x )

f ( x )dx. dCdx

Maka

e−∫ ϕ( x)

f (x ) dCdx

=ψ (x)

dCdx

=ψ (x )f ( x)

e−∫ϕ (x)

f (x) dx

C1=∫ ϕ (x)f (x)

e−∫ ϕ (x)

f ( x) dx+C

Jadi persamaan

y=C .e−∫ϕ(x)

f (x) dx+e

−∫ϕ (x)f (x) dx

∫ ψ (x)f (x )

e−∫ ϕ(x)

f ( x) dxdx

Contoh

x ( 1− y2 ) dydx

+ y (2x2−1 )=0

Jawab

x ( 1− y2 ) dydx

+ y (2x2−1 )=0

dyy

+( 2x2−1 )x (1−x2)

=0


∫ dyy

+¿∫ (2x2−1 )x (1−x2 )

dx=0¿

Ln y+∫ ( 2x2−1 )x ( 1−x2 )

dx=lnC

Missal

u=(2x2−1 )

dudx

=4 x

du=4 xdx

dv=x (1−x2 )dx

∫ dv=∫ x (1−x2 )dx

Missal:

t=(1−x2 )

dtdx

=−2x

dx= dt−2 x

v=∫ xt dt−2x

=−12 ∫ t dt=−1

212t 2=−1

4(1−x2 )2

∴∫ (2 x2−1 )x (1−x2 )

dx=uv−∫ vdu

¿ (2 x2−1 )(−14

(1−x2 )2)−∫−14

(1−x2 )2 4 xdx

¿−14

(2x2−1 ) 1−2x2+x4 ¿+ 14

4∫ (1−x2)2dx

¿(−14

( 2x2−4 x4+2 x6−1+2x2−x4 ))+∫ x t2 dt−2x

¿−x2+ 54x 4−1

2x6+ 1

4−1

2∫ t 2dt


¿−x2+ 54x 4−1

2x6+ 1

4−1

213t 3

¿−x2+ 54x 4−1

2x6+ 1

4−1

6( 1−x2 )3

lnY=−x2+ 54x4−1

2x6+ 1

4−1

6(1−x2 )3=lnC

Y=C e−( x2+5

4x 4− 1

2x 6+ 1

4−1

6( 1−x2)3)

… ..(1)

1ydydx

+Φ(x )f (x)

= 1C

dCdx

1ydydx

+(2 x2−1 )x (1−x2 )

dx= 1C

dCdx

dikali yx (1−x2 )

yx (1−x2)y

dy+(2 x2−1 )x (1−x2 )

yx (1−x2 )dx= yx ( 1−x2 )C

dCdx

x ( 1−x2 )dy+ y (2 x2−1 )dx= yx (1−x2)C

dCdx

dyy

+( 2x2−1 )x (1−x2)

dx= yx ( 1−x2 )C

dCdx

Y=C e−( x2+5

4x4−1

2x6+ 1

4−1

6( 1−x2)3)

=yx (1−x2 )

CdCdx

Ce−(x2+ 5

4x4−1

2x6+ 1

4−1

6(1− x2 )3)

=yx (1−x2 )

dxdCC

¿∫ dCC ∫ yx (1−x¿¿2)

dx¿

¿ lnC∫ 1yx (1−x2)

dx

Misal:

t=1−x2

dt=−2 x dx


dx= dt−2 x

¿ lnC∫ 1yxt

dt−2x

¿ lnC∫ 1−2 x2 y

dtt

¿ lnC 1−2 x2∫

dtt

¿ lnC 1−2 x2 y

ln t

¿lnC ln (1−x2 )

−2x2 y

Y=C e−( x2+5

4x4−1

2x6+ 1

4−1

6( 1−x2)3)

+C e−( x2+5

4x4− 1

2x6+ 1

4−1

6( 1−x2)3)

−lnC ln (1−x2 )

−2 x2 y

¿2Ce−(x2+ 5

4x4−1

2x6+ 1

4−1

6( 1−x2)3 )

+lnC ln (1−x2 )

−2 x2 y

PENERAPAN PDB DALAM FISIKA

A. PEGAS

Hukum newton II : F=m.aHukum Hooke : F =- k.xHokum newton II = Hukum hookem.a = -k.x

m.

dvdt

=−k .x


m . d2 xdt 2

=−kx

Ordo 1

Dimana : r2 = d2 xdt

m. r2+ k.x =0

fungsi karakteristik F (r) =0

m. r2+ k =0

m. r2=k

r2=

km

r =√ km

Persamaan gerak

ω2=

km

⇔ω=√ km

∴ x=c1 cosωt+c2 sinωt

Ordo 2


m . d2 xdt 2

+kx=0

x=c1 cos √ km

.t+c2sin √ km

. t

m . d2 xdt 2

+b dxdt

+k . x=0

Fungsi Karakteristik

mr2+br+k=0

r1 .2=−b2m

± 12m √b2−4mk

Dimana :

α= 1

2m √b2−4mk

x=A .e(−b2m

+α ) t+Be

(−b2m

+α )t

=e(−b2m ) [ A .eα . t+B .e−α . t ]

