1 pengantar dinamika struktur

8/20/2019 1 Pengantar Dinamika Struktur

1/23

1

Bab 1

Pengantar Dinamika Struktur

Dinamika struktur adalah salah satu bagian dari ilmu mekanika yang secara khusus membahas

respon struktur terhadap beban dinamik, misalnya akibat gempa. Dalam bahasan dinamika

struktur, beban maupun respon struktur tidak hanya ditentukan oleh arah, lokasi dan besarnya,

tetapi juga oleh variabel waktu.

Secara khusus, besarnya respon struktur yang berupa gaya dalam, merupakan fungsi dari waktu,

sebagai bentuk respon terhadap gangguan atau beban luar, yang rumusannya ditentukan oleh

parameter yang dimiliki struktur ybs, diantaranya massa, kekakuan dan redaman yang

berpengaruh pada getaran yang dialami struktur.

Getaran adalah sebuah gerakan bolak-balik yang berada disekitar titik keseimbangan dimana

kuat lemahnya bergantung pada besar kecilnya energi yang diberikan. Getaran adalah sebuah

fenomena fisik yang logis dan dapat diterangkan oleh prinsip dasar mekanika. Konsep matematik

yang digunakan dalam penjabaran getaran selalu dapat dihubungkan dengan fenomena fisik yang

dapat diukur dari eksperimen, sehingga getaran mudah untuk dipelajari karena dapat

dihubungkan dengan kejadian-kejadian sebenarnya di alam.

Semua benda yang mempunyai masa dan elastisitas dapat bergetar bila mendapat gangguan.

Getaran dapat dibedakan menjadi dua jenis yaitu getaran bebas dan getaran paksa. Getaran bebas

terjadi bila system bergetas akibat gaya yang terdapat dalam system itu sendiri tanpa adanya

gangguan atau gaya dari luar. Sistem akan bergetar pada frekuensi alaminya, yang tergantung

pada massa dan kekakuan system. Jika sistem bergetar karena adanya gangguan atau gaya dari

luar maka ini disebut sebagai getaran paksa. Pada getaran paksa, sistem akan bergetar pada

frekuensi gaya luarnya. Jika frekuensi gaya luar dan frekuensi alami system sama akan terjadi

resonansi yang menyebabkan getaran membesar. Sehingga perhitungan frekuensi alami sangat

penting terutama dalam desain bangunan sipil.


2/23

2

Getaran pada titik tertentu akan mengalami redaman yang diakibatkan oleh disipasi energi akibat

gesekan atau tahanan dalam bentuk lain.

Dalam analisis dinamik dikenal gaya inersia yang timbul akibat massa bangunan yang

mengalami percepatan. Penyelesaian analisis struktur akan sangat sulit bila memodelkan struktur

sebagai sosok yang kontinyu (sebagai kontinum), sehingga dalam pemodelan dinamik dilakukan

diskretisasi struktur yaitu penyederhanaan struktur menjadi bagian-bagian struktur yang

terpenggal tapi menerus.

Suatu sistem struktur mempunyai derajat kebebasan atau degree of freedom (DOF). Derajat

kebebasan ini menunjukkan koordinat bebas sistem dimana dalam koordinat tersebut sistem

dapat mengalami perpindahan. Jumlah derajat kebebasan pada struktur yang bergetar dalam

koordinat derajat kebebasan tertentu, dimodelkan sama dengan jumlah titik massa (nodal) yang

diperhitungkan akan mengalami perpindahan dan percepatan dalam arah masing-masing

koordinat derajat bebas.

Tujuan analisis dinamik pada struktur adalah mendapatkan respons perpindahan, gaya atau

kecepatan dari struktur yang diakibatkan oleh beban-beban yang bervariasi terhadap waktu.

Setelah melakukan analisis pergerakan dari massa dengan memperhatikan penyederhanaan

degree of freedom akan terbentuk persamaan gerak yang dapat memberikan persamaan respons

struktur.

1.1 Single Degree of Freedom

1.1.1 Getaran Bebas Tanpa Redaman

Pergerakan linear sebuah struktur dapat diidealisasi kedalam bentuk portal 1 lantai seperti

terlihat pada Gambar _ di bawah ini. Struktur ini memiliki Massa dan Kekakuan dan terkena

gaya luar sebesar p(t).


