1 turunan fungsi eksponen dan logaritma
DESCRIPTION
okokokokokokokokokpokpkpkpokopkpokpkpkpokpkpkpkokokopkpokopkopkpokpkokpokpokopTRANSCRIPT
Disusun oleh : Yudarwi
TURUNAN FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA
Sebelum membahas turunan fungsi eksponen dan logaritma, akan dikenalkan dulu
bilangan e yang kemuan disebut sebagai bilangan Euler, yakni sebuah bilangan yang
merupakan pendekatan dari bentukn
n
11
untuk n menuju tak hingga yang ditemukan
pada tahun 1683 oleh Jacob Bernoulli
Pada tahun 1748, Euler memberikan ide mengenai bilangan e, yaitu :
e =n
n
11
= 1 +
1!
1+
2!
1+
3!
1+
4!
1+ ... ................... (1)
Bentuk ini dapat juga diubah menjadi
e = 1/n1 n ............................................................................... (2)
Dari formulasi tersebut Euler memperoleh pendekatan untuk nilai e sampai 18 digit, yaitu
e = 2,718281828459045235
Suatu logaritma dengan basis e dinamakan logaritma natural dan ditulis dengan ln.
Sehinga ln x = xloge
Selanjutnya akan diuraikan tentang turunan dasar fungsi eksponen, yaitu turunan fungsi
f(x) = xe
Rumus 1
Jika f(x) = xe maka f ’(x) = xe
Bukti
Jika f(x) = xe maka f’(x) =h
ee xhx
f’(x) =h
eee xhx =
h
)1(e.e
hx
........................ (3)
Menurut bentuk (2) didapat 1/xx1 = e
Sehingga ln [ 1/xx1 ] = ln e
ln 1/xx1 = 1
x
x)ln(1= 1 .................................................................... (4)
Disusun oleh : Yudarwi
Misalkan ln(1 + x) = n maka 1 + x = ne maka x = ne – 1
Jika x 0 maka n 0
Dari (4) diperoleh :1e
nn
= 1 ataun
)1(en = 1
Dari (3) diperoleh f ’(x) =h
)1(e.e
hx
= xe . 1 = xe
Jadi Jika f(x) = xe maka f ’(x) = xe
Kemudian akan diuraikan pula turunan dasar fungsi logaritma, yaitu
Rumus 2
Jika f(x) = ln x maka f’(x) =x
1
Bukti :
Jika f(x) = ln x maka f’(x) =h
lnh)ln(x x
f’(x) =hx
hxln
f’(x) =
.xx
hx
hxln
f’(x) =x/h
x
h1ln
x
1
=
x
1. 1 =
x
1
Jadi jika f(x) = ln x maka f’(x) =x
1
Pengembangan dari rumus diatas adalah : jika f(x) = ln g(x) maka f’(x) =g(x)
(x)g'
Dari uraian di atas, dapat diturunkan aturan turunan fungsi eksponen, yaitu :
Jika y = f(x)e maka ln y = ln f(x)e
ln y = f(x) ln e
Sehinggay
'y= f ’(x) atau
y ’ = y . f ’(x)
y ’ = f ’(x) f(x)e
Disusun oleh : Yudarwi
Dengan cara yang sama didapat jika y = f(x)a maka y ’ = f(x)a f ’(x) ln a
Jadi
Rumus 3
1. Jika y = f(x)e maka y ’ = f ’(x) f(x)e
2. jika y = f(x)a maka y ’ = f ’(x). f(x)a ln a
Contoh Soal
01. Tentukanlah turunan dari f(x) = 42xe
02. Tentukanlah turunan dari f(x) = ln (x2 – 7x + 10)
03. Tentukanlah turunan dari f(x) =3
52xe