Persamaan gerak

B. Rangkaian Listrik

Rangkaian listrik yang dihubungkan seri terdiri dari sumber tegangan v (t), tahanan (R), kapasitor (C), inductor (L). Pada saat t=0, maka Q=Q0 dan

Ld2Qdt

+RdQdt

+QC

=v ( t )

Dimana :ω0=√1LC

Persamaan gerak


x=e−b2m [c1e

√(b2−4mk )t+c2 e−√(b2−4mk ) t ]

i ( t )=e−( R

2L )t [A .e√R2−4 LC

.t

2L+B .e√R2−4 LC

. t2L ]

i=dQdt

=0

=dQdt

=Qt

=Q2−Q1

t 2−t1

Contoh:

1. Massa 5 kg digantungkan pada pegas yang tergantung dan mempunyai tetapan pegas 1000N/m. Carilah persamaan geraknya dan hitung persamaan gerak jika t=0!

Diket :m=5kg

K=1000N/m

Dit : x…….?

x…….? t=0

x=C1 cos√ km⋅t+C2 sin√ k

m⋅t

=C1 cos√1000

5⋅t+C2 sin√1000

5⋅t

x=C1 cos√200⋅0+C2 sin√200⋅0

=C1cos 0 +C2sin 0

=C1 . 1+C2 . 0

=C1

2. Sebuah massa 20gr digantungkan pada ujung sebuah sistem pegas ,dan panjang pegas berubah 4cm dari keadaan semula.tidak ada gaya luar yang bekerja pada massa pegas dan tahanan udara diabaikan.nyatakan pers gerak yang terjadi jika massa tertarik ke bawah 1cm dari keadaan setimbang dan pada massa diberikan kecepatan awal 0,5 cm/dt arah keatas .

Diket : m=20 gr =2x10-2kg

x=4cm =4x10-2kg


dit : x……?

jawab :

F = m.g

=2x10-2kg.10 kg

=2x10-1N⇔F=K⋅x

K= Fx=2×10−1

4×10−2=0,5×101=5 Nm

x=C1 cos√ k

m⋅t+C2 sin√ k

m⋅t

=0 ,01 cos √ 5

2×10−2⋅t+0 ,01 sin√ 52×10−2⋅t

3. Sebuah rangkaian listrik LRC, yang tidak menggunakan sumber tegangan terdiri

dari tahanan 6 Ω, kapasitor 0,02 F, inductor 0,1 H. hitunglah arus pada rangkaian

jika saat rangkaian dihubungkan t = 0, arus (I0) = 0 dan kapasitor telah bermuatan

o,1 C.

Diketahui : R = 6 Ω

C = 0,02 F

L = 0,1 H

I0 = 0

Q = 0,1 C


Ditanyakan : i (t) = …?

Jawab : i (t) ¿−( R

2L) .t [A .√ R2 4 LC . t

2 L+B .√R2 4 LC . t

2 L ]

¿−( 6

2.0,1).0 [A .√62 4 . 0,10,02 . 0

2.0,01 +B .√62 4 .0,10,02 . 0

2.0,01 ] ¿−0 [A .0 +B .0 ]

¿−1 [ A .1+B .1]

¿−1 [ A+B ]

¿−A−B

i ¿Qt

¿ 0,1t

¿

4. Gunakan persamaan Bernoulli

2 x3 y2= y ( y2+3 x2 )

2 x3dy= y2+3 x2 y

2 x3dy= y3dx+3 x2 y dx :2 x3

dy=12y3 x−3dx+ 3

2x−1 y dx

dy−12y3 x−3dx=3

2x−1 y dx

dy−32x−1 y dx=1

2y3 x−3dx

z= y1−n= y1−3= y−2

d zdy

=−2 y3→dz=−2 y−3dy

dy−12y3 x−3dx=−3

2x−1 ydx ×−2 y−3

−2 y−3dy+ x−3dx=−3 x−1 y−2dx

dz+x−3dx=−3 x−1 z dx


dz+3 x−3 z dx=−x−3dx

y=−1∫IQ ( x )dx+D−I

y=−∫ 3

x dx∫

∫ 3x dx

(−x−3 )dx+C−∫ 3

x dx

¿−3 lnx∫3lnx (−x−3 )dx+C−3lnx

misal : t=3 ln x

dtdx

=u' v+v 'u

¿0 ln x+ 1x

.3=0+ 3x=3

x

dtdx

=3x

3dx=x dt

dx=x3dt

¿−3 lnx∫t (−x−3 ) . x3dt+C−3 lnx

¿−3 lnx∫t−x3

dt+C−3 lnx

¿−3 lnx−x−2

3 ∫t dt+C−3 lnx

¿−3 lnx−x−2

3t+C−3 lnx

¿−3 lnx−x−2

33 lnx+C −3 lnx

¿0 −x−2

3+C−3 lnx

¿ −x−2

3+C−3 lnx


1 2dewipurnawati1.weebly.com/.../fisika_matematika_2.docx · web viewderet fourier f(x) = + + bila...

Documents