3/23

3

Gambar 1.1 Struktur SDOF Tanpa Redaman

Pada struktur tanpa redaman persamaan pergerakan dapat dituliskan sebagai berikut

̈ (1)Getaran bebas diakibatkan oleh gangguan pada kondisi perpindahan awal atau kecepatanawal ̇ yang terdefinisikan sebagai berikut

̇ ̇ (2)Dengan menurunkan dari rumusan dinamik diatas akan didapat bentuk lain dari persamaan

dinamik __ pada struktur

̈ (3)Karena

(4)

Maka

̈ (5) (6)̇ (7)̇ ̇ (8)


4/23

4

̇ (9) (10)Denga penurunan yang dapat dilihat diatas didapat persamaan umum simpangan

̇ (11)

Dimana adalah kecepatan sudut, frekuensi natural dari system ( structural circular frequencyof vibration) dengan satuan rad/detik. Gambar 2 merupakan gambaran dari persamaan 11,

dimana terlihat bahwa system mengalami vibrasi dan bergerak disekitar kondisi equilibriumnya

(u=0), posisi ini akan berulang tiap Tn. Persamaan 11 ini yang disebut sebagai persamaan

gerakan harmonis sederhana ( simple harmonic motion)

Gambar 1.2 Getaran Bebas dari sebuah system tanpa Redaman

adalah periode alami ( structural period of vibration) yaitu waktu yang dibutuhkan utukmenjalani satu putaran perpindahan. Periode alami memiliki satuan detik dan dapat

didefinisikan sebagai berikut


5/23

5

(12) adalah frekuensi alami ( structural frequency of vibration) dengan satuan Hertz ataurotasi/detik.

(13)Sehingga

̇ (14)̈ (15)

Gambar 1.3 Kolom,:Jepit-Jepit

(16 )


6/23

6

Gambar 1.4 Kolom: Sendi-Sendi

( 17 )

Gambar 1.5 Batang Tarik

= gaya geser arah horisontal = gaya tarik aksial batang

Akibat


7/23

7

Gambar 1.6 Dinding Geser

untuk u = 1 maka

untuk u = 1 maka

(a) (b)Gambar 1.7 Kolom


8/23

8

( )

(a)

Balok Kaku

Rigid Beam ( =∞)

(b)

Balok Tidak Kaku

Beam with No Stiffness ( =0)

(c)

Gambar 1.8 Portal


9/23

9

Joint Rotation

untuk u = 1maka

Joint Translation

Gambar 1.9 Balok

Contoh Soal

1. Buat grafik yang menggambarkan hubungan k vs ρ dan T vs ρ untuk struktur portal

sebagai berikut:

m

h

L=2h


10/23

10

Untuk menjawab pertanyaan ini, seperti yang telah diketahui

∑ ∑

Dengan mengasumsikan E balok =Ekolom dan besar L dan h yang sudah ditentukan pada

soal, ρ dapat divariasikan dengan rasio I balok /Ikolom.

∑ ∑

Pada contoh perhitungan, pakai I b=Ic

Maka ρ=1/4

Pada sumbu ordinat, k/(EIk /h

3)=96/7.

Untuk mencari nilai T (perioda),


11/23

11

Pada sumbu ordinat, dengan menggunakan skala non-dimensi, To = T/√(mh3/EIk )

Berikut adalah tabel perhitungan perbandingan ρ, k, dan T

Ib/Ic ρ k T0

0 0 6 2.5651

0.007813 0.001953 6.104854 2.542976

0.015625 0.003906 6.208494 2.521661

0.03125 0.007813 6.412214 2.481281

0.0625 0.015625 6.80597 2.408435

0.125 0.03125 7.542857 2.287768

0.25 0.0625 8.842105 2.113012

0.5 0.125 10.90909 1.902329

1 0.25 13.71429 1.696654

2 0.5 16.8 1.53294

4 1 19.5 1.422861

8 2 21.42857 1.357323

16 4 22.61538 1.321228

32 8 23.28 1.302232

64 16 23.63265 1.292479

128 32 23.81443 1.287537

∞ ∞ 24 1.28255


12/23

12

Beberapa kesimpulan yang didapat dari tabel dan grafik di atas adalah:

a. Nilai terkecil dari ρ adalah 0 dengan kondisi di mana EI balok ≈0. Pada kondisi real,

nilai EI tidak akan pernah 0. Nilai k akan bersifat asimtotik menuju limit 0.

b. Nilai terbesar dari ρ adalah ∞ di mana EI balok dianggap kaku sempurna (∞).

Nilai k akan bersifat asimtotik menuju harga k = Σ12EIk /h3.

c. Nilai k berbanding lurus dengan ρ.

d. Nilai T berbanding terbalik dengan ρ

e. Besar kekakuan struktur berbanding terbalik dengan besar perioda yang dialami

struktur.

0

5

10

15

20

25

30

0.001 0.01 0.1 1 10 100

k / ( E I k

/ h 3 )

ρ

k vs ρ

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.001 0.01 0.1 1 10 100

T (

d e t i k )

ρ

T vs ρ


13/23

13

Soal

1. Buat grafik yang menggambarkan hubungan k vs L/h dan T vs L/h untuk struktur portal

sebagai berikut:

Berikan ulasan terhadap hasil yang diperoleh.

2. Buat grafik yang menggambarkan hubungan k vs L/h dan T vs L/h untuk struktur portal

beton bertulang sebagai berikut:

Pelat beton :

t =12 cm

SIDL =100 kg/m2

LL =250 kg/m2

Kolom : 300/500 ; Balok : 300/500

Berikan ulasan terhadap hasil yang diperoleh.

m

h

L

L=6 m

L


14/23

14

1.1.2 Getaran Bebas Dengan Redaman

Gambar 1.10 Sistem SDOF dengan redaman

Untuk system dinamik bebas dengan redaman, persamaan gerak system menjadi:

̈ ̇ (18)

Dimana c adalah redaman pada struktur.

Karena

(19)

(20) (21)

(22)

√

(23)

Sehingga

̈̇ (24)


15/23

15

Dimana

= koefisien redaman kritis = Rasio Redaman, merupakan sebuah property tak berdimensi dari system yang

bergantung pada massa dan kekakuan.

c = konstanta redaman, yang menyatakan energy yang terdisipasi dalam sebuah cycle

getaran bebas atau forced harmonic vibration.

Sistem Underdamped

(25)

Pada system underdamped, Getaran Harmonis dengan Redaman

̈ ̇ (26) (27)

Dimana


16/23

16

Gambar 1.11 Getaran Bebas dari system Underdamped, Redaman Kritis dan Sistem Overdamped

Gambar 1.12 Respons Sistem dengan redaman terhadap gaya harmonic

> 1


17/23

17

1.2 Multi Degree of Freedom

Struktur yang lebih dari satu lantai dapat didiskretisasi menjadi sebuah struktur yang memiliki

Multi degree of freedom seperti terlihat pada Gambar 1.13 di bawah ini.

Gambar 1.13 Multi Degree of Freedom(4)

Persamaan gerak getaran bebas untuk struktur MDOF tanpa redaman dapat ditulis dalam bentuk

matriks sebagai berikut

̈ (28)Matriks massa dapat ditulis sebagai berikut


18/23

18

(29)

Matriks kekakuan dapat ditulis sebagai berikut

[K]= (30)

Karena gerakan pada sebuah system getaran bebas berupa gerakan simple harmonic, nilai

perpindahan u dapat direpresentasikan sebagai berikut

̅ (31)Sehingga percepatan da[at di[eroleh sebagai berikut

̈ (32)Dengan mensubtitusi persamaan kedalam bentuk persamaan eigenvalue diperoleh

(33)Solusi dari persamaan diatas dapat diperoleh dengan mencari solusi non-trivial berupa

determinan matriks =0

(34)


19/23

19

Contoh Soal

Pada struktur seperti Gambar __ susun mode shape dari struktur.

Dari informasi di atas dapat disusun matriks massa dan kekakuan dari struktur.

Sehingga didapat bentuk persamaan eigenvalue

Sehingga didapat persamaat karakteristik


20/23

20

Dengan menyelesaikan persamaan diatas akan didapatkan

Dengan mengetahui nilai B dapat dicari mode shape dengan mensubtitusi satu persatu nilai B ke

dalam persamaan


21/23

21

w1 = 8.438 w2= 25.768 w3= 40.388 w4= 50.800

Gambar 1. Mode shape

Gambar 1. Defleksi total pada struktur sebagai jumlah dari defleksi komponen

(35)

(36)


22/23

22

Kontribusi Mode (n)

{}=

{

}

(t) (1) (37)

Dimana { } = mode shape (n) dan = scalar Persamaan Kesetimbangan

̈ ̇ ̈ (2) (38)Dengan mensubstitusi (1) to (2):

{}{ ̈} {}{ ̇} {} ̈ (39)Dengan mengalikan persamaan tersebut dengan {} {}{}{ ̈} { }{}{ ̇} { } {}

{}̈ (40)

Persamaan dapat ditulis ulang secara sederhana sebagai berikut yang bentuknya mirip dengan

persamaan SDOF

̈ ̇ ̈ (3) (41)

Dimana

{}{} {}{} {} {}

{} = unit column matrix Persamaan (3) dibagi oleh Mn :


23/23

23

̈ ̇ ̈ (42)dimana

MPF = Modal Participation Factor =

=∑

∑

Nilai ̈ ̇ (t) bisa didapatkan dengan menggunakan integrasi satu demi satu Maximum || Sd(n)Maximum ̇ Sv(n) = Sd(n) Maximum ̈ Sa(n) = Sd(n)Gaya Geser pada bangunan menjadi

{Fn} max = [m]{v(t)}max =

[m]{n} Yn max = [m]{n} Sd(n) (43)

Persamaan tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut

{Fn} max = [m]{n} Sa(n) (44)Dimana nilai base shear atau gaya geser dasar yang sesuai adalah

(Vb)= {r}T { Fn} max (45)

1 pengantar dinamika struktur

Documents